Задача роста ледяной корки на поверхности водоема

 

 

 

Курсовая  работа

 

Задача роста ледяной корки на поверхности водоема.

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Введение ………………………………………………………………..3-5 стр.

1. Дифференциальные уравнения……………………………………..6 стр.

2. Классификация дифференциальных уравнений…………………..6-7 стр.

3. Методы решения дифференциальных уравнений

3.1 Метод последовательных приближений…………………………7-8 стр.

3.2Метод Рунге – Кутты…………………………………………… 8-13 стр.

4.Автомодельное решение……………………………………………14 стр.

4.1Аналитическое решение……………………………………...........15стр.

4.2Формула Кирхгофа ………………………………………………..15 стр.

5.Постановка задачи и основные уравнения………………………16- 17 стр.

6.Аналитические решения…………………………………………..18-23 стр.

Заключение ………………………………………………………….24  стр.

Список литературы ………………………………………………….25 стр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Формирование ледяного покрова в водоемах и водотоках протекает в результате процессов теплообмена их с окружающей средой в осенне-зимний период года. 

Осенне-зимний ледовый и термический режимы зависят от многих факторов: географических, климатических и погодных условий, размеров и глубины водоема, скорости течения, физических свойств воды и др.

Накопленные водой за лето запасы теплоты осенью расходуются при теплообмене с атмосферой. Понижение температуры воды за этот период происходит следующим образом: при достижении 4°С вода охлаждается с поверхности без перемешивания по глубине. Дальнейшее охлаждение воды на поверхности происходит до 0°С, и она может принять даже отрицательные значения порядка -1°С. Чем спокойнее вода, тем на меньшую глубину проникает переохлаждение. В тех же водоемах и водотоках, где наблюдается интенсивное турбулентное перемешивание, обусловленное волнением и течением, переохлаждение может наблюдаться во всей толще воды. Обычно оно выражается тысячными долями градуса, достигая даже -0,1°С.

Переход переохлажденной воды в твердое состояние − лед происходит только при наличии в ней центров кристаллизации. В качестве центров кристаллизации могут выступать взвешенные частицы, находящиеся в воде, кристаллики льда или снега, поступающие в воду из воздуха, кристаллики льда, образующиеся в переохлажденной воде в результате ее движения, и т.д. Образовавшиеся в воде при ее замерзании кристаллы имеют иглообразную и пластинчатую форму. Всплывая на поверхность, они образуют пятна, напоминающие вылитый на воду жир. Поэтому такой лед называют салом. Чтобы эти кристаллы смерзлись в монолитный ледяной покров, достаточно одной безветренной ясной морозной ночи. При волнении происходит перемешивание масс воды. Процесс замерзания в этом случае растягивается на более длительный период по сравнению с периодом замерзания только при поверхностном охлаждении воды.

В водоемах и особенно на реках установление ледостава часто начинается с заберегов. По мере остывания воды водоемов и водотоков забереги растут в направлении их открытой части и в итоге смыкаются. Если же при заберегах наступит безветренная погода, то образование ледяной корки ускорится за счет смерзания в открытой части водоема плавающего сала. После образования корки льда толщиной около 0,01 м дальнейшее нарастание льда снизу обусловливается теплоотдачей на границе лед − воздух, наличием снега на льду и физическими свойствами воды и льда.

Ледяной покров на водоемах и водотоках может образоваться также при замерзании шуги. Внутриводный лед − это кристаллы льда, образовавшиеся во всей толще переохлажденной воды, а донный − скопление (примерзание) внутриводного льда на дне и на находящихся в воде предметах.

 Длительность  процесса замерзания водоемов  и водотоков или продолжительность формирования ледяного покрова определяется соотношением между теплоотдачей с водной поверхности и интенсивностью турбулентного перемешивания водных масс. Характеристикой этого соотношения является параметр количества теплоты, выделяющееся при кристаллизации переохлажденной воды объемом на глубине z.

При малых значениях коэффициента , λ т.е. при относительно слабом турбулентном перемешивании воды ( λ < 1), основное количество теплоты при ее кристаллизации выделяется в поверхностном слое. Это условие отвечает спокойному и быстрому замерзанию водоемов, происходящему путем образования на поверхности воды ледяной корки. При больших значениях коэффициента турбулентной теплопроводности ( λ > 1), т.е. интенсивном перемешивании воды, характер распределения теплоты  по всей глубине приближается к равномерному. Это условие отвечает образованию льда во всей толще воды, а также появлению донного льда.

Таким образом, характеристикой распределения теплоты по глубине можно воспользоваться для решения вопроса о вероятности образования преимущественно поверхностного или внутриводного льда, а также для оценки периода замерзания водоема в зависимости от теплоты Р0 в поверхностном слое. 

