N-мерные векторные пространства

Министерство образования  и науки РФ

Политехнический институт (филиал) Федерального Государственного Автономного  образовательного учреждения высшего  профессионального образования 

«Северо-Восточный Федеральный  университет имени М.К.Аммосова»

в г. Мирном

Факультет гуманитарных и  естественных наук

Кафедра фундаментальной  и прикладной математики

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине аналитическая геометрия (доп. главы)

на тему

«N-мерные векторные пространства. Базис. Линейные операции

над векторами. Линейная зависимость  и независимость векторов. »

 

 

 

 

 

 

                                                                                Выполнила: студент гр.МД-12

Ксенофонтова Э.Н.

Проверила: старший преподаватель

                                                                                              Лукина Г.А.

 

Мирный 2013 г.

ВЕДЕНИЕ

Из курса аналитической геометрии  известно, что и в плоскости, и  в трехмерном пространстве можно  ввести понятие скалярного умножения  векторов. Оно определяется при помощи длин векторов и угла между ними, но, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены через скалярные произведения. В работе описывается, как  в любом n-мерном линейном пространстве понятие скалярного умножения, определенное аксиоматически, открывает большой раздел   - евклидовы пространства.    В работе описаны теоретические сведения (глава 1) и показаны решения избранных задач (глава 2) по теме.

С помощью линейного (аффинного) пространства  определенного как множество  элементов (векторов) с заданными  в нем операциями умножения на числа и сложения можно сформулировать, что такое прямая, плоскость, число  измерений пространства, что такое  параллельные прямые и т.д. Однако этих понятий недостаточно, чтобы охватить все многообразие фактов, составляющих содержание так называемой евклидовой геометрии. Введение скалярного произведения значительно расширяет эти возможности. Именно это понятие является в данной работе основным.  Оно определено аксиоматически.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нам уже встречалось понятие  n-мерного линейного пространства. Оно начиналось с определения n-мерного вектора как упорядоченной системы п чисел. Для n-мерных векторов были введены затем операции сложения и умножения на число, что и привело к понятию n-мерного пространства. Простейшими примерами векторных пространств являются совокупности векторов-отрезков, выходящих из начала координат на плоскости или в трёхмерном пространстве. Однако, встречаясь с этими примерами в курсе геометрии, мы не всегда считаем необходимым задавать векторы их компонентами в некоторой фиксированной системе координат, так как и сложение векторов и их умножение на скаляр определяются геометрически. независимо от выбора системы координат. А именно, сложение векторов по правилу параллелограмма, а умножение вектора на число а означает растяжение вектора в а раз. Целесообразно и в общем случае дать «бескоордииатиое» определение векторного пространства, то есть определение, не требующее задания векторов упорядоченными системами чисел. В связи с этим дадим следующее определение:

множество R элементов x,y,z…называется векторным, или линейным пространством, если для любых двух его элементов х, у определена сумма и для каждого элемента  и каждого числа а определено произведение , причём выполнены следующие условия:

1.    для всех   ,
2. ( для всех ,
3. Существует такой (нулевой) элемент , что для всех элементов ,
4. Для каждого элемента существует такой элемент (-x), называющихся  противо-

положным   к x , что ,

5. для всех ,
6. для всех и любых чисел ,
7. для всех и любых чисел ,
8. для всех и любых чисел a.

Элементы векторного пространства называются векторами.

             В качестве примеров можно говорить о векторном пространстве многочленов степени не выше и, о векторном пространстве функций, непрерывных на данном отрезке, о векторном пространстве решений данной системы линейных однородных уравнений, наконец, о векторном пространстве строк, состоящих из п чисел.

                       

 

                               Простейшие свойства векторного пространства.

 

1. Единственность нуля:

Элементарное доказательство проводится от противного. Пусть в пространстве R имеется два нулевых элемента и _, так как для любых векторов из R имеем . и , то, в частности, справедливы равенства: и . Поэтому, поскольку . имеем .

2. Единственность противоположного элемента:

Доказательство - от противного. Пусть элемент x из пространства R имеет два противоположных элемента, у   и    z.      Следовательно, и

. Тогда   и   Поэтому .

3. Для каждого элемента  

Действительно, для каждого элемента х имеем

   Прибавив к левой и правой частям, получим. Итак. .

