Надежность технических систем

1 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА полной информации об износах детали

1.1 Составление сводной таблицы информации в порядке возрастания показателя надёжности (таблица 1.1.1)

 

Таблица 1 Сводная таблица информации об износе внутренней поверхности под ведущий вал шестерни (50-1701198) II ступени редуктора МТЗ-82, мм

№ детали	Размер, мм		№ детали	Размер, мм		№ детали	Размер, мм		№ детали	Размер, мм		№ детали	Размер, мм
1	36,10		12	36,18		23	36,26		34	36,34		45	36,39
2	36,10		13	36,19		24	36,26		35	36,34		46	36,40
3	36,10		14	36,20		25	36,27		36	36,35		47	36,40
4	36,10		15	36,21		26	36,28		37	36,36		48	36,42
5	36,10		16	36,22		27	36,29		38	36,36		49	36,44
6	36,12		17	36,23		28	36,30		39	36,36		50	36,44
7	36,13		18	36,23		29	36,30		40	36,37		51	36,45
8	36,14		19	36,24		30	36,31		41	36,37		52	36,46
9	36,15		20	36,24		31	36,32		42	36,38		53	36,46
10	36,16		21	36,25		32	36,33		43	36,38		54	36,48
11	36,17		22	36,25		33	36,34		44	36,38

 

 

1.2 Составление статистического ряда исходной информации

 

Статистический ряд исходной информации составляется в том случае, когда  повторность информации . При статистический ряд не составляют.

В нашем случае повторность информации , следовательно, целесообразно составить статистический ряд. При этом информацию разбивают на равных интервалов. Число интервалов статистического ряда:

.

Полученный результат округляют до ближайшего целого числа. В нашем случае . Принимаем .

Длина интервала:

,

где  и – наибольшее и наименьшее значения показателя надёжности в сводной таблице информации.

За начало первого интервала  рекомендуют принимать наименьшее значение показателя надёжности.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1.2.1 Статистический ряд

Интервал, мм	36,10… 36,16	36,16… 36,22	36,22… 36,28	36,28… 36,34	36,34… 36,40	36,40… 36,46	36,46… 36,52
Опытная частота	9,5	6	10	8	12,5	6	2
Опытная вероятность	0,18	0,11	0,18	0,15	0,23	0,11	0,04
Накопленная опытная вероятность	0,18	0,29	0,47	0,62	0,85	0,96	1,00

Опытная вероятность:

,

где  – опытная частота в -м интервале статистического ряда.

Накопленную опытную вероятность  определяют суммированием опытных вероятностей интервалов статистического ряда.

 

1.3 Определение среднего значения надёжности и среднего квадратического отклонения

 

Среднее значение – важная характеристика показателя надёжности. По среднему значению планируют работу машин, составляют потребность в запасных частях, определяют объёмы ремонтных работ и т.д.

При наличии статистического  ряда среднее значение показателя надёжности:

,

где  – число интервалов в статистическом ряду;

 – значение середины  -го интервала;

 – опытная вероятность  -го интервала.

Характеристика рассеивания показателя надёжности – дисперсия или среднее  квадратическое отклонение, которое определяют при наличии статистического ряда по формуле:

.

 

 

1.4 Проверка информации на выпадающие точки

 

Информация по показателям надёжности, полученная в процессе испытаний или наблюдений в условиях рядовой эксплуатации, может содержать ошибочные точки, не соответствующие закону распределения случайной величины. Поэтому во время математической обработки информацию проверяют на выпадающие точки.

Грубую проверку информации на выпадающие точки проводят по правилу следующим образом. От полученного расчётным путём среднего значения показателя надёжности последовательно вычитают и прибавляют . Если крайние точки информации не выходят за пределы , то все точки информации считают действительными.

Границы достоверности информации:

нижняя  ;

верхняя .

Наименьший размер , а наибольший . Следовательно, эти точки информации действительны и должны быть учтены при дальнейших расчётах.

Более точно информацию на выпадающие точки проверяют по критерию Ирвина.

Фактическое значение критерия:

,

где  и – смежные точки информации.

При точку считают достоверной; при точку признают выпадающей и исключают из дальнейших расчётов.

Проверим, крайние точи информации об износе канавок:

наименьшая точка информации ;

наибольшая точка информации .

По приложению 1 [1] находим, что при повторности информации и доверительной вероятности  .

Первую и последнюю точки  следует признать достоверными, т.к. и .

 

1.5 Выполнение графического изображения опытного распределения показателя надёжности

 

По данным статистического ряда могут быть построены гистограмма, полигон и кривая накопленных опытных вероятностей, которые дают наглядное представление об опытном распределении показателя надёжности и позволяют решать ряд инженерных задач графическими способами.

Для построения гистограммы (рисунок 1.5.1) по оси абсцисс откладываем в определённом масштабе показатель надёжности , а по оси ординат – опытную вероятность .

