Нечеткая логика. 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

 

 

 

 

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Кафедра «Автоматизации и  вычислительной техники»

 

 

 

Курсовая работа

 

по дисциплине «Дискретная математика»

 

на тему «Нечеткая логика»

 

 

 

  

 

 

 

 

 

                                                                  Выполнил:     

                                                                            Студента группы: АСОИУбзс 11-2

                                        

                                                                            Проверил:                                                                                                                                                                

                          

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….….3

1. Основы нечеткой логики……………………………………………………..5
2. Нечеткие множества……………………………………………………….....7
3. Основные характеристики нечетких множеств……………………………11
4. Примеры записей нечеткого множества…………………………………...12
5. Примеры нечетких множеств……………………………………………….13
6. Методы построения функций принадлежности нечетких множеств…….15
7. Операции над нечеткими множествами……………………………………17
8. Наглядное представление операций над нечеткими множествами……...20
9. Свойства операций  ………………………………………………….22
10. Нечеткая и лингвистические переменные……...…………………………24

ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………………….27

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ………………………………30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

Цель работы:  Дать четкое понимание нечеткой логики. На примерах показать основные свойства и характеристики нечетких множеств.

 

Для достижения данной цели поставлены были следующие задачи:

 

1. Изучить литературу по данной теме;
2. Рассмотреть исторические аспекты нечеткой логики;
3. Охарактеризовать математический аппарат нечеткого множества;
4. Изучить базовые операции над нечеткими множествами

 

Нечеткая логика – это  надмножество классической булевой  логики, расширяющее ее возможности  и позволяющее применить концепцию  неопределённости в логических выводах. Основной причиной появления новой  теории стало наличие нечетких и  приближенных рассуждений при описании человеком процессов, систем, объектов.  Теория была введена Лотфи Заде в 1965 г. как способ моделирования неопределенностей естественного языка.  

Прежде чем нечеткий подход к моделированию сложных систем получил признание во всем мире, прошло не одно десятилетие с момента  зарождения нечеткой логики. И на этом пути развития нечетких систем принято  выделять три периода.

Первый период (конец 60-х–начало 70 гг.) характеризуется развитием  теоретического аппарата нечеткой логики (Л. Заде, Э. Мамдани, Беллман).

Во втором периоде (70–80-е  годы) появляются первые практические результаты в области нечеткого  управления сложными техническими системами (парогенератор с нечетким управлением). Одновременно стало уделяться внимание вопросам построения экспертных систем, построенных на нечеткой логике, разработке нечетких контроллеров. Нечеткие экспертные системы для поддержки принятия решений находят широкое применение в медицине и экономике.

Наконец, в третьем периоде, который длится с конца 80-х годов  и продолжается в настоящее время, появляются пакеты программ для построения нечетких экспертных систем, а области  применения нечеткой логики заметно  расширяются. Она применяется в  автомобильной, аэрокосмической и  транспортной промышленности, в области  изделий бытовой техники, в сфере  финансов, анализа и принятия управленческих решений и многих других.

Триумфальное шествие  нечеткой логики по миру началось после  доказательства в конце 80-х Бартоломеем Коско знаменитой теоремы FAT (Fuzzy Approximation Theorem). В бизнесе и финансах нечеткая логика получила признание после того как в 1988 году экспертная система на основе нечетких правил для прогнозирования финансовых индикаторов единственная предсказала биржевой крах. И количество успешных фаззи-применений в настоящее время исчисляется тысячами.

Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.

 

 

 

 

 

1. ОСНОВЫ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ

 

 

 

 Нечеткая  логика предназначена для формализации  человеческих способностей к  неточным или приближенным рассуждениям, которые позволяют более адекватно  описывать ситуации с неопределенностью.  Классическая логика по своей  сути игнорирует проблему неопределенности, поскольку все высказывания и  рассуждения в формальных логических  системах могут иметь только  значение "истина" (И, 1) или значение "ложь" (Л, 0). В отличие от этого в нечеткой логике истинность рассуждений оценивается в некоторой степени, которая может принимать и другие отличные {И, Л} значения. Концептуальное отличие нечеткой логики от классической заключается в том, что она интерпретирует не только значениями «истина» и «ложь», но и промежуточными значениями.

 Чтобы  иметь возможность выражать неопределенные  знания, необходима такая логическая  система, которая позволяет некоторому  предложению иметь истинностное  значение, отличающееся от бинарного И или Л. Один из подходов — расширить множество истинностных значений {И, Л} и позволить предложениям принимать некоторые дополнительные значения истинности.

