Задачи в обучении математике

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Алтайский государственный педагогический университет»

Факультет: Институт физико-математического образования

Направление: математика

Кафедра: Алгебры и методики обучения математике

Курсовая работа

Тема: «Задачи в обучении математике»

Выполнила: Гаськова Анастасия Владимировна

Группа: з314м

Преподаватель: Владимирцева Светлана Александровна

Барнаул 2015 
Содержание

Введение

Глава I. Роль задач в обучении математике………………………………………..6

Глава II. Анализ процесса решения задачи…….…………………………………18

2.1.Характеристика основных этапов решения задачи………….…………….....18

2.2. Краткая запись условия и решения задачи……….…………………………..27

Заключение

Список литературы 

Введение

Математика, как и другие науки, изучает действительный мир и, в своих понятиях и законах, отражает закономерности этого мира. Специфика математики как особой науки состоит в том, что она специально выделяет количественные отношения и пространственные формы, которые присущи всем без исключения предметам и явлениям действительности, и делает их объектами своего исследования. Период современной математики обычно относят к середине ХIХ века. К этому времени математика стала настолько абстрактной наукой, что перемахнула за пределы той концепции, которая рассматривала в качестве предмета только число и геометрическую фигуру. Качественные изменения произошли в этот период и в алгебре: значительно расширилось понятие исчисления, различные операции начали производиться не только над числами, но и над векторами, матрицами, логическими высказываниями. В этот период характерно стремление к содержанию единства в многообразии математических фактов и методов, весьма далеких друг от друга. Это выразилось в создании разветвленной теории групп, знаменовавшей собой успехи аксиоматического метода, в дальнейшем развитие теории множеств, общие понятия и методы которой позволили охватить с единой точки зрения области математики, которые ранее казались сильно удаленными друг от друга.

Между математической наукой и математикой учебным предметом существует глубокое внутреннее единство, которое в целом определяется логикой самой науки. Однако это не исключает, а предполагает различие между ними. Наиболее существенное различие между ними заключается, во-первых, в том, что если цель науки – открытие новых закономерностей, то учебная дисциплина преследует педагогические цели обучения и воспитания. Во-вторых, математическая наука способна развиваться неограниченно, в то время как для предмета обучения должны быть указаны “пределы” его предложения в том или ином курсе. И, наконец, если структура науки определяется внутренней логикой ее предмета, то при построении математики как учебного предмета теории и разделы выстраиваются вряд, удобный для лучшего усвоения курса.

Важнейшая задача школы – давать подрастающему поколению глубокие и прочные знания основ наук, вырабатывать навыки и умения, применять их на практике. Одной из основных и главных задач школы является формирование у детей прочных знаний по математике.

Обучение математике должно обеспечить надежную основу, как в отношении знаний и умений учащихся, так и в отношении их развития для дальнейшего изучения математики в 5-11-х классах.

Переход учащихся из начальной школы в среднюю часто сопровождается трудностями адаптации к новым условиям обучения даже в случае, когда начальная и средняя школа работают в рамках единой дидактической темы. Важное значение имеет соотношение между программами по математике в начальной системе и в основном звене. За последние годы произошло значительное обновление содержания математики как в начальной школе, так и в 5-11-х классах. Современное содержание математического образования направлено, главным образом, на интеллектуальное развитие школьников, формирование культуры и самостоятельности их мышления. Существенное усиление алгебраической и геометрической пропедевтики, включение системы содержательно-логических заданий, игр, вопросов направлены на развитие познавательных процессов у детей.

Таким образом, происходящие изменения в структуре и содержании математического образования вызвали ряд проблем, одной из которых является проблема преемственности преподавания математики в школе и ВУЗах и техникумах.

Актуальность данной проблемы заключается в том, что изучение математики невозможно без опоры на знания, полученные в младших классах. Особенно это актуально в связи с вариативным обучением математике. Так, например, учащиеся нашего лицея занимаются по следующим направлениям: гуманитарное, химико-биологическое, знакомятся с элементами комбинаторики, логики, статистики и теории вероятностей.

