Нечеткие множества и выводы

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БИРСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Башкирский государственный  университет»

Физико-математический факультет

Кафедра математического моделирования и информационных систем

Курсовая работа

Нечеткие множества и  выводы

Выполнил: студент 5 курса 3 группы физико-математического факультета Шамукаев А. В.

Научный руководитель:

к.ф.-м.н., ассистент  Гайсин Ф.Р.

Бирск - 2012 

Содержание:

Введение 3

Глава 1. Нечеткие множества и выводы. 4

Основные  понятия теории нечетких множеств. 4

Нечеткие  отношения. 9

Основы нечеткой логики 15

Системы нечеткого  вывода. 18

Глава 2. Нечеткое моделирование в среде MatLab. 24

Общая характеристика программы MATLAB. 24

Разработка  системы нечеткого вывода в интерактивном  режиме 25

Заключение 35

Литература: 36

Введение

Теория  нечетких множеств, основные идеи которой были предложены американским математиком Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) более 35 лет назад, позволяет описывать качественные, неточные понятия и наши знания об окружающем мире, а также оперировать этими знаниями с целью получения новой информации. Заде расширил понятие множества, допустил, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0, 1]. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy). Основанные на этой теории методы построения информационных моделей существенно расширяют традиционные области применения компьютеров и образуют самостоятельное направление научно-прикладных исследований.

Нечеткий вывод занимает центральное место в нечеткой логике и системах нечеткого управления. Процесс нечеткого вывода представляет собой некоторую процедуру или алгоритм получения нечетких заключений на основе нечетких условий или предпосылок с использованием понятий нечеткой логики. Этот процесс соединяет в себе все основные концепции теории нечетких множеств: функции принадлежности, лингвистические переменные, нечеткие логические операции, методы нечеткой импликации и нечеткой композиции.

Цель: изучение основных понятий теории нечетких множеств и разработка систем нечеткого вывода для аппроксимации функций.

Задачи:

1. Изучить и проанализировать литературу по нечетким множествам и выводам.
2. Изучить пакет Fuzzy Logic Toolbox среды MatLab.
3. Разработать нечеткую систему вывода в среде MatLab.

Глава 1. Нечеткие множества и выводы.

Основные  понятия теории нечетких множеств.

Нечеткое множество. Нечеткое множество (fuzzy set) представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя с полной определенностью утверждать — принадлежит ли тот или иной элемент рассматриваемой совокупности данному множеству или нет. Другими словами, нечеткое множество отличается от обычного множества тем, что для всех или части его элементов не существует однозначного ответа на вопрос: "Принадлежит или не принадлежит тот или иной элемент рассматриваемому нечеткому множеству?" Можно этот вопрос задать и по-другому: "Обладают или нет его элементы некоторым характеристическим свойством, которое может быть использовано для задания этого" нечеткого множества?"

Существуют несколько вариантов формального определения нечеткого множества, которые, по сути, отличаются между собой способом задания характеристической функции данных множеств. Среди этих вариантов наиболее естественным и интуитивно понятным является задание области значений подобной функции как интервал действительных чисел, заключенных между 0 и 1 (включая и сами эти значения).

Mатeматичeскоe опpeдeлeниe нeчeткого множeства. Формально нечеткое множество A определяется как множество упорядоченных пар или кортежей вида: <x, μ_A(x)>, где x является элементом некоторого универсального множества или универсума X, а μ_A(x) — функция принадлежности, которая ставит в соответствие каждому из элементов x Є X некоторое действительное число из интервала [0,1], т. е. данная функция определяется в форме отображения:

μ_A:X→[0,1]. (1)

При этом значение μ_A(x)=1 для некоторого x ∈ X означает, что элемент x определенно принадлежит нечеткому множеству A, а значение μ_A(x)=0 означает, что элемент x определенно не принадлежит нечеткому множеству A.

Из всех нечетких множеств выделим два частных случая, которые по сути совпадают со своими классическими аналогами и используются в дальнейшем при определении других нечетких понятий.

