Нелинейные сопротивления

Содержание

Введение.

Среди многочисленных полупроводниковых  приборов, используемых в настоящее  время, видное место принадлежит  нелинейным полупроводниковым резисторам (НПР), отличительной особенностью которых является значительная зависимость величины их электрического сопротивления от температуры окружающей среды и величины приложенного напряжения.

НПР находят широкое  применение в разнообразных современных  электронных и электротехнических схемах и оборудовании. В ряде случаев такой прибор может заменить достаточно сложную электронную схему или существенно ее упростить. НПР завоевали широкое признание в связи с их преимуществами перед другими приборами, используемыми для аналогичных целей, такими как высокий уровень температурной чувствительности и уникально высокий уровень импульсной устойчивости (в широком диапазоне напряжений); малые габариты; предельная простота устройства (обычно – керамический диск); стабильность характеристик во времени, высокая надежность; отсутствие необходимости специального ухода за НПР во время эксплуатации, а также экономичность. Керамическая технология, используемая для их изготовления, позволяет варьировать характеристики в широких пределах и изготавливать изделия различных конструктивных исполнений.

В связи с эти актуальным представляется рассмотрение характеристик  и свойств таких сопротивлений, а также методов расчета цепей  в состав которых входят нелинейные сопротивления.

1. Нелинейные элементы. Их характеристики и свойства

Нелинейные резистивные  элементы. Напомним, что нелинейными  называются электрические цепи, у  которых реакции и воздейстивие связаны нелинейными зависимостями. Подобные цепи содержат один или несколько  приборов, замена которых линейными  моделями приводит к недопустимому нарушению количественной и качественной картины колебаний в цепи.

Резистивными нелинейными  цепями будем называть цепи, которые  допустимо считать нелинейными  безынерционными цепями. В соответствии с этим модель нелинейной резистивной  цепи не содержит реактивных элементов. В нее входят хотя бы один нелинейный безынерционный резистивный двухполюсник или многополюсник, хотя бы один источник напряжения или тока и то или иное число резистивных сопротивлений.

Для построения многих функциональных узлов аппаратуры связи используется большой класс нелинейных двухполюсных полупроводниковых и электронных приборов, называемых диодами. Единственной электрической характеристикой диода является его вольт-амперная характеристика (ВАХ) - зависимость постоянного тока в диоде от постоянного напряжения на его зажимах i= F(u)  при согласном выборе положительных направлений напряжения и тока. Отличительные особенности вольт-амперных характеристик некоторых типов диодов различного назначения и их условные (схемные) обозначения приведены на рис.  Это характеристики полупроводниковых приборов: выпрямительного диода (рис. 1, а), стабилитрона (рис. 1, б), туннельного диода (рис. 1, в) и динистора (рис. 1, г). Характеристики рис. 1, а, б получили наименование однозначных, а рис. 1, в, г - многозначных, так как у них одному и тому же значению тока (рис. 1, в) или напряжения (рис. 1, г) соответствуют разные напряжения и токи. 

Рис.1 

Рис.2

Существуют и электронные  приборы с подобными характеристиками.

В последующем, простоты ради, нелинейные резистивные двухполюсники  будем называть нелинейными резисторами. Схемное изображение нелинейного резистора приведено на рис. 2. Некоторые из нелинейных резисторов относятся к числу управляемых нелинейных элементов. Управляющей величиной может быть, например, внешняя температура, давление или освещенность. Свойства таких резисторов определяются не одной, а семейством ВАХ, каждая из которых соответствует различным значениям управляющей величины.

Транзисторы, электронные  лампы, тиристоры и некоторые  другие полупроводниковые и электронные  приборы могут рассматриваться  как нелинейные резистивные четырехполюсники. Например, при включении транзистора рис. 3, а, являющегося трехполюсником, в электрическую цепь один из зажимов оказывается общим для пары входных и пары выходных зажимов транзистора. Поэтому транзистор принято рассматривать как четырехполюсник с двумя парами зажимов. На рис. 3, б показано такое включение транзистора по схеме с общим эмиттером.

Нелинейный четырехполюсник, как и линейный, описывается двумя  уравнениями, которые связывают  напряжения и токи на его входе  и выходе. При анализе транзисторов часто используется следующая система уравнений:

u₁ = F₁(i₁, u₂),           (1)

i₂ = F₂(i₁, u₂).         (2)

Для включения транзистора  по схеме с общим эмиттером (рис. 3, б) u₁ =u_БЭ - напряжение между базой и эмиттером, i₂ = i_К - ток коллектора, i₁= i_Б  - ток базы и u₂ = u_КЭ -напряжение между коллектором и эмиттером.

