Нелинейная динамическая модель
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………
1. Различные математические модели
1.1 Основные понятия
1.2 Общая характеристика элементов экономики, как объекта моделирования………….5
1.3 Рынок и его виды……………………………………
1.4 Модель Леонтьева. Статическая модель………………………………………………..7
1.5 Математическая модель. Модель Вальраса…………………………………………8-11
1.6 Динамическая модель
Кейнса……………………………………………………….
2. Нелинейная динамическая модель
2.1 Модель Солоу………………………………………………
2.2 Модель Солоу с дискретным временем……………………………………………15-16
2.3 Модель Солоу с непрерывным временем………………………………………….17-18
Заключение……………………………………………………
Список литературы……………………………………………………
Расчётная часть…………………………………………………………………
Введение
Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Математика стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчёта, но также методом точного исследования и средством предельно чёткой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с её развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы не возможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.
Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется разнообразными количественными характеристиками, а поэтому вобрала в себя большое число математических методов.
Актуальность данной темы состоит в том, что в современной экономике используются оптимизационные методы, которые составляют основу математического программирования.
Изучение экономических приложений математических дисциплин, составляющих основу актуальной экономической математики, позволяет приобрести некоторые навыки решения экономических задач и расширить знания в этой области.
Далее будут рассмотрены два вида макроэкономических процессов:
1) Переходные процессы, обусловленные
динамическим характером
2) Параметрические процессы,
вызванные изменением
Динамический характер экономической системы проявляются в том, что причина переходит в следствие не мгновенно, а с некоторым запозданием.
Если экзогенные макроэкономические параметры эволюторно, то переходными можно пренебречь и изучать процессы изменения состояния системы в зависимости от изменения макропараметров. Исследования макроэкономических процессов будет осуществляться с помощью математических методов и моделей, прежде всего с помощью теории динамических систем, опирающийся на аппарат дифференциальных уравнений и преобразований Лапласа. При исследовании переходных процессов в неструктурированной макроэкономике будут использованы динамическая модель Кейнса и модель Самуэльсона-Хикса.
Преимущество математического моделирования состоит в том, что при правильности заложенных в модель предпосылок полученные модели выводы являются верными. Если заложенные предпосылки неверны, то сравнение результатов, полученных по модели, с реальной действительностью покажет несостоятельность данных предпосылок. В таком случае математическая модель может явиться средством проверки правильности выдвигаемых научных гипотез или предполагаемых направлений экономического развития.
1. Различные математические модели
1.1. Основные понятия математических моделей и их применения в экономике
Модель - это объект, который замещает оригинал, отражает наиболее важные для данного исследования черты и свойства оригинала.
Математическая модель
- это модель, представляющая собой
совокупность математических
Любое важное решение в экономике требует проведения эксперимента, но при наличии математической модели избавляются от необходимости дорогостоящих экспериментов, сопровождаемых многократными пробами и ошибками. Это одно достоинство модели. Другое заключается в том, что формализация дает возможность сформулировать реальную задачу как математическую и позволяет воспользоваться для анализа универсальным и мощным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта. Математика проводит детальный количественный анализ модели, помогает предсказать, как поведет себя объект в различных условиях и дает рекомендации для выбора наилучших вариантов решения проблемы.
Математическая модель нетождественна самому объекту, а является его приближенным отражением. Говоря об объективности, следует иметь в виду, что никакая отдельно взятая модель не может вполне правильно отразить все свойства сложной экономической действительности. Поэтому формализация экономической задачи проводится наряду с принятием некоторых предварительных условий, предположений, ограничений. Стремление к простоте модели продиктовано ограниченными возможностями вычислительной техники и экономии временных ресурсов при исследовании модели. Практическое значение модель приобретает тогда, когда ее изучение имеющимися средствами более доступно, чем изучение самого объекта. Требования чувствительности и устойчивости являются отражением объективных характеристик экономических процессов. Одна и та же математическая модель может применяться для исследования экономических задач различного содержания, т. е. быть универсальной.
Для того чтобы математическая модель удовлетворяла всем тем требованиям, необходимо тщательно изучить предметную область, собрать и проанализировать большой объем информации. Только в результате такого предварительного изучения самого объекта можно отличить цели от средств их достижения, следствия от причин их породивших, основные факторы от второстепенных.
Для построения математической модели конкретной экономической задачи (проблемы) рекомендуется выполнение следующей последовательности работ:
- определение известных и неизвестных величин, а также существующих условий и предпосылок;
- выявление важнейших факторов проблемы;
- выявление управляемых и неуправляемых параметров;
- математическое описание посредством уравнений, неравенств, функций и иных отношений взаимосвязей между элементами модели (параметрами, переменными), исходя из содержания рассматриваемой задачи.