В классической логике предположение

Является истинным в том  и только в том случае, если истинны  оба члена этого выражения. В  нечеткой логике существует соглашение: если F и G являются нечеткими предикатами, то и аналогично .

Таким образом, можно получить, что если

,

то  .

Теперь рассмотрим следующую  ситуацию. Пусть имеем отрицание:

 По приведенной выше формуле дополнения:

.

А теперь рассмотрим следующее  выражение:

Вероятность истинности этого  утверждения равна 0, поскольку:

Однако в нечеткой логике значение этого выражения будет  равно 0,1. Суть этого состоит в  том, что значение выражения можно  считать показателем принадлежности кошки к нечеткому множеству  других имен.

Смысл выражения  заключается в том, что мы только на 90% уверены в принадлежности этой кошки к кошкам по имени Мурка. Вполне резонно предположить, что существует некоторая уверенность в том, что кошку зовут иначе.

Из вышесказанного, очевидно, что нечеткая логика имеет дело с  ситуациями, когда знания, которыми мы располагаем, выражены нечеткими  понятиями. Однако нечеткость понятий  является не единственным источником неопределенности. Иногда просто нет  уверенности в самих фактах.

 Одним  из первых логиков, предложивших в 1930 г. вариант многозначной логической системы, отличающийся от классической бинарной логики, был польский математик Ян Лукасевич (1878—1956). В трехзначной логике Лукасевича используется 3 истинностных значения: {0, 0.5, 1}, где значение 0 интерпретируется как "ложь", 1 — как "истина", а число 0.5— как "возможно". В качестве высказываний с истинностным значением "возможно" могут выступать такие, которые относятся к некоторому моменту времени в будущем. Так, например, высказывание "Сборная России по футболу выйдет в 1/8 финала на предстоящем Чемпионате мира" до начала Чемпионата не может быть оценено ни как истинное, ни как ложное. Именно по этой причине более адекватным ответом на вопрос об его истинности будет использование трехзначной логики с соответствующей интерпретацией истинности в форме значения "возможно". Наряду с понятием нечеткого множества, Л. Заде предложил обобщение классической логики на основе рассмотрения бесконечного множества значений истинности.

Нечеткая  логика используется при создании систем, понимающих тексты на естественном языке, при создании планирующих систем, опирающихся на неполную информацию, при обработке зрительных сигналов, при управлении техническими, социальными  и экономическими системами, в системах искусственного интеллекта и робототехнических  системах:

 

1. Автоматическое управление воротами плотины на гидроэлектростанциях;
2. Упрощенное управление роботами;
3. Наведение телекамер  при трансляции спортивных событий;
4. Замена экспертов при анализе работы биржи;
5. Эффективное и стабильное управление автомобильными двигателями;
6. Управление экономичной скоростью автомобилей;
7. Улучшение эффективности и оптимизация промышленных систем управления и т.д.;

 

На рынке  представлено множество программных  продуктов, использующих нечеткую логику: Бизнес-Прогноз, CubiCalc, RuleMaker, FIDE, FuzzyNET, FuzzyCLIPS, FuNeGen, NEFCON-I, Fuzzy Logic Toolbox системы MatLab, FuzzyXL, FuzzyCalc и др.

 

 

НЕЧЕЧКАЯ ЛОГИКА КАК ОТРАСЛЬ  ЗНАНИЯ

 

Термин «нечеткая логика»  стал использоваться в конце 60-х  годов ХХ века. Сначала он означал  любую логику, имеющую более двух истинностных значений.

В настоящее время термин «нечеткая логика» используется в двух различных смыслах

В узком смысле, нечеткая логика – это логическая система, являющаяся расширением многозначной логики. Однако, даже для нечеткой логики в узком смысле, список основных операций очень отличается как по духу, так и по  содержанию от списка основных операций для систем многозначных логик. Нечеткая логика в узком смысле представляет собой специальную  многозначную логику, нацеленную на обеспечение  формальных основ градуированного  подхода к нечеткости. Под градуированным подходом понимается общий принцип  человеческого мышления, который  используется при попытке выяснить, обладает объект свойством в полной мере или только частично, поскольку  данное свойство нечетко. Например, «практически белое пятно», «очень сильный мотор» и т.п. Во всех этих случаях есть скрытые  степени интенсивности развиваемых  свойством.