Уравнения (1) и (2) изображаются в виде графиков. Так u_i зависит от двух переменных i₁ и u₂ и, вообще говоря, его графическое изображение представляет собой поверхность в трехмером пространстве. 

Рис.3

Так как начертить  такую поверхность трудно, то функцию  двух переменных изображают на плоскости  в виде семейства характеристик: фиксируется одна переменная и непрерывно изменяется другая.

Графическое изображение  уравнений (1) и (2) для транзистора  в схеме с общим эмиттером  показано на рис. 3, в и г. Это так называемые входная и выходная вольт-амперные характеристики. Принято говорить, что ВАХ транзистора управляются, током или напряжением. Так, выходная ВАХ транзистора в схеме с общим эмиттером управляется током базы.

ВАХ нелинейных полупроводниковых  и электронных приборов находятся, как правило, в результате измерений  и приводятся в соответствующих справочниках в виде усредненных графических зависимостей. Необходимость усреднения связана с большим (до 30 - 50% ) технологическим разбросом характеристик различных образцов прибора одного и того же типа. Эти характеристики являются статическими, т. е. характеристиками режима постоянного тока.

Для резистивных нелинейных элементов (НЭ) важным параметром является их сопротивление, которое в отличие  от линейных резисторов не является постоянным, а зависит от того, в какой точке  ВАХ оно определяется. Различают два вида сопротивлений: статическое и дифференциальное (динамическое). Статическое сопротивление R_cт определяется как (рис. 4)

где U₀ - приложенное к НЭ постоянное напряжение; I₀ - протекающий через НЭ постоянный ток. Это сопротивление постоянному току; оно характеризуется тангенсом угла наклона прямой, проходящей через начало координат и рабочую току (U₀, I₀) на ВАХ НЭ. 

Рис.4

В силу предположения  о резистивном характере цепи статические характеристики определяют одновременно и соотношения между  мгновенными значениями напряжений и токов на внешних зажимах  соответствующего нелинейного прибора.

Определим дифференциальное сопротивление R_Д как отношение приращения напряжения Du к приращению тока Di при небольшом смещении рабочей точки на ВАХ под воздействием переменного напряжения малой амплитуды (рис. 4):

Это сопротивление представляет собой  сопротивление НЭ переменному току малой амплитуды. Обычно переходят  к пределу этих приращений и определяют дифференциальное сопротивление в  виде

Оно характеризуется тангенсом  угла наклона касательной к ВАХ  в рабочей точке.

Иногда удобно пользоваться понятием дифференциальной крутизны (имеющей смысл проводимости)

S_Д = G_Д = 1/R_Д = du/di

Нелинейные индуктивные элементы. Типичными динамическими нелинейными элементами электрической цепи являются катушки с сердечниками из ферромагнитных материалов - сплавов на основе металлов группы железа или их оксидов - ферритов. Нелинейность таких элементов обусловлена характеристикой намагничивания материала сердечника В(H). Поскольку в приближении теории магнитных цепей для замкнутого неразветвленного сердечника с постоянным сечением s и длиной l средней магнитной линии магнитный поток Ф пропорционален индукции В: Ф = Bs, а напряженность Н связана с током i в обмотке, имеющей w витков, соотношением Н = iw/l, то вид зависимости В(Н)предопределяет характер вебер-амперной характеристики катушки Y( i ) (Y=Фw - потокосцепление обмотки см. § 2). Типичная вебер-амперная характеристика индуктивного элемента приведена на рис. 10.5, а. В общем случае вид ВАХ индуктивного элемента определяется многими факторами, и она часто является неоднозначной. Например, при циклическом намагничивании сердечника зависимость Y( i ) имеет гистерезисный характер (рис. 5, б). В этом случае процесс перемагничивания сопровождается необратимыми потерями в сердечнике.

Рис.5

Нелинейный элемент  индуктивности характеризуется  согасно (8) статической индуктивностью L_ст =Y/i и дифференциальной индуктивностью L_Д = dY/di, которые зависят от намагничивающего тока i.

