Некоторые приложения аппарата векторных пространств

Векторы, пространства, гиперплоскости, гиперповерхности

Введение

Из всех разделов алгебраической науки одним из наиболее разработанных является раздел, называемый линейной алгеброй. Линейная алгебра изучает матрицы (прямоугольные таблицы из чисел), алгебраические формы (линейные, билинейные и квадратичные), линейные пространства с линейными преобразованиями в них. Выводы линейной алгебры особенно важны для решения многочисленных прикладных задач. Ее аппаратом, не говоря уже о самой математике, пользуются естественные, технические, экономические, нередко и гуманитарные науки.

Одной из характерных особенностей линейной алгебры  является то, что  данная наука свободно пользуется геометрическим языком. Здесь встречаются такие термины, как вектор, векторное пространство, скалярное произведение, евклидово пространство, ортогональность и другие. Вместе с тем объекты, к которым применяются данные термины, «внешне» совсем не походят на свои геометрические прототипы (прямые, вектора, плоскости, фигуры в 2-х и 3-х мерном пространствах). Например, роль векторов (элементов векторного пространства) могут играть такие объекты, как многочлены, матрицы, функции и т.д.

Несмотря на внешнее различие, перечисленные выше совокупности объектов тесно связаны между собой: большинство утверждений допускают равносильную формулировку для каждой из этих совокупностей. Наиболее отчетливо эта связь выявляется как раз при изучении произвольных векторных пространств (и линейных преобразований в них).

Таким образом, геометрические термины, используемые в линейной алгебре, возникли вовсе не для того, чтобы  внушить «таинственные» представления  о столь же «таинственных» многомерных  пространствах. Геометрическая терминология образует удобный и образный язык, который, хотя и не может служить средством доказательств, но очень удачно подчеркивает общность закономерностей, присущих и обычным геометрическим образам и их многомерным аналогам.

Применение геометрического языка во много связано и с тем, что отправной точкой для развития линейной алгебры была аналитическая геометрия, которая изучает свойства геометрических объектов  при помощи аналитического метода (в основе которого лежит метод координат).

Для того чтобы разобраться с геометрическими терминами, которые используются в линейной алгебре, а также самими объектами, которые они называют, в первой части работы будем продвигаться от простого и известного к более сложному и абстрактному. Так в §1 Главы 1 повторим основные положения векторной алгебры, в том числе вспомним определение свободного вектора в пространстве, операции над векторами, понятие коллинеарности, компланарности, линейной зависимости и независимости векторов в пространстве, рассмотрим угол между векторами и уточним определение и свойства скалярного произведения векторов в пространстве. Далее будут изложены элементы теории векторных пространств, а именно будет рассмотрено понятие векторного пространства и его основные свойства, определено скалярное произведение и введено понятие евклидова пространства. Далее будут рассмотрены базис, размерность и подпространства линейного пространства, а также кратко затронута тема линейных преобразований векторных пространств.

Вторая часть работы посвящена некоторым приложениям аппарата векторных пространств, в том числе рассмотрены системы линейных уравнений и интерпретация их решений как пересечение гиперплоскостей в n-мерном координатном пространстве, приведен пример оптимизационной задачи линейного программирования и изложена суть симплекс-метода (без математических выкладок), используемого для решения таких задач. В заключение будет представлен пример использования метода наименьших квадратов для приближенного вычисления.

Глава 1. Теория векторов и пространств

§1. Основные положения  векторной алгебры

Геометрическим вектором (или просто вектором) называют направленный отрезок и обозначают AB или а, b, c и т.д. Начало вектора будем называть точкой приложения. Для обозначения длины вектора используют символ модуля (или абсолютной величины). Вектор называют нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Векторы, изучаемые  в геометрии, называются свободными (они определены с точностью до точки приложения).

Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения вектора  на вещественное число.

Суммой а+b двух векторов называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора а.

Данное правило  сложения векторов называют правилом треугольника. Определенная данным образом  операция сложения векторов на множестве  векторов обладает свойствами коммутативности (1), ассоциативности (2), наличием нейтрального (3) и симметричного элементов (4).