Нечеткая логика в широком  смысле является расширением нечеткой логики в узком смысле и нацелена на создание математической модели естественных человеческих рассуждений, в которых  принципиальную роль играет естественный язык. В этом смысле нечеткая логика равнозначна теории нечетких множеств, то есть классов с неточными, размытыми границами.

В общем, нечеткая логика является результатом градуированного подхода  к формальным логическим схемам. Важно  подчеркнуть, что это не является результатом ненужных бесконечных обобщений. Благодаря градуированному подходу, нечеткая логика обеспечивает разрешимость некоторых классически неразрешимых проблем. К примеру, хорошо известными являются древние парадоксы sorites (куча) и falakros (лысый человек).

Парадокс кучи:

Одно пшеничное зерно  не образует кучи. То же верно и для  двух зерен, трех и т.д. Следовательно, куча не существует.

Парадокс лысого человека:

Человек без волос или  только с одним волосом – лысый. То же верно и для человека с  двумя волосами и т.д. Следовательно, все люди – лысые.

Указанные парадоксы возникают  тогда, когда свойство «быть кучей» и «быть лысым» понимаются точно, т.е. исключая их нечеткость. Классическая двузначная логика не способна с ними справиться.

В рамках нечеткой логики подобные парадоксы не имеют места. Предлагаемое нечеткой логикой решение заключается  в допущении, что импликация F(x)=F(x+1), где F(x) означат, например, высказывание «х зерен не образуют кучи», истинна только в некоторой степени, близкой к 1, скажем, 1-ɛ, где ɛ>0. При этом допущении парадокс кучи, так же как и парадокс лысого, исчезает.

В настоящее время развитие нечеткой логики еще далеко от завершения, несмотря на то, что работа по разработке ее математических основ ведется  достаточно активно. Это объясняется  тем, что нечеткая логика имеет специфическую  программу, которая тесно связана  с моделированием некоторых частей естественного языка, что позволяет  строить ее различные расширения.

МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКЕ

 

 

В качестве примера был  выбран  светофор с нечеткой логикой.

 

Цель: Исследование возможностей светофора с нечеткой логикой, установленного на перекрестке, при различных интенсивностях потоков автомашин и сравнение его работы с обычным светофором.

 

Постановка: В обычном светофоре время работы зеленого и красного света, а также время цикла фиксированы. Это создает некоторые трудности в движении машин, особенно, при изменении их потоков в часы пик, что довольно часто приводит к появлению автомобильных пробок.

В предлагаемом нечетком светофоре  время цикла остается постоянным, однако, время его работы в режиме зеленого света должно меняться в  зависимости от количества подъезжающих к перекрестку машин.

Пусть время цикла традиционного  и нечеткого светофоров будет  одинаковым и равным 1мин.=60сек. Длительность зеленого света обычного светофора  зададим 30сек., тогда красный свет будет гореть тоже 30сек.

Для работы нечеткого светофора  на перекрестке улиц Север-Юг (СЮ) и  Запад-Восток (ЗВ) необходимо установить 8 датчиков, которые считают проехавшие мимо них машины.

(Рис.1) Расположение датчиков на перекрестке.

Светофор использует разности показаний четырех пар датчиков:               (Д1-Д2), (Д3-Д4), (Д5-Д6) и (Д7-Д8). Таким образом, если для улицы СЮ горит зеленый свет, машины проезжают перекресток и показания двух пар датчиков равны: Д1=Д2, Д5=Д6, а, следовательно, их разность равна нулю. В это же время на улице ЗВ перед светофором останавливаются машины, которые успели проехать только Д4 и Д7. В результате можно рассчитать суммарное количество автомобилей на этой улице следующим образом:

(Д4-Д3)+(Д7-Д8)=(Д4-0)+(Д7-0)=Д4+Д7.

Для сравнения работы обоих  светофоров введем показатель эффективности, в качестве которого будем рассматривать  число машин, не проехавших перекресток  за один цикл светофора.

Данную задачу можно сравнить с системой массового обслуживания (СМО), по двум каналам которой поступают  заявки на обслуживание в виде автомашин. Показатель эффективности в этом случае число заявок, получивших отказ.

Решение:  Для решения поставленной задачи используется пакет Matlab, т.к. он имеет в своем составе fuzzy-приложение, необходимое для моделирования работы нечеткого светофора.

Более подробно будет рассмотрено проектирование нечеткой подпрограммы. Здесь однозначно должны быть определены все входы и выходы.