Нелинейные емкостные  элементы. Нелинейные емкостные элементы могут служить моделями конденсаторов, диэлектрическая проницаемость e которых является функцией от напряженности электрического поля Е в диэлектрике. Такие емкостные элементы описываются нелинейной вольт-кулоновой характеристикой - зависимостью заряда q от приложенного напряжения u. Подобными свойствами обладают, в частности, сегнетоэлектрики, вольт-амперные характеристики которых, аналогичны характеристикам ферромагнетиков (рис. 6, а); обратно смещенные р-n -переходы (рис. 6, б) и др.

Нелинейный элемент емкости  характеризуется согласно (11) статической емкостью С_ст = q/u_c и дифференциальной емкостью С_д = dq/du_c, которые зависят от приложенного напряжения u_с.

На рис. 6, в, г, показан характер изменения дифференциальной емкости для вольт-кулонных характеристик, изображенных на рис. 6, а и б, соответственно. 

Рис.6

2. Графические методы  расчета цепей с нелинейными  резистивными двухполюсниками

Задача нахождения начальных  постоянных напряжений и токов на внешних зажимах нелинейных полупроводниковых или электронных приборов, входящих в электрическую цепь, сводится к задаче анализа режима постоянного тока в исследуемой цепи, т. е., к анализу нелинейной резистивной цепи с источниками постоянного напряжения или (и) тока. Решаются подобные задачи обычно с использованием графических построений.

Ниже рассматривается задача анализа  режима постоянного тока в электрической  цепи с одним нелинейным двухполюсником, - нелинейным резистивным элементом (НЭ). Его ВАХ считается известной  и заданной графически.

Рис.7

Рассмотрим простейшую электрическую цепь, изображенную на рис. 7. В нее входят источник постоянного  напряжения с задающим напряжением U_г, линейный резистивный  элемент R и нелинейный резистивный элемент, в котором подлежат определению постоянные напряжение U = U₀ и ток I = I₀. Рассмотрим два случая НЭ: с однозначной и многозначной ВАХ.

Рис.8

Нелинейный  резистивный элемент с однозначной  характеристикой. Пусть однозначная ВАХ нелинейного резистивного элемента имеет вид, показанный на рис. 8, а.

Согласно ЗНК (рис. 7) напряжение U = U_г - RI, и ток в элементе R связан с напряжением U на зажимах НЭ зависимостью I = (U_г -U/R), представляющей собой прямую, проходящую через точки U_г на оси абсцисс и  U_г/R- на оси ординат. Поскольку нелинейный и линейный элементы соединены последовательно, то ВАХ НЭ и прямая  I = (U_г -U/R),определяющие один и тот же ток, удовлетворяются одновременно, чему на графиках рис. 8, в соответствует точка их пересечения. Она и определяет искомые значения постоянных напряжения U₀ и тока I₀ в нелинейном резисторе, или, как принято говорить, его рабочую точку.

Графические построения, связанные с решением задачи, всегда выполнимы, а найденное ее решение - единственное.

Рабочая точка нелинейного резистора  изменяется как с изменением сопротивления R, так и с изменением задающего напряжения источника U_г. Изменение сопротивления R приводит к изменению наклона зависимости I = (U_г -U/R) и смещению рабочей точки на вольт-амперной характеристике нелинейного резистора (см. рис. 9, а). Изменение задающего напряжения на величину DU_г вызывает перемещение той же зависимости параллельно самой себе и изменение тока и напряжения в нелинейном резисторе соответственно на величины DU и DI(см. рис. 9, б).

Рис.9

Рис.10

Напомним, что отношение  бесконечно малого приращения тока к  бесконечно малому приращению напряжения на нелинейном элементе, обусловленных  смещением рабочей точки, называется дифференциальной проводимостью (крутизной), а обратное отношение - дифференциальным сопротивлением нелинейного резистора в его рабочей точке.

Отношение постоянных тока и напряжения в рабочей точке нелинейного  резистора определяет его статистическую проводимость, а обратное отношение - статическое сопротивление резистора в его рабочей точке.

Статическая проводимость пассивного нелинейного резистора всегда положительна. Положительна и дифференциальная проводимость нелинейного резистора с однозначной  вольт-амперной характеристикой в  силу возрастающего характера последней. Заметим также, что статическая и дифференциальная проводимости линейного резистора не отличаются одна от другой.

Нелинейный резистивный  элемент с многозначной характеристикой. Пусть многозначная ВАХ нелинейного резистивного элемента в схеме рис. 7 имеет вид, показанный на рис. 10, а. Это характеристика туннельного диода. Для нахождения рабочей точки на ВАХ резистивного НЭ. применим те же, что и выше, графические построения.

