Виды измерений в геодезических сетях

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

Все виды измерений, выполняемые в геодезических сетях, подвергаются предварительной обработке как в процессе полевых работ, так и в камеральных условиях. Основными задачами предварительной обработки являются:

– оценка качества выполненных измерений;

– подготовка результатов  измерений к уравнительным вычислениям.

Оценка качества выполненных измерений производится по величинам свободных членов условных уравнений при их сравнении с допустимыми значениями. Подготовка результатов измерений к уравниванию заключается в последовательной их обработке по приведению к центрам пунктов, проектированию на референц-эллипсоид и затем на плоскость в проекции Гаусса-Крюгера путем вычисления и введения в результаты измерений соответствующих поправок с целью получения таблицы плоских направлений и длин линий.

Предварительные вычисления в геодезических сетях  выполняются в следующей последовательности:

– обработка  угловых измерений;

– обработка  линейных измерений;

– качественная оценка результатов измерений.

1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА УГЛОВЫХ  ИЗМЕРЕНИЙ

Предварительная обработка угловых измерений  в триангуляции и линейно-угловых сетях выполняется в следующей последовательности:

– предварительное решение треугольников и вычисление их сферических избытков;

– вычисление поправок в направления за центрировку и редукцию;

– составление таблицы направлений, приведенных к центрам пунктов и предварительная оценка результатов измерений по невязкам треугольников;

– редуцирование на референц-эллипсоид;

– вычисление поправок в направления за кривизну изображения геодезических линий на плоскости и их контроль;

– составление сводки направлений, приведенных к центрам пунктов и редуцированных на плоскость.

При этом следует учитывать, что  величины поправок в измеренные направления за редуцирование на референц-эллипсоид весьма незначительны и поэтому в сетях триангуляции 2–4 классов, расположенных в равнинной или холмистой местности, их не вычисляют. Однако в горной местности их необходимо вычислять и учитывать [1].

1.1. Схема сети и исходные данные

Все виды перечисленных  выше вычислений выполним на примере  линейно-угловой сети 2 класса приведенной на рис.1.

Рис. 1. Схема сети

Средняя геодезическая широта сети В = 55°40'. Координаты исходных пунктов, длины и дирекционные углы между ними приведены в табл. 1.

Таблица 1

Исходные данные

Элементы приведений на пунктах, высоты знаков до горизонтальной оси инструмента и отметки  пунктов в Балтийской системе  высот, необходимые для обработки  линейных измерений, а также значения измеренных направлений и длин сторон показаны в табл.2.

Таблица 2

Измеренные величины

1.2. Предварительное решение треугольников  
и вычисление сферических избытков

Предварительное решение треугольников в триангуляции выполняется с целью определения  неизвестных длин линий с точностью до целых метров от известной исходной стороны по теореме синусов:

                                               (1)

где а, b, с – стороны треугольника;

А, В, С – противолежащие им углы.

При этом используются значения измеренных углов, округленные до десятков секунд и составляющие в сумме в каждом из треугольников ровно 180°.

Полученные длины сторон необходимы в дальнейшем для отыскания  поправок за центрировку и редукцию и введения их в измеренные направления. Кроме того, длины сторон используются для вычисления сферических избытков ε в каждом из треугольников с целью получения их невязок, по которым можно оценить качество измерений.

                                                (2)

Сферический избыток треугольника зависит от его площади и вычисляется по любым двум сторонам и углу между ними:

                                   (3)

где                                                                      (4)

здесь р" = 206265"; R_m – средний радиус кривизны поверхности земного эллипсоида, выраженный в километрах, зависящий от широты места. Табличное значение f находится по средней широте сети (прилож. 1, приведенное из практикума по высшей геодезии [1]). Сферические избытки в триангуляции 1–2 классов вычисляются до 0.001". Значения сторон в формуле (3) выражают в километрах.

Для линейно-угловых сетей  вычисление сферических избытков можно  выполнить в соответствии со схемой вычислений, используемой в триангуляции (табл. 3) Полученные в таблице по измеренным углам длины линий можно использовать для их грубого контроля в линейно-угловых сетях. Последняя колонка в таблице заполняется после введения поправок за центрировку и редукцию в измеренные направления.