Вследствие того что лед обладает меньшей плотностью, чем вода, он образует в зимнее время года на поверхности воды плавучий покров, предохраняющий реки и водоемы от замерзания и защищает от гибели все живущие в них существа.

Основным показателем, определяющим рост льда, является продолжительность отрицательных температур воздуха. Чем больше эта величина, тем больше при прочих равных условиях толщина льда. Это одно из основных условий, определяющих развитие ледяного покрова.

Цель: изучение автомодельного решения уравнения в частных производных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Дифференциальные уравнения.

Уравнение для определения функции называют дифференциальным, если в нем участвуют дифференциалы или производные искомой функции. Таким образом, дифференциальное уравнение учитывает не только величину искомой функции, но и поведение ее (прежде всего скорость изменения в том или ином направлении) в бесконечно малой окрестности рассматриваемого, значения аргумента.

     Решением дифференциального уравнения называют функцию, заданную на связном множестве и обращающую дифференциальное уравнение/в тождество. Характерной особенностью дифференциального уравнения является то, что каждое уравнение определяет сразу" целое семейство решений, зависящее от некоторой совокупности числовых или функциональных параметров.

Дифференциальное уравнение обычно выражает некоторый общий закон, которому подчиняется бесконечное множество конкретных процессов. Для выделения конкретного процесса, которому соответствует отдельное решение дифференциального уравнения, указываются дополнительные условия — начальные и граничные| называемые в совокупности краевыми.

2. Классификация дифференциальных уравнений.

Существуют два основных типа дифференциальных уравнений: обыкновенные, определяющие функции одного переменного, и в частных производных, в которые входят производные от искомой функции по нескольким переменным.

Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной, участвующей в уравнении.

 Дифференциальное уравнение  имеет нормальную форму, если оно разрешено относительно старшей производной. В противном случае форма дифференциального уравнения считается общей. К отдельному виду относятся линейные дифференциальные уравнения.

Аналогично классифицируются системы дифференциальных уравнений.

3. Методы решения дифференциальных уравнений

3.1 Метод последовательных приближений

Этот метод, имеющий в основном теоретическое значение, изложим сначала применительно к задаче Коши

         (3.1)

 

Для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка. Предполагаем, что функция  удовлетворяет всем условиям теоремы Коши о существовании и единичности решения задачи Коши.

Идея метода последовательных приближений изложена, по существу, в самом доказательстве этой теоремы. Пусть – решение ОДУ в (3.1). подставив этот решение в (3.1), после интегрирования с учетом начального условия получим равенство

              (3.2)

Далее, заменив в подынтегральном выражении неизвестную функцию на найдем первое приближение

Аналогично находим второе приближение

и т.д. Для n-го приближения будем иметь

      (3.3)

В ходе доказательства теоремы Коши установлено, что при каждом последовательность имеет пределом решения задачи Коши (1.1), т.е.

 

                 

Метод последовательных приближений можно также применить и к задаче Коши

         (3.4)

для нормальной системы ОДУ вида (1.4). Нулевое приближение соответствует , а последующее приближения ( находят по формуле

 

При этом под интегралом от векторной функции понимают матрицу столбец вида

Этот метод применим и к задаче Коши для ОДУ n-го порядка, если это уравнение предворительно представить в виде нормальной системы ОДУ.

 

Метод Рунге – Кутты

Построение метода численного решения задачи (3.1) Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка можно провести формальным путем. Рассмотрим один из частичных отрезков разбиения отрезка на N равных частей с шагом сетки Предположим, что известна ордината точки искомой интегральной кривой x(t) для задачи (3.1) Коши в узле сетки являющимся левым концом частичного отрезка Будем искать приближенное значение ординаты, соответствующей правому концу этого отрезка в узле , виде

 

где

 

 

 

………………………………………………                 (3.6)

 

Число и коэффициенты ) выбирают, но одно из основных соображений связано с желанием повысить точность рабочей формулы (3.5). Эта формула характеризует метод, названный по имени немецких математиков К.Д.Т. Рунге (1856-1927) и В.Кутте (1867-1944) методом Рунге – Кутте.

Пусть (t) – точное решение задачи (3.1) Коши, а приближенное значение ординаты интегральной кривой для ОДУ в (3.1), проходящей через точку найденное из (3.5) в узле при условии, что . Ясно, что в этом случае разность

 

Называемая погрешностью метода на шаге, будет функцией шага h.

 

Предположим, что функция в (3.1) дифференцируема s+1 раз в области изменения своих аргументов. Тогда согласно 3.5) и (3.6), столько же раз можно дифференцировать по h и функцию Представим ее в окрестности точки  h=0 формулой Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа.

