Моделювання економiки

 

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І  НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦИОНАЛЬНИЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙЙ УНІВЕРСИТЕТ

"ХАРЬКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ  ІНСТИТУТ"

 

Кафедра

"ЕКОНОМІЧНОЇ ІНФОРМАТИКИ  І МАРКЕТИНВОГО МЕНЕДЖМЕНТУ"

 

ОЦІНКА ________

 

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни

  " МОДЕЛЮВАННЯ ЕКОНОМІКИ"

 

Керівник: доцент кафедри  ЕКММ Мельников О.С.

Виконав:студент групи  ЭІМ-19 Шевченко Д.О.

 

 

 

 

Харків 2012

 

РЕФЕРАТ

Курсова робота: 21 сторінка, 3 малюнки,  2 таблиці, 6 джерел інформації.

Ключові слова: КОРИСНІСТЬ, ДОХІД, СПОЖИВАННЯ, ВИТРАТИ, РЕГРЕСІЯ, ОПТИМАЛЬНИЙ ВИБІР, ЕКОНОМІЧНА МОДЕЛЬ,  ГРАНИЧНА КОРИСНІСТЬ, ФУНКЦІЯ КОББА-ДУГЛАСА, ФУНКЦІЯ ПОПИТУ,  КОЕФІЦІЄНТ ДЕТЕРМІНАЦІЇ, МАТРИЦЯ, РІВНОВАГА.

У курсовій роботі розглянута задача визначення залежності витрат на електроенергію на душу населення та доходом різних країн на душу населення в 2003 році. В якості функції корисності була використана функція корисності Кобба-Дугласа.

 

ЗМІСТ

 

ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ 4

ВСТУП 5

1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА 6

2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА 15

ВИСНОВОК 20

СПИСОК  ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 21

 

 

 

ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ

 

МНК – метод найменших  квадратів;

I – дохід;

P – ціна;

MU – гранична корисність;

U – корисність;

Дол – долари США;

ВВП – валовий внутрішній продукт

 

 

 

 

ВСТУП

Однією з необхідних умов подальшого розвитку економічної науки  є застосування точних методів кількісного  аналізу, широке використання математики. Одним з основних стає завдання створення  єдиної системи оптимального планування і управління народним господарством  на базі широкого застосування математичних методів і електронно-обчислювальної техніки в економіці. Необхідність використання методу моделювання визначається тим, що багато об'єктів (чи проблеми, що відносяться до цих об'єктів) безпосередньо досліджувати або зовсім неможливо, або ж це дослідження вимагає багато часу і засобів.

Використовуючи статистичні данні, вчені провели дослідження, в результаті якого виявилося, що споживання тієї чи іншої групи товарів росте пропорційно зростанню доходу. Дійсно, збільшивши об'єм доходу отримаємо кратне збільшення споживання. Цей ефект в тому або іншому ступені характерний і для функцій інших економічних об'єктів, наприклад виробництва.

В курсовій роботі розглянута проблема визначення залежності витрат на споживання певних благ (в даному випадку електроенергії) та доходом. Була висунута гіпотеза, що між витратами на електроенергію та доходом населення існує пряма залежність, якщо уподобання споживачів описуються функцією Кобба-Дугласа.

Завданням курсової роботи є підтвердження або спростування данної гіпотези шляхом побудови регресійної  моделі. Ця модель мусить грунтуватися на реальних данних споживання електроенергії різними країнами світу в 2003 році. Модель необхідно перевірити на узгодженість зі статистичними данними, оцінити коефіцієнти рівняння регресії, побудувати графік залежності витрат на енергію та доходом населення.

 

1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

 

Основу неокласичної теорії склали розробки трьох наукових шкіл: «австрійської» (теорія граничної корисності) на чолі з Карлом Менгером, «кембриджської» (теорія часткової рівноваги) на чолі з Альфредом Маршаллом й «лозаннской» (теорія загальної рівноваги) на чолі з Леоном Вальрасом.

Неокласичний напрямок стало  ведучим у сучасній англо-американській  економічній науці. Воно не є цільною, завершеною концепцією. Неокласики досліджують дуже широке коло проблем — від раціонального поводження окремого споживача й окремої фірми до міжнародних економічних зв'язків і конструювання специфічних моделей економік різних країн. При цьому широко використаються принципи так називаного «граничного аналізу», основи якого заклала «австрійська школа» в 70-х роках XIX в. З погляду  «австрійців» (К. Менгер, О. Бем-Баверк, Ф. Визер) будь-які блага позбавлені об'єктивних властивостей. Цінність їм надає суб'єктивне відношення до них людини. Мова йде про те, що головне в економіці - зовсім не обсяг витрат праці на виробництво товару, а кінцевий результат цього виробництва.

