Моделирование платины металла для МНЛЗ

 

Техническое задание

Изделие из углеродистой стали в форме пластины охлаждается водой в симметричных    условиях. Известны температура воды и коэффициент теплоотдачи. В начале процесса температура по толщине пластины распределена равномерно. Теплофизические свойства материала не зависят от температуры.

Выполнить и представить в отчёте все этапы моделирования.

Примем в этапе «Исследование закономерностей»:

- для среднего  варианта моделирования построить  температурное поле изделия для пяти значений времени включая t=0;

- построить кривые  охлаждения оси симметрии; точки, находящейся на ¼ полной толщины  и поверхности.

В этапе «Решение задач исследования»:

- провести расчёты  и построить графики влияния  коэффициента теплоотдачи (три значения) на продолжительность охлаждение оси изделия от температуры Т0 до температуры 100°С (ТСР = 0);

- аппроксимировать  полученную зависимость аналитическим  выражением.

В конце отчёта сформулировать выводы по результатам работы.

                Таблица 1. Исходные данные

Толщина пластины (S), м

0,1

Коэффициент теплоотдачи (a), Вт/м2·к

250; 500; 1000

Критерий Био (Bi)

1


 

 

 

 

  1. Задачи  исследования, объект, цель и предмет.

 

Объект: пластина, охлаждаемая водой.

Проблема: пластина не охлаждается к нужному моменты времени.

Цель: определить время охлаждения пластины.

Гипотеза: процесс охлаждения определяется теплофизическими свойствами изделия и условиями охлаждения.

Метод исследования: метод математического моделирования.

Предмет: процесс охлаждения пластины.

Задачи:

1) Разработка компьютерной  модели и алгоритма решения.

2) Выбор исходных  данных.

3) Тестирование  алгоритма.

4) Исследовать температурное  поле изделия для трех значений  текущего времени при одном  варианте коэффициента теплоотдачи.

5) Построить в  задаче 2 кривые охлаждения оси  симметрии; точки, находящейся на ¼ толщины и поверхности.

6) Изучить влияние толщины пластины (три значения) на продолжительность охлаждения её оси от температуры Т0 до 100 (ТСР=0).

7) Аппроксимировать  полученную зависимость аналитическими  выражениями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Описание объекта.

 

Объектом исследования является процесс охлаждения  пластины водой. Схема объекта приведена на рисунке 2.1:

 

Рисунок 2.1. Схема охлаждения стальной пластины: 1 – пластина; 2 – водная среда;

3 - стойки

         При составлении модели вводятся  следующие допущения:

    1. теплофизические свойства стали в процессе охлаждения не изменяются;
    2. условия охлаждения симметричны;
    3. охлаждение идёт от равномерной начальной температуры;
    4. температура среды постоянна;

 

  1. Построение математической модели.

 

В математическую модель процесса охлаждения входит уравнение теплопроводности. Процесс будем рассматривать одномерно и в неподвижной системе координат. Тогда уравнение теплопроводности примет вид:

  ,   0 ≤ х ≤ S,  0 ≤t ≤ tк                                                   (1)          

с - теплоёмкость материала, Дж/(кг·К);

ρ - плотность, кг/м3;

λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(м·К);

tк – конечное время;

Т – температура;  t – время, с;

Расчетная область для уравнения (1) приведена на рисунке 3.1:

Рисунок 3.1. Схема расчётной области:

- начальная температура;

- температура поверхности;    S - половина толщины поверхности.

Задаем начальное и граничные условия  для решения уравнения (1):

  1. Начальное условие в момент времени  t =0:

T(0, х) = Т0,

  1. Граничное условие  пластины (условие симметрии):

Граничное условие III рода

 

 

где α – коэффициент теплоотдачи

 

 

  1. Разработка приближенной модели.

 

Для разработки приближённой модели используем численный метод  - метод конечных разностей (МКР). В этом методе непрерывное течение времени заменяют дискретным с шагом Δt. Непрерывное изменение координат заменяется дискретными значениями,  и  вместо непрерывных функций рассматриваются дискретные или сеточные функции. Для этого расчетная область делится на выбранное количество узлов N  и определяется:                                                                                                             

                                               (2)

где N – количество узлов в расчетной области, Δх – шаг по координатам х.

Схема дискретизации расчетной области приведена на рисунке 4.1:

Рисунок 4.1. Схема дискретизации расчётной области.