На рис. 10, б совмещены  графики вольт-амперной характеристики нелинейного резистора и зависимостей I = (U_г -U/R) для трех различных значений сопротивления линейного резистора R и одного и того же значения напряжения задающего источника U_г.

Анализ рис. 10, б показывает, что рабочими точками могут быть точки 1 и 5, соответствующие единственному решению уравнений I =F(U) и  I = (U_г -U)/R. Рабочими точками могут быть также точка 2 или точка 4. Точка 3, расположенная па ниспадающем участке ВАХ, является точкой неустойчивого равновесия. Можно показать, что если зафиксировать сопротивление R, при котором могут существовать три точки пересечения указанных зависимостей, и увеличивать задающее напряжение источника от нуля до величины U_г, то рабочей будет точка 4. Если же задающее напряжение источника от очень большого значения уменьшать до значения U_г, то рабочей будет точка 2.

Итак, в цепи с нелинейным двухполюсником, имеющим многозначную ВАХ задачи нахождения рабочей точки не всегда имеет единственное решение.

Рис.11

Рабочая точка может  быть расположена и на ниспадающем  участке вольт-амперной характеристики, если выбрать сопротивление R и задающее напряжение U_г так, как показано на рис. 1 Заметим, что в рабочей точке, расположенной на ниспадающем участке вольт-амперной характеристики, дифференциальная проводимость и дифференциальное сопротивление нелинейного резистора отрицательны, поскольку малым положительным значениям приращения напряжения (тока) на зажимах нелинейного резистора соответствуют отрицательные значения приращения тока (напряжения).

Метод эквивалентного генератора. Изложенная методика определения рабочей точки в цепи с одним линейным и одним нелинейным резистивными элементами распространяется на резистивные цепи с одним резистивным НЭ и произвольным числом линейных резистивных элементов и источников постоянного напряжения или (и) тока, если воспользоваться теоремой об эквивалентном генераторе. Для этого следует внешнюю по отношению к нелинейному двухполюснику линейную активную цепь (см. рис. 12, а) заменить эквивалентным генератором с задающим напряжением U_эг и внутренним линейным резистивным эквивалентным сопротивлением R₃ (рис. 12, б). Тогда схема анализируемой цепи не будет отличаться от схемы рис. 7, и задача нахождения рабочей точки сводится к рассмотренной выше.

Напряжения и токи в элементах цепи, внешней по отношению  к НЭ, можно найти, воспользовавшись теоремой замещения (см. § 7). Для этого  нелинейный резистивиый элемент  следует заменить источником напряжения (источником тока), напряжение (ток) которого равно (равен) найденному значению напряжения (тока) в рабочей точке. Напряжения и токи в линейной части электрической цепи находят любым методом анализа режима постоянного тока.

Метод, с использованием эквивалентного генератора, является графоаналитическим, поскольку в нем аналитические методы определения параметров эквивалентного генератора и расчета линейной цепи после замены НЭ источником напряжения или тока сочетаются с графическим методом нахождения рабочей точки.

Рис.12

Рис.13 

Пример. Применим метод эквивалентного генератора к схеме рис. 13, а, где U₀₁ ⁼ 14 В, J₀₂ = 10 мА. R₁ = 1 кОм, I_H = 10^- 5 U_H² . Из рисунка следует, что напряжение U_эг - при отключении НЭ равно

U_эг = J₀₂ R₁ + U₀₁= 24 В,

а эквивалентное сопротивление R_Э = R₁ = 1 кОм. В соответствии с ЗНК (рис. 13, б) имеем

I_H = (U_г -U_H)/R= -10^-3U_H + 24 ^. 10^-3.

Построение графиков прямой линии и ВАХ нелинейного элемента показано на рис. 13, б. Пересечение этих кривых дает координаты рабочей точки: I_H = 4 мА и U_H = 20 В.

3. Графические методы  расчета цепей с нелинейными  резистивными четырехполюсниками 

Рассмотрим задачу анализа режима постоянного тока в резистивной электрической цепи с нелинейным четырехполюсником

Рис.14

Пусть входная ВАХ  и семейство выходных ВАХ будут  иметь вид показанный на рис. 15, а и б; управляющим параметром для семейства выходных характеристик четырехполюсника является его входной ток I

Задача нахождения входных  напряжения U₁ = U₁₀ и тока I₁ = I₁₀  сводится к задаче нахождения рабочей точки на входной вольт-амперной характеристике i₁= F₁(u₁). Она решается с помощью графических построений, которые полностью аналогичны рассмотренным в § 2 (рис. 16, а).