Пустоe нeчeткоe множeство. B теории нечетких множеств сохраняют свой смысл некоторые специальные классические множества. Так, например, пустое нечеткое множество или множество, которое не содержит ни одного элемента, по-прежнему обозначается через и формально определяется как такое нечеткое множество, функция принадлежности которого тождественно равна нулю для всех без исключения элементов: μ₀ = 0. B этой связи уместно упомянуть о том, что характеристическая функция обычного пустого множества также тождественно равна нулю для каких бы то ни было элементов

Универсум. Что касается другого специального множества, то так называемый универсум, обозначаемый через X, уже был использован выше в качестве обычного множества, содержащего в рамках некоторого контекста все возможные элементы. Формально удобно считать, что функция принадлежности универсума как нечеткого множества тождественно равна единице для всех без исключения элементов μx= 1. При этом характеристическая функция обычного универсального множества также тождественно равна единице, для каких бы то ни было элементов: χ_х= 1.

Для того чтобы  определить конечные и бесконечные  нечеткие множества, необходимо ввести в рассмотрение одно из основных понятий, которое используется для характеристики произвольного нечеткого множества, а именно — понятие носителя нечеткого  множества.

Hоситeль нeчeткого множeства. Носителем нечеткого множества A называется обычное множество A_s, которое содержит те и только те элементы универсума, для которых значения функции принадлежности соответствующего нечеткого множества отличны от нуля. Математически носитель нечеткого множества определяется следующим условием:

A_s={xX|μ_A(x)>0}     xX. (2)

Очевидно, пустое нечеткое множество имеет пустой носитель, поскольку =0 для любого его элемента. Носитель универсума, рассматриваемого как нечеткое множество, совпадает с самим универсумом. Для удобства и сокращения записи произвольного нечеткого множества часто указывают лишь значения его функции принадлежности для элементов носителя, неявно предполагая, что все остальные значения функции принадлежности равны нулю.

B зависимости от количества элементов в нечетком множестве по аналогии с обычными множествами можно определить конечные и бесконечные нечеткие множества.

Конечные нечеткие множества. Нечеткое множество называется конечным, если его носитель является конечным множеством. При этом вполне уместно говорить, что такое нечеткое множество имеет конечную мощность, которая численно равна количеству элементов его носителя как обычного множества. B этом случае для обозначения мощности произвольного нечеткого множества A можно также использовать символ card(A). Удобно считать мощность пустого множества равной 0.

Бeсконeчныe нeчeткиe множeства. Аналогичным образом можно определить и бесконечные нечеткие множества как такие нечеткие множества, носитель которых не является конечным множеством. При этом счетным нечетким множеством будем называть нечеткое множество со счетным носителем, т. е. носитель которого имеет счетную мощность в обычном смысле. Несчетным нечетким множеством будем называть нечеткое множество с несчетным носителем, т. е. носитель которого имеет несчетную мощность или мощность континуума с (или ) в обычном смысле.

Очевидно, данное выше определение носителя нечеткого  множеств корректно, поскольку как  для конечных, так и для бесконечных нечетких множеств выражение (2) имеет смысл.

Чтобы привести некоторые примеры нечетких множеств и приступить к определению их основных свойств, следует рассмотреть основные способы, которыми формально могут быть заданы произвольные нечеткие множества.

Нечеткие множества  могут быть заданы двумя основными  способами:

1.  B форме списка с явным перечислением всех элементов и соответствующих им значений функции принадлежности, образующих рассматриваемое нечеткое множество. При этом зачастую элементы с нулевыми значениями функции принадлежности просто не указываются в данном списке. Этот способ подходит для задания нечетких множеств с конечным дискретным носителем и небольшим числом элементов. B этом случае нечеткое множество удобно записывать в виде: A={<х₁,(х₁)>, <х₂, (х₂)>,..., <х_п,(х_n)>}, где n — рассматриваемое число элементов нечеткого множества A (его носителя).

Например, возьмем  в качестве универсума X={l,2,3,...} — множество натуральных чисел. Тогда нечеткое множество A, представляющее в некотором контексте "небольшое натуральное число", можно задать следующим образом: A={<1, 1.0>, <2, 1.0>,<3,0.9>, <4,0.8>, <5,0.6>, <6, 0.5>, <7,0.4>, <8,0.2>, <9, 0.1 >}. При этом элементы, для которых (x)= 0, отсутствуют в этом списке.

2. Аналитически в форме математического выражения для соответствующей функции принадлежности. Этот способ может быть использован для задания произвольных нечетких множеств, как с конечным, так и с бесконечным носителем. B этом случае нечеткое множество удобно записывать в виде: A={<х,(х)>} или A={ х,(х)}, где (х)— некоторая функция, заданная аналитически в форме математического выражения или графически в форме некоторой кривой.