Известные параметры задачи относительно ее математической модели считаются внешними (заданными априори, т. е. до построения модели). В экономической литературе их называют экзогенными переменными. Значение же изначально неизвестных переменных вычисляются в результате исследования модели, поэтому по отношению к модели они считаются внутренними. В экономической литературе их называют эндогенными переменными.
Под важнейшими понимаются факторы, которые играют существенную роль в самой задаче и которые, так или иначе, влияют на конечный результат.
Управляемыми называются те параметры задачи, которым можно придавать произвольные числовые значения исходя из условий задачи; неуправляемыми считаются те параметры, значение которых зафиксировано и не подлежит изменению.
С точки зрения назначения, выделяются описательные модели и модели принятия решения. Описательные модели отражают содержание и основные свойства экономических объектов как таковых. С их помощью вычисляются числовые значения экономических факторов и показателей.
Модели принятия решения помогают найти наилучшие варианты плановых показателей или управленческих решений. Среди них наименее сложным являются оптимизационные модели, посредством которых описываются (моделируются) задачи типа планирования, а наиболее сложными - игровые модели, описывающие задачи конфликтного характера с учетом пересечения различных интересов. Эти модели отличаются от описательных тем, что в них имеется возможность выбора значений управляющих параметров, чего нет в описательных моделях.
1.2. Общая характеристика элементов экономики, как объекта моделирования
Первичными элементами экономики являются товары и участники. Например, имеются экономические товары и участники экономики, если установлено, что эти товары обмениваются один на другой в результате соглашений, в которых заинтересованными сторонами выступают участники. Экономический товар -- это именно то, что является предметом сделок в данном обществе и определяет способность к обмену -- труд, капитал, ресурсы, продукты потребления, услуги, информация, ценные бумаги и т.д. Имеется один особый товар, являющийся эквивалентом при обмене -- деньги. Деньги служат средством обращения, мерой стоимости, средством сбережения. Денежный эквивалент единицы товара называется его ценой.
Основными участниками экономики являются домашние хозяйства, фирмы, и регионы.
Домашние хозяйства, с одной стороны, являются потребителями конечного продукта, с другой - владельцами ресурсов (земельных, трудовых и др.). Продавая свои ресурсы, домашние хозяйства получают доход, а также участвуют в распределении прибыли производственных предприятий (например, посредством ценных бумаг).
Фирмы, с одной стороны, являются производителями товаров и услуг, с другой -- потребителями ресурсов. Фирмы получают доход от продажи своих товаров и услуг и являются владельцами производственных мощностей.
Таким образом, большинство участников экономики действуют одновременно как покупатель и продавец. Взаимодействуя между собой, покупатели и продавцы образуют рынок. Основными рыночными понятиями являются спрос, предложение, конкуренция и цена.
Спрос можно определить как платежеспособную потребность в том, или ином товаре. Спрос на товар зависит от его цены (т.е. спрос является функцией от цены). Как правило, при высокой цене приобретается меньшее количество товара (обратная связь (рис.1)). В экономике этот факт называется законом спроса.
Предложение -это то количество товара, которое производители могут и хотят произвести.
Предложение также зависит от цены товара. В экономике этот факт называется законом предложения.
Если вся масса товара, произведенная в расчете на данную цену, может быть по этой цене продана полностью, то говорят, что по данному виду товара в экономике существует равновесие. Иными словами, существует такая цена, для которой спрос на данный товар равен предложению. Такая цена называется равновесной.
1.3. Рынок и его виды
Рынок - это механизм взаимодействия покупателей и продавцов, реализующийся через рыночные цены, взаимное соотношение спроса и предложения.
Участниками рынка могут быть любые заинтересованные в купле-продаже товаров стороны: индивидуальные потребители, отдельные фирмы, совокупность потребителей некоторого региона, совокупность предприятий данной отрасли, финансовые организации, концерны, целые страны, т. е. классификация участников рынка, зависит от характера решаемой задачи.
В классических моделях в качестве участников рынка рассматриваются производители товаров и их потребители. Первые выходят на рынок для реализации своей продукции, а вторые - для приобретения необходимых им товаров потребления. Любой участник рынка выступает одновременно как продавец и покупатель. Можно сказать, что относительно любого товара на рынке существует три группы участников: те, кто продает этот товар, те, кто покупает его, и те, кому этот товар безразличен. Если продавцов (покупателей) данного товара много, то между ними возникает конкуренция. Поэтому рынки можно классифицировать по характеру конкуренции.