4. Для любого а и для

Действительно, . Прибавив к левой и правой частям ,имеем

5. Если произведение , то это возможно либо при ,

либо при :  

Пусть, например,.Тогда

 .

6. Для каждого элемента элемент является противоположным к :

Убедимся в этом. Следовательно , .

Разностью векторов x и у называется вектор .

Линеал.

Линейные операции над  элементами можно ввести в множества другой природы, постулируя необходимые свойства в форме аксиом. Такой подход представляется перспективным в том плане , что исследование ряда геометрических сводится к векторной алгебре.

Линейным пространством,  или линеалом , называют множество элементов произвольной природы , называемых векторами , для которого:

1. задано правило , по которому любым элементам сопоставляется  элемент , называемый их суммой и обозначаемый ;
2. задано правило , по которому каждому элементу  и любому вещественному числу  сопоставляется элемент ,называемый произведением на   и обозначаемый ;
3. заданные правила при любых    и любых вещественных числах подчинены  аксиомам:

1.   
2. (
3. Существует нулевой вектор , такой что
4. Для каждого существует     , что 

Следует отметить ,что в приведенном определении накладывается никаких ограничений на природу элементов множества L и конкретное задание   правил операций суммы и умножения на число .

Существует много различных линеалов. Для задания конкретного линеала надо задать множество L и операции сложения и умножения на число. Если в качестве векторов рассматривать направленные отрезки и традиционные линейные операции, то можно построить следующие линеалы: линеал - множество всех свободных векторов на прямой; линеал - множество всех свободных векторов на плоскости; линеал - множество всех свободных векторов в трехмерном пространстве; простейший линеал , состоящий из одного нулевого элемента 0.

Другим примером является линеал - множество упорядочных наборов вещественных чисел, где n –произвольное число, причем линейные операции водятся так:

 

                           

 

Линеал иногда называется координатным пространством.

Отметим , что все линеала , имеют бесконечное количество элементов. Поскольку элементы произвольных линеалов обычно называются векторами (из линейного пространства) , то сами линеалы – векторными пространствами , что напоминает всякий раз о необходимом обращения к сложившимся геометрическим представлениям , вытекающим из рассмотрения линейных векторов пространств   изучаемых в курсе аналитической геометрии.

В дальнейшем , во избежание недоразумений , где необходимо , векторы пространств будем называть геометрическими векторами и выделять стрелкой :   и т.д.

 

Линейная зависимость  и независимость.

Пусть L произвольный линеал , , -его элементы (векторы).

Элемент (вектор) , где - произвольные вещественные числа , называется линейной комбинацией элементов (векторов) В этом случае говорят , что элемент (вектор) разложен по элементам (векторам)

Элементы (векторы) называются линейно зависимы , если существуют такие вещественные числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля , что

Элементы  называются линейно независимы , если равенство возможно лишь в случае, когда вещественные числа одновременно равны нулю.

Отметим, что всякий не нулевой  элемент  можно рассматривать как линейно независимую систему, ибо равенство возможно лишь при условии .

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости является возможность  разложения по крайней мере одного из этих элементов по остальным.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость . пусть элементы линейно зависимы, что означает , причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля, например .

Тогда

 

т.е. элеент   может быть разложен по элементам т.е.

 

Тогда

 

что означает  линейную зависимость  элементов  , ибо        

 .

Теорема 2. Если хоты бы один из элементов нулевой , то эти элементы линейно зависимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , тогда

  
       ,

что и означает линейную зависимость указанных элементов.

Теорема 3. Если среди n элементов какие-либо n-1 элементов линейно зависимы , то и все n элементов линейно зависимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. пусть для определенности элементы линейно зависимы , т.е. существует числа , причем хотя бы одно из них отлично от нуля , такие что , а элемент произвольный. Указанное равенство сохранится , если добавить к обеим его частям элемент , причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля , что и означает линейную зависимость элементов

Подчеркнем , что утверждение теоремы о линейной зависимости сохраняется силу, если среди указанных n элементов предварительно установлена линейная зависимость не n-1 элемента, а любого другого , меньшего n-1, числа элементов.

Следствие. Если система элементов линейно независима , то и любое непустое подмножество этой системы также линейно независимо.

Геометрический  смысл линейной зависимости и  независимости векторов на плоскости  и в трехмерном  пространстве.

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов линейного векторного пространства является их коллинеарность .

