Временные ряды. Тренды. Автокорреляция
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ПРАВОВОЙ ИНСТИТУТ»
РЕФЕРАТ
Наименование дисциплины: Эконометрика
Тема: «Временные ряды. Тренды. Автокорреляция»
Содержание
Введение
Эконометрика – это наука, в которой на базе реальных статистических
данных строятся, анализируются и совершаются математические модели
реальных экономических явлений.
Одним из важнейших направлений эконометрики является построение
прогнозов по различным экономическим показателям.
Основной задачей эконометрики будем считать использование
статистических и
представление результатов экономической теории, а затем их подтвердить
или опровергнуть.
Однако математические методы для представления результатов
экономической теории используются также в математической экономике.
Разделение «сфер
интересов» эконометрики и
экономики – это различие в критериях качества полученных моделей.
В эконометрике построенная модель тем лучше, чем лучше
она описывает имеющиеся эмпирические данные. В математической
экономике соответствие модели эмпирическим данным не всегда
свидетельствует о ее качестве, и наоборот, не всегда требуется добиваться
этого соответствия.
Применение статистических методов для анализа экономических данных
имеет многовековую историю. Отмечено, что первое эмпирическое
исследование спроса (Charles Davenant, 1699) было опубликовано более
трех столетий назад, а первое современное исследование
(Rodulfo Enini, 1907) – в начале 20 в. Мощным толчком в развитии
эконометрики стало основание в 1930 г. эконометрического общества и
выход в январе 1933 г. первого номера журнала Econometrica. Основной
целью деятельности Общества, как было определено в первом номере
журнала, должно было стать “…изучение возможностей объединения
теоретико-количественных и эмпирико-количественных подходов к решению
экономических задач, а
также распространения
точных методов анализа, аналогичных тем, которые в настоящее
время доминируют в естественных науках.
Однако существует несколько видов количественного анализа в экономике,
ни один из которых по отдельности не должен ассоциироваться с
эконометрикой. Так, эконометрика – это не экономическая статистика.
Эконометрика – это и не раздел общей экономической теории, хотя
значительная часть экономической теории определенно имеет
количественный характер. Слово «эконометрика» не является также простым
эквивалентом фразы «применение математики в экономике».
Как показывает опыт, все три перечисленных дисциплины, – статистика,
экономическая теория и математика, - необходимы, но ни одной из них,
взятой по отдельности, не достаточно для реального понимания
количественных взаимосвязей в современной экономической жизни.
Именно объединение всех этих трех дисциплин дает к нему ключ.
Именно объединение их и составляет предмет эконометрики.”
История возникновения эконометрики как науки
Эконометрика как наука
восходят к У.Петти (XVII в.) с его «политической арифметикой», О.Курно
и Э.Энгелю (XIX в.), В.Парето (на рубеже XIX и XX вв.) и др. В XIX в. были
разработаны и стали использоваться в эконометрике (эконометрии) такие
статистические методы, как множественная регрессия, статистическая
проверка гипотез, теория ошибок, выборочные методы (Р.Фишер,
К.Пирсон и др.). В первой половине XX в. появился интерес к моделированию
структур спроса и потребительских расходов и их эмпирической оценке
(Р.Аллен, А.Маршалл и др.). В этот же период формулируется задача
идентификации (Е.Уоркинг), начинается изучение производственной
функции Ч.Кобб, П.Дуглас), статистическое моделирование делового цикла
(Е.Е.Слуцкий, Р. Фриш).
Макроэконометрические исследования начали Я.Тинберген и Р. Фриш,
ставшие первыми
в истории лауреатами
(1968). После 2-й мировой войны важным центром развития эконометрики
стала Комиссия Коулса (США). Новый инструментарий эконометрик
получила в результате
разработки моделей
(Т.Хаавелмо, Т.Купманс, Г.Тейл и др.). В последние десятилетия методы
эконометрики сыграли решающую роль в освоении и развитии автоматизации
экономических расчетов разного уровня и назначения. Определенный вклад
в развитие эконометрики внесли советские экономисты, в их числе
Е.Е. Слуцкий (1880-1948), Л.В. Канторович (1912-86) - лауреат Нобелевской
премии по экономике 1975, и др., несмотря на ее замалчивание и трактовку
как буржуазной, антимарксистской лженауки. Большая роль в ее
реабилитации принадлежала академику B.C. Немчинову (1894-1964):
написанная им статья «Эконометрия» (вышла в 1965) открыла для
отечественных экономистов возможности этого направления научной
деятельности. Многие исследователи способствовали развитию
эконометрики, тем более что в последние десятилетия она была и по
сей день остается одной из наиболее динамично развивающихся
экономических наук.
