Неотрицательные матрицы, их свойства и использование в балансовых моделях

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ                        «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра прикладной математики и экономической  кибернетики

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по дисциплине: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

на тему: Неотрицательные матрицы, их свойства и использование в балансовых моделях

Студент

ФМ, 1-й курс, ДКК-1                                                            Третьяк Ю.А.

Руководитель

Кандидат физ-мат. наук ,доцент                                          Дежурко Л.Ф. 
 
 
 
 

МИНСК 2011 
 

РЕФЕРАТ

Курсовая  работа: с. 32, табл.4, источников 10.

Балансовые  модели, линейная модель межотраслевого баланса.

Объект  исследования — матричные модели межотраслевого баланса .

Предмет исследования — математические модели МОБ в экономике.

Цель  работы: анализ матричных таблиц межотраслевого баланса, их представления в статическом и динамическом виде, а также возможностей практического применения.

Методы  исследования: сравнительного анализа, экономико-математические.

Экономическая и социальная значимость: использование данной информации поможет более точно понять принцип моб и ее значимость для экономики и общества в целом. 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………….…4

1. Модели отраслевого баланса………………….……………….…5

1. Экономико-математические модели: сущность и виды…………….….5
2. Матричные  балансовые модели…………………………………….…...7

2.Межотраслевой баланс как вид экономико-математических моделей…………………………………………………………………9

2.1 Межотраслевой  баланс: общая характеристика……………………………9

2.2 Модели межотраслевого  баланса Леонтьева……...………………………..9

2.2.1Пример  схемы отчетной МОБ в СНС  РБ…………………………………11

2.2.2 Достоинства модели межотраслевого баланса……..…………………....12

2.2.3 Недостатки модели межотраслевого баланса……..……………………..13

2.3Общая структура  межотраслевого баланса……………...………………….14

2.4 Статическая  модель МОБ……………………………….…………………..18

2.5 Динамическая  модель экономики типа "затраты  - выпуск"………..……..21

2.6 Свойства  неотрицательных матриц………………………………………...25 

3. Пример расчета межотраслевого баланса….…………………28

3.1 Построение  межотраслевого баланса   производства  и распределения продукции………………………………………………………………………...28

Заключение……………………………………………………………………….31

Список использованной литературы……………………………...……………32 
 
 
 
 

Введение

Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со времен своего возникновения  пользуется разнообразными количественными  характеристиками, а потому вбирает  в себя большое количество математических методов.   В XX веке созданы и развиты различные  теории и методы регулирования мировой  экономики. Востребованность таких  исследований особенно возросла после Великой депрессии (1929--1933 г.г.) и Второй мировой войны. Увеличилась необходимость в планировании (текущем, оперативном, стратегическом) и прогнозировании. Объясняется это, прежде всего тем, что современная экономика представляет собой открытую систему, построенную на прямых и обратных горизонтальных и вертикальных связях, и может успешно развиваться только при наличии эффективного управления этими связями, как на макро - так и на микроуровне.

Актуальность  данной темы очень велика- проблема создания рациональной и высокоэффективной межотраслевой экономики чрезвычайно важна для всех стран. Балансовые модели, как статические, так и динамические, широко применяются при экономико-математическом моделировании экономических систем и процессов. В основе создания этих моделей лежит балансовый метод, т.е. метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Основу информационного обеспечения балансовых моделей в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений в экономико-математических исследованиях.

Цель  работы - проиллюстрировать на примере  балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры. Наиболее точно описать процесс функционирования балансовых моделей, их свойства, а также раскрыть роль матриц как составных частей данных моделей.

1.Модели отраслевого баланса 

1.1Экономико-математические модели: сущность и виды

В общем  виде модель  можно определить как  условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который  создается для более глубокого  изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании  моделей, называется моделированием. Необходимость  моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого  изучения реального объекта (процесса). Значительно доступнее создавать  и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели. Можно  сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процесса), хотя на самом деле действительность значительно  содержательнее и богаче.

На  сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей можно  выделить:

-словесные;

-графические;

-физические;

-экономико-математические и некоторые другие типы.

Словесная, или монографическая, модель представляет собой словесное описание объекта, явления или процесса. Очень часто  она выражается в виде определения, правила, теоремы, закона или их совокупности.

