Міністерство  освіти і науки  України

Мала академія наук України

Тернопільське відділення

Збаразька філія 
 

Секція  «Математика» 
 
 

Наближені розв‘язування рівнянь 
 
 
 

Виконав:

слухач  Тернопільського відділення МАН,

учень 11 класу 

Доброводівського  районного комунального

технічного  ліцею імені О. Смакули

Поталіцин П.Ю. 

Науковий  керівник:

Смакула Марія Миколаївна, вчитель-методист,

вчитель математики Доброводівського районного  комунального технічного

ліцею  ім. Ол. Смакули 
 
 
 
 

2010 
 

Зміст 

Вступ..............................................................................3

Розділ  І. Загальна характеристика роботи

1.1.     Актуальність теми.......................................................З

1.2.     Мета і завдання дослідження..........................................З

1.3.     Практичне значення роботи...........................................4

Розділ  II. Методи дослідження

2.1. Про  графічне і чисельне розв'язування  рівнянь....................5

2.2. Графічне  розв'язування рівнянь з одним  невідомим..............6

2.3. Графічне  розв'язування систем рівнянь  з двома невідомими.. 13

2.4. Відокремлення  коренів рівняння.....................................16

2.5. Метод  спроб...............................................................20

2.6. Метод  лінійної інтерполяції(метод хорд)...........................21

2.7. Метод  Ньютона(метод дотичних)....................................23

2.7. Метод  ітерації.............................................................26

Розділ  III. Практичне використання теми у шкільному курсі алгебри і початків аналізу.................................................28

Розділ  IV. Висновки.........................................................33

     Розділ  V. Список використаної літератури...........................35

 

      Вступ

     Математика як наука виникла в зв’язку з необхідністю розв’язання практичних задач: вимірів на місцевості, навігації, знаходженням площ земельних ділянок та з земельними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії, фізики, медицини, техніки і самої математики. Тому зараз математичне моделювання широко використовують у геофізиці, хімії, геології, біології, економіці, соціології, екології, психології та інших науках.

     Числове розв’язання прикладних задач завжди цікавило математиків. Аналіз складних математичних моделей потребував створення спеціальних, як правило числових або графічних методів розрахунку задач.

     Питання наближеного розв'язання рівнянь  мене зацікавило перш за все тому, що тут є широке поле для досліджень. В курсі середньої школи воно ніби проходить стороною. Я спробував, в міру своїх можливостей, проаналізувати методи графічного і чисельного розв'язання цих рівнянь. Особливу цікавість в мене викликав метод Ньютона. Якщо додати до цього ще прізвища Ейлера, Лобачевського, Гауса, Чебишева, то маємо свідчення того, що його розробкою займались великі уми математики. І тут є широке поле для подальшого дослідження.

     Більш детально я досліджував розв'язання рівнянь з одним невідомим.

Це рівняння типу . Конкретно розглянув його для розв'язування квадратного рівняння та кубічного . Цей же метод використовується для розв'язання тригонометричних рівнянь, логарифмічних та показникових рівнянь.

Наступним етапом мого дослідження було розв'язання рівнянь четвертого степеня з використанням графічного методу розв'язування системи рівнянь з двома невідомими, коли, побудувавши в одній системі координат графіки відповідних функцій, бачимо розв‘язки даної системи як точки перетину графіків даних  функцій.

     При дослідженні я не міг не звернути увагу на метод відокремлення коренів рівнянь, адже це використовується при вивченні теми «Застосування похідної» в шкільному курсі математики.

     Щодо  методу хорд та методу дотичних, то я досліджував вузько теоретично і думаю ширше на них зупинитися при дальшій роботі над даною темою. Найбільшу цікавість в мене викликає метод Ньютона і його використання при розв'язуванні задач не тільки чисто математичних.

     При поглибленому вивченні алгебри і початків аналізу (тема «Тригонометричні функції») розв'язуємо вправи такого типу:

     Знайти  наближено дійсні корені рівнянь виду:

      ;  ;   .

Ці рівняння розв'язую вводячи дві функції: одна з них тригонометрична, а друга - лінійна. Побудувавши графіки цих функцій в одній системі координат, отримуємо точки їх перетину, які й будуть розв'язками відповідних рівнянь.

     При розв'язанні рівнянь такого типу інколи отримуємо точну кількість коренів, але в більшості випадків - це нескінченна кількість коренів, тому що тригонометричні функції періодичні і я створював формули для визначення коренів відповідного рівняння.

     Математичні моделі – це, як правило, різноманітні рівняння, що є записами законів природи. Одне і теж представлення математичної моделі, яка описується рівнянням виду  , описує і радіоактивний розпад речовини, і зміну атмосферного тиску зі зміною висоти над земною поверхнею, і охолодження тіла внаслідок конвективного теплообміну з навколишнім середовищем, і зміну струму в електричному колі з індуктивністю при розмиканні, і зростання колонії живих організмів, що перебувають у сприятливих умовах, тощо.  
 