1.4. Модель Леонтьева. Статическая модель
Рассмотрим статическую линейную модель многоотраслевой экономики. В основе модели лежат следующие предположения:
1) В системе экономики производятся, продаются, покупаются, потребляются и инвестируются n продуктов;
2) Каждая отрасль является «чистой», т. е. производит только один продукт;
3) Производственный процесс в отрасли - это преобразование некоторых типов продуктов в какой-то один продукт. Таким образом, если для производства единицы j-го продукта надо затратить aij единиц i-го продукта, то выпуск л единиц j-го продукта потребует л aij единиц i-го продукта.
Таким образом, независимо от масштаба производства удельный выпуск и соотношение затрат всегда постоянны.
Валовой выпуск i-го продукта за год распадется на две части: на производственное потребление и на конечное (не производственное) потребление.
Если прировнять чистый выпуск каждого i-го продукта конечный спрос на него yi, то образуется система уравнений, которая и составляет модель Леонтьева.
Конечный спрос yi состоит из конечного потребления, экспорта и инвестиций. Но в самой модели величины yi мыслятся как экзогенно заданные. Поэтому при заданных yi, i=1, … , n, n линейных уравнений модели Леонтьева позволяет определить n отраслевых выпусков xi, i=1, … , n.
Величины yi, xi могут быть представлены в натуральных или стоимостных единицах измерения, в соответствии с этим различают натуральный или стоимостный межотраслевые балансы.
1.5. Математическая модель рынка. Модель Вальраса
Основными условиями модели Вальраса являются:
1. дезагрегированность участников рынка (рассматриваются отдельные потребители и отдельные производители);
2. совершенность конкуренции;
3. общность равновесия (рассматривается равновесие по всем товарам сразу, а не по отдельным товарам).
Модель является попыткой представить все уравнения, описывающие общее равновесие в хозяйстве, чтобы сравнить число этих уравнений с числом переменных, которые они включают. Если число уравнений будет равно числу переменных, то общее равновесие возможно.
Итак, вообразим себе хозяйство, обладающее следующими характеристиками. На любом рынке этого хозяйства существует совершенная конкуренция (большое количество покупателей и продавцов, полная информированность, отсутствие затрат на вход и выход с рынка, каждый потребитель и фирма действуют независимо от остальных). Предполагается также отсутствие внешних эффектов и общественных благ.
В хозяйстве существует m видов потребительских благ, каждое из которых производится в условиях совершенной конкуренции множеством независимых фирм. Каждая фирма максимизирует свою прибыль.
В хозяйстве имеется n видов ресурсов, которые находятся в собственности потребителей и предоставляются последними фирмам по некоторым ценам. Каждый потребитель может владеть любым числом видов ресурсов и не обязательно предлагает к продаже все количество имеющегося ресурса. Полученный доход потребители распределяют между разными потребительскими благами, максимизируя свои функции полезности.
Как и Вальрас в первых вариантах своей модели, мы предположим, что для производства единицы каждого блага необходимо фиксированное количество каждого ресурса. Таким образом, существует матрица размером n на m, отдельный элемент которой, aij, показывает количество ресурса j, необходимое для производства блага i:
Здесь нам следует сразу заметить две вещи. Во-первых, из первичных ресурсов сразу производятся потребительские блага (нет промежуточных благ и их рынков). Во-вторых, поскольку у фирм отсутствуют постоянные затраты, в этой системе не существует деления на короткий и длительный периоды. Существует единое общее равновесие, которое по смыслу соответствует равновесию длительного периода.
Таким образом, всего в хозяйстве существует n рынков ресурсов и m рынков потребительских благ. На каждом рынке существуют две переменные - цена и количество. На рынке отдельного блага это Pi и Qi, а на рынке отдельного ресурса - pj и qj (пользуясь принятыми в части IV обозначениями, используем прописные буквы для переменных на рынках благ и строчные - для рынков ресурсов). Всего у нас получается 2n + 2m неизвестных.
Определим теперь число уравнений, описывающих хозяйственную систему. Существуют четыре группы уравнений, описывающих различные типы функциональных зависимостей в хозяйстве: 1) уравнения для спроса на потребительские блага, 2) уравнения для предложения ресурсов, 3) уравнения для равновесия в отрасли, 4) уравнения для спроса на ресурсы. Первые две группы описывают равновесие потребителей, вторые две задают равновесие производителей.