Графическая модель создается в виде рисунка, географической карты или чертежа.

Физические, или вещественные, модели создаются  для конструирования пока еще  несуществующих объектов. Создать модель самолета или ракеты для проверки ее аэродинамических свойств значительно  проще и экономически целесообразнее, чем изучать эти свойства на реальных объектах.

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или  процесса с помощью системы уравнений [4].

Необходимо  отметить, что опять же  единой классификации экономико-математических моделей сейчас не существует, выделяют более десяти основных признаков  их классификации. Рассмотрим некоторые  из них:

1. По общему целевому назначению:

-теоретико-аналитические (используются при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов).

-прикладные (применяемые в решении конкретных экономических задач).

2.  По степени агрегирования объектов в моделировании:

-макроэкономические (отражающие функционирование экономики как единого целого).

-микроэкономические (модели, связанные, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы).

3. По  конкретному предназначению  (т.е.  по цели  создания и применения):

-балансовые модели (выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования).

-трендовые модели (в них развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) её основных показателей)

-оптимизационные  (предназначены для выбора наилучшего варианта из определённого числа вариантов производства, распределения или потребления)

-имитационные (предназначены для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов) и др.

4. По  типу информации:

-аналитические (построенные на априорной информации).

-идентифицируемые (построенные на апостериорной информации).

5. По  учёту фактора времени:

-статические  (в них все  зависимости отнесены к одному моменту времени).

-динамические (описывают экономические системы в развитии).

6. По  учёту фактора неопределённости:

-детерминированные (если в них результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями).

-стохастические  (если при задании на входе модели определённой совокупности значений на её выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайного фактора).

7. По  типу математического аппарата, используемого в модели:

-матричные модели

-модели линейного и нелинейного программирования

-корреляционно-регрессионные модели

-модели теории массового обслуживания

-модели сетевого планирования и управления

-модели теории игр и др.

8. По  типу  подхода к изучаемым социально-экономическим  системам:

-дескриптивные (модели, предназначенные для описания и объяснения,  фактически наблюдаемых явлений или для прогноза этих явлений).

-нормативные  (при нормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а как она должна быть устроена и как должна действовать в смысле определённых критериев) [7]. 

1.2Матричные  балансовые модели.

Балансовый  метод и создаваемые на его  основе балансовые модели служат основным инструментом поддержания пропорций  в народном хозяйстве. Балансовые модели на базе отчетных балансов характеризуют  сложившиеся пропорции, в них  ресурсная часть всегда равна  расходной. Для выявления диспропорций используются балансовые модели, в  которых фактические ресурсы  сопоставлялись бы не с их фактическим  потреблением, а с потребностью в  них. В связи с этим необходимо отметить, что балансовые модели не содержат какого-либо механизма сравнения  отдельных вариантов экономических  решений и не предусматривают  взаимозаменяемости разных ресурсов, что не позволяет сделать выбор  оптимального варианта развития экономической системы. Этим определяется ограниченность балансовых моделей и балансового метода в целом.

Как уже  говорилось выше-основу информационного обеспечения балансовых моделей в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. Например, в модели межотраслевого баланса такую роль играет так называемая технологическая матрица — таблица межотраслевого баланса, составленная из коэффициентов (нормативов) прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении. По многим причинам исходные данные реальных хозяйственных объектов не могут быть использованы в балансовых моделях непосредственно, поэтому подготовка информации для ввода в модель является весьма серьезной проблемой. Так, при построении модели межотраслевого баланса используется специфическое понятие чистой (или технологической) отрасли, т.е. условной отрасли, объединяющей все производство данного продукта независимо от ведомственной (административной) подчиненности и форм собственности предприятий и фирм. Переход от хозяйственных отраслей к чистым отраслям требует специального преобразования реальных данных хозяйственных объектов, например, агрегирования отраслей, исключения внутриотраслевого оборота и др. В этих условиях понятия «межпродуктовый баланс» и «межотраслевой баланс» практически идентичны, отличие заключается лишь в единицах измерения элементов баланса.