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Необходимость. Пусть векторы линейно зависимы, т.е. , причем хотя бы одно из чисел , отлично от 0. Пусть для определенности . Тогда и , т.е. векторы коллинеарны.

Достаточность.  Пусть  векторы  коллинеарны. Будем считать ,  что среди них нет нулевого вектора, ибо в противном случае (Теоремы1) эти векторы будут линейно зависимы. Если векторы ненулевые и коллинеарные , то векторы , как отмечалось ранее, представим в виду . тогда , что и требовалось доказать .

Следствие 1. Если векторы неколлинеарны , то они линейно независимы.

Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора.

Доказательство.  Действительно , в противном случае данные векторы были бы линейно зависимыми в силу теремы1.1.

Теорема 5. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов в линейном пространстве является их компланарность.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость . Пусть векторы    линейно зависимы, линейно зависимы , т.е. существует  вещественные числа такие что , причем хотя бы одно из них не равно нулю. Пусть Тогда , или .

 Векторы  коллинеарны соответственно векторам  , и их сумма , т.е. вектор , будет лежать в плоскости векторов . следователь-

но , векторы компланарны.

Достаточность. Пусть векторы комланарны. Будет считать, что среди них нет ни одной пары коллинеарных (и тем самым ни одного нулевого вектора) , ибо в противном случае в силу (теорем 2 и 3) три данных вектора будут линейно зависимыми.

Приведем векторы к общему началу О(рис1.)

                                                     Рис. 1

Проведем через точку  С прямую , параллельную вектору   и пересекающую прямую в точке В. Далее, параллельно вектору спроектируем точку С на прямую . Векторы но вектору , а также и коллинеарны. Тогда, в силу . Однако                        , откуда , что и щзгачает линейную зависимость векторов .

Следствие 1. Если векторы некомпланарны , то они линейно независимы в .

Следствие 2. Среди трех некомпланарных   векторов не может быть двух  коллинеарных.

Доказательство . Действительно, в противном случае указанные векторы очевидно были бы линейно зависимы.

Следствие 3.  Каковы бы ни были два неколлинеарных вектора на плоскости, всякий другой вектор , компланарный с и , может быть разложен по  векторам в виде .

Теорема 6. Любые четыре вектора линейного пространства линейно зависимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть    - произвольные векторы в пространстве. Будем считать , что среди этих векторов никакие три не являются комланарными , ибо в противном случае в силу теоремы 3.4 данные четыре вектора будут заведомо линейно зависимы.

Приведем все векторы к общему началу О(рис.2) и проведем через конец вектора плоскости , параллельные плоскостям , в которых лежат пары векторов и соответственно.

 Обозначим через А,В,С соответ-

Ственно точки пересечения указан-

ных плоскостей с прямыми О , О,

О.

   Векторы 

коллинеарны. Поэтому , . Однако , откуда , что и означает линейную зависимость векторов .

Следствие. Каковы бы ни были три некомланарных вектора пространства V³ , любой вектор пространства V³ может быть разложен по векторам   в виде  .

 Итак , подводя итоги , можно сделать следующие выводы:

• Всякие два вектора на прямой линейно зависимы;
• Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы;
• Всякие четыри и более вектора в трехмерном пространстве V³ линейно зависимы;
• Всякий нулевой вектор представляет собой линейно независимую систему , причем любой другой ненулевой вектор , коллинеарный  , может быть представлен через вектор  в виде ;
• Всякие два неколлинеарных вектора  на плоскости линейно независимы , причем любой третий вектор  ,  компланарный , может быть разложен по векторам  в виде ;
• Всякие три некомпланарных вектора   трехмерного пространства линейно независимы, причем любой четвертый вектор пространства V³ может быть разложен по векторам   в виде .

 

                                        Базис линеала.

Упорядоченный набор линейно  независимых элементов (векторов ) е₁,е₂,…,е_n   линеала  L называется базисом линеала , если для каждого элемента (вектора)   найдутся такие вещественные числа   _, что                 

                                    

Последнее равенство называется разложением элемента (вектора) x по базису е₁,е₂,…,е_n   .

На основании полученных в (Геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов на плоскости и в трехмерном  пространстве.) можем утверждать следующее:

• В векторном пространстве V¹ произвольный ненулевой вектор может быть взят в качестве  базисного ;
• В векторном пространстве V² порядочная пара неколлеарных  векторов образует базис;
• В векторном пространстве V³ упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис.