Таблица 3

Предварительное решение  треугольников  
и вычисление сферических избытков

1.3. Вычисление поправок за центрировку,  редукцию и составление  
таблицы направлений, приведенных к центрам пунктов

В связи с отсутствием прямой видимости между центрами геодезических пунктов, вследствие кривизны Земли и наличия препятствий, измерение направлений и углов выполняют со столиков знаков, наблюдая визирные цели соседних знаков или отражателей на их столиках при измерении сторон. Для оценки качества выполненных измерений и составления таблиц плоских направлений и длин сторон все измеренные направления и линии должны быть приведены к центрам пунктов путем введения в их значения со своими знаками вычисленных поправок за центрировку и редукцию.

Геометрический смысл угловых  поправок на одном из пунктов покажем  на рис. 2.

Рис. 2. Определение поправок за центрировку и редукцию на пункте D. Обозначения:

J, V, С – проекции оси вращения инструмента, оси визирного цилиндра и центра пункта D на горизонтальную плоскость;

пункт А –  начальное направление;

пункт В –  один из пунктов наблюдаемой сети;

М, М₁ – углы между пунктами, отсчитываемые от начального направления, определяющие значения измеренных направлений, для которых вычисляются поправки;

1, θ – линейный и угловой элементы центрировки;

l₁, θ₁ – линейный и угловой элементы редукции;

С_DA, С_DВ °– поправки за центрировку в направления DA, DB;

r_AD, r_BD – – поправки за редукцию в направления DA, DB.

Согласно представленного  рисунка поправки за центрировку  и редукцию вычисляются по следующим формулам:

                                               (5)

Линейные и  угловые элементы определяют графическим  или аналитическим путем: 1, l₁ с точностью до целых миллиметров; θ, θ₁ – до 15'. Вычисление поправок за центрировку и редукцию на пунктах сети представлено в табл. 4. В триангуляции 1– 2 классов и в специальных сетях, соответствующей точности, поправки вычисляют до 0.001". С целью контроля, вычисления выполняются независимо в две руки.

Таблица 4

Вычисление поправок за центрировку и редукцию

Полученные значения поправок вводятся со своим знаком в измеренные на пунктах направления и приводятся к нулевому начальному направлению. Результатом вычислений является таблица направлений, приведенных к центрам пунктов (табл. 5).

Найденные значения направлений  можно использовать для предварительной оценки качества угловых измерений по величинам невязок треугольников в соответствии с формулой (2). Вычисления приведены в табл. 3.

Полученные невязки не должны превышать допустимой величины, определяемой следующей формулой:

,                                                              (6)

где μ – средняя  квадратическая ошибка единицы веса;

[аа] – сумма  квадратов коэффициентов условного  уравнения.

Для линейно-угловой сети, соответствующей  по точности измерениям углов в триангуляции 2 класса, μ = 1", а

                                                          (7)

Таблица 5

Таблица направлений, приведенных  к центрам пунктов

Если полученные значения невязок превосходят данную величину, то необходимо дать рекомендации на повторные  измерения на пунктах сети, образующих данный треугольник, с целью получения  их допустимых значений.

1.4. Вычисление приближенных координат пунктов

При редуцировании  угловых измерений на плоскость  в конформной проекции Гаусса-Крюгера  необходимо в направления, приведенные  к центрам пунктов, ввести поправки за кривизну изображения геодезических линий на плоскости. Для получения их значений используются координаты всех пунктов сети, которые нужно знать с точностью до целых метров. В связи с этим вычислим приближенные координаты определяемых пунктов сети по известным формулам решения прямых геодезических задач.

                                      (8)

С целью контроля, вычисления приближенных координат  выполняются дважды по сторонам треугольника, углы в которых не содержат невязок (табл. 6).

Таблица 6

Вычисление приближенных координат пунктов

Расхождения в  полученных координатах одноименных  пунктов не должны превышать 2 м.

1.5. Вычисление поправок в направления  за кривизну изображения 
геодезических линий на плоскости и их контроль

Поправки в  направления за кривизну изображения геодезических линий на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера для сетей, соответствующих точности угловых измерений в триангуляции 2–3 классов, вычисляются по следующим формулам:

                                     (9)

где i, k – наименование направлений соответствующих наблюдаемым пунктам сети;

х, у – координаты пунктов сети, выраженные в километрах с учетом размерности f.