1. Уравнения потребительского
спроса. Спрос отдельного потребителя
на каждое благо определяется
как функция цен всех
Так как спрос каждого потребителя зависит от этих переменных, можно сказать, что рыночный спрос определяется как сумма индивидуальных спросов. Поэтому, чтобы записать функцию рыночного спроса на благо, мы должны просто "слить" все функции индивидуального спроса в одну функцию и записать следующее равенство:
Qi = f(P1 ... Pm; p1 ... pm),
где Qi - объем производства блага; f(P1 ... Pm; p1 ... pn) - суммарный спрос всех потребителей на рынке блага i. Поскольку у нас m рынков благ, мы имеем ровно m таких уравнений спроса.
2. Уравнения предложения
ресурсов. Поскольку потребители
должны также выбрать объем
предложения ресурсов, которыми
они обладают, мы должны записать
их функции предложения. Индивидуальное
предложение ресурса также
qi = φ(P1 ... Pm; p1 ... pn),
где qj - объем продаж на рынке ресурса j; (P1 ... Pm; p1 ... pn) - функция предложения ресурса j всеми потребителями хозяйства. Поскольку в хозяйстве существует n рынков ресурсов, имеем ровно n таких функций предложения.
Заметим, что один вектор цен (P1 ... Pm; p1 ... pn) задает объемы спроса и предложения сразу на всех рынках благ и ресурсов, так как выбор отдельного потребителя заключается в одновременном определении своего спроса и предложения на всех рынках хозяйства при заданных ценах. С подобной постановкой задачи мы уже сталкивались, когда рассматривали одновременный выбор индивидом предложения своего труда и спроса на блага.
Кроме того, в этом векторе цен важно именно соотношение цен различных благ и ресурсов, а не их абсолютная величина. Пропорциональное изменение всех цен не вызовет изменения спроса и предложения на всех рынках. Например, если и цены благ, и цены ресурсов повысятся ровно в 2 раза, ни у одного потребителя не будет стимула для изменения своего поведения.
3. Уравнения равновесия
в отрасли. Согласно использованной
выше логике, теперь мы должны
были бы записать функции
Но в этой ситуации мы можем проигнорировать функции предложения как таковые и записать другое условие равновесия отдельного производителя на отдельном рынке - равенство прибыли нулю. Поскольку на всех рынках существует совершенная конкуренция, общее равновесие будет достигнуто в том случае, если прибыльность производства всех благ будет одинакова и равна нулю. Или, что то же самое, средние затраты будут равны цене блага. Таким образом, имеем:
Pi = p1ai1 + p2ai2 +...+ pnain,
т. е. цена блага i распадается на затраты по приобретению ресурсов для производства единицы блага. Поскольку каждое благо должно производиться при аналогичных условиях, мы имеем m таких уравнений. Здесь также существенно лишь соотношение цен: их пропорциональное изменение не нарушает равенства.
4. Уравнения спроса на
ресурсы. При определении спроса
на ресурсы мы сталкиваемся
с той же проблемой, что в
предыдущем пункте. Поскольку производственные
коэффициенты постоянны, функции
спроса на ресурсы будут иметь
бесконечную эластичность. Но, как
и в предыдущем случае, мы можем
схитрить и записать условие
общего равновесия - спрос на каждый
ресурс будет предъявляться в
таком количестве, которое необходимо
для производства равновесного
набора благ согласно
qj = a1jQ1 + a2jQ2 +...+ amQm,
где Qi - объем производства блага i. Поскольку это равенство должно выполняться для всех ресурсов, мы имеем еще n таких уравнений.
Поскольку в данном случае мы анализируем относительные цены и абстрагируемся от их абсолютных значений, для измерения цен нам необходимо выбрать одно благо, которое будет служить счетной единицей (фр. numeraire - счетный). Цена этого блага принимается равной единице и поэтому не является неизвестной. Таким образом, число неизвестных равно 2n + 2m - 1.
Теперь мы можем подвести итог. Всего в нашей системе имеется 2n + 2m уравнений и 2n + 2m - 1 неизвестных. Как видно, неизвестных меньше, чем уравнений, и это говорит о том, что одно из уравнений оказывается лишним. Если нам удастся исключить его из системы, доказав его зависимость от остальных, тогда общее равновесие оказывается возможным.