В пространстве    векторы (элементы)       ,                    , …, является линейно независимы , так как равенства нулевому элементу их линейной комбинации возможно лишь при условии, когда ,

Согласно определению  линейных операций в  любой вектор ,   ,линейно выражается через векторы   .

Таким образом, векторы  образуют базис пространства .

Отметим , что определении базиса порядок элементов существенен, поскольку , переставляя элементы базиса, мы получаем снова базис, но другой.

Числа    , фигурирующие в разложении элемента x линеала L по заданному базису   , называется  координатами вектора x относительно рассматриваемого базиса.

Теорема 7. Всякий элемент линеала L может быть единственным образом разложен по базису   , тем самым его координаты относительно заданного базиса определяется однозначно .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что для некоторого элемента x наряду с разложением     существует еще и другое  расположение . Почленно вычитая последнее равенство из предыдущего , получаем

                                    

Базисные элементы    линейно независимы , поэтому для всех имеем .

Теорема 8. При сложении элементов линеала L их координаты складываются , а при умножении элемента на вещественное число все его координаты умножаются на это число.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть элементы образуют базис в L , x и y – произвольное вещественное число и .

           Разложим x, y, s, p по базису:

, ,   , .

Используя аксиомы   линеала L , получаем

,

.

В силу единственности разложения по базису имеем  , ,

Теорема 9. Если каждый из элементов линеала L представим  в виду линейной комбинации n  линейно независимых элементов того же линеала , т.е.

, j=0,…,n,                (1)

то элементы линейно зависимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проведем методом математической индукции по .

Если  , то , , причем оба числа   отлично от нуля, ибо противном случае элементы линейно зависимы (один из элементов нулевой).

Умножим на , а - на и вычтем почленно.  Тогда . Последнее равенство при условии , означает линейную зависимость элементов y₀,  y_{1 .}

предположим , что теорема справедлива для n элементов. Докажем ее справедливость для элемента.

По индукционному предположению  имеем , что если каждый из n элементов линеала L представим в виде линейной комбинации линейно независимых элементов   того же линеала L , т.е. , то элементы линейно зависимы .

Не уменьшая общности , будем предполагать , что в равенстве (1) для всех   то утверждение теоремы следует из индукционного предположения.

Введем в рассмотрение вспомогательные элементы при

 

 

Каждый n указанных вспомогательных элементов является линейной комбинацией n-1 линейно независимых элементов   По индукционному предположению элементы     линейно зависимы, т.е. существует число , не равные нулю одновременно , такие что , т.е.

 

Отсюда следует соотношение 

 

Что означает линейную зависимость  элементов  так как хотя бы одно из чисел отлично от нуля .

Следствие. Любые элементов в пространстве линейно зависимы.

Доказательство.  Любой  из векторов

 

 

Пространства  можно разложить по базису этого пространства                в виде                       , А тогда по теореме 6 элементы линейно зависимы.

Размерность линеала .

Линеал Lназывают конечномерным (n-мерным), если в нем имеется независимая система , состоящая из n элементов, а всякое система , содержащая более n элементов, является линейно зависимой.

Число n называют размерностью линеала L и обозначают символом dim(L)=n.

Таким образом, размерность  пространства – это наибольшее число  его линейно независимых элементов.

Если линеал L является n-мерным , то его обычно обозначают символом .

Ясно, что  dim()=1, dim()=2, dim()=3.

Линеал , содержащий единственный элемент (нулевой), является нульмерным.

Линеал L называется бесконечномерным , если любого натурального числа N в нем найдется линейно независимая система, состоящая из N элементов.

Примером бесконечномерного линеала является линейное пространство непрерывных на заданном отрезке функций.

Теорема10. Для того чтобы линеал L был n-мерным, необходимо и достаточно , чтобы в нем существовал базис, состоящий из n элементов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если линеал является n-мерным , то в нем есть линейно независимая система    , состоящая из n элементов. Добавив к этой системе произвольный элемент получаем линейно зависимую систему    ,x , причем элемент x линейно выражается через элементы  . Тогда элементы образуют базис линеала L.

Достаточность.  Если линеал L имеет базис    , то любой из n+1 произвольных элементов из L представим в виде линейной комбинации базисных элементов , а тогда в силу теоремы9 рассматриваемая система из n+1 элемента линейна зависима.