При цьому між кількістю зробленого блага і його корисністю існує зворотна залежність. Корисність знижується в міру того, як потреба в даному благу насичується. Величину додаткової корисності, отриманої від споживання наступної одиниці блага, австрійці назвали «граничною корисністю». Звідси й назва цього плину економічної думки «маржинализм» (граничний).

Принципи граничного аналізу надалі минулому поширені на такі явища, як прибуток, продуктивність факторів, доход, витрати. З теоретичної конструкції, що пояснює закономірності поводження споживача, маржинализм поступово перетворився в аналітичну концепцію, за допомогою якої стало можливо досліджувати поводження фірм, вибудовувати їхню стратегію на ринку, визначати способи впливу на підприємництво в бажаному напрямку. Сильна сторона неокласичної концепції в тім, що вона як і раніше має на увазі корисні результати виробництва. Вона націлює на мінімізацію витрат й одержання максимальних результатів.

Для неокласиків характерний, таким чином, тісний зв'язок із практикою. Ця школа вважає, що економічні дослідження повинні давати, в остаточному підсумку, рекомендації для обґрунтування економічної політики. Причому головним об'єктом економічної політики й центральною фігурою в ринковій системі неокласики, як і колись, уважають підприємця, а ціль економічної політики вбачають у створенні максимально сприятливих умов для його діяльності. А от проблеми ж установлення рівноваги між основними економічними параметрами -і попитом та пропозицією, виробництвом і споживанням, - вирішуються, на їхню думку, винятково ринком.

Будь-яка споживча система характеризується залежністю між величиною доходу та розміром споживання. Причому певні показники цієї залежності мають деякі випадкові коливання. Залежність між ними, формалізовану у відповідний спосіб у вигляді регресійного рівняння, називають функцією корисності.

Якщо функція корисності відома, то за розміром доходу можна передбачити кількість спожитої продукції і, навпаки, за даним розміром споживання можна розрахувати необхідний для цього дохід.

У реальних системах неможливо  врахувати всі можливі фактори, що впливають на обсяги споживання. Тому розглядають найвизначніші з них і на підставі спостережень за цими факторами та результатом споживчої діяльності будують так звану емпіричну функцію корисності.

Розглянемо быльш детально умови оптимально сподивання. Оскільки функція корисності монотонно неубывает по усіх аргументах, за відсутності обмежень споживач був би схильний до необмеженого збільшення об'ємів споживання. Вибір споживача ограничавают його фінансові можливості, що задаються бюджетним обмеженням

 \* MERGEFORMAT ()

де - ціна i -го товару; - об'єм його споживання; - бюджет споживача.

    Таким чином, завдання споживчого вибору зводиться до наступного:

 \* MERGEFORMAT ()

при бюджетному обмеженні .

Розглянемо рішення задачі  для випадку двох товарів, тобто N=2.

В цьому випадку завдання зводиться до

 \* MERGEFORMAT ()

Передусім відмітимо, що оскільки в цій моделі споживач отримує  корисність від доходу тільки в тій  мірі, наскільки це дозволяє збільшити споживання товарів 1 і 2, бюджетне обмеження має бути таким, що зв'язує (тобто виконуватися як рівність) і оптимальне рішення повинне знаходитися на лінії бюджетного обмеження.

Малюнок 1.1 Вибір споживача.

Точка В на мал. 1 є допустимою, але не оптимальною, оскільки переміщення до точки В дозволить споживачеві отримати велику корисність при тому ж бюджеті. Продовжуючи аналогічно отримаємо, що оптимальний набір споживання повинен знаходиться на точці дотику кривою байдужості і бюджетної лінії. У точці дотику нахили обох кривих повинні співпадати. Нахил бюджетного обмеження рівний

 (4)

Нахил кривої байдужості рівний

 (5)

де остання рівність виходить з того, що уздовж кривої байдужості .