     1. Про графічне і чисельне розв’язування рівнянь

       Раціональні корені лінійних рівнянь завжди можна виразити через їх коефіцієнти. Для всіх інших алгебраїчних рівнянь процес точного розв’язування їх зрештою зводиться до розв’язування деяких двочленних рівнянь. При цьому корені рівняння визначаються через його коефіцієнти з допомогою радикалів.

     Для трансцендентних рівнянь немає  загальних методів точного розв’язування  їх. За допомогою елементарних функцій корені цих рівнянь можна виразити через параметри, що входять у них, лише в окремих, досить обмежених частинних випадках.

     Наближенні  методи розв’язування рівнянь поділяються на графічні і чисельні.

     Графічні  методи розв’язування рівнянь не дають високої точності знаходження  коренів рівняння. Звичайно з їх допомогою можна дістати лише грубі наближення коренів. Іноді зручно буває графічно визначити кількість коренів, а в деяких можна довести, що рівняння не має розв’язків.

     Графічно  знайдене значення кореня іноді корисно  взяти як перше наближення його, яке далі можна уточнити методами чисельного розв’язування рівнянь.

     Чисельні  методи розв’язування рівнянь у  значній мірі універсальні. З допомогою  певного методу можна розв’язати рівняння різних типів. Вони придатні як для алгебраїчних, так і трансцендентних рівнянь.

     Із  великої різноманітності чисельних  методів розв’язування рівнянь далі розглянемо тільки деякі найпростіші з них. При цьому ми обмежимося визначенням дійсних коренів. У найпростіших випадках чисельне розв’язування рівнянь складається з двох етапів.

     Спочатку  відокремлюємо корені, тобто знаходимо  досить вузькі відрізки області визначення рівняння, на кожному з яких знаходиться лише один корінь даного рівняння.

     Кінці цих відрізків можна розглядати як перші наближення шуканих коренів. Ліві кінці відрізків є наближенням  коренів з недостачею, а праві  – з надлишком.

     Наступний крок полягає у звуженні меж відрізків, що містять корені рівняння. Таке звуження відбувається доти, доки не будуть знайденні  розв’язки з потрібною точністю. Його можна робити різними методами. Для цього застосовуємо відповідний збіжний процес, з допомогою якого за відомим наближенням кореня називається краще точніше наближення його.

     У ідейному відношенні методи чисельного розв’язування рівнянь ні в якій мірі не поступається методам точного  розв’язання їх. Навпаки, вони мають  значно ширшу область застосування. Проте не слід нехтувати різними способами точного розв’язування рівнянь, оскільки у багатьох випадках такі способи значно простіші.

     2. Графічне розв’язування рівнянь з одним невідомим

     Нехай дано рівняння .

     Щоб графічно знайти корені цього рівняння, досить побудувати графік функції .

     Розглянемо  квадратне рівняння  . Графіком лівої частини є парабола, зсунута вздовж осей Ох і Оу так, що її віссю симетрії є пряма , а вершиною точка . Абсциси точок перетину цієї параболи з віссю Ох є коренями рівняння.

     Розглянемо  ще один метод графічного розв’язування  рівнянь.

     Нехай дане рівняння має вигляд: .

     При значеннях х, які є коренями цього рівняння, функції і мають однакові значення. Тому корені даного рівняння є абсциси точок перетину графіків функцій i

     Такий метод зручно застосовувати у тих випадках, коли доводиться розв’язувати кілька рівнянь, в яких, наприклад функція та сама, а графік функції неважко побудувати. При цьому для розв’язування багатьох рівнянь можна використати той самий графік і кожного разу на даному рисунку креслити графік відповідної функції  .

     Наприклад, всі квадратні рівняння можна  розв’язувати так. Рівняння можна завжди подати у вигляді .

     Будуємо параболу   і визначаємо абсциси точок перетину її з прямою у = , яку неважко побудувати.

     Ці  самі міркування можна застосувати  і для розв’язування деяких інших  рівнянь. Наприклад, графік можна використати для розв’язування багатьох рівнянь виду

     

     Робимо заміну  а t +b = х.

     Тоді  t рівняння набирає вигляду: ,                                   де , .

     Далі  визначаємо точки перетину косинусоїди  у = cos x  з прямою              у = тх+п і за знайденими значеннями х визначаємо шукані значення t.

     Так само можна розв'язувати і рівняння lg(at+b) = kt+l, 2^kt = кt+ l т.п.

     Розглянемо  тепер метод графічного розв'язування кубічних рівнянь.