 

В

В этой записи принято, что при .

Задачу подбора коэффициентов ), обеспечивающего повышение точности рабочей формулы (3.5) теперь можно сформулировать так: при заданном найти такое сочетание значений этих коэффициентов, чтобы при наибольшем возможном в (3.5) было выполнено условие

В этом случае погрешность метода на шаге будет определять в (3.8)лишь остаточный член, пропорционально сомножителю . Степень s+1 этого сомножителя называют порядком точности метода на шаге. Поскольку погрешность возникает а каждом шаге, то при  N  вычислениях на отрезке суммарная погрешность будет пропорциональна т.е. порядок s точности метода на отрезке будет на единицу меньше, чем на шаге.

Ясно, что при m=1 (3.5) переходит в т.е. метод ломанных Эйлера можно рассматривать как частный случай метода Рунге –Кутте. В этом случае, согласно (3.5) – (3.7), имеем и

 

Отсюда при h=0 получаем и учитывая, что

 =

 

А также

 

 

Поскольку в общем случае то в соответствии с (3.8) устанавливаем, что метод ломанных Эйлера имеет второй порядок точности на шаге и первый порядок точности на отрезке, причем погрешность этого метода на шаге будет

При  m=2 из (3.5) и (3.6) с учетом условия следует

                                                 (3.9)

 

 

В этом случае, согласно (3.7), будем иметь

.

 

Обозначим ,     ,

Трижды продифференцируем функцию

=

=

=

Где использованы обозначения .

Учитывая, что для ОДУ в (3.1)

 

Подставим в выражения и ее производных значение h=0 и получим

 

;

 

 

Равенство для произвольной дифференцируемой функции при условиях

 и        (3.10)

Выполнение условий (3.10) обеспечивает при использовании (3.9) третий порядок точности на шаге и второй – на отрезке.

Если принять , то из (3.10) найдем , что соответствует рабочей формуле ))-метод Эйлера-Коши. Если же взять

Т.е. придем к рабочей формуле усовершенствованного метода ломанных. Таким образом, эти метода имеют второй порядок точности на отрезке.

Задавая различные значения параметра  , можно построить так называемое однопараметрическое семейство методов Рунге- Кутте, имеющих второй порядок точности на отрезке. Увеличить порядок точности при m=2 путем выполнения равенства в общем случае не удается. Например, для ОДУ при любых значениях имеем Поскольку главная часть погрешности этого семейства методов, согласно (3.8) равна в некоторых конкретных случаях эту величину можно уменьшить, пользуясь полученным выражением . Так, если для некоторого класса ОДУ мала величина целесообразно подобрать коэффициенты так, чтобы помимо выполнения условий (3.10) в выражении обратились в нуль первые три слагаемых, т.е. были бы выполнены равенства.

1-3=0,    1-3   1-3

Несложно убедиться, что всем этим условиям удовлетворяют значения , что приводит к рабочей формуле (.

Из семейства методов четвертого порядка точности на отрезке, получаемых при m=4, наиболее часто используют вариант, приводящий к рабочей формуле

                  (3.11)

Отметим, что если правая часть ОДУ в 3.1) не зависит от х, то обе последние формулы переходят в формулу Симпсона

Для отрезка длиной h, имеющую пятый порядок точности на шаге и четвертый на отрезке длиной

Рабочие формулы метода Рунге- Кутты несложно записать применительно к решению задачи Коши для нормальной системы ОДУ.

 

 

 

4.Автомодельное решение.

Автомодельное решение — такое решение некоторой системы или уравнения двух независимых переменных, в которое независимые переменные   и   входят не произвольным образом, а лишь в комбинации

• — автомодельная переменная
• — любая функция исходной системы или уравнения.

Автомодельные решения - это способы решения задач нестационарной гидро- или аэродинамики с учетом тепловых и массовых процессов. Впервые необходимость в таких решениях возникла при решении проблемы расчета МГД-течений (МГД - магнитогидродинамический - один из способов прямого преобразования тепловой энергии в электричество наряду с термоэлектрическим и термоэмиссионным). Заслуга в разработке таких решений принадлежит российскому физику Алексею Алексеевичу Бармину.

Конец 50-х - начало 60-х годов XX в. было временем интенсивного развития в нашей стране и мировой науке нового направления в механике - магнитной гидродинамики. Система уравнений магнитной гидродинамики с математической точки зрения намного более сложная, чем уравнения классической гидродинамики. Поэтому даже решение простейших задач в этой области связано с большими трудностями часто принципиального характера. Решение задач в общем случае сдерживалось тем, что условия на МГД-разрывах представлялись в виде сложной системы алгебраических отношений не разрешенных относительно параметров за разрывом.