Таким чином, умова оптимальності  зводиться до

 (6)

Для економічної інтерпретації  формули , її зручно записати таким чином:

 (7)

Рівняння  відоме як принцип эквимаржинальности. Він полягає в тому, що гранична корисність 1 гривні, витраченої на товар 1, повинна дорівнювати граничній корисності 1 гривні, витраченої на товар 2. Інакше ми змогли б збільшити корисність, збільшивши споживання того товару, який приносить велику корисність, за рахунок товару, що приносить меншу корисність.

У загальному випадку N товарів принцип эквімаржинальності залишається справедливим:

 (8)

Щоб отримати функції попиту споживача на товари 1 і 2, залишається  доповнити умову оптимальності  бюджетним обмеженням . В результаті отримаємо систему рівнянь

 (9)

Функція корисності Кобба-Дугласа  для двох товарів в загальному випадку задається формулою Розглянемо функцію Кобба-Дугласа

Спершу зручно скористатися властивістю незалежності переваг  споживачів від монотонних перетворень функції корисності :

      

Підставивши це співвідношення в бюджетне обмеження, отримаємо:

звідки

  - шукані функції попиту по Маршаллу.

Функція корисності Кобба-Дугласа виду функції попиту по Маршалу задаються виразами

Функція корисності Кобба-Дугласа  має просту економічну інтерпритацію. Запишемо отримане рівнянння наступним  чином:

Вираз показує загальні витрати споживача на придбання першого товару. Форма функцій попиту по Маршалу показує, що споживач завжди витрачає частину свого бюджету на перший товар, а іншу - на другий. Таким чином, структура уподобань Кобба- Дугласа означає, що споживач завжди витрача одну й ту саму фіксовану частину свого бюджету на товар певної категорії.

Для побудови кривої сукупного  попиту на практиці застосовується метод  репрезентативного споживача. Розглянемо цей метод на прикладі функції корисності Кобба - Дугласа. На ринку знаходиться N споживачів, уподобання яких задаються функцією кориснотсті ; доходи споживачів складають

Для і – го споживача попит задається функцією:

Тоді сукупний попит складе

,

де   – середній дохід споживача.

Споживач з дозодом  споживає , тобто ринок веде себе так, якби він складався з N однакових покупців, з доходом .

В цьому випадку кажуть, що споживач з доходом  , являється репрезентативним для данного ринку, а уподобання ринка вцілому описуються уподобанням репрезентативного споживача.

Для доведення гіпотези, що залежність між споживанням електроенергії та ВВП на душу населення описується лінійною моделлю Кобба-Дугласа необхідно побудувати рівняння регресії.  Для статистичної перевірки гіпотези були обрані данні про споживання електроенергії різними країнами світу в 2003 році. Оскільки данні про реальний дохід на душу населення приведені до доларів 2000 року, то  сформовані ціни на електроенергію також були приведені до доларів 2000 року з викоростанням відповідних індексів.

Спочатку були отримані приведені  значення ВВП на душу населення 2003 року. Для цього були використані данні  про кількість населення країн  в 2003 році, ВВП в 2003 році, а також  індекс цін 2000 року в порівнянні з 2003 роком.

Обсяг споживання електроенергії в грошовому еквіваленті був  розрахований шляхом добутку ціни 1кВт  на об’єм споживання. Потім ці значення були приведені до доларів 2000 року як це вимагає завдання. На основі цих данних були розраховані витрати на душу населення.

В таблиці 1.1 представлені початкові данні,  а також необхідні для аналізу розрахунки.

 

 

 

 

 

