Основы математической обработки информации и прикладная информатика

Оглавление

Введение

В математике теория информации (математическая теория связи) — раздел прикладной математики, определяющий понятие информации, её свойства и устанавливающий предельные соотношения для систем передачи данных. Основные разделы теории информации — кодирование источника (сжимающее кодирование) и канальное (помехоустойчивое) кодирование. Математика является больше чем научной дисциплиной. Она создает единый язык всей Науки.

Предметом исследований математики являются абстрактные объекты: число, функция, вектор, множество, и другие. При этом большинство из них вводится аксиоматически (аксиома), то есть без всякой связи с другими понятиями и без какого-либо определения.

Информация не входит в число предметов исследования математики. Тем не менее, слово «информация» употребляется в математических терминах — собственная информация и взаимная информация, относящихся к абстрактной (математической) части теории информации. Однако, в математической теории понятие «информация» связано с исключительно абстрактными объектами — случайными величинами, в то время как в современной теории информации это понятие рассматривается значительно шире — как свойство материальных объектов.

Связь между этими двумя одинаковыми терминами несомненна. Именно математический аппарат случайных чисел использовал автор теории информации Клод Шеннон. Сам он подразумевает под термином «информация» нечто фундаментальное (нередуцируемое). В теории Шеннона интуитивно полагается, что информация имеет содержание. Информация уменьшает общую неопределённость и информационную энтропию. Количество информации доступно измерению. Однако он предостерегает исследователей от механического переноса понятий из его теории в другие области науки.

«Поиск путей применения теории информации в других областях науки не сводится к тривиальному переносу терминов из одной области науки в другую. Этот поиск осуществляется в длительном процессе выдвижения новых гипотез и их экспериментальной проверке.» К. Шеннон.

Сложные экономические задачи дали толчок к внедрению математических методов. Они позволяют ускорить обработку информации и обработать большой массив информации, обеспечивают точность расчетов.

Цель данной работы:

 Рассмотреть основы современных технологий сбора, обработки и представления информации; основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики; основные способы математической обработки информации; школьное математическое образование.

Разделы математики

В истории математики традиционно выделяются несколько этапов развития математических знаний:

1. Формирование понятия геометрической фигуры и числа как идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов. Появление счёта и измерения, которые позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы.

2. Изобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объёмов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро-вавилонские, китайские и индийские математики древности.

3. Появление в древней Греции дедуктивной математической системы, показавшей, как получать новые математические истины на основе уже имеющихся. Венцом достижений древнегреческой математики стали «Начала» Евклида, игравшие роль стандарта математической строгости в течение двух тысячелетий.

4. Математики стран ислама не только сохранили античные достижения, но и смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в теории чисел продвинулись дальше греков.

5. В XVI—XVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том, что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной, и поэтому открытие математических истин является одновременно открытием новых свойств реального мира. Главным успехом на этом пути стала разработка математических моделей зависимости переменных величин (функция) и общая теория движения (анализ бесконечно малых). Все естественные науки были перестроены на базе новооткрытых математических моделей, и это привело к колоссальному их прогрессу.

6. В XIX—XX веках становится понятно, что взаимоотношение математики и реальности далеко не столь просто, как ранее казалось. Не существует общепризнанного ответа на своего рода «основной вопрос философии математики»: найти причину «непостижимой эффективности математики в естественных науках». В этом, и не только в этом, отношении математики разделились на множество дискутирующих школ. Наметилось несколько опасных тенденций: чрезмерно узкая специализация, изоляция от практических задач и др. В то же время мощь математики и её престиж, поддержанный эффективностью применения, высоки как никогда прежде.

Помимо большого исторического интереса, анализ эволюции математики представляет огромную важность для развития философии и методологии математики. Нередко знание истории способствует и прогрессу конкретных математических дисциплин; например, древняя китайская задача (теорема) об остатках сформировала целый раздел теории чисел.

  Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику, изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:

• арифметика

• элементарная алгебра

• элементарная геометрия: планиметрия и стереометрия

• теория элементарных функций и элементы анализа

и высшую математику, изучаемую на нематематических специальностях вузов. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности.

Программа обучения по специальности математика образована следующими учебными дисциплинами:

• Математический анализ

• Алгебра

• Аналитическая геометрия

• Линейная алгебра и геометрия

• Дискретная математика

• Математическая логика

• Дифференциальные уравнения

• Дифференциальная геометрия

• Топология

• Функциональный анализ и интегральные уравнения

• Теория функций комплексного переменного

• Уравнения в частных производных (вместо этого курса физикам читаются Методы математической физики)

• Теория вероятностей

• Математическая статистика

• Теория случайных процессов

• Вариационное исчисление и методы оптимизации

• Методы вычислений, то есть численные методы

• Теория чисел

   Математика как специальность научных работников Министерством образования и науки Российской Федерации  подразделяется на специальности:

• Вещественный, комплексный и функциональный анализ

• Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

• Математическая физика

• Геометрия и топология

• Теория вероятностей и математическая статистика

• Математическая логика, алгебра и теория чисел

• Вычислительная математика

• Дискретная математика и математическая кибернетика

Математические обозначения  

(«язык математики») — сложная графическая система обозначений, служащая для изложения абстрактных математических идей и суждений в человеко-читаемой форме. Составляет (по своей сложности и разнообразию) значительную долю неречевых знаковых систем, применяемых человечеством. Отметим, что математические обозначения, как правило, применяются совместно с письменной формой какого-то из естественных языков.

Помимо фундаментальной и прикладной математики, математические обозначения имеют широкое применение в физике, а также (в неполном своём объёме) в инженерии, информатике, экономике, да и вообще во всех областях человеческой деятельности, где применяются математические модели.

Теория множеств 

— раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов из-за поверхностности абстракции множества, поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств. В XX веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств, обеспечивающие универсальный математический инструментарий, в связи с вопросами измеримости множеств, тщательно разработана дескриптивная теория множеств.

Теория множеств стала основой многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики. В первой половине XX века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стала широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах.

Начиная со второй половины XX века представление о значении теории и её влияние на развитие математики заметно снизились за счёт осознания возможности получения достаточно общих результатов во многих областях математики и без явного использования её аппарата, в частности, с использованием теоретико-категорного инструментария. Тем не менее, нотация теории множеств стала общепринятой во всех разделах математики вне зависимости от использования теоретико-множественного подхода. На идейной основе теории множеств в конце XX века создано несколько обобщений, в том числе теория нечётких множеств, теория мультимножеств (используемые в основном в приложениях), теория полумножеств (развиваемая в основном чешскими математиками).

Круги Эйлера— геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера — Венна, изображающие все   комбинаций   свойств, то есть конечную булеву алгебру. При   диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.

Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна, подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна.

Комбинаторика

(Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисленияэлементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией,теорией вероятностей и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Иногда под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.

«Особая примета» комбинаторных задач — вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался словами: «Сколькими способами...»

Важную область комбинаторики составляет теория перечислений. С ее помощью можно подсчитать число решений различных комбинаторных задач.

В основе этой теории лежат «правило суммы» и «правило произведения».

Правило суммы

Если в нашем распоряжении m способов выбрать элемент а и (независимо от них) n способов выбрать элемент b, то выбор «или a или b» можно сделать m+n способами.

Правило произведения

Если в нашем распоряжении m способов выбрать элемент а и n способов выбрать элемент b, то пару (a,b) можно выбрать способами. m × n

Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие - n2 способами, третье действие - n3 способами и так далее, все k действий вместе могут быть выполнены  n1 × n2 × n3 × ... × nk способами.

Установленный в конечном множестве порядок расположения его элементов называется перестановкой. Число перестановок обозначается латинской буквой Р.

Число перестановок из любого количества k элементов можно найти по формуле:

Pk = 1 × 2 × 3 × ... × k . 