Балансовые модели строятся в виде числовых матриц - прямоугольных таблиц чисел. В связи с этим балансовые модели относятся к тому типу экономико-математических моделей, которые называются матричными. В матричных моделях балансовый метод получает строгое математическое выражение. Таким образом, матричную структуру имеют межотраслевой и межрайонный баланс производства и распределения продукции

2.Межотраслевой баланс как вид экономико-математических моделей. 

2.1 Межотраслевой баланс: общая характеристика

Межотраслевой баланс - экономико-математическая модель, характеризующая систему связей между выпуском продукции в одной  отрасли и затратами всех других отраслей, участвующих в выпуске данной продукции. Межотраслевой баланс производства и распределения продукции – инструмент анализа и планирования структуры общественного производства, учитывающий комплексные взаимосвязи отраслей производственной сферы. Межотраслевой баланс характеризует процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в детальном отраслевом разрезе. Детализируя общие народнохозяйственные пропорции, отражаемые важнейшей составной частью баланса народного хозяйства – балансом общественного продукта, межотраслевой баланс в то же время синтезирует в единую систему частные балансы, характеризующие источники формирования ресурсов и использование в народном хозяйстве отдельных видов продукции. Основы анализа межотраслевых связей были заложены в процессе составления первого баланса народного хозяйства СССР за 1923-1924гг. Математическая модель межотраслевого баланса была разработана В. Леонтьевым. Межотраслевой баланс может быть разработан как в денежном, так и в натуральном выражении. Схема межотраслевого баланса представляет собой синтез двух таблиц, одна из которых характеризует детальную структуру затрат на производство в разрезе отдельных видов продукции, а другая – структуру распределения продукции в народном хозяйстве.

2.2 Модели межотраслевого баланса Леонтьева

Основной  вклад В.В.Леонтьева в мировую науку и практику регулирования экономики связан с разработками моделей межотраслевого баланса. Среди них можно выделить:

-простую или однопериодную модель межотраслевого баланса;

-динамические модели межотраслевого баланса, получившие наименование баланса Леонтьева;

-региональные и межрегиональные балансы;

-а также модель межотраслевого баланса с учетом загрязнения окружающей среды.

Наиболее  простой формой модели межотраслевого баланса является статическая модель. Она формируется на основе достаточно простой системы исходных предпосылок, среди которых наиболее важную роль играет предпосылка о чистых отраслях, производящих только один вид продукции  и предположение о линейной зависимости  между затратами и выпуском продукции.

Можно отметить две основных принципиальных особенности модели межотраслевого баланса, вытекающих из этих условий.

 Во-первых, балансовая модель составляется  в "чистых", а не в хозяйственных  отраслях. Но если учесть каждый  отдельный выпускаемый вид продукции  в стране или регионе практически  нереально, то балансовая модель  формируется на основе определенных  агрегатов. Отсюда возникает проблема  определения этих агрегатов по  их составу, а также проблема  перехода от прогноза, составленного  на основе чистых отраслей, к  прогнозу развития экономики  в условиях реальных хозяйственных  отраслей и определению объемов  выпуска отдельных конкретных  видов продукции. Эти проблемы  рассматриваются при анализе  условий агрегации в межотраслевом  балансе. 

Во-вторых, поскольку при построении и анализе  модели межотраслевого баланса не учитываются  не воспроизводимые ресурсы, то результаты расчетов по данной модели и выполненные  прогнозы могут приводить к совершенно нереальным, завышенным оценкам развития экономики. Это, в свою очередь, требует  с практической точки зрения учета  ограничений на эти ресурсы и  дополнительного обоснования на основе параметров моделей макроэкономического  планирования и прогнозирования.

Данная  система предпосылок относится  к статической схеме модели межотраслевого баланса, который составляется на один период. Длительность этого периода  может быть различной в зависимости  от целей формируемого баланса.

Балансовые  модели можно разделить на:

-плановые;

-отчетные.

 Плановые  межотраслевые балансы составляются  на основе планируемых или  прогнозируемых показателей. Основная  цель такой модели – обосновать  прогноз развития экономики страны  или отдельных регионов на  выбранный период планирования.

Отчетные  балансы составляются на основе итоговых отчетных показателей развития страны или регионов с целью определить, насколько сбалансировано развивалась  экономика и в чем состоят  возникающие диспропорции в развитии тех или иных отраслей [4].

2.2.1Пример  схемы отчетной МОБ в СНС РБ.