Таблиця 1.1 Початкові данні

Країна	Ціна за 1 кВт енергії  в 2003 році (дол)	Споживання енергії в 2003 році (млрд кВт-год)	Індекс цін	Населення в 2003 році (млн)	ВВП в 2003 році (млрд )
Australia	0,082	199,97	182,48	19,16	431,17
Austria	0,152	60,67	141,99	8,11	199,00
Canada	0,061	523,81	107,74	31,28	767,14
Taiwan	0,074	154,34	99,33	22,15	323,30
Czech Republic	0,085	56,51	111,66	10,27	59,89
Denmark	0,256	31,93	106,29	5,34	162,23
Finland	0,112	79,29	105,97	5,17	126,82
France	0,127	431,97	105,98	59,41	1382,76
Germany	0,176	521,86	105,88	82,19	1925,87
Greece	0,096	52,96	106,94	10,56	126,95
Hungary	0,102	36,96	106,67	10,14	52,28
India	0,040	558,53	103,85	1 002,71	543,69
Ireland	0,146	22,98	107,03	3,79	110,74
Italy	0,186	300,41	105,12	57,75	1100,71
Japan	0,186	913,97	122,90	126,70	4803,20
Kazakhstan	0,026	53,72	156,19	15,03	24,92
Korea, South	0,074	302,92	102,09	47,35	585,92
Luxembourg	0,143	6,13	106,49	0,44	20,99
Mexico	0,091	191,57	116,79	99,93	593,55
Netherlands	0,194	0,94	105,83	16,22	374,74
New Zealand	0,095	37,05	107,64	3,82	58,47
Norway	0,089	106,07	109,17	4,49	174,00
Poland	0,095	121,12	103,90	38,65	177,09
Portugal	0,156	44,22	104,38	10,34	107,49
Romania	0,073	46,67	111,07	22,45	43,30
Slovakia	0,104	23,12	110,04	5,40	22,93
South Africa	0,048	198,84	80,46	44,07	145,34
Spain	0,137	229,27	111,03	40,02	635,36
Switzerland	0,133	55,56	132,01	7,30	248,54
Thailand	0,064	104,81	92,94	61,86	141,34
Turkey	0,106	125,14	117,01	65,67	210,50
United Kingdom	0,116	349,23	108,15	59,52	1530,27
United States	0,087	3 657,52	109,06	282,34	10320,60

 

2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

 

Таблиця 2.1 Розраховані показники

Країна	Витрати на електроенергію в 2003 році (млрд)	Витрати, приведені до рівня цін 2000 року (млрд)	Споживання енергії на д.н. (дол)	ВВП на д.н (дол)
Australia	16,46	30,03	1567,042	41054,71
Austria	9,24	13,12	1617,028	34826,74
Canada	32,16	34,65	1107,811	26423,86
Taiwan	11,41	11,33	511,4708	14497,85
Czech Republic	4,78	5,34	519,7224	6511,42
Denmark	8,19	8,70	1630,164	32305,72
Finland	8,86	9,39	1817,493	26000,02
France	54,69	57,96	975,518	24665,62
Germany	91,64	97,02	1180,503	24809,24
Greece	5,08	5,43	514,379	12857,81
Hungary	3,77	4,02	396,689	5500,95
India	22,40	23,26	23,19581	563,08
Ireland	3,36	3,59	947,6968	31257,21
Italy	56,00	58,87	1019,381	20037,83
Japan	169,72	208,59	1646,332	46591,49
Kazakhstan	1,42	2,22	147,3645	2588,88
Korea, South	22,39	22,85	482,6368	12632,43
Luxembourg	0,87	0,93	2123,074	50950,52
Mexico	17,43	20,36	203,7548	6937,42
Netherlands	0,18	0,19	11,91591	24446,14
New Zealand	3,51	3,78	989,7522	16475,05
Norway	9,46	10,33	2299,224	42285,45
Poland	11,46	11,91	308,0065	4760,32
Portugal	6,91	7,21	697,6169	10856,02
Romania	3,40	3,78	168,311	2142,23
Slovakia	2,40	2,64	489,4249	4672,74
South Africa	9,62	7,74	175,7192	2653,73
Spain	31,48	34,95	873,4458	17629,31
Switzerland	7,41	9,78	1339,534	44951,08
Thailand	6,73	6,25	101,0928	2123,39
Turkey	13,21	15,46	235,4802	3750,96
United Kingdom	40,44	43,74	734,7968	27804,19
United States	318,94	347,82	1231,937	39864,88

Отримані значення витрат енергії та ВВП на душу населення  представимо у вигляді графіку.

Малюнок 2.1. Витрати на енергію для країн з різним доходом.

Як видно на графіку, чим  більше ВВП на душу населення, тим  більше витрати на споживання енергії  на душу населення. Саме цю гіпотезу необхідно  перевірити, а саме: якщо поведінка  споживача описується моделлю Кобба - Дугласа, то середні витрати на придбання певної категорії товарів повинні бути прямо пропорційні середньому доходу на душу населення.