Исходя из проведенной проблематики и актуальности исследования цель моей работы:

1. Изучив теоретические сведения о процессе решения задач, разработать рекомендации для учителей математики по организации обучения математике.

Для этого необходимо решить следующие задачи:

1. Анализировать учебную литературу различных авторских коллективов для 5-11 классов.

2. Составить методические рекомендации по их использованию.

Объектом исследования является процесс обучения математике школьников.

Предметом исследования – решение задач, направленных на развитие логического мышления учащихся.

Глава I. Роль задач в обучении математики.

В связи с развернувшейся в настоящее время во многих странах мира реформой математического образования проблема постановки задач в школьном курсе математики стала одной из самых важных и животрепещущих проблем в развитии преподавания.

Если понятие математической задачи тактируется достаточно широко (в частности, если всякую теорему считать задачей), то решение задач является единственной возможностью для математической деятельности учащихся. Умения решать математические задачи является наиболее яркой характеристикой состояния математического образования.

Как же обстоит дело с обучением учащихся математической деятельности? И, прежде всего, как понимает учащийся (и учитель!) цель постановки задач в школьном курсе математики?

Почти все учащиеся средней школы считают, что если предложенная им математическая задача решена верно, если полученный ответ совпадает с ответом, данным в учебнике, или одобрен учителем, то работа их окончена, о решенной задаче можно и нужно забыть.

Таким образом, учащиеся (а также многие учителя) забывают об обучающем характере каждой задачи, решаемой в процессе обучения, о том, что всякая решаемая ими задача должна учить их умению ориентироваться в различных проблемных ситуациях, обогащать их знания и опыт, учить их математической деятельности.

Проявляя (в традиционной методике обучения решению задач) значительную заботу о применения математических знаний при решении задач и не обращая внимания на процесс актуализации этих знаний, мы нарушаем единство процесса математического мышления и поэтому не можем обеспечить его должного развития у учащихся.

Английский кибернетик Д.М.Маккей установил четыре основные черты, отличающие “интеллект от простой способности вычислять”:

1. способность успешно перерабатывать и объединять информацию в зависимости;

2. способность совершать пробные действия, поиск и переходы, не вытекающие из наличной информации (т.е. совершать “скачок через разрыв, существующих данных”);

3. способность управлять поисковым и исследовательским процессом, руководствуясь “чувством близости решения”;

4. способность рассматривать ограниченный, но достаточно большой ряд положений и заключений, совместных с данным положением.

Традиционная система школьных математических задач этим целям пока не отвечает.

Подавляющее большинство задач традиционного школьного курса математики были шаблонными упражнениями тренировочного характера, которые по существу не имеют права на название “задача”.

Но даже эти шаблонные задачи не приведены, как правило, в определенную методическую систему. В этом следует искать ещё одну причину слабого развития способностей к математической деятельности у учащихся средней школы.

К числу недостатков в постановке задач, характерных для традиционного обучения математике, можно отнести, например, следующие:

1. излишняя стандартизация содержания и методов решения задач в традиционном обучении;

2. увеличение числа решаемых школьниками стандартных задач в ущерб их обучающему качеству;

3. излишне узкое понимание роли и целевого назначения математической задачи в процессе обучения;

4. несовершенство методики обучения через задачи;

5. несоответствие постановки задач и их решений в школе закономерностям развивающего мышления;

6. увлечение обучением решению таких задач или таких упражнений, которые в дальнейшем почти не находят приложений ни в процессе изучения основ наук, ни в практике;

7. обучение школьников через задачи таким умением и навыком, которые в современной практической деятельности почти не применяются, а в деятельности недалёкого будущего будут переданы автоматическим устройствам;

8. отсутствие в школьном курсе математики задач, решение которых могло бы подготовить школьника к деятельности, характерной для современного производства: наладке, управлению, рационализации и т.п.;

9. отсутствие чётких критериев учебной значимости каждой задачи, поставленной в процессе обучения, критерия, способного установить необходимое число задач какого-либо типа для достижения реализуемой через них цели обучения, и т.д.