Временные ряды.
Обычно эконометрические модели строятся на основе двух типов исходных
данных:
· данные, характеризующие совокупность различных объектов в
определенный момент (период) времени;
· данные, характеризующие один объект за ряд последовательных
моментов (периодов) времени.
Модели, построенные по данным первого типа, называются
пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго
типа данных, называются моделями временных рядов.
Временной ряд – совокупность значений какого-либо показателя за
несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый
уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа
факторов, которые условно можно подразделить на три группы:
· факторы, формирующие тенденцию ряда (например, инфляция влияет
на увеличение размера средней заработной платы);
· факторы, формирующие циклические колебания ряда (например,
уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по
сравнению с летним);
· случайные факторы.
Очевидно, что реальные данные чаще всего содержат все три компоненты. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Если же временной ряд представлен как их произведение, то такая модель называется мультипликативной.
Под временным рядом (time series) понимается последовательность наблюдений значений некоторой переменной, произведенных через равные промежутки времени. Если принять длину такого промежутка за единицу времени (год, квартал, день и т.п.), то можно считать, что последовательные наблюдения x1, ..., xn произведены в моменты
t = 1, …, n .
Основная отличительная особенность статистического анализа временных рядов состоит в том, что последовательность наблюдений
x1, ..., xn рассматривается как реализация последовательности, вообще говоря, статистически зависимых случайных величин X1, ..., Xn , имеющих некоторое совместное распределение с функцией распределения
F(v1, v2, …, vn) = P{ X1 < v1, X2 < v2, ... , Xn < vn }.
Рассмотрим в основном временные ряды, у которых совместное распределение случайных величин X1, ..., Xn имеет совместную плотность распределения p( x1, x2, … , xn).
Чтобы сделать задачу статистического анализа временных рядов доступной для практического решения, приходится так или иначе ограничивать класс рассматриваемых моделей временных рядов, вводя те или иные предположения относительно структуры ряда и структуры его вероятностных характеристик. Одно из таких ограничений предполагает стационарность временного ряда.
Ряд xt , t = 1, …, n , называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если для любого m ( m < n) совместное распределение вероятностей случайных величин X t1…… X tm такое же, как и для X t1+ш…… X tm + I , при любых t1,…, tm и I , таких, что 1 ≤ t1, … , tm ≤ n и 1 ≤ t1+ д., … , tm+ I ≤ n.
Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не изменяются при изменении начала отсчета времени. В частности, при m = 1 из предположения о строгой стационарности временного ряда xt следует, что закон распределения вероятностей случайной величины Xt не зависит от t, а значит, не зависят от t и все его основные числовые характеристики (если, конечно, они существуют), в том числе: математическое ожидание E (Xt) = M и дисперсия D(Xt)= Ớ 2.
Значение М. определяет постоянный уровень, относительно которого колеблется анализируемый временной ряд xt, а постоянная Ớ характеризует размах этих колебаний.
Одно из главных отличий последовательности наблюдений,образующих временной ряд, заключается в том, что члены временного ряда являются, вообще говоря, статистически взаимозависимыми. Степень тесноты статистической связи между случайными величинами Xt и Xt+ ô может быть измерена парным коэффициентом корреляции
где
Если ряд xt стационарный, то значение не зависит от t и является функцией только от ; мы будем использовать для него обозначение :
В частности,
Соответственно, для стационарного ряда и значение коэффициента корреляции
зависит только от ; мы будем использовать для него обозначение
так что
В частности,
Практическая проверка строгой стационарности ряда xt на основании наблюдения значений x1, x2, …, xn в общем случае затруднительна. В связи с этим под стационарным рядом на практике часто подразумевают временной ряд xt , у которого
Ряд, для которого выполнены указанные три условия, называют стационарным в широком смысле (слабо стационарным, стационарным второго порядка или ковариационно стационарным).
Если ряд является стационарным в широком смысле, то он не обязательно является строго стационарным. В то же время, и строго стационарный ряд может не быть стационарным в широком смысле просто потому, что у него могут не существовать математическое ожидание и/или дисперсия. (В отношении последнего примером может служить случайная выборка из распределения Коши.) Кроме того, возможны ситуации, когда указанные три условия выполняются, но, например, зависит от t. Ряд xt , t = 1, …, n, называется гауссовским, если совместное распределение случайных величин X1, ... , Xn является n-мерным нормальным распределением. Для
гауссовского ряда понятия стационарности в узком и в широком смысле совпадают.
