Надежность трубобуров

1. Анализ  статистического материала.

 

               Таблица 1: Рабочая таблица

 

t_i –наработка турбобура до отказа

n^*_i-частота

 

1. Построение вариационного ряда

Строим путем ранжирования

 Вариационный ряд: 1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,6,6,6,6,7,8,8,9,9,10,10,10_; 11,12,12,13,14,14,16,16,17,17,17,17,18,18,19,19,19,21,21,21,21,22,23,24,24,24,24,25, 25,25,27,27,28,28,29,29,30,30,30,31,31,31,31,33,33,33,33,33,34,34,35,35,35,36,36,39, 40,41,41,42,43,43,43,43,44,44,44,45,45,46,46,46,47,49,49,49,50,50,50,51,51,51,52,54, 55,55,56,56,57,57,58,58,59,60,62,62,62,62,63,63,64,65,66,66,66,67,67,70,70,71,71,72, 73,73,74,75,75,76,76,76,76,76,77,78,78,78,78,78,78,79,80,81,82,84,84,85,87,89,91,93, 93,96,97,97,97,98,99,99,102,102,102,102,102,107,107,110,110,113,115,116,117,117, 119,124,124,124,127. 

n = 193

 

     1.2Построение статистического ряда:

Статистический  материал представлен в виде статистического  ряда для облегчения расчетов

при числе n>25. 

Число интервалов ряда принимается равным: 

 

Принимаем к=13, где n – число случайных величин t, к – число интервалов.

Величину одного интервала определим по формуле: 

9,69  

     

Принимаем ∆t=10, где ∆t – величина одного интервала, t_max и t_min – максимальное и минимальное значение случайной величины соответственно. 

    1.3Посроение статического интервального ряда :

Для составления  статистического ряда для каждого  интервала подсчитаем: 

n_i^* – количество значений случайной величины в i-ом интервале (частота);

p_i^* – частость в i-ом интервале;

F*(t) – значение интегральной функции распределения;

f*(t) – эмпирическая плотность распределения;

P*(t) – обратная интегральная функция распределения;

λ*(t) – значение функции интенсивности. 
 

Определим количество значений случайной величины в i-ом интервале n_i: 

Таблица №2

 

Так как  n₁₃<5 , то объединяем n₁₂ и n₁₃ в один интервал:

 n₁₂=11[110-130] 
 

Таблица №3 с  обработанными данными 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Определим частость в i-ом интервале: 

 p_i – частость в i-ом интервале;

          

 
 

 

 2. Расчет  параметров статистического распределения

2.1 Для оценки  математического ожидания используют среднее арифметическое значение случайной величины. 

     где    - математического ожидания;

                           t_ic - значение середины i-го интервала;

                           p_i - опытная вероятность i-го интервала. 
 

[ч]. 

2.2 Дисперсия характеризует разбросанность значений случайной величины около её математического ожидания.

Определим значение дисперсии по формуле: 

    где D - дисперсия ;      

 
 
 

2.3 Дисперсия  имеет размерность квадрата случайной величины, поэтому, вычислим среднеквадратичное отклонение по формуле: 

   - среднеквадратичное отклонение     

[ч]. 

2.4 Определим  значение коэффициента вариации  по формуле: 

       V - коэффициент вариации ;  

 

 

    3. Оценка резко выделяющихся величин.

Статистическая  информация может содержать резко  выделяющиеся значения, которые

оказывают влияние  на оценку показателей надежности, поэтому все резко выделяющиеся

значения, которые  оказывают такое влияние, должны быть проанализированы и исключены

из рассмотрения, если они являются следствием грубых ошибок наблюдения.

Приближенно, оценку информации на выпадающие точки проводят по правилу « ».

Если значения случайной величины не выходят за пределы  , то эти точки

информации считают  действительными. 

3.1 Проверка по  правилу « ».                                    

 

Следовательно по правилу « »  точки входят в интервалы и их считаем действительными. 

3.2 Проверка по  критерию Романовского.

Рассматриваем и без учета сомнительных членов ряда распределения . Если ,

то с выбранной  вероятностью данные члены можно исключить из рассмотрения..

Сомнительные  члены: 124, 127. 

n=189 

 

         

 Принимаем к=13, где n – число случайных величин t.

Величину одного интервала определим по формуле:                      

                    

 

Принимаем ∆t=10, где t_max и t_min – максимальное и минимальное значение случайной величины соответственно.

Для удобства опять  определяем значения случайной величины в i-ом интервале n_i и пересчитаем и без учета сомнительных членов ряда. 