Таким образом, налицо различных аспекты проблемы постановки задач в процессе обучения математике: методический, психологический и даже кибернетический.

Как правило, традиционные школьные математические задачи таковы, что требуют для своего решения определенных знаний, умений или навыков по узкому вопросу программного материала. Поэтому роль и значение их исчерпывается в течение того непродолжительного вопроса программы.

При этом вспомогательная роль таких задач в процессе обучения не является секретарём ни для учащихся, ни для учителя: проиллюстрировать изучаемый теоретический вопрос, разъяснить его смысл, помочь усвоить изучаемый факт через простейшие упражнения, выполняемые по образцу, продиктованному теорией, и только.

Плохо то, что, несмотря на значительные затраты учебного труда и времени на решение таких задач в школе, мы не достигаем ожидаемых результатов для значительного числа выпускников средней школы.

Основным становится формирование у школьника умения ориентироваться в новых задачных ситуациях, накапливать информацию, полезную для решения других задач или изучения новых разделов математики, обучение учащихся разнообразным математическим методам познание реальной действительности и т.д.

Именно этот аспект обучения математике отражён в следующем перечне целей обучения через задачи:

1. заинтересовать или мотивировать;

2. приводить и практиковать “технику решения задач”;

3. формировать понятие математической модели.

Говоря о роли математических задач в развитии у школьников способностей к самостоятельной познавательной деятельности творческого характера, отметим полезность постановки в школьном обучении математических задач проблемного характера.

Правильная постановка задач и упражнений в обучении математике во многом определяет современную методику преподавания, так как решение задач служит различным конкретным целям обучения. Так, например, задачи могут использоваться при введении в изучение новой темы, для самостоятельного установления школьниками какого-либо математического факта, подлежащего изучению или иллюстрации этого факта, с целью глубокого усвоения теоретического материала или выработке необходимых умений и навыков, для контроля знаний и самоконтроля, возбуждения и развития интереса к математике и, наконец, приобщения учащихся к деятельности математического характера– поисковой и творческой, развития у школьников логического математического мышления.

Решение каждой математической задачи осуществляется по четырем основным этапом:

1. понимание условия и требования задачи; ясное усвоение и осмысливание отдельных элементов условия;

2. составление плана решения;

3. практическая реализация плана во всех его деталях;

4. окончательное рассмотрение задачи и её решения с целью усвоения тех моментов, которые могут стать полезными для дальнейшего решения задач.

Для выработки правильного понимания школьниками поставленной задачи можно рекомендовать соблюдение следующих требований:

1. начинайте изучение условия задачи с аккуратно выполненных схем. Помните, что правильное графическое представление условия задачи означают по существу четкое, ясное и конкретное представление о всей задачной ситуации в целом;

2. представьте ясно и детально все основное, связанное с данной задачей. Обстоятельно выясните, что дано, что надо найти; выделите при этом главное в тексте условия задачи и сконцентрируйте на нем своё внимание. Выделите на чертеже данные и искомые величины различными яркими цветами;

3. проверьте тщательно каждое выдвигаемое в процессе решения задачи положение контрольными вопросами вида: что это означает, какие имеются основание для данного утверждения, какую пользу можно извлечь из данного факта?

1. проверьте, однозначно ли сформулирована задача. Нет ли в условии задачи избыточных или недостающих данных?

Говоря о первой из этих требований, отметим, что оно особенно важно при решении геометрических задач, где наглядный и четкий чертеж позволяет иной раз с первого же взгляда обнаружить возможные пути решения.

Немаловажную роль в успешном решении задач играет целенаправленность поиска решения, т.е. сознательное ограничение числа проб и ошибок, характерных для начальной его стадии.

Иногда учащийся не в состоянии самостоятельно проанализировать задачу и решить ее без помощи учителя. Однако в этом случае не следует сообщать ему готовое решение, а тем более заставлять школьника заучить данный в готовом виде способ действия.

