Моделирование и основные этапы моделирования. Реализация и изучение моделей в среде Mathcad

Учреждение  образования 
«Белорусский государственный педагогический университет 
имени Максима Танка»

 

Математический  факультет

 

Кафедра прикладной математики и информатики

 

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 

Моделирование и основные этапы моделирования. Реализация и изучение моделей в  среде Mathcad.

 

 

 

Студента_______ А. В. Долгополова

   Научный руководитель

_________ А. Х. Уазиз

 

Защищена  «___»_____2013г.

с отметкой «________»

__________/__________

__________/__________

 

 

Минск, 2013

 

Оглавление

Введение 3

ГЛАВА 1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 5

1.1. Основные понятия моделирования 5

1.2. Основные виды моделей 6

1.3. Основные свойства моделей 7

1.4. Основные принципы моделирования 7

1.5. Технология моделирования 8

1.6. Основные методы решения задач моделирования 9

1.7.  Контроль правильности модели 12

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЁТА КАМНЯ И БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ 14

2.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЁТА КАМНЯ 14

2.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ 15

2.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ КОЛЕСА 16

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 18

ЛИТЕРАТУРА 19

 

Введение

С моделями и моделированием мы сталкиваемся в нашей жизни каждый день. В детстве ребенка окружают игрушки – машинки, куклы, кубики 
и т.д. - модели, повторяющие отдельные свойства реально существующих предметов. Играя, ребенок получает важные знания о них. В процессе мышления человек оперирует образами объектов окружающего мира, которые являются разновидностями моделей – когнитивными (мысленными) моделями.

Если Вам необходимо разработать новое изделие, обладающее определенными свойствами, или разобраться  в какой-то проблемной ситуации, допускающей  различные варианты разрешений, исследовать  работу сложной системы и дать рекомендации по ее эффективному управлению. Стоит сразу глубже вникнуть в  суть задачи, понять, что в ней  главное, а что второстепенное.

Вначале попробуйте выделить основные составляющие изучаемой ситуации и существенные связи между ними и изобразить все это, возможно, в  виде копии объекта или описании ситуации (явления). Если рассматриваемая  задача требует выбора наилучшего способа  управления ситуацией или системой, то необходимо определить, как можно  влиять на ее развитие и что подразумевается  под эффективным управлением. Когда  все эти этапы будут пройдены, то можно сказать, что Вы построили модель.

Существует несколько  определений модели:

Модель – это искусственно созданный образ, который описывает строение и основные свойства реального объекта, системы, ситуации или явления с целью их изучения. Термин «модель» происходит от латинского modulus – мера, образец.

Модель – это упрощенный аналог реального объекта (системы, явления,  ситуации), передающий его главные особенности и отбрасывающий второстепенные.

Упрощение при создании модели производится сознательно. Например, при изготовлении модели самолета учитываются  форма самолета и материал, из которого изготовлен его корпус, и не имеют  значения, например, внутреннее устройство и оформление салона.

Процесс построения моделей  называют моделированием.

Моделирование может осуществляться с двумя главными целями:

1. для изучения механизма явлений (познавательная цель);
2. для управления объектом, т. е. для выработки по модели оптимальных управляемых воздействий.

В обоих случаях модель создается для определения и  прогноза интересующих характеристик  или сигналов объекта.

Реальная польза от моделирования  может быть получена при выполнении двух главных условий:

• модель должна быть адекватной оригиналу в том смысле, что должна с достаточной точностью отображать интересующие исследователя характеристики оригинала;
• модель должна устранять проблемы, связанные с физическим измерением каких-то сигналов или характеристик оригинала.

Модели бывают физическими (предметными) и знаковыми (символьными). Примерами первых являются различные макеты, устройства, образцы, вторых –графики, схемы, программы.

Так, часто архитектор, для  того чтобы увидеть, как будет  выглядеть проектируемое здание среди уже построенных, создает его копию, которую и размещает на макет застраиваемой территории.

Среди знаковых выделяют математические модели, в которых объекты или ситуации описываются с помощью математических средств. Переход от задачи, условие которой задано словами, к математическим уравнениям или неравенствам – простейший пример математического моделирования. Решая задачу, Вы сначала определяете неизвестные величины, потом составляете уравнения и неравенства, которые связывают неизвестные величины с известными, а далее находите решения полученных уравнений и неравенств, подходящие по смыслу задачи. Первые два этапа решения задачи можно отнести к построению математической модели, последний - к исследованию модели.