 

Дискретные моменты времени:

tn = n·Δt,

где n –номер времени момента, n=0,1,2…,[]

Координата узла определяется по формуле:

xi = Δxi – Δx* ½= Δx (i – ½)

Приближенные значения  для частных производных:

Рисунок 4.2. Дискретизация расчётной области.

n, n+1 – временные слои; - внутренние узлы; - фиктивные узлы;

Δt – шаг по времени; Δx – шаг по координате.

                          (3)

       Введем дополнительные узлы для  аппроксимации второй производной  по координате (рисунок 4.3):


 

Рисунок 4.3. Схема аппроксимации второй производной.

 

                                   (4)

Для замены производной второго порядка используем дополнительные промежуточные узлы:  i-1, i+1, i+1/2, i-1/2.

       Расписывая далее, получим:

                                                    (5)

 

         (6)

Подставляем получившееся выражение (3) и выражение (6) в уравнение теплопроводности для пластины (1):

 
                                   (7)

Вводим обозначение:

lr                                                                          (8)

Перепишем уравнение (7) с учётом выражения (8):

=
                           (9)

                              (10)

 

Ti0=T0 – распределение температуры по узлам в начальный момент времени.

Значение температуры в фиктивных узлах находим из граничных условий:

При  x=0:   

                 (11)

Следовательно:   

при x=S:

                        (12)

                         (13)

 

Выразим  с учетом обозначения

                                                                            (14)


 

Шаг по времени определяется из условия устойчивости: , 

где

- коэффициент устойчивости, Ку >2.

 

 

 

 

  1. Разработка компьютерной модели.

 

 

Рисунок 5.1. Блок-схема алгоритма решения

Программа на языке Turbo Pascal

 

Program Plastina;

const

s=0.1;  lam=29;  c=690; p=7500; ky=3; Tsr=0; T0=1000;  alfa=500; N=10;  tk=1000;  dp=100;

var i,k,j:integer;

t,dx,a,cappa,dt:Real;

T1,T2:array[0..N+1] of real;

begin

dx:=S/N;

a:=lam/(c*p);

dt:=(dx*dx)/(a*ky);

writeln('dx= ',dx:7:3,' a=',a:7:7,' dt=',dt:7:3);

for i:=0 to N+1 do begin T1[i]:=T0; T2[i]:=T0; end;

k:=1; t:=0;

while t<=tk do

 begin

 t:=t+dt;

  for i:=1 to N do

   T2[i]:=T1[i]+a*dt*((T1[i+1]-2*T1[i]+T1[i-1]))/(dx*dx);

   T2[0]:=T2[1];

   cappa:=(alfa*dx)/(2*lam);

   T2[N+1]:=((1-cappa)*T2[N]+2*cappa*Tsr)/(1+cappa);

   for i:=0 to N+1 do T1[i]:=T2[i];

   if t>dp*k then

    begin

    readln;

    for i:=0 to N+1 do write(i:5);writeln;

    for i:=0 to N+1 do write(T1[i]:5:0);writeln;

    writeln('Time= ',t:3:3);

    writeln('на оси = ',T2[0]:3:3);

writeln(‘температура на поверхности = ', (T2[N+1]+T1[N])/2:3:3);

    inc(k);

    end;

   end;

 readln;

end.

 

 

 

 

 

 

 

  1. Тестирование компьютерной модели.

 

Задачи тестирования модели:

1). Проверка правильности  работы алгоритма;

2). Исследование  сходимости решения;

3). Исследование  погрешности решения.

На этапе тестирования сравниваются результаты работы программы с тестом - точным решением при одинаковых исходных данных. Точное решение представляется в виде критериальной зависимости. Критерий - это безразмерный комплекс исходных данных, который позволяет сократить количество переменных в задаче и получить существенные связи между исследуемыми величинами.

Введем безразмерные величины:

               l

где - безразмерная температура, F0 -безразмерный критерий времени Фурье, X - безразмерная координата r, Bi - безразмерный критерий Био.

 

Для проведения тестирования определим исходные данные для программы:

 S=1, l=1, c=1, r=1, =1    =>>  ,

Для Bi =1 =>>  =>> a  =>> a

Решение, получаемое с помощью компьютерной модели, сходится к точному при  увеличении количества узлов, если погрешность решения при этом уменьшается. Изучим поведение погрешности при различном количестве узлов.