Для формальной строгости при задании  нечетких множеств необходимо явно указывать соответствующий универсум X элементов, из которых формируется то или иное конкретное нечеткое множество. B общем случае никаких предположений относительно элементов этого множества не делается. Однако с практической точки зрения целесообразно ограничить универсум элементами рассматриваемой предметной области или решаемой задачи. Поскольку при построении нечетких моделей систем используются количественные переменные, то наиболее часто в качестве универсума X используется некоторое подмножество действительных чисел R, например, множество неотрицательных действительных чисел R+ или натуральных чисел N.

Рассмотрим пример нечеткого множества.

Пример. Предположим, имеется некоторое графическое изображение, на котором представлены некоторые буква и цифра (рис. 1.).

Рис. 1. Графическое изображение некоторой буквы (а)

и некоторой десятичной цифры (б)

 Первое изображение порождает на множестве всех прописных букв (например, русского) алфавита A={A, Б, B,..., Я} некоторое конечное нечеткое множество С={<А,(А)>, <B, (B)>,..., <Я, (Я)>}. Это нечеткое множество содержательно описывает соответствие изображения, представленного на рис. 1, a , той или иной букве русского алфавита. Таким множеством может быть, например следующее нечеткое множество: C={<A,0>,<B,0>,...,<H,1.0>, <H,0.9>, <K,0.4>, <Л,0>, <M, 1.0>, <H, 1.0>, <O, 0>,...,<X, 0.3>,...,<Я,0>}. Пропущенные элементы соответствуют нулевым значениям функции принадлежности для остальных букв алфавита.

Второе изображение порождает  на множестве всех десятичных цифр X={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} конечное нечеткое множество D={<0,(0)>, <1, (1)>,..., <9, (9)>}. Это нечеткое множество содержательно описывает соответствие изображения, представленного на рис. 1, б, той или иной десятичной цифре. B частном случае таким нечетким множеством может быть, например, следующее: C={<0,0.8>,<l,0>, <2,0>,<3,0.9>,<4,0>,<5,0.2>, <6,1.0>, <7,0>, <8,1.0>, <9,0.9>}. Здесь указаны все значения функции принадлежности для элементов универсума.

Нечеткие отношения.

Понятие нечеткого отношения наряду с понятием самого нечеткого множества  следует отнести к фундаментальным  основам всей теории нечетких множеств. Ha основе нечетких отношений определяется целый ряд дополнительных понятий, используемых для построения нечетких моделей сложных систем. Нечеткое отношение обобщает понятие обычного отношения и часто заменяется терминами нечеткая связь, ассоциация, взаимосвязь или соотношение.

Нечеткое отношение  и способы его задания.

Содержательно нечеткое отношение  определяется как любое нечеткое подмножество упорядоченных кортежей, построенных из элементов тех или иных базисных множеств, в качестве которых в данном случае используются универсумы. При этом под кортежем, так же как и в случае обычных множеств, понимается произвольный набор или список упорядоченных элементов.

Heчeткоe отношeние. B общем случае нечетким отношением или, более точно, нечетким k-арным отношением, заданным на множествах (универсумах) X₁, Х₂,..., Х_к, называется некоторое фиксированное нечеткое подмножество декартова произведения этих универсумов. Другими словами, если обозначить произвольное нечеткое отношение через Q, то по определению Q={<x₁,x₂,...,x_k>, (<x₁,x₂,...,x_k >)}, где (<x₁,x₂,...,x_k >) — функция принадлежности данного нечеткого отношения, которая определяется как отображение …. [0,l]. Здесь через < x₁,x₂,...,x_k > обозначен кортеж из к элементов, каждый из которых выбирается из своего универсума:.

Так же как и в случае обычных множеств с целью характеризовать количество универсальных множеств, на основе которых строится то или иное нечеткое отношение, принято называть нечеткое отношение между элементами из двух универсальных множеств — бинарным, между элементами трех множеств — тернарным, а в общем случае— k-арным отношением. При этом на форму и вид Функции принадлежности нечеткого отношения предварительно не накладывается никаких ограничений.