Рис.15

Рис.16

Найденному входному току I₁ = I₁₀ соответствует определенная выходная вольт-амперная характеристика i₂= F₂(u₂). Она может быть измерена или, как это обычно, делается, определена по семейству выходных вольт-амперных характеристик четырехполюсника из справочника. Для этого необходимо провести линейное интерполирование двух характеристик семейства с ближайшими значениями параметров I₁< I₁₀   и I₁> I₁₀. На рис. 16, б эта характеристика изображена штриховой линией.

Выходной ток I₂ выходное напряжение U₂ (см. рис. 14) связаны между собой линейной зависимостью I₂ = (U_г2 -U₂)/R₂, которая на рис. 16, б представляет собой прямую, проходящую через точки U₂ = U_г2 на оси абсцисс и I₂ = U_г2/R₂   на оси ординат.

Точка пересечения зависимостей I₂ =(U_г2 -U₂)/R₂ и i₂ = F₂(u₂) при I₁ = I₁₀ и определяет рабочую точку (U₂₀,I₂₀)на выходных характеристиках четырехполюсника.

Дальнейший анализ рассматриваемой  цепи может быть связан с нахождением  напряжений и токов в ветвях входной  и выходной цепей, если до анализа эти цепи были заменены эквивалентными генераторами.

5. Аналитическое представление  вольт-амперных характеристик

Часто необходимо иметь  аналитические выражения для  вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физические закономерности, которым подчиняются зависимости между напряжениями и токами в электронных и полупроводниковых приборах, не выражаются аналитически.

Задача приближенного  аналитического представления функции, заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах изменения ее аргумента (независимой переменной) предполагает, во-первых, выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно представляется заданная зависимость, и, во-вторых, выбор критерия оценки “близости” этой зависимости и аппроксимирующей ее функция.

В качестве аппроксимирующих функций используются, чаще всего, алгебраические полиномы, некоторые дробные рациональные и трансцендентные функции или  совокупность отрезков прямых линий.

Будем считать, что ВАХ  нелинейного элемента i = F(u) задана графически, т. е. определена в каждой точке интервала U_min £ u £ U_mаx, и представляет собой однозначную непрерывную функцию переменной u . Тогда задача аналитического представления вольт-амперной характеристики может рассматриваться как задача аппроксимации заданной функции x(х) выбранной аппроксимирующей функцией f(x).

О близости аппроксимирующей f(x) и аппроксимируемой x(х) функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации, обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности между этими функциями в интервале аппроксимации а £ х £b, т. е. по величине

       (10.3)

Часто критерием близости выбирается среднее квадратическое значение разности между указанными функциями в интервале аппроксимации, т. е, величина

    (10.4) 

Иногда под близостью  двух функций f(x) и x(х) понимают совпадение в заданной точке х =Х₀ самих функций и п + 1 их производных.

Наиболее распространенным способом приближения аналитической  функции к заданной является интерполяция (метод выбранных точек), когда добиваются совпадения функцийf(x) и x(х) в выбранных точках (узлах интерполяции) x_k, k = 0, 1, 2, ..., n.

Погрешность аппроксимации  может быть достигнута тем меньшей, чем больше число варьируемых  параметров входит в аппроксимирующую функцию, т. е., например, чем выше степень  аппроксимирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция. Одновременно с этим, естественно, растет объем вычислении как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи. Простота этого анализа наряду с особенностями аппроксимируемой функции в пределах интервала аппроксимации служит одним из важнейших критериев при выборе типа аппроксимирующей функции.

В задачах аппроксимации  вольт-амперных характеристик электронных  и полупроводниковых приборов стремиться к высокой точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах. В большинстве случаев достаточно “правильно” воспроизвести общий усредненный характер зависимости i = F(u) в пределах ее рабочего интервала.

Полиномиальная аппроксимация. В качестве аппроксимирующей функции  в задачах аналитического представления вольт-амперных характеристик очень часто используются алгебраические полиномы

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ...a_nxⁿ           (5)

той или иной степени.