Часто при рассмотрении самых различных вопросов рисуют схемы, в которых людей или  населенные пункты обозначают точками, а отношения между людьми или  дороги между населенными пунктами – линиями. Эти схемы также  являются моделями, ведь на них отмечено главное с точки зрения составителя.

При построении математических моделей необходимо выделить основные этапы: изучение реальной ситуации; формализация – переход от ситуации к модели; исследование модели на языке той теории, в рамках которой она построена; интерпретация полученных результатов –истолкование решения в терминах исходной ситуации.

Сегодня моделирование, являясь  важным методом изучения реальных явлений, широко используется в науке, технике  и экономике, а также в лингвистике, литературоведении, юриспруденции  и других гуманитарных дисциплинах.

 

 

 

ГЛАВА 1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1. Основные понятия моделирования

Моделирование – замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом (моделью) и познание свойств оригинала путем исследования свойств модели.

Моделирование — метод научного исследования явлений, процессов, объектов, устройств или систем (обобщенно – объектов исследований), основанный на построении и изучении моделей с целью получения новых знаний, совершенствования характеристик объектов исследований или управления ими.

Модель — материальный объект или образ (мысленный или условный: гипотеза, идея, абстракция, изображение, описание, схема, формула, чертеж, план, карта, блок-схема алгоритма, ноты и т.п.), которые упрощенно отображают самые существенные свойства объекта исследования.

Любая модель всегда проще  реального объекта и отображает лишь часть его самых существенных черт, основных элементов и связей. По этой причине для одного объекта  исследования существует множество  различных моделей. Вид модели зависит  от выбранной цели моделирования.

В основе термина «модель» лежит латинское слово modulus — мера, образец. Модель – это заместитель реального объекта исследования. Модель всегда проще исследуемого объекта. При изучении сложных явлений, процессов, объектов не удается учесть полную совокупность всех элементов и связей, определяющих их свойства.

Но все элементы и  связи в создаваемой модели и  не следует учитывать. Нужно лишь выделить наиболее характерные, доминирующие составляющие, которые в подавляющей  степени определяют основные свойства объекта исследования. В результате объект исследования заменяется некоторым  упрощенным подобием, но обладающим характерными, главными свойствами, аналогичными свойствам  объекта исследования. Появившийся  вследствие проведенной подмены  новый объект (или абстракция) принято  называть моделью объекта исследования.

Приведем несколько примеров моделей.

Карта — это графическая  модель местности или звездного  неба. В карте соблюдается принцип  подобия: сохраняется форма контуров материков, водоемов, лесных массивов, рек, созвездий, относительное расположение объектов, относительное расстояния между объектами, угловое расстояние между звездами, соотношение между  их светимостью и т. д.

Манекен — модель человека, которая отражает его внешние  черты. Манекен подобен человеку, сохраняет его пропорции, цвет кожи и волос. Существуют макеты автомобилей, пароходов, военной техники, железных дорог, архитектурных сооружений и  т. п.

Потребность в создании и использовании моделей связана  с тем, что исследовать многие реальные явления и объекты сложно или дорого, а порой вовсе невозможно. Например, безумно экспериментально изучать, к чему приведет мировая  термоядерная война. Опасны эксперименты с реальными реакторами на атомных  электростанциях. Неразумны опыты  с радиоаппаратурой при предельных  значениях напряжения питания и  окружающей температуры.

1.2. Основные виды моделей

В зависимости от способа реализации все модели можно разделить на два класса.

Физические модели предполагают, как правило, реальное воплощение тех физических свойств оригинала, которые интересуют исследователя.

 Физические  модели упрощены и меньше и  называются макетами. Физическое моделирование иначе называется макетирование.

Математические  модели представляют собой формализованные описания объекта или системы с помощью некоторого абстрактного языка, например, в виде совокупности математических соотношений или схемы алгоритма.

 Различают  различные виды математического моделирования: вербальные (словесные), графические, табличные, аналитические и алгоритмические.