При доказательстве свойства коммутативности обоснуется еще одно правило сложения векторов, называемое правилом параллелограмма: если векторы а и b приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма а+b (или b+а) этих векторов представляет собой диагональ указанного параллелограмма, идущего из общего начала векторов.

Названные выше свойства, позволяют нам распространить правило сложения на сумму любого конечного числа векторов. Правило следующее: если приложить вектор а₂, к концу вектора а₁, вектор а₃ к концу вектора а₂,…, вектор а_n к концу вектора а_n-1, то сумма векторов будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора а₁ в конец вектора а_n. Данное правило называется правилом замыкания ломанной до многоугольника.

Разностью а-b вектора а и вектора b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

Произведением λа (или аλ) вектора а на вещественное число λ называется вектор в, коллинеарный вектору а, имеющий длину, равную │λ│×│a│… и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора а в случае λ>0 и противоположное направлению вектора а в случае λ<0.

В случае, когда  λ=0 или а=0, произведение λа представляет собой нулевой вектор, направление которого не определено. Геометрический смысл операции умножения вектора на число можно выразить так: при умножении вектора а на число λ вектор а «растягивается» в λ «раз».

Операция умножения  вектора на число обладает следующими свойствами:

5) λ(а+b)=λа+λb – распределительное свойство числового сомножителя относительно суммы векторов

6) (λ+µ)а=λа+µа – распределительное свойство векторного сомножителя относительно суммы чисел

7) λ(µа)=(λµ)а – сочетательное свойство числовых сомножителей.

Свойства 1-7 имеют  фундаментальное значение, так как  позволяют производить выкладки в векторной алгебре по тем  правилам, по которым производятся аналогичные выкладки в обычной  алгебре.

Линейной комбинацией  векторов будем называть сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа. Векторы называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов с указанными числами обращается в нуль. Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называют линейно независимыми. Векторы линейно независимы, если равенство нулю их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все числа равны нулю.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то эти векторы линейно зависимы. Если среди n векторов какие-либо n-1 векторов линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

Необходимым и достаточным  условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Говорят, что три линейно  независимых вектора образуют в пространстве базис, если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов. Аналогично определяется базис на плоскости: два линейно независимых вектора а и b образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в плоскости вектор с может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов а и b. При этом любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве, любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов а и b образует базис на этой плоскости.

В дальнейшем для определенности будем рассматривать базис в  пространстве. Итак, пусть а, b, с – произвольный базис в пространстве, т.е. произвольная тройка некомпланарных векторов. Тогда (по определению базиса) для любого вектора d найдутся такие вещественные числа, что будет справедливо равенство: d=

Это равенство принято называть разложением вектора по базису, а числа λ₁, λ₂, λ₃ - координатами вектора относительно базиса. Разложение по базису – единственно: это означает то, что координаты каждого вектора относительно базиса определяются однозначно.

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над числами – координатами этих векторов. Так, при сложении двух векторов их координаты складываются. При умножении вектора на любое число все его координаты умножаются на это число.

Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса и некоторой  точки О, называемой началом координат. Аффинными координатами любой точки  М называют координаты вектора ОМ относительно базиса а, b, с. Декартовы прямоугольные координаты являются частным случаем аффинных координат, соответствующим тройке взаимно ортогональных и единичных базисных векторов.

Если обозначить буквами А` и В` основания перпендикуляров, опущенных на произвольную ось u из концов вектора a=АВ, то проекцией вектора а на ось u называется величина А`В` направленного отрезка А`В`. Проекция вектора а на ось равна длине вектора а, умноженной на косинус угла наклона вектора а к оси u. Декартовы прямоугольные координаты Х, Y и Z вектора равны проекциям этого вектора на оси Оx, Oy, Oz соответственно (единичные вектора, отложенные на осях от начала координат в положительном направлении называют также тройкой координатных ортов i, j, k).

Скалярным произведением  двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус  угла между ними. В соответствии с определением проекции вектора  можно сформулировать другое эквивалентное  определение скалярного произведения. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.