Рисунок 1.5.1 Гистограмма накопленных опытных вероятностей

 

При построении полигона распределения (рисунок 1.5.2) по осям абсцисс и ординат откладываем те же значения, что и при построении гистограммы. Точки полигона распределения образуются пересечением ординаты, равной опытной вероятности интервала, и абсциссы равной середине этого интервала. Начальную и конечную точки полигона распределения приравнивают к абсциссам начала первого и конца последнего интервалов статистического ряда.

Рисунок 1.5.2 Полигон распределения износов канавок

 

С помощью гистограммы  и полигона распределения можно  определить, например, число деталей, которые достигли предельного состояния  в заданном интервале износа.

Для построения кривой накопленных  опытных вероятностей (рисунок 1.5.3) по оси абсцисс откладывают в определённом масштабе показатель надёжности , а по оси ординат – накопленную опытную вероятность . Точи кривой накопленных опытных вероятностей образуются пересечением ординаты, равной сумме вероятностей , и абсциссы конца данного интервала. Полученные точки соединяют прямыми линиями. Первую точку соединяют с началом первого интервала.

Рисунок 1.5.3 Кривая накопленных опытных вероятностей

 

Кривая накопленных опытных  вероятностей более удобна для решения  практических задач по сравнению  с гистограммой и полигоном распределения, т.к. в этом случае нет необходимости  определять площади, а все искомые  показатели находят по оси ординат.

С помощью этой же кривой можно найти число вышедших из строя деталей в любом интервале  износа.

 

1.6 Определение коэффициента вариации

 

Коэффициент вариации представляет собой  относительную безразмерную величину, характеризующую рассеивание  показателя надёжности. Коэффициент вариации:

,

где  – смещение рассеивания показателя надёжности – расстояние от начала координат до начала рассеивания случайной величины.

Смещение рассеивания при наличии  статистического ряда рассчитывают по формуле:

,

где  – начало первого интервала статистического ряда.

Тогда

 

1.7 Выбор теоретического закона распределения для выравнивания опытной информации

 

Для Выравнивания распределений показателей  надёжности широко используют закон  нормального распределения (ЗНР) и  закон распределения Вейбулла (ЗРВ).

В первом приближении теоретический  закон распределения выбирают по коэффициенту вариации. При выбирают ЗНР, при – ЗРВ. Если значение коэффициента вариации находится в интервале 0,30…0,50, то выбирают тот закон распределения (ЗНР или ЗРВ), который лучше совпадает с распределением опытной информации.

 

1.7.1 Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения

 

ЗНР характеризуется дифференциальной (функцией плотностей вероятностей) и  интегральной (функцией распределения) функциями. Отличительная особенность дифференциальной функции – симметричное рассеивание частных значений показателей надёжности относительно среднего значения.

Дифференциальную функцию описывают  уравнением:

,

где  – основание натурального логарифма ( ).

Если принять  и , то получим выражение для центрированной нормированной дифференциальной функции:

.

Центрированная нормированная  функция дана в приложении 2 [1].

Для определения дифференциальной функции через центрированную нормированную  функцию используют уравнение:

.

Кроме того:

.

Интегральная функция  или функция распределения:

.

При условии  и получим центрированную нормированную интегральную функцию:

.

Эта функция приведена в приложении 4 [1].

Для определения интегральной функции  через применяют уравнения:

,

.

Таблица 1.7.1.1 Значения дифференциальной и интегральной функций по интервалам статистического ряда при использовании ЗНР

Интервал, мм	36,10… 36,16	36,16… 36,22	36,22… 36,28	36,28… 36,34	36,34… 36,40	36,40… 36,46	36,46… 36,52
	0,08	0,14	0,20	0,21	0,17	0,10	0,04
	0,12	0,26	0,46	0,67	0,84	0,94	0,98

На основании полученных значений и могут быть построены графики дифференциальной (рисунок 1.7.1.1) и интегральной (рисунок 1.7.1.2) функций. Дифференциальная кривая заменяет полигон распределения, а интегральная – кривую накопленных опытных вероятностей.

По оси абсцисс дифференциальной и интегральной кривых откладывают  в определённом масштабе значения интервалов статистического ряда, а по оси  ординат – значения или . Точки на графике дифференциальной функции находят на пересечении абсцисс, равных серединам интервалов статистического ряда, и ординат, равных , а на графике интегральной функции – на пересечении абсцисс, равных концам интервалов статистического ряда, и ординат, равных .

Рисунок 1.7.1.1 График дифференциальной функции

 

Для определения числа деталей, пришедших в негодность в каком-то интервале износа, нужно площадь  под дифференциальной кривой, соответствующую  этому интервалу, отнести к общей  площади под дифференциальной кривой и полученное значение умножить на общее число испытываемых двигателей.

Рисунок 1.7.1.2 График интегральной функции (функции распределения)

 

Число деталей, в каком-либо интервале  износа, на графике интегральной функции определяют перемножением полученного значения по оси ординат на общее число двигателей.

С помощью дифференциальной или  интегральной функции можно определить число деталей пришедших в  негодность не только в интервалах статистического ряда, но и в любом интервале износа.