     Для розв'язання рівняння виду визначаємо точки перетину кубічної параболи  у = х³  з прямою .

     Щоб розв'язати рівняння  t³ + а t² + bt + с = 0, в якому а≠0,                робимо заміну t=-ах.

     Тоді  отримаємо: —а³х³ + а³х² — аbх + с = 0, або х³ = х² + px + q,

     де , .

     Наближені значення х визначаємо, як абсциси точок перетину графіків функцій у = х³  та y= х² + рх +q даного рівняння. За формулою t= -ах визначаємо t.

     При цьому можна використовувати  той самий графік у = х³, а для побудови графіка у = x² + рх + q застосовувати шаблон параболи y =x².

     За  цим методом графічне розв'язування рівняння четвертого степеня зводиться  до графічного розв'язування спеціально утвореної системи двох рівнянь другого степеня.

     Розглянемо  тепер, деякі приклади.

     1.Розв'язати  графічно рівняння

     х² + 2^х = 2.

     Розв'язання. Записавши дане рівняння у вигляді

     2^х  = - х² + 2,

     будуємо графіки функцій у = 2^х і у= - х² +2 (рис. 1). 
 
 
 

       
 
 
 
 
 
 
 

     Рис. 1

     Ці  графіки перетинаються в двох точках A і B, абсциси яких

        i  є шуканими коренями даного рівняння. 

     2. Розв'язати графічно рівняння

     z³ + 2 z ² -4 z -6 = 0.

     Розв'язання. Робимо заміну z = -2x.

     Тоді  рівняння набере вигляду   -8х³ + 8х² + 8х- 6 = 0, або х³ = х² + x- .

     Виділимо  у правій частині останнього рівняння квадрат лінійної функції, дістанемо: .

     Будуємо графіки функцій у=х³ і  . Ці графіки перетинаються у трьох точках А, В і С (рис. 2).

 
 
 

     Рис 2 
 
 
 
 
 

     Шукані корені рівняння такі: ; ; .

     Враховуючи  зроблену заміну z=-2х,  знаходимо корені даного рівняння ;   ;   .

     3. Розв'язати графічно рівняння  х³ - х² – 2x +1=0

     Розв'язання. Оскільки х = 0 не є коренем даного рівняння, то воно еквівалентне  рівнянню  .

     Дальше  розв'язування рівняння полягає у  знаходженні  абсцис точок перетину  параболи у = х² -х -2 з гіперболою у = (рис. 3).

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рис. 3 

     Шукані  корені такі:  ; ; . 

     4. Скільки коренів має рівняння  ?

     Розв'язання. Щоб знайти кількість коренів даного рівняння, досить визначити, в скількох точках перетинаються графіки функцій у= | 2 соs х | і . Будуємо графіки функцій у=|2 соs х| і (рис. 4).

     Графік  у= | 2 соs х | знаходиться у смузі між прямими у = 0 і   у= 2. Визначимо, в яких точках пряма  перетинає межі цієї смуги.  
 
 

       

       
 
 
 

     Якщо  у = 0, то з рівняння ) дістаємо: , а якщо у = 2, то x = 40 π .

     Отже, пряма перетинає пряму y = 0 у точці , а пряму y = 2 — у точці В (40 π ; 2). Обидві ці  точки належать графіку                у = | 2 соs х |.

     Тому  пряма  )  перетинає 41 арку графіка у = | 2соs х |. При цьому кожна арка перетинається у двох точках. Отже, дане рівняння  має 82 корені.

     5. Скільки коренів має рівняння поза   проміжком   ?

      Розв'язання. Робимо заміну . Дістанемо рівняння: . 
 
 
 
 
 
 

     За  умовою розглядаємо корені, що задовольняють нерівність , звідки  . Тобто   - 4 < x < 0  i  0 < x < 4.

     Оскільки при   -4 < х < 0   і   0 < x < 4  графіки ; і перетинаються у чотирьох точках (рис. 5), то рівняння у цих проміжках має 4 корені. Тому і дане рівняння поза проміжком також має 4 корені. 

     6.Скільки коренів має рівняння 

     2^-│t│ = │2 -│t││ 
 
 

       
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рис. 6 

     Розв'язання. Робимо заміну: . Дістанемо рівняння

     2^x = │x + 2│.

     Оскільки  х = -│t│ ≤ 0, то далі визначаємо  кількість лише від’ємних коренів рівняння  2^x = │х + 2│ .

     Як  видно з рис.6, рівняння має два  від’ємні корені. Тому дане рівняння має 4 корені. 
 

     3. Графічне розв’язування систем  рівнянь з двома невідомими

 

     Розглянемо  систему двох рівнянь

       з двома невідомими х і у.