 

Проведем тест для N = 5, 10, 20 узлов. Результаты моделирования и данные точного решения занесены в таблицы:

ΔT = (T*ОСИ – TОСИ);       ½½, где Т*ОСИ  и Т*ПОВ берутся из справочных данных [1].

Таблица 6.1. №1 (для N=5):

F0

ТОСИ│Х=0

Т*ОСИ│Х=0

ΔТ

ε, %

ТПОВ│Х=1

Т*ПОВ│Х=1

ΔТ

ε, %

0,1

994,858

993,32

-1,538

0,155

737

723,84

-13,16

1,818

0,2

948,386

948,64

0,254

0,027

647,394

643,65

-3,744

0,582

0,3

892,607

892,02

-0,587

0,066

595,581

589,12

-6,461

1,097

0,4

827,39

831,19

3,8

0,457

547,406

544,44

-2,966

0,545

0,5

772,791

774,55

1,759

0,227

510,089

504,79

-5,299

1,05

0,6

714,314

717,93

3,616

0,504

471,083

468,53

-2,553

0,545

0,7

666,661

666,81

0,149

0,022

439,551

435,00

-4,551

1,046

0,8

616,038

619,29

3,252

0,525

406,138

403,98

-2,158

0,534

1,0

531,226

534,11

2,884

0,54

350,212

348,41

-1,802

0,517

       

2,557

      

7,734


 

Таблица 6.2. №2 (для N=10):

F0

ТОСИ│Х=0

Т*ОСИ│Х=0

ΔТ

ε, %

ТПОВ│Х=1

Т*ПОВ│Х=1

ΔТ

ε, %

0,1

993,114

993,32

0,206

0,0207

725,122

723,84

-1,282

0,177

0,2

950,088

948,64

-1,448

0,1526

644,393

643,65

-0,743

0,115

0,3

893,018

892,02

-0,998

0,1119

591,337

589,12

-2,217

0,376

0,4

832,064

831,19

-0,874

0,105

546,374

544,44

-1,934

0,355

0,5

773,539

774,55

1,011

0,1305

506,54

504,79

-1,75

0,347

0,6

718,602

717,93

-0,672

0,0936

470,136

468,53

-1,606

0,343

0,7

667,405

666,81

-0,595

0,089

436,51

435,00

-1,51

0,347

0,8

618,279

619,29

1,011

0,163

404,338

403,98

-0,358

0,0886

1,0

533,2

534,11

0,91

0,17

348,684

348,41

-0,274

0,079

       

1,0367

      

2,2276


 

 

 

Таблица 6.3. №3 (для N=20):

F0

ТОСИ│Х=0

Т*ОСИ│Х=0

ΔТ

ε, %

ТПОВ│Х=1

Т*ПОВ│Х=1

ΔТ

ε, %

0,1

993,114

993,316

0,202

0,0203

724,851

723,84

-1,011

0,1397

0,2

950,504

948,64

-1,864

0,1965

643,642

643,65

0,008

0,0012

0,3

892,101

892,02

-0,081

0,0091

589,471

589,12

-0,351

0,0596

0,4

831,229

831,19

-0,039

0,0047

544,721

544,44

-0,281

0,0516

0,5

772,779

774,55

1,771

0,2286

505,026

504,79

-0,236

0,04675

0,6

717,908

717,93

0,022

0,00306

468,737

468,53

-0,207

0,04418

0,7

666,769

666,81

0,041

0,00614

435,215

435,00

-0,215

0,0494

0,8

619,222

619,29

0,068

0,011

404,139

403,98

-0,159

0,0394

1,0

534,024

534,11

0,086

0,0161

348,519

348,41

-0,109

0,03128

       

0,4955

      

0,4631


 

Выберем максимальную погрешность решения для N=5,10,15 узлов (для поверхности и для оси пластинки):

N

εmax,%(поверхн.)

εmax,%(оси)

5

0,54

1,818

10

0,17

0,376

20

0,2286

0,1397


 

Зависимость Emax от количества узлов выглядит следующим образом:

 

Рисунок 6.1. Зависимость εmax = f(N).

Зададим допустимую погрешность равной 1%, тогда согласно графика погрешность решения не превысит 1% при NОПТ=7 - 8.

 

7. Выбор  исходных данных.