Произведение натуральных чисел от 1 до данного натурального числа k называется факториалом числа k и обозначается k! 

AAAAP9=5n

Каждое упорядоченное подмножество множества А называют размещением. Например: сколькими способами можно выбрать четырех человек на различные должности из девяти кандидатов на эти должности. Так как каждый выбор 4 человек из 9 имеющихся должен иметь определенный порядок распределения их на должности, то мы имеем задачу составления размещений из 9 по 4.

4 = 9 × 8 × 7 × 6 = 3024

Число размещений из n элементов по k вычисляется по формуле:

Размещения – это упорядоченные подмножества данного множества, которые отличаются друг от друга не только выбором элементов, но и порядком их расположения.

 Произвольные неупорядоченные подмножества данного множества называются сочетаниями. Различные сочетания отличаются друг от друга только составом (выбором) элементов. Количество сочетаний (или число сочетаний) обозначается латинской буквой С и соответствующими индексами. Число сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле

При решении комбинаторных задач следует ответить на следующие вопросы:

1. Из какого множества осуществляется выбор (надо найти n)?

2. Что требуется: расставить все  в ряд (перестановки Р), или выбрать  часть (найти k)?

3. Важен ли порядок? Если важен, то применяем правило размещений А, а если нет - правило сочетаний С.

4. Возможны ли повторения?

Логика

Логика - это наука о формах и способах мышления.

Основные формы мышления:

1) Понятие;

2) Высказывание;

3) Умозаключение 

Понятие - это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта. Характеризуется

• Содержанием

• Объемом

Высказывание - это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними.

Высказывание может быть истинно или ложно.

Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или несколько суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение). Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения.

В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения «истинно» и «ложно».

Истинно =1    Ложно=0

Для образования новых высказываний используются базовые логические операции: инверсия (логическое отрицание) – операция не, конъюнкция (логическое умножение) – операция и, дизъюнкция (логическое сложение) – операция или.

Приоритет логических операций

1. Отрицание.

2. Конъюнкция.

3. Дизъюнкция.

Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования формул.

Законы алгебры высказываний – это тавтологии. Иногда эти законы называются теоремами.

Формула А называется тавтологией (или тождественно истинной), если она истинна при любых значениях своих переменных.

 Логические законы  и правила преобразования логических  выражений 

• Закон тождества: всякое высказывание тождественно самому себе. А=А

• Закон непротиворечия: высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. А & А=1

• Закон исключенного третьего. Высказывание может быть истинным, либо ложным, третьего не дано. Пример: число 123 либо четное, либо нечетное A ∨ A = 1 .

• Закон двойного отрицания: если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание. A = A

Законы де Моргана:

A & B = A ∨ B A ∨ B = A & B

Переместительный (коммутативный) закон

A ∨ B = B ∨ A A & B = B & A

Сочетательный (ассоциативный) закон

( A ∨ B ) ∨ C = A ∨ (B ∨ C ) ( A & B ) & C = A & (B & C ) 

Распределительный (дистрибутивный) закон

( A & B ) ∨ C = ( A ∨ C ) & (B ∨ C ) ( A ∨ B ) & C = ( A & C ) ∨ (B & C )

 Закон идемпотентности (равносильности)

A ∨ A = A A & A = A

 Закон исключения констант 

A ∨ 1 = 1 A ∨ 0 = A

A & 1 = A A & 0 = 0 

Закон противоречия: Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными

A & A = 0

Закон поглощения

A ∨ ( A & B ) = A A & (A ∨ B) = A

 Закон исключения (склеивания)

( A & B ) ∨ (A & B ) = B

( A ∨ B ) & (A ∨ B ) = B

Теория вероятностей

 раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятность — степень (мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — невероятным или маловероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (иневероятность) бывает большей или меньшей. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней» вероятности.

Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину — теорию вероятностей. В теории вероятностей и математической статистике понятие вероятности формализуется как числовая характеристика события — вероятностная мера (или её значение) — мера на множестве событий (подмножеств множества элементарных событий), принимающая значения от   до  . Значение   соответствует достоверному событию. Невозможное событие имеет вероятность 0 (обратное вообще говоря не всегда верно). Если вероятность наступления события равна  , то вероятность его ненаступления равна  . В частности, вероятность   означает равную вероятность наступления и ненаступления события.

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности исходов. В качестве вероятности выступает отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных исходов. Например, вероятность выпадения «орла» или «решки» при случайном подбрасывании монетки равна 1/2, если предполагается, что только эти две возможности имеют место[3] и они являются равновозможными. Данное классическое «определение» вероятности можно обобщить на случай бесконечного количества возможных значений — например, если некоторое событие может произойти с равной вероятностью в любой точке (количество точек бесконечно) некоторой ограниченной области пространства (плоскости), то вероятность того, что оно произойдет в некоторой части этой допустимой области равна отношению объёма (площади) этой части к объёму (площади) области всех возможных точек.

Эмпирическое «определение» вероятности связано с частотой наступления события исходя из того, что при достаточно большом числе испытаний частота должна стремиться к объективной степени возможности этого события. В современном изложении теории вероятностей вероятность определяется аксиоматически, как частный случай абстрактной теории меры множества. Тем не менее, связующим звеном между абстрактной мерой и вероятностью, выражающей степень возможности наступления события, является именно частота его наблюдения.

Вероятностное описание тех или иных явлений получило широкое распространение в современной науке, в частности в эконометрике, статистической физикемакроскопических (термодинамических) систем, где даже в случае классического детерминированного описания движения частиц детерминированное описание всей системы частиц не представляется практически возможным и целесообразным. В квантовой физике сами описываемые процессы имеют вероятностную природу.

Математические способы обработки информации

К математическим методам обработки информации относятся:

1) методы элементарной математики, используемые, в том числе и в традиционных методах обработки информации;

2) классические методы математического анализа, которые применяются не только в рамках других дисциплин, но и отдельно;

3) методы математического программирования;

4) методы экономической кибернетики.

Методы элементарной математики используются в обычных традиционных экономических расчетах при обосновании потребностей в ресурсах, учете затрат на производство, обосновании планов, проектов, в балансовых расчетах и т.д.

Выделение классических методов математического анализа обусловлено тем, что они применяются не только в рамках других методов, например методов математической статистики и математического программирования, но и отдельно. Так, факторный анализ изменения многих экономических показателей может быть осуществлен при помощи дифференцирования и других разработанных на базе дифференцирования методов.

Математическое программирование – важный раздел современной прикладной математики. Методы математического (прежде всего линейного) программирования служат основным средством решения задач оптимизации производственно-хозяйственной деятельности. По своей сути эти методы есть средство плановых расчетов. Их ценность для экономического анализа выполнения планов в том, что они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов, получать оценки дефицитности произведенных ресурсов и т.п.

Экономическая кибернетика позволяет анализировать экономические явления и процессы в качестве очень сложных систем с точки зрения законов и механизмов управления и движения информации в них. Наибольшее распространение в экономическом анализе получили методы кибернетического моделирования и системного анализа.

При помощи экономического анализа изучают реальную действительность – факты и процессы, т.е. тот первичный материал, который подлежит исследованию. Однако факты сами по себе иногда мало что объясняют. Поэтому задача экономического исследования состоит не только в том, чтобы их регистрировать, но и в том, чтобы за видимостью явлений раскрыть их сущность, понять существующую между ними связь, познать причины их возникновения, тенденции развития. Проникновение в сущность изучаемых экономических явлений возможно лишь с помощью научных методов исследования.

Каждая наука, в том числе экономическая, кроме специфического предмета и объекта изучения должна иметь свой метод как общий подход к исследованию, который конкретизируется в методике. Методология (философия методики) экономического анализа состоит из метода как общего подхода к исследованиям и конкретной методики как совокупности специальных приемов (методов), применяемых для обработки и анализа экономической информации.