Необходимым и  достаточным условием ортогональности  двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Два ненулевых вектора а и b составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно). Скалярное произведение векторов обладает следующими четырьмя алгебраическими свойствами:

1^◦ аb=bа (переместительное свойство)

2^◦ (λа)b=λ(аb) (сочетательное относительно числового множителя свойство)

3^◦ (а+b)с=ас+bс (распределительное относительно суммы векторов свойство)

4^◦ аа>0, если а ненулевой вектор, и аа=0, если а – нулевой вектор.

Если два  вектора а и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами а={X1, Y1, Z1} и b={X2, Y2, Z2}, то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е.

аb=X1X2+Y1Y2+Z1Z2

На этом мы завершим небольшой обзор курса аналитической геометрии в части операций над свободными векторами.

§2. Линейные пространства: понятие, примеры, свойства

В настоящей  части рассмотрим множества объектов любой природы, для элементов  которых каким-либо способом (причем, безразлично каким) определены операция сложения элементов и операция умножения элемента на вещественное число, причем указанные операции обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над геометрическими векторами. Такие множества называют линейными (или векторными) пространствами.

Определение. Множество V элементов x, y, z, … любой природы называется линейным (или векторным, или аффинным) пространством, если выполнены следующие три требования.

1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам x и y множества V ставится в соответствие третий элемент z этого множества, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый символом z=x+y.
2. Имеется правило, посредством которого любому элементу x множества V и любому вещественному числу λ ставится в соответствие элемент u этого множества, называемый произведением элемента x на число λ и обозначаемый символом u=λx или u=xλ.
3. Указанные два правила подчинены следующим восьми аксиомам
1. x+y=y+x (сложение коммутативно)
2. (x+y)+z=x+(y+z) (сложение ассоциативно)
3. Существует нулевой элемент 0 такой, что x+0=x для любого элемента x (особая роль нулевого элемента)
4. Для каждого элемента x существует противоположный (другими словами симметричный) элемент x` такой, что x+x`=0
5. 1×x=x для любого элемента x (особая роль числового множителя 1)
6. λ(µx)= (λµ)x (сочетательное относительного числового множителя свойство)
7. (λ+µ)x= λx+µx (распределительное относительно суммы числовых множителей свойство)
8. λ(x+y)=λx+λy (распределительное относительно суммы элементов свойство)

Следует подчеркнуть, что при введении понятия линейного  пространства абстрагируются не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования  суммы элементов и произведения элемента на число (важно лишь, чтобы  эти правила удовлетворяли восьми аксиомам, сформулированным выше). Первые четыре аксиомы устанавливают свойства операции сложения, и их можно было бы выразить короче, сказав, что относительно этой операции элементы образуют абелеву группу.

Если природа изучаемых  объектов и вид правил образования суммы элементов и произведения элемента на число указаны, то такое линейное пространство можно назвать конкретным. Далее приведены примеры конкретных линейных пространств.

Пример 1. Множества всех свободных векторов в трехмерном пространстве (В₃), на плоскости (В₂) и на прямой (В₁) с определенными в курсе аналитической геометрии операциями сложения и умножения на число являются линейными пространствами.

Пример 2. Множество {x} всех положительных вещественных чисел. Сумму двух элементов определим как произведение вещественных чисел x и y (понимаемое в обычном для вещественных чисел смысле). Произведение элемента x множества {x} на вещественное число λ определим как возведение положительного вещественного числа x в степень λ. Нулевым элементом множества {x} будет являться вещественное число 1, а противоположным (для данного элемента x)  элементом будет являться вещественное число 1/x.

Пример 3. Арифметическое n-мерное векторное пространство, где под вектором понимается кортеж из n вещественных чисел Аⁿ. Элемент пространства Аⁿ обозначим x=(x₁,x₂,…x_n), вещественные числа x_i, i=1,2,…n называют координатами вектора x. Часто множество Аⁿ называют n-мерным координатным пространством. Операции сложения элементов множества Аⁿ и умножения этих элементов на вещественные числа определяются правилами:

(x₁, x₂, …,x_n)+(y₁, y₂, …, y_n)= (x₁+y₁, x₂+y₂, …, x_n+y_n)

λ(x₁, x₂, …,x_n) = (λx₁, λx₂, …,λx_n)

нулевым элементом Аⁿ является нулевой вектор 0=(0, 0, …, 0)

противоположным элементом  x=( x₁, x₂, …,x_n) является элемент (-x₁, -x₂, …,-x_n)

Пример 4. Множество  С[a, b] всех функций x=x(t), определенных и непрерывных на сегменте a≤t≤b. Операции сложения таких функций и умножения на вещественное число определяются обычными правилами математического анализа.