Таблица №5 - Значения случайной величины в i-ом интервале

Определим математическое ожидание: 

                      

 

Определим среднеквадратичное отклонение: 

                       

 

Определим значение дисперсии: 

                   

 

Определим значение коэффициента вариации: 

               

 

Проверим член 124 и 127 по критерию Романовского по формуле: 

            

Проверяем t=127: 

                Проверяем t=124: 

 
 

Следовательно член 124 и 127 исключаем из дальнейшего рассмотрения. 

3.3 Проверка резко выделяющихся величин по критерию Ирвина по формуле: 

                         

      

     Следовательно,  анализируемые величины оставляем при дальнейшем рассмотрении.

 

3.4 Проверка резко выделяющихся величин по критерию Груббса по формуле: 

                            

     

     Так как для обеих точек при n=189 заведомо (таблица 5 приложения), то оставляем крайние точки в рассматриваемой совокупности.

      Таблица №7 – расчетная таблица

 
 

Определим частность в i-ом интервале: 

                 

                                

 

     4 Построение графиков статистических функций(гистограмм)

4.1Определим значение интегральной функции распределения: 

              

 
 

4.2Определим эмпирическую плотность распределения: 

              

    

 

4.3Определим значение обратной интегральной функции распределения: 

             

 
 

4.4Определим значение функции интенсивности: 

             

 

Сведем полученные данные в таблицу:

Таблица №8

        

Рисунок №1 –  гистограмма эмпирической плотности  распределения

 

 

Рисунок №2 – гистограмма интегральной функции распределения

 

Рисунок №3 – гистограмма обратной интегральной функции 

 

Рисунок №4 – гистограмма функции интенсивности

 

5. Выбор теоретического закона распределения. 

При обработке  статистического материала важной задачей является подбор теоретического

закона распределения, наилучшим образом описывающего статистическое распределение. 

Теоретический закон подбирают, принимая во внимание: 

- физическую  природу отказов;

- опыт отработки  деталей и изделий аналогичного назначения;

- форму кривой  плотности распределения;

- совпадение  опытных точек с теоретической  кривой интегральной функции  безотказности;

- коэффициент  вариации. 

Значение коэффициента вариации, характеризующего рассеивание  показателя надежности,

уже позволяет  судить об условиях эксплуатации машин  и их технологии изготовления. 

5.1 Определим  коэффициент вариации: 

                  
 

Так как V=0,64, то выбираем закон распределения Вейбулла. 

 
 
 
 

5.2 Определим параметры распределения Вейбулла. 

Так как коэффициент  вариации V=0,64, то по таблице 2 приложения определим находим: 

b=1.6 

5.3 Для определения  параметра a нужно найти К_b. 

                 

По таблице  находим

0,640=V;

0,897=K_b;

 

Следовательно уравнения закона распределения  Вейбулла примут вид: 

 

 

     6.Рассчитаем  все теоретические функции.

6.1 определим значение интегральной функции распределения:

             

 

 

6.2 Определим дифференциальную функцию распределения: 

        

 

 

  6.3 Расчет обратной интегральной функции распределения: 

                   

 
 
 
 
 

 

6.4  Расчет значение функции интенсивности отказов: 

                    

 

 

 Найдем  разность между функциями F*(t) и F(t): 

        

 
 

 Определим  вероятность попадания случайной  величины в i-ый интервал p_i: 

        

 
 

Сведем полученные данные в таблицу:

 

Таблица №6

 
 

      f(t) - дифференциальная функция распределения (эмпирическая плотность распределения)

P(t) - обратная интегральной функции распределения

p_i - вероятность попадания случайной величины в i-ый интервал

F(t) - интегральная функция распределения

λ(t) - функция интенсивности отказов

_{|D| - разность между функциями F*(t) и F(t)} 
Рисунок №5 – гистограмма и график теоретической эмпирической плотности

      Рисунок №6 – гистограмма и график теоретической интегральной функции

 

Рисунок №7 – гистограмма и график теоретической обратной интегральной функции распределения

Рисунок №8 – гистограмма и график теоретической функции интенсивности отказов

 

7. Проверка гипотезы о соответствии эмпирического и теоретического распределений с помощью критериев согласия. 

Назначение критерия χ2 - критерия Пирсона 

Критерий χ2 применяется  в двух целях:  

1) для сопоставления  эмпирического распределения признака  с теоретическим - равномерным, нормальным или каким-то иным;  

2) для сопоставления  двух, трех или более эмпирических  распределений одного и того  же признака (в скрипте до 10).  

Описание критерия 

Критерий χ2 отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях.  

Преимущество  метода состоит в том, что он позволяет  сопоставлять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований. В самом простом случае альтернативного распределения "да - нет", "допустил брак - не допустил брака", "решил задачу - не решил задачу" и т. п. мы уже можем применить критерий χ2.