Иногда математическая модель описывается уравнениями, которые вытекают из рассмотрения физической сущности моделируемого явления или системы. Однако чаще описание моделируемых объектов и систем носит чисто формальный характер и базируется на том, что многие явления порой самой различной природы описываются уравнениями (алгебраическими, дифференциальными и иными) одного и того же вида. В этом случае говорят о формальных моделях.

Кроме того, явления, системы  и их модели могут быть нестационарными и стационарными. Нестацинарные модели характеризуются зависимостью их параметров от времени. У стационарных моделей такой зависимости нет. Естественно, что моделирование нестационарных явлений гораздо сложнее, чем стационарных.

 1.3. Основные свойства моделей

Модели обладают рядом  свойств, от которых зависит успех  их применения.

Адекватность – это степень соответствия модели исследуемому реальному объекту. Она никогда не может быть полной. На практике модель считают адекватной, если она с удовлетворительной точностью позволяет достичь целей исследования.

Простота (сложность) – также является одной из характеристик модели. Чем большее количество свойств объекта описывает модель, тем более сложной она оказывается. Не всегда чем сложнее модель, тем выше ее адекватность. Надо стремиться найти наиболее простую модель, позволяющую достичь требуемые результаты изучения.

Потенциальность (предсказательность) – способность модели дать новые знания об исследуемом объекте, спрогнозировать его поведение или свойства.

1.4. Основные принципы моделирования

Моделирование базируется на нескольких основополагающих принципах. Принцип информационной достаточности

При полном отсутствии информации об исследуемом объекте построение его модели невозможно. С другой стороны, при наличии полной информации об объекте построение его модели не имеет смысла. Существует некоторый  уровень априорной информации об объекте, при достижении которой может быть построена его адекватная модель.

Принцип осуществимости

Создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенно отличающейся от нуля.

Принцип множественности моделей

Данный принцип является ключевым. Речь идет о том, что создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства реальной системы, которые интересуют исследователя. Соответственно при использовании любой конкретной модели, познаются лишь некоторые стороны реальности. Для более полного ее исследования необходим ряд моделей, позволяющий с разных сторон и с разной степенью детализации рассмотреть исследуемый объект.

Принцип агрегирования

В большинстве случаев  сложную систему можно представить состоящей из агрегатов (подсистем), для адекватного математического описания которых оказываются пригодными некоторые стандартные математические схемы.

 

Принцип параметризации

Этот принцип означает, что модель строится в виде известной  системы, параметры которой неизвестны.

1.5. Технология моделирования

Степень реализации перечисленных  принципов каждой конкретной модели может быть различной. Это зависит не только от желания исследователя, но и от соблюдения им технологий моделирования. А любая технология подразумевает определенную последовательность действий.

В настоящее время самой  распространенной технологией моделирования является комплексное моделирование, под которым понимается математическое моделирование с использованием средств вычислительной техники. Соответствующие технологии комплексного моделирования представляют выполнение следующих действий:

1. Определение цели моделирования.

На этой стадии необходимо среди  многих характеристик (параметров) объекта  выделить существенные. Мы уже говорили о том, что для одного и того же объекта при разных целях моделирования  существенными будут считаться  разные свойства.

2. Разработка концептуальной модели.

Концептуальная  модель (содержательная модель) - это абстрактная модель, определяющая состав и структуру объекта, свойства элементов и причинно-следственные связи, присущие анализируемой объекту и существенные для достижения целей моделирования. В концептуальной модели обычно в словесной форме приводятся сведения о природе и параметрах (характеристиках) элементарных явлений исследуемого объекта, о виде и степени взаимодействия между ними, о месте и значении каждого элементарного явления в общем процессе функционирования объекта.

3. Формализация модели.

Процесс построения информационных моделей  с помощью формальных языков называется формализацией.

4. Программная реализация модели.

Позволяет исследователю осуществлять поэтапный процесс корректировки модели, добиваясь необходимой точности. Он прост в применении, а получаемый результат дает четкую картину динамики поведения всей системы, при этом контроль результатов осуществляется как визуально, так и численно, посредством наблюдения погрешностей получаемого решения.

5. Планирование модельных экспериментов.