Пример 5. Множество {P_n(t)} всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа n, с операциями сложения и умножения на вещественное число определенными такими же правилами, как для функций. Можно заметить, что на сегменте a≤t≤b множество {P_n(t)} является подмножеством С[a, b], указанного в примере 4.

Пример 6. Множество  всех действительных (или комплексных) матриц данного порядка m×n относительно операции сложения матриц и умножения матрицы на число.

Следует также  отметить то, что в сформулированном выше определении линейного пространства числа λ, µ,… брались из множества вещественных чисел. Поэтому определенное таким образом пространство называют вещественным линейным пространством. При более широком подходе можно брать λ, µ,… из множества комплексных чисел. Это приведет к введению понятия комплексного линейного пространства¹.

Элементы произвольного  линейного пространства принято  называть векторами. При этом еще  раз подчеркнем то обстоятельство, что употребление термина «вектор» в более узком смысле (так как  мы делали это в §1) не приводит к недоразумениям. Напротив, взывая к сложившимся геометрическим представлениям, данный образ позволяет уяснить, и даже предвидеть ряд результатов, справедливых для линейных пространств произвольной природы. Далее при изложении, принимая во внимание формулировку темы курсовой работы, мы будем пользоваться как понятием «вектор» и обозначать элементы векторных пространств как а, b, c и т.д., так и понятием элемент и обозначать их как x, y, z и т.д.

Из аксиом 1-8 в качестве логических следствий можно получить ряд утверждений справедливых для произвольных векторных пространств. Так, в произвольном линейном пространстве существует единственный нулевой элемент и для каждого элемента х существует единственный противоположный элемент. При этом нулевой вектор 0 равен произведению произвольного элемента x на вещественное число 0. Для каждого элемента x противоположный элемент равен произведению этого элемента x на вещественное число -1.

По аналогии с положениями аналитической  геометрии введем понятия линейной зависимости элементов произвольного линейного пространства. Выражение вида

αx+βy+…+γz, где α, β, …, γ – произвольные вещественные числа, называют линейной комбинацией элементов x,y, …z пространства V.

Элементы x, y, …, z пространства V называют линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа α, β, …, γ, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация элементов x, y, …, z с указанными числами является нулевым элементом пространства V, т.е. имеет место равенство: αx+βy+…+γz=0

Элементы x, y, …, z пространства V называют линейно независимыми, если указанная выше линейная комбинация является нулевым элементом пространства V лишь при условии α=β= …=γ=0.

Для того чтобы  элементы x, y, …, z  пространства V были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных элементов. При этом если среди элементов имеется нулевой, то эти элементы линейно зависимы. А также, если часть элементов x, y, …, z линейно зависима, то и все эти элементы являются линейно зависимыми.

Понятие линейной зависимости является, таким образом, естественным обобщением понятий коллинеарности и компланарности геометрических векторов. Мы знаем, что в пространстве В₃ таких векторов особая роль принадлежит тройке координатных ортов i, j, k. Естественно возникает вопрос отыскания в произвольном векторном пространстве V систем векторов, обладающих подобными свойствами.

Совокупность  линейно независимых элементов e1, e2, … en пространства V называется базисом этого пространства, если для каждого элемента x пространства V  найдутся вещественные числа x₁, x₂, …, x_n такие, что справедливо равенство:

x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n

Данное равенство  называется разложением вектора x по базису e₁, e₂, …, e_n, а числа x₁, x₂, …, x_n называются координатами вектора x (относительно базиса e₁, e₂, …, e_n). Разложение по базису для каждого элемента x является единственным.

Отметим, что  для арифметического линейного  векторного пространства Аⁿ, которое было рассмотрено в Примере 3, одним из базисов являются следующие n элементов: e₁ = (1, 0, …,0), e₂ = (0, 1, …, 0), …, e_n = (0, 0, …,1).