Пустое нечеткое отношение. B теории нечетких отношений пустое нечеткое отношение определяется как отношение, которое не содержит ни одного кортежа. Это отношение по-прежнему обозначается через и формально определяется как такое нечеткое отношение, функция принадлежности которого тождественно равна 0 на всем декартовом произведении его универсумов. Из этого определения также следует, что пустое нечеткое отношение совпадает с обычным пустым отношением.

Полное нечеткое отношение. Что касается другого крайнего случая, то так называемое полное нечеткое отношение по своей сути совпадает с обычным полным отношением, которое, в свою очередь, равно по определению декартову произведению соответствующих универсумов ….. Как его обозначать — из соображений удобства можно просто через X. Важно представлять себе, что функция принадлежности полного нечеткого отношения тождественно равна единице для всех без исключения кортежей, т. е. (<x₁,x₂,...,x_k>) = 1.

Особое значение в нечетком моделировании имеют бинарные нечеткие отношения, для задания которых используется одно или разные базисные множества (универсумы). B связи с этим приведем их формальное определение.

Бинарное нечеткое отношение. B общем случае бинарное нечеткое отношение задается на базисных множествах Х₁, X₂ и определяется как нечеткое отношение Q={<>,(<>)}. Здесь — функция принадлежности бинарного нечеткого отношения, которая определяется как отображение : [0, 1], а через обозначен кортеж из двух элементов, при этом .

Обратное нечеткое отношение. Применительно к бинарным нечетким отношениям определяется так называемое обратное нечеткое отношение. A именно, если задано бинарное нечеткое отношение Q на декартовом произведении , то обратным к нему нечетким отношением (обозначается через Q^-1) называется такое бинарное нечеткое отношение, которое задано на декартовом произведении , а функция принадлежности, которого определяется по следующей формуле:

()=() для любых     (3)

Бинарное нечеткое отношение заданное на одном универсуме. Бинарное нечеткое отношение, заданное на одном базисном множестве (универсуме) X, определяется как нечеткое отношение Q={<>,(<>)}, где (<>) — функция принадлежности бинарного нечеткого отношения, которая определяется как отображение : [0, 1]. Здесь через <> обозначен кортеж из двух элементов, при этом как .

Определение лингвистической  переменной.

Лингвистическая переменная. Лингвистическая переменная также определяется как кортеж: <, T, X, G, M>, где:

• — наименование или название лингвистической переменной;
• T — базовое терм-множество лингвистической переменной или множество ее значений (термов), каждое из которых представляет собой наименование отдельной нечеткой переменной ;
• X — область определения (универсум) нечетких переменных, которые входят в определение лингвистической переменной ;
• G — некоторая синтаксическая процедура, которая описывает процесс образования или генерирования из множества T новых, осмысленных в рассматриваемом контексте значений для данной лингвистической переменной;
• M — семантическая процедура, которая позволяет поставить в соответствие каждому новому значению данной лингвистической переменной, получаемому с помощью процедуры G, некоторое осмысленное содержание посредством формирования соответствующего нечеткого множества.

Пример. B качестве примера рассмотрим ситуацию со скоростью движения автомобильного транспорта в пределах городской черты. Хотя правила дорожного движения регламентируют величину этой скорости, однако многие автолюбители предпочитают давать собственную субъективную оценку своей скорости движения. При этом используются такие определения, как "малая скорость", "средняя скорость" и "высокая скорость" движения. Очевидно, что подобная практическая оценка скорости может относиться к диапазону скоростей в пределах интервала от 0 км/ч до некоторой величины, определяемой личными предпочтениями того или иного водителя. Пусть в нашем примере из соображений удобства это будет величина 100 км/ч.

Формализация субъективной оценки скорости движения может быть выполнена с помощью следующей  лингвистической переменной <, T, X, G, M >, где

• — скорость движения автомобиля;
• T = {"малая скорость", "средняя скорость", "высокая скорость"};
• X=[0,100];
• G — процедура образования новых термов с помощью связок логических связок "И", "ИЛИ" и модификаторов типа "очень", "НЕ", "слегка" и др. Например: "малая или средняя скорость", "очень высокая скорость" и др.;
• M— процедура задания на X=[0, 100] нечетких переменных

= "малая скорость", ="средняя скорость", ="высокая скорость", а также соответствующих нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов "И", "ИЛИ", "НЕ", "очень", "слегка".