Величина ( ) для данной сити равна 0.000843 ("/км²). При вычислении поправок δ_{i k}, δ_{k i} необходимо обратить внимание на значения ординат у, данных в условной системе. Для получения их истинных значений, отсчитываемых от осевого меридиана зоны в разные стороны в проекции Гаусса-Крюгера, необходимо исключить номер зоны и вычесть постоянную величину, равную 500 км, вводимую в условную ординату для исключения отрицательных значений у. Так, например, для пункта С:

условная система  – y = 15 515204. 69 м,

истинное значение – y = +15.205 км.

Поправки δ  вычисляют с точностью до 0. 001" (табл. 7), а в сводке направлений округляют до 0.01" (табл. 9).

Контроль вычислений поправок производят по сферическим  избыткам треугольников и вычисленным  поправкам в углы треугольников, определяемых в соответствии с рис. 3.

Таблица 7

Вычисление  поправок за кривизну изображения сторон на плоскости

Рис. 3. Схема вычисления поправок в углы

Вершины треугольников нумеруются по ходу часовой стрелки. В этом случае поправки в углы при соответствующих  вершинах находятся как разности поправок правого и левого направлений:

                                                       (10)

Сумма поправок в углы δ₁ в каждом треугольнике должна быть равна сферическому избытку ε, взятому с обратным знаком, т.е.

Σδ₁ = – ε                                                             (11)

Контроль вычисления поправок в углы приведен в табл.8. Расхождение в их значениях не должно превышать ошибки вычисления, равной 0. 001".

Таблица 8

Контроль вычисления поправок δ_{i k}

1.6. Составление сводки направлений,  приведенных  
к центрам пунктов и редуцированных на плоскость

Полученные  значения поправок со своими знаками  вводят в измеренные направления, приведенные к центрам пунктов. Результатом данных вычислений является сводка измеренных направлений на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера (табл. 9).

Таблица 9

Сводка измеренных направлений  на плоскости

Сводка редуцированных на плоскость направлений является исходным материалом для уравнительных вычислений и оценки качества выполненных измерений по значениям свободных членов, возникающих в сети, условных уравнений. С целью контроля правильности введения поправок δ в каждое направление и приведения их к начальному по полученным плоским направлениям повторно вычислим значения невязок треугольников (табл. 10).

W = Σ β_i – 180°                                             (12)

Таблица 10

Контроль вычисления невязок треугольников по плоским  углам

Величина расхождений  с ранее полученными значениями невязок не должна превышать точности вычислений, равной 0. 01".

2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЛИНЕЙНЫХ  ИЗМЕРЕНИЙ

Камеральная обработка  линейно-угловых сетей выполняется  на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера, и поэтому, измеренные на физической поверхности Земли длины линий также необходимо редуцировать на плоскость в данной проекции, т.е. выполнить их предварительную обработку. При обработке линейных измерений соблюдается следующая последовательность вычислений:

– вычисление поправок за центрировку дальномера и редукцию отражателя;

– приведение измеренных наклонных расстояний к горизонту;

– вычисление эллипсоидальных длин линий;

– вычисление поправок за редуцирование длин линий на плоскость;

– составление таблицы длин сторон, приведенных к центрам пунктов и редуцированных на плоскость.

2.1. Вычисление поправок за центрировку  и редукцию  
в измеренные расстояния

Длины линий  между пунктами сети могут быть измерены со штативов, установленных над центрами пунктов, а в случае отсутствия прямой видимости между ними – со столиков знаков, установленными на них электронными дальномерами и отражателями. При измерении длин со столиков знаков в их значения необходимо ввести поправки за приведения к центрам пунктов, которые можно определить по формулам для l и l_i < 1 м :

                                                       (13)

Значения величин, входящих в формулу (13), покажем на рис. 4.

Рис. 4. Вычисление поправок за центрировку δ_c  и за редукцию δ_r:

l, l – линейные элементы центрировки и редукции;

θ, θ_i – угловые элементы центрировки и редукции на начальное направление (линию);

J_A, J_B, C_A, C_B – проекции центров дальномера, отражателя и пунктов на горизонтальную плоскость.

Для одной линии, измеренной между пунктами, например, в полигоно-метрии, М и M₁ равны 0. При измерении линий в линейно-угловых сетях М и M₁ – углы между начальной и вычисляемой линией, для которой находятся поправки.

Длина стороны, приведённой к центрам  пунктов вычисляется по формуле:

D = D_изм + δ_c + δ_r.                                                 (14)

Их значения приведены в табл. 11.

Таблица 11

Длины линий, приведенные  к центрам пунктов