 

 

 

 

1.7.2 Использование для выравнивания распределения опытной информации закона распределения Вейбулла

 

Дифференциальную функцию определяют при законе распределения Вейбулла по уравнению:

,

где  и – параметры распределения Вейбулла.

Параметр  , а также и находим по приложению 5 [1] в зависимости от . , , , .

Параметр  рассчитывают по одному из уравнений:

 или  .

.

Дифференциальную функцию определяем по приложению 6 [1]. При этом используем уравнение:

.

Интегральная функция  или функция распределения закона Вейбулла:

.

Эту функцию определяем по приложению 7 [1]. При этом используем уравнение:

.

Таблица 1.7.2.1 Значения дифференциальной и интегральной функций по интервалам статистического ряда при использовании ЗРВ

Интервал, мм	36,10… 36,16	36,16… 36,22	36,22… 36,28	36,28… 36,34	36,34… 36,40	36,40… 36,46	36,46… 36,52
	0,10	0,18	0,21	0,19	0,14	0,09	0,05
	0,12	0,29	0,50	0,69	0,83	0,92	0,97

Рисунок 1.7.2.1 График дифференциальной функции

 

Для определения числа деталей, пришедших в негодность в каком-то интервале износа, нужно площадь под дифференциальной кривой, соответствующую этому интервалу, отнести к общей площади под дифференциальной кривой и полученное значение умножить на общее число испытываемых двигателей.

Рисунок 1.7.2.2 График интегральной функции (функции распределения)

 

С помощью уравнений закона распределения  Вейбулла можно найти число пришедших  в негодное состояние деталей  не только в каждом интервале статистического  ряда, но и в любом интервале износа. Находится аналогично закону нормального распределения.

 

1.8 Оценка совпадения опытного и теоретического законов распределения показателей надёжности по критерию согласия

 

В процессе оценки совпадения определяют степень совпадения или расхождения опытной вероятности и дифференциальной функции или же накопленной опытной вероятности и интегральной функции в интервалах статистического ряда. Для определения совпадения или расхождения выбирают различные критерии: сумму квадратов отклонения дифференциальной функции от опытной вероятности, наибольшее или суммарное отклонение кривой накопленных опытных вероятностей от интегральной кривой теоретического закона распределения и т.д.

При обработке информации по показателям  надёжности наиболее часто применяют  критерий согласия Пирсона , определяемый по уравнению:

,

где  – число интервалов укрупнённого статистического ряда;

 – опытная частота в  -м интервале статистического ряда;

 – теоретическая частота  в  -м интервале статистического ряда.

Теоретическая частота:

,

где  и – интегральные функции -го и -го интервалов статистического ряда.

Для определения  строят укрупнённый статистический ряд, соблюдая условие: , . При этом допускается объединение соседних интервалов, в которых .

В нашем статистическом ряде , , поэтому объединяем 6, 7 интервалы.

Таблица 1.8.1 Укрупнённый статистический ряд

Интервал, мм	36,10… 36,16	36,16… 36,22	36,22… 36,28	36,28… 36,34	36,34… 36,40	36,40… 36,52
	9,5	6	10	8	12,5	8
При законе нормального распределения
	0,12	0,26	0,46	0,67	0,84	0,98
	6,48	7,56	10,8	11,34	9,18	7,56
При законе распределения Вейбулла
	0,12	0,29	0,50	0,69	0,83	0,97
	6,48	9,18	11,34	10,26	7,56	7,56

Критерий согласия Пирсона:

по ЗНР:

,

по ЗРВ:

.

Пользуясь критерием согласия по приложению 8 [1] определяют вероятность опытных и теоретических распределений. Для входа в таблицу определяют номер строки:

,

где  – число интервалов в укрупнённом статистическом ряду;

 – число обязательных связей.

Для закона нормального распределения  и закона Вейбулла число обязательных связей равно трём: , , ; , , .

.

Вероятность совпадения при ЗНР – , а при ЗРВ – .

 

1.9 Определение доверительных границ рассеивания одиночного и среднего значений показателя надёжности

 

Для определения доверительных  границ рассеивания одиночного значения надёжности при ЗНР вначале находят абсолютную ошибку :

,

где  – коэффициент Стьюдента приложение 9 [1].

.

Нижняя доверительная  граница:

,

.

Верхняя доверительная граница:

,

.

Доверительный интервал:

,

.

Среднее квадратическое отклонение рассеивания среднего значения показателя надёжности:

,

.

Нижняя доверительная  граница среднего значения показателя надёжности:

,

.

Верхняя доверительная граница  среднего значения показателя надёжности:

,

.

Доверительный  интервал среднего значения показателя надёжности:

,

.

 

1.10 Определение абсолютной и относительной предельной ошибок переноса характеристик показателя надёжности

 

Наибольшая абсолютная ошибка переноса опытных характеристик показателя надёжности при заданной доверительной вероятности равна по значению в обе стороны от среднего значения показателя надёжности.

 Относительная предельная ошибка:

.