Для рассматриваемого примера нечеткие множества A₁, A₂, A₃ соответствующие нечетким переменным: = "малая скорость", ="средняя скорость", ="высокая скорость", удобно задать графически с помощью кусочно-линейных функций принадлежности. Один из возможных конкретных вариантов этих нечетких множеств изображен на рис. 2а-в.

Рис. 2а.

Рис 2б.

Рис. 2в.

Рис. 2а-в: Графики функций принадлежности нечетких множеств A₁, A₂, A₃,  соответствующих нечетким переменным = "малая скорость" (a), = "средняя скорость" (б), = "высокая скорость" (в) для лингвистической переменной (скорость движения автомобиля)

Основы  нечеткой логики

Нечеткая логика предназначена  для формализации человеческих способностей к неточным или приближенным рассуждениям, которые позволяют более адекватно описывать ситуации с неопределенностью. Классическая логика по своей сути игнорирует проблему неопределенности, поскольку все высказывания и рассуждения в формальных логических системах могут иметь только значение "истина" (И, 1) или значение "ложь" (Л, 0). B отличие от этого в нечеткой логике истинность рассуждений оценивается в некоторой степени, которая может принимать и другие отличные {И, Л} значения.

Чтобы иметь возможность  выражать неопределенные знания, необходима такая логическая система, которая позволяет некоторому предложению иметь истинностное значение, отличающееся от бинарного И или Л. Один из подходов — расширить множество истинностных значений {И, Л} и позволить предложениям принимать некоторые дополнительные значения истинности. B качестве высказываний с истинностным значением "возможно" могут выступать такие, которые относятся к некоторому моменту времени в будущем.

Так, например, высказывание "Сборная России по футболу выйдет в 1/8 финала на предстоящем Чемпионате мира" до начала Чемпионата не может  быть оценено ни как истинное, ни как ложное.

Наряду с понятием нечеткого  множества, Л. Заде предложил обобщение классической логики на основе рассмотрения бесконечного множества значений истинности.

Правила нечетких продукций.

Продукционные системы были разработаны в рамках исследований по методам искусственного интеллекта и нашли широкое применение для  представления знаний и вывода заключений в экспертных системах, основанных на правилах. Поскольку нечеткий вывод  реализуется на основе нечетких продукционных  правил, рассмотрение базового формализма нечетких продукционных моделей приобретает самостоятельное значение. При этом нечеткие правила продукций не только во многом близки к логическим моделям, но и, что наиболее важно, позволяют адекватно представить практические знания экспертов в той или иной проблемной области.

Правило нечеткой продукции. В общем случае под правилом нечеткой продукции или просто — нечеткой продукцией понимается выражение следующего вида:

(): ; P; AB;S, F, N, (4)

где (— имя нечеткой продукции; Q— сфера применения нечеткой продукции; Р— условие применимости ядра нечеткой продукции; AB— ядро нечеткой продукции, в котором A — условие ядра (или антецедент); В — заключение ядра (или консеквент); "" — знак логической секвенции (или следования); S — метод или способ определения количественного значения степени истинности заключения ядра; F— коэффициент определенности или уверенности нечеткой продукции; N— постусловия продукции.

По аналогии с обычным  правилом продукции, в качестве имени () нечеткой продукции может выступать та или иная совокупность букв или символов, позволяющая однозначным образом идентифицировать нечеткую продукцию в системе нечеткого вывода или базе нечетких правил. В качестве имени нечеткой продукции может использоваться ее номер в системе.

Сфера применения нечеткой продукции Q, условие применимости ядра нечеткой продукции Р и постусловие нечеткой продукции N определяются аналогично обычной не нечеткой продукции .

Аналогично обычным правилам продукций ядро A→В также является центральным компонентом нечеткой продукции. Ядро продукции записывается в более привычной форме: "ЕСЛИ A, ТО В" или в наиболее распространенном виде: "IF A, THEN В", где A и B— некоторые выражения нечеткой логики, которые наиболее часто представляются в форме нечетких высказываний. При этом секвенция интерпретируется в обычном логическом смысле как знак логического следования заключения В из условия Л. В качестве выражений Л и В могут использоваться составные логические нечеткие высказывания, т. е. элементарные нечеткие высказывания, соединенные нечеткими логические связками, такими как нечеткое отрицание, нечеткая конъюнкция и нечеткая дизъюнкция.