В дальнейшем, говоря о стационарности некоторого ряда xt , мы (если не
оговаривается противное) будем иметь в виду, что этот ряд стационарен в широком смысле (так что у него существуют математическое ожидание и дисперсия). Итак, пусть xt – стационарный ряд c
Поскольку в данном случае коэффициент измеряет корреляцию между членами одного и того же временного ряда, его принято называть коэффициентом автокорреляции (или просто автокорреляцией). По той же причине о ковариациях говорят как об автоковариациях. При анализе изменения величины в зависимости от значения принято говорить об автокорреляционной функции .
Автокорреляционная функция безразмерна, т.е. не зависит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Ее значения могут изменяться в пределах от .1 до +1; при этом ρ(0) = 1. Кроме того, из стационарности ряда xt следует, , так что при анализе поведения автокорреляционных функций обычно ограничиваются рассмотрением только неотрицательных значений .
График зависимости часто называют коррелограммой. Он может использоваться для характеризации некоторых свойств механизма, порождающего временной ряд. При этом заметим, что если
xt – стационарный временной ряд и
c – некоторая постоянная, то временные ряды
xt и (xt + c) имеют одинаковые коррелограммы.
Если предположить, что временной ряд описывается моделью стационарного
гауссовского процесса, то полное описание совместного распределения случайных величин X 1, ..., X n требует задания n+1 параметров:
или
Это намного меньше, чем без требования стационарности, но все же больше, чем количество наблюдений. В связи с этим, даже для стационарных
гауссовских временных рядов приходится производить дальнейшее упрощение модели с тем, чтобы ограничить количество параметров, подлежащих оцениванию по имеющимся наблюдениям. Мы переходим теперь к рассмотрению некоторых простых по структуре временных рядов, которые, в то же время, полезны для описания эволюции во времени многих реальных экономических показателей.
Процесс белого шума
Процессом белого шума (“белым шумом”, “чисто случайным временным
рядом”) называют стационарный временной ряд xt , для которого
Последнее означает, что при t ≠ s случайные величины Xt и Xs , соответствующие наблюдениям процесса белого шума в моменты t и s, некоррелированы.
В случае, когда Xt имеет нормальное распределение, случайные величины X 1, ..., X n взаимно независимы и имеют одинаковое нормальное распределение N(0, ó 2), образуя случайную выборку из этого распределения, т.е. .
Такой ряд называют гауссовским белым шумом.
В то же время, в общем случае, даже если некоторые случайные величины
X1, ... ,Xn взаимно независимы и имеют одинаковое распределение, то это еще не означает, что они образуют процесс белого шума, т.к. случайная величина Xt может просто не иметь математического ожидания и/или дисперсии (в качестве примера мы опять можем указать на распределение Коши).
Временной ряд, соответствующий процессу белого шума, ведет себя крайне нерегулярным образом из-за некоррелированности при t ≠ s случайных величин Xt и Xs. Это иллюстрирует приводимый ниже график смоделированной реализации гауссовского процесса белого шума (NOISE) с D(Xt) ≡ 0.04.
В связи с этим процесс белого шума не годится для непосредственного моделирования эволюции большинства временных рядов, встречающихся в экономике.
В то же время, как мы увидим ниже, такой процесс является базой для построения более реалистичных моделей временных рядов, порождающих “более гладкие” траектории ряда. В связи с частым использованием процесса белого шума в дальнейшем изложении, мы будем отличать этот процесс от других моделей временных рядов, используя для него обозначение εt .
В качестве примера ряда, траектория которого похожа на реализацию процесса белого шума, можно указать, например, на ряд, образованный значениями темпов изменения (прироста) индекса Доу-Джонса в течение 1984 года (дневные данные).
График этого ряда имеет вид
Заметим, однако, что здесь наблюдается некоторая асимметрия распределения вероятностей значений xt (скошенность этого распределения в сторону положительных значений), что исключает описание модели этого ряда как гауссовского белого шума.
Процесс авторегрессии
Одной из широко используемых моделей временных рядов является процесс авторегрессии (модель авторегрессии). В своей простейшей форме модель авторегрессии описывает механизм порождения ряда следующим образом:
Xt = a Xt – 1 + εt , t = 1, …, n,
где εt – процесс белого шума, имеющий нулевое математическое ожидание и
дисперсию ,
X0 – некоторая случайная величина,
а a ≠ 0 – некоторый постоянный коэффициент.