При создании оптимальных условий, которые бы активизировали мыслительную деятельность учащихся при решении задач, весьма часто применяется особый дидактический прием, называемый системой подсказок. Система подсказок, состоящая из вспомогательных задач, вопросов и т.д., не подменяя мышление школьника, придает ему нужное направление, т.е. делает поиск решения целенаправленным.

Полезность упорядочения поисковой деятельности в процессе решения задач школьникам следует продемонстрировать на эффективно подобранной задаче и ее решении.

Например, представьте себе, говорит учитель, что ваш друг задумал некоторое натуральное число в промежутке от 1 до 1024. Чтобы угадать задуманное число, вы будете отвечать на вопросы “да” и “нет”. Может показаться невероятным, но достаточно всего лишь десяти вопросов, чтобы наверняка отгадать любое такое число.

Пусть задуманное число 1.

Спрашиваем:

1. Задуманное больше 512 (половину промежутка 1024)? – Нет.

2. Оно больше 256? – Нет.

3. Оно больше 128 (половину того промежутка, в каком оно может быть)? – Нет.

4. Оно больше 64? – Нет.

5. Оно больше 32? – Нет.

6. Оно больше 16? – Нет.

7. Оно больше 8? – Нет.

8. Оно больше 4? – Нет.

9. Оно больше 2? – Нет.

10. Это число 1? – Да.

Итак, постепенно уменьшая область поисков, мы решили задачу. Попробуйте сами решить эту задачу в предположении, что ваш друг задумал число 720; пусть ваш сосед по парте задумает число – угадайте его!

Решение задач требует наличие у школьников так называемых комбинационных способностей, под которыми понимают умение сделать подходящий выбор в условиях избытка активных и пассивных знаний. Понятно, что поиск и отбор полезной для решения данной задачи информации также должен быть целенаправленным. Нередко этот выбор может быть легко осуществлен при обращении к подходящей аналогии.

Отыскание подходящих аналогий активизируется вопросами: “Где мы раньше встречали что – либо подобное, видели что – либо родственное, встречали одинаковые характерные свойства?”

Для простоты отыскания аналогии полезно применять сравнительные чертежи, вспомогательные формулировки.

Применяя аналогию при решении задач, часто бывает полезным изменять формулировку задачи.

Например, пусть в условии некоторой задачи говорится о том, что треугольники АВС делится прямой MN, параллельной основанию на две части (Треугольник и трапецию), площади которых относятся как 2:3.

Еще не начиная решения этой задачи, школьники вспомнят известную им аналогичную по содержанию теорему об отношении площадей подобных треугольников. Но наличие в условии отношения площадей треугольника и трапеции может затормозить стремление использовать эту теорему при решении задачи.

Для этого достаточно сказать, что треугольник АВС делится прямой MN на два треугольника, отношение площадей которых легко установить.

Наконец, аналогия может оказаться полезной на начальном этапе решения задачи. Если уже на этом этапе удается сравнить данную задачу с задачами, решенными ранее, то сходство условий, требований, способа решения и т.д., часто сразу “наталкивает” учащихся на плодотворные идеи при планировании решения.

Очевидно, что решение многих математических задач сводится к решению некоторых частных задач, а последние, в свою очередь, расчленяются на простые задачи, решение которых или постулируется (например, в задачах на построение), или же находится из определений и аксиом.

Учителю необходимо научить ребят видеть составные задачи в ходе решения основной, научить составлять их, так как только благодаря такой работе возможен успешный поиск решения задач.

До недавнего времени в школьном обучении математике мало уделялось внимания такому важному виду математической деятельности учащихся, каким является самостоятельное составление тех или иных математических задач. Умение школьников составлять свои задачи по заранее известным условиям, по аналогии с данной задачей и т.д. является весьма ценным.

Например, дано уравнение: 8х – 3 = 5х +6. Составить задачу, решение которой приводит к решению этого уравнения.

Показ учителем способа составления некоторой задачи превращает аналогичное задание не только в доступное для всех, но даже – в стандартное. Помощь учителя должна быть и в этом случае дидактически разумной.

Рассмотрим пример того, как решение готового уравнения сопровождается самостоятельным составлением аналогичных уравнений:

Такая форма “параллельных” записей облегчает учебную деятельность школьников по составлению задач.