 

№ п/п

Наименование

Обозначение

Значение

Единицы измерения

1

Коэффициент теплопроводности

λ

29

Вт/(м·К)

2

Теплоемкость

c

690

Дж/(кг·К)

3

Плотность

ρ

7500

кг/м3

4

Коэффициент устойчивости

Ку

3

_

5

Начальная тем-ра

Т о

1000

оС

6

Температура среды

TСР

0

оС

7

Толщина пластины

S

0,1

м

8

Коэффициент

теплоотдачи

α

250

500

1000

 

Вт/(м2·К)


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Исследование процесса охлаждения пластины.

С помощью компьютерной модели охлаждения пластины определили температуры для различных точек пластины в различные моменты времени. На основе полученных данных построили графики:

Рисунок 8.1. Распределение температуры по пластине.

Рисунок 8.2. Кривые охлаждения различных точек пластины.

 

9. Определение  времени охлаждения пластины  до 100 оС.

 

Рисунок 9.1. Кривые охлаждения точки в плоскости симметрии пластины.

 

Находим точки пересечения прямой, проведенной от значения температуры 100°С параллельно оси времени, с полученными кривыми. Ординаты пересечения соответствуют продолжительности охлаждения пластины до 100°С.

Запишем данные по продолжительности охлаждения в таблицу 8.1:

Таблица 8.1 Продолжительность охлаждения пластин при различных

коэффициентах теплоотдачи

α, Вт/(м2·К)

Время охлаждения, с

Время охлаждения, ч

250

6453,879

1,793

500

4104,31

1,14

1000

2950,345

0,8195


 

По данным таблицы строим график зависимости времени охлаждения пластины от коэффициента теплоотдачи.

 

 

Рисунок 9.2. График зависимости tОХЛ=f(α) по результатам расчета, найденным

с помощью компьютерной модели.

 

Уравнение аппроксимирующей кривой описывается общим уравнением:

                                                                                                              

где – время охлаждения оси цилиндра до 100°С; а – безразмерный коэффициент; α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2·К).

С помощью графического метода выявили линейное уравнение зависимости времени охлаждения пластины (tОХЛ) от коэффициента теплоотдачи (α):

tОХЛ = -0,4868·х + 2,2243, при R2 = 0,9626.

Коэффициенты a и n определим исходя из системы двух уравнений:

Получили следующее выражение: 

Выводы

 

  1. В ходе выполнения данной курсовой работы был промоделирован процесс охлаждения  изделия из углеродистой стали в форме пластины для граничных условий третьего рода, при котором температура пластины понижается от начальной температуры до температуры среды путем охлаждения в воде.
  2. Разработали компьютерную модель на языке программирования Pascal в среде программирования Borland Pascal 7.0.
  3. Провели тестирование и установили оптимальное количество узлов NОПТ. = 7-8.
  4. Выполнили исследования тела в форме  пластины. В результате получилось, что пластина с меньшим коэффициентом теплоотдачи охлаждается медленнее.
  5. Определили время охлаждения пластины до температуры 100°С при задании  различного коэффициента теплоотдачи. В, частности, пластина толщиной 100 мм. Вычислили время охлаждения оси пластины до 100°С при трех значениях  α = 250; 500; 1000:

α, Вт/(м2·к)

Время охлаждения, с

Время охлаждения, ч

250

6453,879

1,793

500

4104,31

1,14

1000

2950,345

0,8195


 

  1. Также определили уравнение аппроксимирующей кривой данной зависимости:

,   

где – время охлаждения оси пластины до 100°С, час;

α – коэффициента теплоотдачи,  Вт/(м2·К).

 

 

 

Литература

 

  1. Кабаков З.К., Пахолкова М.А. Технология математического моделирования металлургических процессов. – ФГБОУ ВПО «Череповецкий государственный университет», Череповец, 2012. – 132с.
  2. Зарубин В.С. – Математическое моделирование в технике. – М.: Металлургия, 1976. – 552с.
  3. Максимов Ю.М. - Математическое моделирование металлургических процессов. – М.: Мир: ООО «Изд-во АСТ», 2003. – 528с.
  4. Варгафтик Н.Б. – Теплофизические свойства веществ: Справ. – М.; Л.: Госэнергоиздат, 1956. – 287с.
  5. Чиркин В.С. – Теплопроводность промышленных материалов. – 2-е изд. – М.: Машгиз, 1962. – С.245.

Моделирование платины металла для МНЛЗ 📙 Курсовая → 🆔 132420

Моделирование платины металла для МНЛЗ 📙 Курсовая → 🆔 132420

Моделирование платины металла для МНЛЗ