В Республике Беларусь ежегодно разрабатываются  отчетные МОБ в разрезе 36 отраслей. Модель МОБ отражает взаимосвязи по производству, распределению, потреблению, и накоплению общественного продукта в разрезе отраслей народного хозяйства и в единстве материально-вещественного и стоимостного аспектов воспроизводства. Показатели, характеризующие данные процессы представлены на схеме МОБ(таблица 1).

Таблица 1. Схема отчетного МОБ в денежном выражении.

Окончание таблицы 1

                          Примечание. Источник [10].

Следует отметить что в МОБ СНС в состав промежуточного потребления всех потребленных в  процессе производства товаров и  услуг как товары и услуги  отраслей материального производства(промышленность, строительство и др.), так и отраслей нематериальных услуг(здравоохранение, жилищно-коммунальное хозяйство, образование и др.)

2.2.2 Достоинства модели межотраслевого баланса.

Модель  межотраслевого баланса имеет следующее  достоинства:

1. Относительно небольшой объем исходной информации и отсутствие принципиальных трудностей при ее обосновании. К ней в условиях статической модели относятся коэффициенты прямых затрат и заданные выпуски конечной продукции или конечного потребления. Подобные проблемы возникают при постановке любых моделей макроэкономического планирования и прогнозирования.

2. Для отчетного баланса эта информация определяется достаточно просто по соответствующим статистическим отчетам. При построении прогнозных межотраслевых балансов необходимо обосновать прогнозы указанных показателей, например, на основе использования уравнений регрессии или других методов прогнозирования.

3. При наличии исходной информации: коэффициентов прямых затрат и заданного объема конечной продукции, расчеты, связанные с решением системы уравнений межотраслевого баланса, принципиальных трудностей не представляют.

4. Определяется такой план валовой продукции, который сбалансирован по затратам на ее производство по всем видам рассматриваемой продукции.

5. Построение и анализ системы балансовых уравнений предполагает определенное регулирование экономики и обеспечение поддержания соответствующих макроэкономических пропорций. Частный капитал в любой форме его существования заинтересован лишь в изучении той части рынков, на которых совершает свои операции. Он может быть заинтересован в изучении тенденций развития экономики, но не в затратах на поддержание макроэкономических пропорций, да он и не имеет таких средств.

2.2.3 Недостатки модели межотраслевого баланса.

Однако  у модели межотраслевого баланса  имеются также и недостатки:

1. При решении системы уравнений межотраслевого баланса не принимаются во внимание ограничения на те виды невоспроизводимых ресурсов, которые в модели не учитываются, а также ограничения на не воспроизводимые ресурсы. При этом можно получить нереальный план выпуска валовой продукции, не обеспеченный необходимыми ресурсами.

2. Часть параметров (прежде всего, объемы конечной продукции, необходимые для решения системы уравнений модели межотраслевого баланса) определяется за пределами данной модели. Их обоснование представляет собой не менее легкую задачу, чем определение сбалансированного плана по выпуску валовой продукции.

3. Принципиально не учитывается, что инвестиции воплощаются в материальный капитал постепенно с определенным лагом запаздывания.

Модель  межотраслевого баланса является однопериодной  и не учитывает изменения технологии производства в течение этого  периода.

Некоторые из указанных недостатков преодолеваются в динамических моделях межотраслевого баланса. 
 

2.3 Общая структура межотраслевого баланса

Суть  межотраслевого баланса состоит  в построении таблицы, в которой  по вертикали показываются материальные затраты на производство продукции  отдельной отрасли, а также прибыль. Данные по горизонтали показывают, на какую сумму (или какое количество продукции) передано продукта в другие отрасли народного хозяйства  на производственные нужды (промежуточный  продукт), а также конечное потребление  продукции отрасли, на накопление, возмещение, выбытия и капитальный ремонт и также экспортно-импортное      сальдо. Межотраслевой баланс детально отражает производственные и хозяйственные связи отраслей. Составляется в денежной и натуральной форме. Главными показателями межотраслевого баланса являются: коэффициенты полных затрат, характеризующие затраты какого-либо продукта на производство   единицы   другого продукта по всей цепочке взаимосвязанных отраслей; коэффициенты прямых затрат (средняя величина затрат по отрасли в целом).