Постоянные a₀,a₁ ,a₂ , ...,a_n представляют собой варьируемые параметры, значения которых выбираются такими, чтобы в интервале аппроксимации а £ х £b свести к минимуму погрешность аппроксимации в соответствии с выбранным критерием близости.

В простейшем случае критерием  близости может служить совпадение значений аппроксимирующей и аппроксимируемой функций в возможно большем числе выбранных точек, расположенных в интервале аппроксимации. Соответствующий метод приближенного воспроизведения функций носит, как мы уже упоминали, название интерполирования, а дискретные точки, в которых требуется точное совпадение функций f(x) и x(х), называются узлами интерполирования. Их число на единицу превышает степень интерполирующего полинома. Действительно, записывая равенство функций f(x_k ) =x(х_k) в каждом из узлов интерполирования x_k, к = 0, 1, 2, ..., n, получим систему из n + 1 линейных уравнений

   (6)

с таким же числом неизвестных  коэффициентов a₀, a₁, a₂ , ..., a_n интерполирующего полинома.

В теории интерполирования функций доказывается, что система  уравнений (6) имеет единственное решение. Единственным, следовательно, будет и решение рассматриваемой задачи интерполирования вольт-амперной характеристики полиномом выбранной степени.

Приведем простейший пример интерполирования в интервале 0 £ х £,5 полиномом первой степени f(x) =a₀+ a₁х функции x(х) =1- е^-х, заданной аналитически. Расположим узлы интерполирования, а их должно быть п + 1 = 2, при x₀ = 0,1 и х₁ = 1,0. Тогда система уравнений относительно искомых коэффициентов а₀ и а₁ будет такой:  а₀ + а₁ ^. 0,1 =1- е^-0,1   и  а₀ + а₁ = 1- е^- Из ее решения следует а₀ = 0,036, а₁ = 0,597 и f(x) = 0,036 + 0,597x. Графики функций f(x) и x(х) приведены на рис. 17. Они показывают, что точность воспроизведения заданной функции невелика. В заданном интервале 0£ х £ 1,5 наибольшая погрешность |f(x) - x(x)| , т. е. max|f(x) - x(x)| находится на одной из границ интервала при х = - 1,5 и составляет 0,158. Ее можно уменьшить, выбрав другие узлы интерполирования и, тем более, повысив степень интерполирующего полинома. Так, графики той же функцииx(х) =1- е^-х и интерполирующего полинома второй степени с узлами интерполирования x₀= 0,15, х₁= 0,6 и х₂ = 1,2 практически совпадают.

Рис. 17        Рис.18

Рис.19

На рис. 18 приведен график разности этих функций, из которого следует, что погрешность в том же заданном интервале не превышает 0,026, т. е. уменьшилась по сравнению с линейной интерполяцией в 6 раз.

Одним из эффективных  методов аппроксимации функций, в котором погрешность аппроксимации  контролируется во всем интервале приближения а £ х £b, а не в его дискретных точках, является метод наилучшего равномерного приближения (аппроксимации) функций (приближения по П. Л. Чебышеву). В этом методе параметры аппроксимирующей функции выбираются такими, чтобы в интервале приближения наибольшее по абсолютной величине отклонение функции f(x) от непрерывной функции x(х) было бы минимально возможным, или, используя обозначения (3), чтобы в интервале а £ х £b

   (7)

В рассмотренном выше примере этому критерию удовлетворяет  полином f(x) = 0,071 + 0,518х. Наибольшие его отклонения от функции x(х) =1- е^-х в интервале 0 £ х £1,5 расположены при х = 0, х = х_m =0,658 и х = 1,5 (см. рис. 19), причем, что очень важно, все они равны по абсолютной величине. Легко понять, что любое изменение наклона (a₁)или уровня (a₀) полинома  f(x) , которое ведет к уменьшению экстремального отклонения в двух из трех указанных точек, увеличивает отклонения в оставшейся точке. Таким образом, полином f(x) = 0,071 + 0,518х из всех полиномов первой степени действительно минимизирует абсолютную величину отклонения от функции 1- е^-х в интервале 0 £ х £

В теории аппроксимации  функций доказывается, что наибольшее по абсолютной величине отклонение полинома f(x) степени п от непрерывной функции  x(х) будет минимально возможным, если в интервале приближения а£ х £b разность f(x) - x(х)не меньше, чем  п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиеся  предельные наибольшие f(x) - x(х) = L > 0 и наименьшие f(x) - x(х) = -L значения (критерий Чебышева).