Поскольку работа светофора  зависит от числа машин на обеих  улицах и текущего времени зеленого света, для нашей подпрограммы предлагается использовать 3 входа: число машин  на улице СЮ по окончанию очередного цикла, число машин на улице ЗВ по окончанию цикла и время  зеленого света нечеткого светофора.

Теперь для каждой переменной надо задать лингвистические термы, соответствующие некоторым диапазонам четких значений. Так, для переменной время зеленого света предлагается использовать три терма:

1. малое (10-25сек.);
2. среднее(20-40сек.);
3. большое(35-50сек.).

 

(Рис.2) Функция принадлежности первой входной переменной.

 

Степень принадлежности четких значений термам задается с помощью  функций принадлежности (в нашем  случае эти функции имеют форму  трапеции).

Аналогично, термы для  двух оставшихся переменных будут:

1. очень малое (0-18);
2. малое (16-36);
3. среднее (34-56);
4. большое (54-76);
5. очень большое (72-90).

 

(Рис.3) Функция принадлежности второй и третьей входных переменных.

Функции принадлежности здесь  также имеют форму трапеции.

Так как суть работы светофора  состоит в изменении времени  зеленого света, в качестве выходного  параметра предлагается использовать величину этого изменения. Термы  в этом случае будут следующие:

1. уменьшить (-20-0сек.);
2. не изменять (-15-15сек.);
3. увеличить (0-20сек.).

(Рис.4) Функция принадлежности выходной переменной.

 

Функции принадлежности имеют  форму Гаусса.

Кроме того, в подпрограмму записывается таблица правил на основе условных высказываний, которая формирует  выходное значение исходя из величин  входных параметров, например:

Если (число машин на улице  СЮ=малое)&(число машин на улице  ЗВ=большое)&(время зеленого света  на улице СЮ=большое), то (время зеленого света=уменьшить).

Результаты моделирования  работы светофора с нечеткой логикой

Основная программа работает следующим образом: с помощью генератора случайных чисел происходит генерирование числа машин за один цикл светофора для улиц СЮ и ЗВ.

Часть машин из этого числа  успевает проехать на зеленый свет, остальные останавливаются перед  перекрестком, ожидая окончания действия красного света светофора. Все те автомобили, которые остались стоять перед светофором после одного цикла, считаются не обслуженными заявками.

За показатель эффективности  данной системы принимается среднее  число не обслуженных заявок за заданное количество циклов светофора. Соответственно, чем меньшее значение имеет показатель эффективности, тем большее количество машин пропускает светофор.

Число циклов светофора не должно быть слишком малым, т.к. в  этом случае не получается объективной  информации, или слишком большим, т.к. программа будет очень долго  вычислять требуемую величину. Рекомендуемое  количество циклов - 100.

Таким образом, алгоритм программы  следующий: на светофор с датчиков поступает  информация о количестве автомобилей  на двух улицах. Эти данные переводятся  в нечеткий формат согласно заданным функциям принадлежности, далее, внутри подпрограммы происходит их обработка, полученное значение изменения времени зеленого света дефаззифицируется (т.е. переводится обратно в четкий формат) и поступает в виде управляющего сигнала на светофор. В соответствии с этим сигналом время зеленого света светофора в следующем цикле будет другим.

 

(Рис.6) Результаты вычислений.

 

Таким образом, подводя итоги, можно сказать, что нечеткая логика в некоторых простейших случаях  позволяет улучшить качество управления объектами, причем решающую роль в оптимизации  показателей эффективности играют эксперты, которые определяют количество входных и выходных переменных, число  термов для каждой переменной, виды функций принадлежности, т.к. изменение  этих параметров приводит к улучшению  или ухудшению процесса управления объектом.

Важнейшим недостатком нечеткой логики является отсутствие единого  метода моделирования систем, т.е. для  каждого случая приходится заново проектировать  нечеткую подпрограмму, определяя шаг  за шагом все параметры и строя  свою таблицу решений.

 

НЕЧЕТКИЕ  РАСШИРЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

 

Рассмотрим два утверждения А и В, каждое из которых может быть истинным или ложным, т.е. может принимать значения “1” или “0”. Для этих двух утверждений всего существует 16 различных логических операций, из которых содержательно интерпретируются лишь пять: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность.