При этом
E(Xt) = a E(X t – 1),
так что рассматриваемый процесс может быть стационарным только если E(Xt) = 0 для всех t = 0, 1, …, n.
Далее,
Xt = a X t – 1 + εt = a (a Xt –2 + εt–1) + εt = a2 Xt–2 + a εt–1 + εt = … =
= a t X0 + a t –1 ε1 + a t–2 ε2 + … + εt ,
Xt–1 = a Xt–2 + εt–1 = a t–1 X0 + a t–2 ε1 + a t–3 ε2 + … + εt–1 ,
Xt–2 = a Xt–3 + εt–2 = a t–2 X0 + a t–3 ε1 + a t–4 ε2 + … + εt–2,
…
X1 = a X0 + ε1.
Если случайная величина X0 не коррелирована со случайными величинами ε1, ε2,
…, εn, то отсюда следует, что
т.е. при сделанных предположениях автоковариации и автокорреляции зависят только от того, насколько разнесены по времени соответствующие наблюдения.
Таким образом, механизм порождения последовательных наблюдений, заданный соотношениями
Xt = a Xt–1 + εt , t = 1, …, n,
порождает стационарный временной ряд, если . a < 1 ; . случайная величина X0 не коррелирована со случайными величинами ε1, ε2, …,εn ;
Рассмотренная модель порождает (при указанных условиях) стационарный ряд, имеющий нулевое математическое ожидание. Однако ее можно легко распространить и на временные ряды yt с ненулевым математическим ожиданием , полагая, что
указанная модель относится к центрированному ряду
Поэтому без ограничения общности можно обойтись в текущем рассмотрении моделями авторегрессии, порождающими стационарный процесс с нулевым средним.
Продолжая рассмотрение для ранее определенного процесса Xt (с нулевым математическим ожиданием), заметим, что для него
и при значениях a > 0, близких к 1, между соседними наблюдениями имеется сильная положительная корреляция, что обеспечивает более гладкий характер поведения траекторий ряда по сравнению с процессом белого шума. При a < 0 процесс авторегрессии, напротив, имеет менее гладкие реализации, поскольку в этом случае проявляется тенденция чередования знаков последовательных наблюдений.
Следующие два графика демонстрируют поведение смоделированных реализаций временных рядов, порожденных моделями авторегрессии ε
при a = 0.8 (первый график) и a = – 0.8 (второй график).
Теперь мы должны обратить внимание на следующее важное обстоятельство. В практических ситуациях “стартовое” значение X0 = x0 , на основе которого в соответствии с соотношением Xt = a Xt–1 + εt строятся последующие значения ряда Xt , может относиться к концу предыдущего периода, на котором просто в силу других экономических условий эволюция соответствующего экономического показателя следует иной модели, например, модели Xt = a Xt–1 + εt с другими значениями
Более того, статистические данные о поведении ряда до момента t = 0 могут
отсутствовать вовсе, так что значение x0 является просто некоторой наблюдаемой числовой величиной. В обоих случаях ряд Xt уже не будет стационарным даже при a .
Процесс скользящего среднего
Еще одной простой моделью порождения временного ряда является процесс скользящего среднего порядка q (MA(q)). Согласно этой модели,
При этом для обеспечения стационарности необходимо и достаточно, чтобы параметры по обсолютной величине был меньше еденицы (или, что то же, чтобы корень характеристического уравнения 1- =0 лежал вне единичного круга)
Смешанный процесс авторегрессии – скользящего среднего (процесс
авторегрессии с остатками в виде скользящего среднего)
Процесс Xt с нулевым математическим ожиданием, принадлежащий такому классу процессов, характеризуется порядками p и q его AR и МA составляющих и обозначается как процесс ARMA(p, q) (autoregressive moving average, mixed autoregressive moving average). Более точно, процесс Xt с нулевым математическим ожиданием принадлежит классу ARMA(p, q), если
где a(L) и b(L) имеют тот же вид, что и в определенных ранее моделях AR(p) и MA(q). Если процесс имеет постоянное математическое ожидание ì , то он является процессом типа ARMA(p, q), если
Отметим следующие свойства процесса .
Процесс стационарен, если все корни уравнения a(z) = 0 лежат вне единичного
круга z ≤ 1.