Исключить одно уравнение действительно можно на основе следующего соображения. В условиях общего равновесия весь доход, полученный потребителями от продажи ресурсов, расходуется на рынках потребительских благ. Это значит, что общая стоимость ресурсов должна быть равна общей стоимости благ. Поэтому в условиях общего равновесия, зная цены и количества на всех рынках ресурсов и благ, кроме рынка блага, выбранного в качестве счетной единицы, мы можем рассчитать объем спроса на этом рынке остаточным способом. Поэтому одно из уравнений спроса оказывается зависимым от всех остальных уравнений в системе, и его можно исключить. Остается 2n + 2m - 1 независимых уравнений.
Таким образом, число уравнений оказывается равным числу неизвестных, и это означает возможность достижения общего равновесия в хозяйстве.
1.6. Динамическая модель Кейнса
Согласно постулату Кейнса, выведенному из уроков кризиса 1929-1934 гг., «предприниматели производят не столько, сколько захотят, но столько, каков спрос». Если предположить, что спрос будущего года формируется в текущем году, то предприниматели спланируют производство будущего года в соответствии с прогнозируемым спросом.
В рассматриваемой модели роль единственной эндогенной переменной Y, изменяющейся во времени, выполняет валовой внутренний продукт (ВВП), т.е. объем производства товаров конечного пользования. ВВП состоит из четырех частей: фонд не производственного потребления C; валовые частные внутренние инвестиции I; государственные расходы на закупку товаров и услуг G; чистый экспорт E. В модели экономика считается закрытой, поэтому чистый экспорт равен нулю, а государственные расходы распределяются на потребление и накопление, поэтому принимается:
Y = C + I
В модели предполагается, что спрос на инвестиционные товары постоянен, а спрос на потребительские товары в будущем году есть линейная функция ВВП текущего года:
СDt+1 = C + cYt
Где c- нижняя граница фонда непроизводственного потребления;
0<c< 1 - предельная склонность к потреблению.
Динамическая модель Кейнса возникает, если приравнять планируемый выпуск товаров конечного пользования прогнозируемому спросу на них:
YT+1=C+ cYt + I. (1.1)
Эта модель может применяться только для анализа и краткосрочного прогнозирования поведения экономики. Она непригодна для долгосрочного прогнозирования, поскольку не отражает воспроизведенный процесс, в частности, в ней не учтено выбытие фондов в связи с их физическим и моральным износом.
С математической точки зрения модель (1.1) является линейным конечно-разностным уравнения первого порядка. Между разностными и дифференциальными уравнениями прямая аналогия, хотя есть и определенные различия.
В частности, общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (1.1).
Решение однородного уравнения
Yt+1 - cYt=0
Будем искать в виде Yt = лt, поэтому
лt+1 - cлt=0
и для определения л получаем характеристическое уравнение
л - c = 0, л = c
поэтому общее решение однородного уравнения
Yt = Act
Где A - постоянная.
Частное решение неоднородного уравнения (2.1.1) равно (проверяется непосредственной подстановкой в уравнение):
YE =
Поэтому общее решение неоднородного уравнения таково;
Yt = YE + Act, t = 0, 1, 2, …
Постоянную A определяем с помощью начального значения Y0;
Y0 = YE + A
Откуда
A = Y0 - Y-E
Поэтому окончательно получаем конкретное решение уравнения (2.1.1):
Yt = YE + (Y0 - YE) ct, (1.2)
при этом = YE, так как 0 <c<1,т. Е. YE- установившееся значение ВВП.
В одной из задач к настоящей главе предлагается выяснить как поведет себя экономика, находящаяся в установившемся состоянии, при инвестициях I, если ежегодные инвестиции увеличатся на I.
2. Нелинейная динамическая модель
2.1. Модель Солоу
Сравнительно простая непрерывная динамическая модель, адекватно отражающая важнейшие экономические аспекты процесса расширенного воспроизводства, известна в экономической литературе как модель Солоу. Модель Солоу позволяет охарактеризовать основные формальные особенности моделей динамики. В модели Солоу экономика рассматривается как замкнутое единое неструктурированное целое, производит один универсальный продукт, который может как потребляться, так и инвестироваться.
- Нелинейное программирование
- Нелинейное резонансное усиление, схемы усилителей и их применение
- Нелинейные модели исследований операции и методы их решения
- Нелинейные модели, поддающиеся линеаризации. Подход Бокса-Кокса подбора линеаризующего преобразования
- Нелинейные модели словообразования в современном английском языке (на материале общего сленга)
- Нелинейные непрерывные динамические системы
- Нелинейные сопротивления
- Некрасов - журналист
- Некробаетериоз
- Некробактериоз
- Нелегальная экономика России
- Нелегальная экономика России
- Нелегальный рынок и его влияние на рыночные отношения в России
- Нелинейная динамика