Планирование модельных экспериментов  преследует две основные цели:

- сокращение общего объема испытаний при соблюдении требований к достоверности и точности их результатов;

- повышение информативности каждого из экспериментов в отдельности.

6. Реализация плана эксперимента.

Реализация многофакторных планов реального эксперимента требует  значительных материальных и временных  ресурсов, знаний и опыта.

7. Анализ и интерпретация результатов моделирования.

Успех имитационного эксперимента с моделью системы существенным образом зависит от правильного  решения вопросов обработки и  последующего анализа и интерпретации  результатов моделирования. Особенно важно решить проблему текущей обработки  экспериментальной информации при  использовании модели для целей  автоматизации проектирования систем.

Результаты комплексного моделирования используются как  основа для дальнейших исследований и разработок, в том числе дорогостоящих  натурных испытаний.

1.6. Основные методы решения задач моделирования

На этапе программной  реализации модели и реализации плана экспериментов необходим выбор методов решения задач моделирования. При этом используются три основные группы методов:

• Графические - оценочные приближенные методы, основанные на построении и анализе графиков.
• Аналитические - решения, строго полученные в виде аналитических выражений (пригодны для узкого круга задач).
• Численные - основной инструмент для решения сложных математических задач, основанный на применении различных численных методов.

Аналитическое решение  удается получить редко и чаще лишь при упрощенной формулировке задачи в линейном приближении. Основным средством решения является алгоритмический подход, реализующий вычислительный эксперимент на ЭВМ. Получаемое на ЭВМ решение почти всегда содержит некоторую погрешность.

Наличие погрешности решения обусловлено  рядом причин. Перечислим основные источники погрешности.

1. Математическая модель является лишь приближенным описанием реального процесса (погрешность модели).
2. Исходные данные, как правило, содержат погрешности, так как либо являются результатами экспериментов (измерений), или решениями вспомогательных задач (погрешность данных).
3. Применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев являются приближенными (погрешность метода).
4. При вводе исходных данных в ЭВМ, выполнении операций производятся округления (вычислительная погрешность).

Погрешности 1 и 2 - неустранимые на данном этапе решения, для их уменьшения приходится возвращаться вновь к построению математической, а и иногда и концептуальной модели, проводить дополнительное экспериментальное уточнение условий задачи.

Оценка обусловленности вычислительной задачи - еще одно обязательное требование при выборе метода решения и построении математической модели.

Пусть вычислительная задача корректна. Теоретически устойчивость задачи означает, что ее решение может быть найдено со сколь угодно малой погрешностью, если только гарантировать достаточно малую погрешность входных данных. Однако на практике их точность ограничена (и величиной гораздо большей, чем s_м=T^P+l - машинная точность, p - порядок, округление производится усечением).

Как влияют малые, но конечные погрешности входных данных на решение? Как сильно они искажают результат? Ответ на это дает понятие обусловленности задачи, то есть чувствительность решения вычислительной задачи к малым погрешностям входных данных.

Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Часто возможно ввести количественную оценку степени обусловленности – число обусловленности - его можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешности в решении по отношению к вызвавшей их погрешности входных данных.

 Разработка математической модели. После получения концептуальной модели системы (содержательной постановки задачи) нужно построить ее математическую модель. Этот процесс называется формализацией задачи.

Математическая модель ИСО включает в себя

• множество переменных, значения которых выбирает лицо, принимающее решение (ЛПР), оптимальный набор значений которых обходимо найти в результате операционного исследования . Будем называть их стратегиями или управляющими переменными и будем обозначатьX=x_i;
• Описание области допустимых решений – то есть значений которые могут принимать X=x_i, в виде ограничений на них и на ресурсы системы а также критериев системы, которые могут влиять на систему, но которыми не может управлять ЛПР, их можно предсказывать или прогнозировать с определенной долей вероятности (например, так называемые модели «игры с природой» или «стохастическое моделирование»)
• Целевая функция или критерий эффективности (оптимальности) – ‘количественный показатель предпочтительности или эффективности решений , который зависит от принятых стратегий (набора значений управляющих переменных) и параметров системы
• Описание критерия (ев) оптимальности (если задача многокритериальная или многоцелевая)

 

Выбор метода и алгоритма решения. Для нахождения оптимального решения задачи  в зависимости от вида и структуры целевой функции и ограничений используют те или другие методы теории оптимальных решений (методы математического программирования).