Предположим, что логическое утверждение может принимать  не два значения истинности, а три, например: “истинно”, ”ложно” и “неопределенно”. В этом случае мы будем иметь дело не с двухзначной, а трехзначной логикой. Общее количество бинарных операций, а, следовательно, и таблиц истинности, в трехзначной логике рано 729.

Нечеткая логика является разновидностью многозначной логики, в которой значения истинности задаются лингвистическими переменными или  термами лингвистической переменной “истинность” со степенями принадлежности, пробегающими весь отрезок [0;1]. Поэтому в случае нечеткой логики можно создать неограниченное число операций. Учитывая это, ограничимся наиболее важными операциями.

Рассмотрим расширения НЕ, И, ИЛИ до нечетких операций. Операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции являются основными для нечеткой логики в том смысле, что все  ее конструкции основываются на этих операциях. В настоящее время  в нечеткой логике в качестве операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции широко используются нечеткое отрицание,, t-нормы и t-конормы, пришедшие в нечеткую логику из теории вероятностных метрических пространств. Они достаточно хорошо изучены и лежат в основ многих формальных построений нечеткой логики.

 

1. Нечеткое отрицание НЕ.

 

Отображение  ϴ: [0;1] → [0;1] называется отрицанием, если выполняются следующие условия:

       =1.

      

Если выполняется также

     =x для ,

то отрицание называется сильным или инволюцией.

Аксиома сохраняет свойства двухзначного “НЕ” и означает, что “нечеткое отрицание 0 равно 1”, другими словами является граничным условием.

Аксиома - наиболее существенное требование понятия “отрицания”: “нечеткое отрицание инвертирует (в смысле строгого неравенства) последовательность оценок”.

Аксиома сильного отрицания является правилом двойного отрицания, утверждающим, что взятие дважды отрицания возвращает нас к исходной оценке.

Пример. Типичным примером сильного отрицания является “вычитание из 1”: = 1-x. С точки зрения нечетких множеств оно соответствует понятию дополнения нечеткого множества А с функцией принадлежности

  (X)=1- (X).

 

 

Легко доказать выполнимость всех трех аксиом сильного отрицания.

            =1-0=1

            1-x – монотонная строго убывающая функция.

            = = 1-(1-x) = x

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

 

В России применение систем на основе нечеткой логики, началось в середине 1995 года. Популярными являются следующие пакеты:

 

1. CubiCalc 2.0 RTC - одна из мощных коммерческих экспертных систем на основе нечеткой логики, позволяющая создавать собственные прикладные экспертные системы;
2. CubiQuick - дешевая "университетская" версия пакета CubiCalc;
3. RuleMaker - программа автоматического извлечения нечетких правил из входных данных;
4. FuziCalc - электронная таблица с нечеткими полями, позволяющая делать быстрые оценки при неточных данных без накопления погрешности;
5. OWL - пакет, содержащий исходные тексты всех известных видов нейронных сетей, нечеткой ассоциативной памяти и т.д.

 

Основными потребителями  нечеткой логики на рынке СНГ являются банкиры и финансисты, а также  специалисты в области политического  и экономического анализа. Они используют CubiCalc для создания моделей разных экономических, политических, биржевых ситуаций. Что же касается пакета FuziCalc, то он занял свое место на компьютерах больших банкиров и специалистов по чрезвычайным ситуациям - то есть тех, для кого важна скорость проведения расчетов в условиях неполноты и неточности входной информации. Однако можно с уверенностью сказать, что эпоха расцвета прикладного использования нечеткой логики на Российском рынке еще впереди.

 

Сегодня элементы нечеткой логики можно найти в десятках промышленных изделий - от систем управления электропоездами и боевыми вертолетами  до пылесосов и стиральных машин. Без применения нечеткой логики немыслимы  современные ситуационные центры руководителей  западных стран, где принимаются  ключевые политические решения и  моделируются разные кризисные ситуации. Одним из впечатляющих примеров масштабного  применения нечеткой логики стало комплексное  моделирование системы здравоохранения  и социального обеспечения Великобритании (National Health Service - NHS), которое впервые позволило точно оценить и оптимизировать затраты на социальные нужды.

 

Не обошли средства нечеткой логики и программные системы, обслуживающих большой бизнес. Первыми, разумеется, были финансисты, задачи которых требуют ежедневного принятия правильных решений в сложных условиях непредвиденного рынка. Первый год использования системы Fuji Bank принес банку в среднем $770000 на месяц (и это только официально объявленная прибыль!).