При сложении двух любых элементов линейного пространства их координаты (относительно любого базиса) складываются; при умножении произвольного элемента на любое число все координаты этого элемента умножаются на это число.

Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые n+1 элементов уже являются линейно зависимыми. В этом случае число n называют размерностью пространства, например V, и обозначают dimV². Если линейное пространство имеет размерность n, то любые n линейно независимых элементов образуют его базис. И, наоборот, если базис линейного пространства содержит n векторов, то размерность данного пространства равна n. Так, размерность арифметического линейного векторного пространства Aⁿ равна n, размерность пространства {x} (рассмотренного в примере 2) равна единице.

Следует отметить, что различные линейные пространства одной и той же размерности n в смысле свойств, связанных с введенными в этих пространствах операциями, по существу не отличаются друг от друга. В этой связи вводится определение изоморфных линейных пространств. Так, два произвольных вещественных линейных пространства V и V` называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие. А именно, если элементам x и y пространства V отвечают элементы x` и y` пространства V`, то элементу x+y отвечает элемент x`+y`, а элементу λx – элемент λx` при любом вещественном λ. В этом случае нулевому элементу пространства R отвечает нулевой элемент пространства R`. Можно доказать, что любые два n-мерных вещественных линейных пространства изоморфны. Таким образом, единственной существенной характеристикой конечномерного линейного пространства является его размерность. Можно сказать также, что всякое n-мерное линейное пространство изоморфно n-мерному координатному пространству Аⁿ.

§3. Евклидовы линейные пространства

Следующий шаг  связан с введением в пространствах любой размерности скалярного произведения. Оно позволит говорить в общей ситуации о таких (присущих евклидовой геометрии) понятиях, как длина, угол, ортогональность.

В вещественном линейном пространстве V задано скалярное произведение, если каждой паре его векторов a,b из V соответствует действительное число, обозначаемое (a,b), и при любом выборе векторов выполнены следующие свойства:

1. (а,b)=(b,a);
2. (a`+a``,b)=(a`,b)+(a``,b)
3. (λa,b)=λ(a,b) для любого числа λ
4. (a,a)≥0, причем (a,a) = 0 тогда и только тогда, когда а =0

В этом определении  выделены важнейшие свойства обычного скалярного произведения геометрических векторов, из которых в качестве следствия можно получить и все  другие его свойства.

Линейное пространство, в  котором задано скалярное произведение, называют обычно евклидовым пространством и обозначают Е.

Подчеркнем, что при введении понятия евклидова пространства абстрагируются не только от природы  изучаемых объектов, но и от конкретного  вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения векторов (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения).

Если же природа  изучаемых объектов и вид перечисленных  правил указаны, то евклидово пространство называется конкретным.

 Примеры евклидовых пространств следующие.

Пример 1. Линейное пространство В₃ всех свободных векторов

Пример 2. Арифметическое векторное линейное пространство Аⁿ, если положить то, что для любой пары векторов а=(а1, а2, … аn), b=(b1,b2, …, bn) из Aⁿ

(a,b)=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n

Пример 3. Бесконечномерное линейное пространство С[α,β] всех функций x(t), определенных и непрерывных на сегменте α≤t≤β. Скалярное произведение двух функций x(t) и y(t) определим как интеграл (в пределах от α до β) от произведения этих функций.

Для любых двух векторов a и b произвольного евклидова пространства справедливо неравенство (a,b)2≤(a,a),(b,b), называемое неравенством Коши-Буняковского.

В любом евклидовом пространстве естественным образом определяется длина │a│= √(a,a). Таким образом, можно говорить, что скалярное произведение определяет «метрику» в линейном пространстве, т.е. способ измерения длин. В евклидовом координатном пространстве Aⁿ с определенным выше скалярным произведением действует знакомое правило для вычисления длины │a│=√a₁²+a₂²+…+a_n² – длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его координат.

В любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами а и b этого пространства. В полной аналогии с векторной алгеброй назовем углом φ между векторами а и b тот (изменяющийся в пределах от 0 до π) угол, косинус которого определяется соотношением