1. Линейное программирование: Методы линейного программирования применяются при решении задач на поиск экстремальных  значений линейной целевой функций, если ограничения на управляющие переменных тоже линейны.
2. Нелинейное программирование: целевая функция и ограничения могут быть нелинейными функциями(квадратичные, кубические и т.д.);
3. Особым случаем в задачах линейного и нелинейного программирования является случай, когда на оптимальные решения (и в результате на управляющие переменные) накладывается условие цело численности. Такие задачи относятся к целочисленному программированию; В частности для решения таких задач используют методы отсечений или ветвей и границ суть которого – в пошаговом отбрасывании большого количества неоптимальных решений целыми классами.
4. Методы решения задач динамического программирования используются для отыскания оптимального решения задачи если она может быть разбита на ряд шагов (этапов) и планирование осуществляется последовательно от этапа к этапу. Однако выбор метода решения на каждом этапе производится с учетом интересов операции в целом;
5. С помощью методов теории графов решаются многие сетевые задачи, связанные с минимальной длиной пути, минимальном протяжением сети, построение оптимального кольцевого маршрута, задачи теории расписаний и т.д.
6. Эвристическое программирование применяют для решения тех задач, в которых точный оптимум найти невозможно из-за комбинаторного характера задачи и связанного с ним огромного количества вариантов. В таком случае отказываются от поиска оптимальных решений и ограничиваются поиском удовлетворительного решения с точки зрения ЛПР. При этом удачно пользуются специальными приемами - так называемыми 'эвристиками', позволяющими существенно сократить число просматриваемых вариантов.

Проверка  адекватности и корректировка модели. В сложных системах, к которым относятся и системы организационного типа, модель лишь частично отражает реальный объект (или процесс). Поэтому необходимо проводить проверку степени соответствия (или адекватности) модели и реального процесса. Проверку можно проводить путем сравнения выходных характеристик модели или предвиденного поведения модели с фактическими характеристиками объекта при изменении значений внешних факторов, а также (при возможности) параметров системы

Возможна корректировки концептуальной модели, математической модели и соответственно метода решения. Корректировка может  потребовать проведения дополнительных исследований на объекте, наборе необходимых  данных, уточнения набора переменных и структуры модели. Корректировка  может повторяться многократно  до тех пор, пока не будет достигнуто удовлетворительное соответствие между  выходными характеристиками объекта  и модели.

 Поиск решения на модели. После достижения удовлетворительного уровня адекватности модели применяют соответствующий метод или алгоритм для нахождения оптимального (или субоптимального, не самого плохого) решения на математической модели. Это решение может принимать разные формы: аналитическую, численную, или алгоритмическую (в виде набора процедур, правил, и т.п.).

Реализация  найденного решения на практике. Это один из важнейших этапов, завершающий операционное исследование. Внедрение в практику найденного на модели решения можно рассмотреть как самостоятельную задачу. По полученной на модели оптимальной стратегии управления лицу принимающему решения необходимо предоставить соответствующую содержательную форму в виде инструкций и правил, что и как делать, которая была бы понятной для административного персонала данной фирмы или организации и легкой для выполнения в производственных условиях.

1.7. Контроль правильности модели

Для контроля правильности полученной модели может использоваться ряд приемов:

• Анализ размерности - величины в левой и правой части выражения, отдельные слагаемые в каждой из частей должны иметь одинаковую размерность.
• Проверка порядков и характеров зависимостей - параметры и переменные, которые в данной задаче выражены величинами большего порядка малости, могут быть исключены из рассмотрения как несущественные, что часто позволяет значительно упростить модель и ее анализ. Характер изменения значений моделируемых величин должен соответствовать их реальному смыслу, не противоречить наблюдаемым данным.
• Исследование предельных случаев - результаты моделирования при крайних значениях параметров модели, равных, как правило, нулю или бесконечности, не должны противоречить смыслу (например, энергия реальной физической системы не может оказаться бесконечно большой, время протекания процесса - отрицательным и т.п.) Модель в этом случае существенно упрощается и легче для понимания.
• Проверка замкнутости и корректности математической задачи -система математических соотношений должна иметь единственное решение.