В якості регресорів візьмемо степені до третього порядку включно  та оцінемо рівняння регресії:

 (10)

Де  e_j – витрати на електроенергію на душу населення в країні j; 

I_j  - дохід на душу населення в країні j;

I_j ⁿ – інші регресори;

Отже, якщо наша гіпотеза справедлива, то ніодна зі змінних окрім I_j  не повинна впливати на споживання енергії.  В рамках моделі (1), це означа наступне:

1. Коефіцієнт α при I_j повинен бути додатнім та статистично значущим;
2. Всі інші коефіцієнти повинні бути близькі до нуля і статистично не значимі. 

Для оцінки моделі використано  метод найменших квадратів.  Оцінка параметрів МНК буде мати вигляд

(11)

Якщо випадкове збудження  ε являється білим шумом, то теорема  Гауса-Маркова стверджує, що оцінка МНК є найкращою незміщеною лінійною оцінкою невідомого вектора параметрів β.

Вектор залишків регресії дорівнює

                        (12)

Теоретична коваріаційна матриця вектора коефіцієнтів β  дорівнює

 ₍₁₃₎

де – дисперсія випадкового збудження. Нажаль, справедливе значення нам невідоме. Найкращою незміщеною оцінкою параметра є величина s²:

  ₍₁₄₎ 

s² = 66390;

Тоді вектор стандартних  похибок оцінок β коефіцієнтів регресії буде визначатися по формулі:

(15)

Тепер проведемо перевірку  за допомогою критерія Ст’юдента. Для  цього розрахуємо межі інтервалу:

(16)

Як бачимо коефіцієнт α при  I_j є додатній та статистично значущий, так як інтервал не охоплює нуль, з вірогідністю 0,95. Всі інші коефіцієнти є статистично не значимі.

Для перевірки узгодженості моделі  (2) з початковими данними оцінемо коефіцієнт детермінації

    (17)

R² = 0.837. тож можна вважати, що модель є узгодженою, так як коефіцієнт детермінації більше ніж 0,75.

Грунтуючись на отриманих  розрахунках і на висновці, що модель є адекватною можна побудувати графік залежності витрат на електроенергію від розміру ВВП на душу населення.

Малюнок 2.2 Залежність між розміром доходу та витратами на споживання електроенергії.

 

ВИСНОВОК

 

Використовуючи статистичні данні, вчені провели дослідження, в результаті якого виявилося, що споживання тієї чи іншої групи товарів росте пропорційно зростанню доходу. Дійсно, збільшивши об'єм доходу отримаємо кратне збільшення споживання. Цей ефект в тому або іншому ступені характерний і для функцій інших економічних об'єктів, наприклад виробництва.

В курсовій роботі була висунута гіпотеза, що зміна витрати на споживання електроенергії прямопропорційна зміні доходів населення, якщо уподобання споживачів описуються функцією корисності Кобба-Дугласа.

В ході виконання роботи були підготовлені відповідні статистичні  данні, на перевірці яких грунтується  виконання роботи. Був розрахований ВВП на душу населення та споживання енергії в доларах США за 2003 рік. Потім була побудована регресійна модель залежності видатків на електроенергію від доходу. Після цього були оцінені параметри моделі, а також її відповідність статистичним данним.

На підставі аналізу коефіцієнтів рівняння регресії за допомогою критерія Ст’юдента можна прийти до висновку, що гіпотеза щодо лінійності моделі була доведена. Значущим був лише індекс біля I_j. Також гіпотеза відповідає статистичним данним про що свідчитьзначення коефіцієнту детермінації. Також був побудуваний графік залежності між доходом на душу населення і споживанням електроенергії на отриманих значеннях моделі.

 

СПИСОК  ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

 

1. Економіко-математичні методи і прикладні моделі - Федосеев В. В. - Навчальний посібник 1999. – 390
2. Основы экономического и социального прогнозирования. Учебное пособие для вузов (Под ред. В.Н. Мосина, Д.М. Крука) – М.: Высшая школа, 1985. – 185с
3. Моделі і методи соціально-економічного прогнозування: Підручник/ Геєць В.М., Клебанова Т.С. та ін. – Х.: ВД „ІНЖЕК”, 2005. – 396с.
4. СТВУЗ-ХПІ-3.01-2006 Текстові документи у сфері навчального процесу. Загальні вимоги до виконання.
5. Басовский Л.Е. Прогнозирование и планирование в условиях рынка: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003. – 260с.
6. Грабовецький Б.Є. Економічне прогнозування та планування: Навчальний посібник. – Київ, 2003. – 188с.