     Нехай графіки рівнянь цієї системи  перетинаються у точках А₁ (х₁;у₁), …, А_к(х_к ;у_к). Оскільки ці точки належать обом графікам, то їх координати задовольняють обидва рівняння системи. Тому пари координат є розв’язками даної системи рівнянь.

     Отже, графічне розв’язування системи  двох рівнянь з двома невідомими полягає у визначенні координат  точок перетину графіків рівнянь  цієї системи.

     У найпростішому випадку це розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими

      .

     Прямолінійні  графіки рівнянь можуть перетинатися в одній точці, збігатися і  бути паралельними. У першому випадку система має єдиний розв’язок, у другому випадку – нескінченну множину розв’язків і у третьому – зовсім не має розв’язків.

     При графічному розв’язуванні систем квадратних рівнянь визначаються точки перетину кривих другого порядку (конічних перерізів).

     Графічне  розв’язування системи не дає  високої точності визначення її розв’язків. Тому звичайно його застосовують для визначення кількості розв’язків системи, а також для знаходження перших наближень цих розв’язків, які далі можна уточнити за допомогою відповідних чисельних методів.

     Як  вже відомо, процес графічного розв’язування  рівняння з одним невідомим по суті зводиться до розв’язування найпростішої системи двох рівнянь з двома невідомими х і у.

     

     Іноді буває зручним розв’язування  рівняння з одним невідомим зводити  до розв’язування системи рівнянь більш загального виду

     

     На  цих міркуваннях ґрунтується  досить ефективний метод розв’язування  алгебраїчних рівнянь четвертого степеня. Розглянемо цей метод докладніше.

     Будь-яке  рівняння четвертого степеня

     z⁴ + a₁z³ + a₂z² + a₃z + a₄ = 0

     З допомогою заміни z = x + k і відповідного вибору числа k  можна звести до рівняння

                                      (1)

     Рівняння (1) перетворимо так:

      або

     

     Звідки, запроваджуючи такі позначення:

       , ,                    (2) 

     вводимо друге невідоме. Нехай х² = у. Тоді дістанемо систему рівнянь

                        (3)

     Перше з рівнянь системи (3) є рівнянням кола з центром у точці          О( α ; β ) і радіусом, що дорівнює r . Друге рівняння є рівнянням параболи. Координати центра і радіус кола визначається за формулами (2).

     Очевидно, шукані дійсні корені рівняння (1) є  абсциси точок перетину розглядуваних кола і параболи.

1. Розв‘зати графічно систему рівнянь .

     Розв’язання. Будуємо графіки рівнянь системи. Графіком першого рівняння є парабола, симетрична осі Оу, з вершиною у точці (0; - 1). Графіком другого рівняння є парабола, симетрична осі Ох, з вершиною у точці (0; 0).

     Ці  параболи перетинаються у двох точках А і В, координати яких дають такі розв’язки даної системи:

                               x₁ ≈ 0,37     y₁ ≈ - 0,86

                               x₂ ≈ 1,68     y₂ ≈ 1,82

       
 

       

       

2. Знайти дійсні корені рівняння

     

     Розв’язання. Дане рівняння перетворюємо так:

      або .

     Вводимо друге невідоме у = х² . Дістаємо систему рівнянь

     

     Будуємо графіки рівнянь цієї системи. Графіком першого рівняння є коло радіуса 3 з центром в точці О (2; -1); графіком другого рівняння є парабола. Ці графіки перетинаються у двох точках А і В абсциси яких є коренями даного рівняння .

                        х₁ ≈ - 0,64,   х₂≈ 1,39. 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рис 7

     4. Відокремлення коренів  рівняння

     Для чисельного розв’язування рівняння насамперед треба відокремити його корені, тобто знайти такі відрізки, на кожному з яких дане рівняння має єдиний корінь.

     Відокремлення коренів ґрунтується на такій  теоремі: якщо функція неперервна на відрізку а ≤ х ≤ b  і на кінцях цього відрізка набуває значень, що мають різні знаки, то всередині цього відрізка існує принаймні один корінь функції.

     Геометричний  смисл цієї теореми очевидний: неперервна крива, що проходить з одного боку від осі Ох на інший, перетинає вісь Ох.

     Сформульована теорема є критерієм, який дає  змогу твердити, що на відрізку а  ≤ х ≤ b рівняння має корінь. Проте цей критерій не забезпечує єдиність кореня на цьому відрізку, оскільки функція , що задовольняє умови теореми, може мати кілька коренів на даному відрізку.

     Щоб функція  для якої справджуються умови розглянутої теореми, мали на відрізку а ≤ х ≤ b лише один корінь, достатньою є умова монотонності функції на цьому відрізку.

     Отже, якщо функція неперервна і монотонна  на відрізку а ≤ х ≤ b і на кінцях цього відрізка набуває значення, що мають різні знаки, то в середині цього відрізка вони мають один корінь.