S — метод или способ определения количественного значения степени истинности заключения В на основе известного значения степени истинности условия Л. Данный способ в общем случае определяет так называемую схему или алгоритм нечеткого вывода в продукционных нечетких системах и называется также методом композиции или методом активации согласно Стандарту IEC 1131-7. В настоящее время для этой цели предложено несколько способов, основные из которых рассматриваются ниже в настоящем разделе.

F — коэффициент определенности или уверенности выражает количественную оценку степени истинности или относительный вес нечеткой продукции. Коэффициент уверенности принимает свое значение из интервала [0, 1] и часто называется весовым коэффициентом нечеткого правила продукции.

Системы нечеткого вывода.

Системы нечеткого вывода предназначены для реализации процесса нечеткого вывода и служат концептуальным базисом всей современной нечеткой логики.

Поскольку разработка и применение систем нечеткого вывода имеет междисциплинарный характер, данная проблематика исследований тесно взаимосвязана с целым рядом других научно-прикладных направлений, таких как: нечеткое моделирование, нечеткие экспертные системы, нечеткая ассоциативная память, нечеткие логические контроллеры, нечеткие регуляторы и просто нечеткие системы.

Фаззификация (Fuzzification).

B контексте нечеткой логики под фаззификацией понимается не только отдельный этап выполнения нечеткого вывода, но и собственно процесс или процедура нахождения значений функций принадлежности нечетких множеств (термов) на основе обычных (не нечетких) исходных данных. Фаззификацию еще называют введением нечеткости.

Целью этапа фаззификации является установление соответствия между конкретным (обычно — численным) значением отдельной входной переменной системы нечеткого вывода и значением функции принадлежности соответствующего ей терма входной лингвистической переменной. После завершения этого этапа для всех входных переменных должны быть определены конкретные значения функций принадлежности по каждому из лингвистических термов, которые используются в подусловиях базы правил системы нечеткого вывода.

Формально процедура фаззификации выполняется следующим образом. До начала этого этапа предполагаются известными конкретные значения всех входных переменных системы нечеткого вывода, т. е. множество значений ={, ,..., }. B общем случае каждое где ,— универсум лингвистической переменной . Эти значения могут быть получены либо от датчиков, либо некоторым другим, внешним по отношению к системе нечеткого вывода способом.

Далее рассматривается каждое из подусловий вида " есть " правил системы нечеткого вывода, где — некоторый терм с известной функцией принадлежности (х). При этом значениеа , используется в качестве аргумента (x), тем самым находится количественное значение =(). Это значение и является результатом фаззификации подусловия " есть α".

Этап фаззификации считается законченным, когда будут найдены все значения =().  для каждого из подусловий всех правил, входящих в рассматриваемую базу правил системы нечеткого вывода. Это множество значений обозначим через B={}. При этом если некоторый терм лингвистической переменной , не присутствует ни в одном из нечетких высказываний, то соответствующее ему значение функции принадлежности не находится в процессе фаззификации.

Агрегирование (Aggregation).

Агрегирование представляет собой процедуру определения  степени истинности условий по каждому  из правил системы нечеткого вывода.

Формально процедура агрегирования  выполняется следующим образом. До начала этого этапа предполагаются известными значения истинности всех подусловий системы нечеткого вывода, т. е. множество значений B={}. Далее рассматривается каждое из условий правил системы нечеткого вывода. Если условие правила представляет собой нечеткое высказывание вида 1 или 2, то степень его истинности равна соответствующему значению .

Этап агрегирования считается  законченным, когда будут найдены  все значения для каждого из правил , входящих в рассматриваемую базу правил P системы нечеткого вывода. Это множество значений обозначим через B"={, ,...,}.

Аккумуляция (Accumulation).

Аккумуляция или аккумулирование в системах нечеткого вывода представляет собой процедуру или процесс нахождения функции принадлежности для каждой из выходных лингвистических переменных множества W={,}.

Цель аккумуляции заключается  в том, чтобы объединить или аккумулировать все степени истинности заключений (подзаключений) для получения функции принадлежности каждой из выходных переменных. Причина необходимости выполнения этого этапа состоит в том, что подзаключения, относящиеся к одной и той же выходной лингвистической переменной, принадлежат различным правилам системы нечеткого вывода.