А. А. Бармину удалось упростить соотношения на МГД-разрывах с помощью оригинального и очень удачного выбора переменной на ударных адиабатах МГД-ударных и детонационных волн, что позволило в явном виде выразить все параметры за разрывом как функции этой новой переменной.

 

4.1 Аналитическое решение

Аналитические решения уравнений математической физики можно получить различными способами. Например:

• Используя функцию Грина;
• Используя метод разделения переменных Фурье;
• С помощью теории Потенциала;
• Используя формулу Кирхгофа.

Эти методы разработаны для различных типов уравнений и в некоторых простых случаях позволяют получить решение в виде некоторой формулы или сходящегося ряда, например для уравнения колебаний струны:

аналитическое решение с помощью метода Фурье имеет вид:

4.2 Фо́рмула Кирхго́фа — аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного (Формула Пуассона) и одномерного (Формула Д’Аламбера) уравнения.

5.Постановка задачи и основные уравнения

На рис. 1 изображена схема образования льда. В области находится воздух, в области находится вода, между воздухом и водой ( ) образуется лед.

Рис. 1. Геометрия задачи образования льда

 

В каждой фазе распределение температуры описывается уравнением теплопроводности.

Уравнение теплопроводности для каждой из фаз:

  

(1)

где – плотность, – теплопроводность, – теплоемкость и – температура.

Предполагается, что к границе раздела фаз переноситься тепло только за счет теплопроводности.

 

 

Начальные условия:

  

 

На границе выполняются условия равенства температур и тепловых потоков:

=cost,  .    (2)

На границе образования льда также выполняется условие равенства температур и условие теплового баланса:

,  ,   (3)

где – удельная теплота замерзания воды.

В начальный момент времени температуры воздуха и воды однородны и равны следующим значениям:

  , ,

а толщина льда равна нулю .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.Аналитические решения

В рамках выше принятых уравнений, а также системы начальных и граничных условий задача имеет автомодельное решение. Введем автомодельную переменную ( – коэффициент температуропроводности льда). Решение уравнений будем искать в виде , а закон роста толщины льда будет определяться по формуле . Температуру поверхности льда в данной постановке можно считать постоянной .

1. Уравнение теплопроводности:

В автомодельных переменных уравнение теплопроводности (1) примет вид:

, .  (4)

2.Условия баланса тепла:

1)

Граничные условия (2) и (3) запишутся в виде

,  -условие баланса тепла

                            на границе  , (5)

2)

 

, - условие баланса тепла на границе   ,

                                         (6)

Задача сводится к решению уравнений

а начальные условия в виде

Граничные условия:

                            

                                

 

Уравнение теплопроводности

 

 

 

 

Решение будем искать в виде:

 

Для области воздух – лёд:

Для области лёд-вода:

Учитывая начальные и граничные условия, можно найти значения:

1)

                        

2)

                        

3)

          

 

 

4)

        

Подставляя в условия баланса тепла получаем

1)На границе 

2)На границе

Введем безразмерные температуры , , воздуха, воды и границы раздела воздуха и льда. Тогда решения уравнения (4) для каждой области можно записать как

  ,

  ,

   .

Подставляя эти решения в условия (5) и (6), получаем систему из двух уравнений относительно неизвестных и :

,  (7)

где .

Тем самым задача свелась к определению двух неизвестных параметров и из системы уравнений (7).

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В работе изучен процесс роста ледяной корки на поверхности водоема для случая, когда воздух над поверхностью неподвижен. Построено автомодельное решение в плоско одномерном приближении с учетом влияния теплового сопротивления воздуха на рост толщины ледяной корки.

Получено автомодельное решение, описывающее процесс образования льда на поверхности водоема в штиль. Это решение наряду с классическим решением Стефана позволяет определить два предельных режима образования льда.

Задача уравнения в частных производных с использованием автомодельного решения получило аналитическое решение. Получено так же трансцендентное решение для определения координаты границ ℥ по которой можем определить рост ледяной корки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1. Бобков В.А. Производство и применение льда. М.: Пищевая промышленность, 1977. 232 с.
2. Пономарев К.К. «Составление дифференциальных уравнений»,

1937. 9 с.

3. Беховых Л.А, Макарыч С.В. «Основы гидрофизики», 2008.118 с.
4. С.А.Агафонов, А.Д.Герман, Т.В.Муратов «Дифференциальные уравнения», 2000. 308 -314 с.
5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 2004. 798 с.
6. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 487 с.
7. Данилюк И.И. О задаче Стефана // Успехи мат. наук. 1985. №5. С. 132–185.
8. Маэно Н. Наука о льде. М.: Мир, 1988. 231 с.
9. Паундер Э. Физика льда. М.: Мир, 1967. 190 с.