- Если процесс стационарен, то существует эквивалентный ему процесс
. Если все корни уравнения b(z) = 0 лежат вне единичного круга z ≤ 1
(условие обратимости), то существует эквивалентное представление
процесса Xt в виде процесса авторегрессии бесконечного порядка AR(∞)
Отсюда вытекает, что стационарный процесс ARMA(p, q) всегда можно
аппроксимировать процессом скользящего среднего достаточно высокого порядка, а
при выполнении условия обратимости его можно также аппроксимировать процессом авторегрессии достаточно высокого порядка.
В экономике многие временные ряды являются агрегированными. Из указанного выше факта вытекает, что если каждая из компонент отвечает простой модели AR, то при независимости этих компонент их сумма будет ARMA процессом.
Нестационарные временные ряды
В экономической практике принято рассматривать два основных типа нестационарных временных рядов:
Случайное блуждание ( со сдвигом)
Такие ряды так же принято называть временными рядами со стохастическим трендом.
Вторым основным типом является ряд вида:
Хt = + βt + t
Такие ряды называются также временными рядами с детерминистическим трендом.
Рассмотрим временной ряд со стохастическим трендом.
Yt = + Yt –1 + t
Данное уравнение является частным случаем более общей модели
Yt = + Yt-1 + t
В зависимости от значения можно выделить два случая:
|а| < 1 — процесс является стационарным;
|а| 1 — процесс является нестационарным.
При |а| >1 процесс становится «взрывным», т. е. шок, произошедший в системе в момент времени t, будет иметь более сильное влияние на нее в момент времени t+1, еще более сильное – в момент t+2 и т.д.
На рисунке изображены процессы нестационарных временных рядов с коэффициентом >1. Рисунок A
Показывает первые 250, а
Рисунок Б. – первые 450 неблюдений одного и того же процесса. . Видно, как с увеличением числа наблюдений усиливается
взрывной» характер процесса.
Рисунок Б.
180
160
140
120
100
80
60
40
20
О 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Аналогичные тенденции прослеживаются для процессов с коэффициентом < -1.
Такого рода процессы ( а также процесс с коэффициентом = -1 редко соотвествуют экономическим данным, поэтому, как правило, основной упор делается на рассмотрении процессов, имеющих единичный корень, - т.е. случая, когда =1.
Тренд и его анализ.
Тренд или тенденция
понятие. Под трендом понимают закономерную, неслучайную
составляющую временного ряда (обычно монотонную), которая может
быть вычислена по вполне определенному однозначному правилу. Тренд
временного ряда часто связан с действием физических законов или
каких-либо других объективных закономерностей. Однако, вообще
говоря, нельзя однозначно разделить случайный процесс или
временной ряд на регулярную часть (тренд) и колебательную часть
(остаток). Поэтому обычно предполагают, что тренд - это некоторая
функция простого вида (линейная, квадратичная и т.п.), описывающая
“поведение в целом” ряда или процесса. Если выделение такого
тренда упрощает исследование, то предположение о выбранной форме
тренда считается допустимым.
Для временного ряда уравнение линейного тренда имеет вид
При r>0 говорят о положительном тренде (с течением времени
значения временного ряда имеет тенденцию возрастать), при r<0 об
отрицательном (тенденция убывания). При r, близких к нулю, иногда
говорят о боковом тренде. Как было сказано выше, для случая, когда
t=1,2,3,...n, имеем:
однако на практике не стоит отдельно вычислять r и уX и только
потом подставлять их в уравнение тренда. Лучше прямо в формуле
тренда произвести сокращения, после которых она примет вид:
После выделения линейного
значим. Это делается с помощью анализа коэффициент корреляции.
Дело в том, что отличие коэффициента корреляции от нуля и тем
самым наличие реального тренда (положительного или отрицательного)
может оказаться случайным, связанным со спецификой
рассматриваемого отрезка временного ряда. Другими словами, при
анализе другого набора экспериментальных данных (для того же
временного ряда) может оказаться, что полученная при этом оценка
намного ближе к нулю, чем исходная (и, возможно, даже имеет другой
знак), и говорить о реальном тренде тут уже становится трудно.
Автокорреляция уровней временного ряда
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:
(4.1)
где
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .
Аналогично
можно определить коэффициенты автокорреляции
второго и более высоких
(4.2)
где
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .
Свойства коэффициента автокорреляции.
Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
- Временный регламент Съезда народных депутатов РСФСР
- Время и его свойства
- Время отдыха
- Время отдыха
- Время отдыха
- Время отдыха
- Время отдыха
- Временное хранение товаров
- Временное хранение товаров
- Временное хранение товаров
- Временные и частотные характеристики линейных электирических цепей
- Временные остановки судопроизводства
- Временные ряды
- Временные ряды