Значительно оживляют уроки математики и дидактические весьма полезны различные занимательные задачи, нешаблонные вопросы и “задачи на смекалку”.

Задачи – шутки и вопросы на сообразительность (для устного решения).

1. На дереве сидело 10 птиц. Охотник выстрелил и подстрелил одну птицу. Сколько птиц осталось на дереве?

2. Как из трех спичек, не ломая их, образовать четыре?

В такого рода задачах необходимо увидеть и преодолеть психологический барьер.

Задачи типа “Внимателен ли ты?” Такие вопросы и задачи развивают внимание и наблюдательность школьников.

1. Сколько углов на чертеже?

2. Сколько кубиков на чертеже?

Очень интересными, своеобразными задачами являются так называемые дудлы, которые обычно вызывают у ребят большое желание самим придумывать и задавать их друг другу.

Что это такое?

Возможны ответы: на рисунке а – проходящий вдоль забора солдат с собакой; на рисунке б – человек в сомбреро, едущий на велосипеде, т.д.

Полезными и нужными являются задачи на отыскание всевозможных закономерностей. Такие задачи формируют навыки математического мышления: умение анализировать, обобщать, находить закономерности.

Какое слово надо выкинуть как “из ряда вон выходящее”: кортик, падеж, стакан, книга, паркет?

Учителю полезно использовать подобного рода задачи не только на внеклассных занятиях по математике, но и на обычных уроках.

Чем же должен руководствоваться учитель при подборе учебных задач?

Рассмотрим памятку для анализа педагогической ценности задачи:

1. Какую учебную цель преследует данная задача?

2. Какие элементы математического образования имеются в виду?

3. Необходима ли именно эта задача?

4. Почему такие, а не другие.

5. Почему выбрана такая фабула задачи?

6. Почему взяты такие, а не другие числовые данные?

7. Отвечают ли числовые данные реальной обстановке, в которой могла бы возникнуть аналогичная задача?

8. Интересна ли задача для учащихся, увлекательна, естественная ли постановка вопроса, вызывает ли она у учащихся интерес к ответу или способу решения, чем именно?

9. Сможет ли учащийся самостоятельно решить данную задачу? Что он для этого должен знать, уметь, помнить, представлять себе? Если учащийся не сможет этого сделать, о чем будет свидетельствовать этот факт?

10. Чем и в какой мере ему может и должен помочь учитель?

11. Как эта задача связана с предшествующий и последующей учебной работой учащегося? И т.д.

Давая такую оценку каждой учебной задаче, учитель сумеет при минимальной затрате учебного времени добиться хороших результатов как в обучении, так и в развитии математического мышления школьников.

Но учиться не только должен сам уметь оценивать задачу, выявляя все ее полезные учебные качества, он должен научиться этому и учащихся.

Даже очень хорошие учащиеся, получив ответ на вопрос задачи и тщательно изложив ход ее решения, закрывают тетрадь, пологая работу законченной. Учитель обязан понимать, что никакую задачу нельзя исчерпать до конца. Этот взгляд он должен прививать и своим ученикам. всегда остается что – нибудь, над чем можно и нужно поразмышлять; всегда можно усовершенствовать любое решение, глубже его осмыслить, выявить полезную и новую для учащихся информацию. Поэтому после решения каждой задачи следует еще раз оглянуться назад, обратить внимание на метод, который был использован, попытаться найти другие пути решения, выявить то, что необходимо помнить.

Решение одной задачи несколькими способами часто бывает более полезным, чем решение одним способом нескольких задач, так как при оценке способов решения задачи активно работают такие умственные операции, как анализ, сравнения, обобщения и другие. А это, несомненно, оказывает свое положительное влияние на развитие математического мышления школьников.

Прежде чем говорить о том, какие математические задачи следует рассматривать в школьном курсе математики и как обучать школьников решению задач, нужно уточнить, что следует понимать под термином “задача”.

Например, уравнение 11423*х = 616842 представляет проблемную ситуацию для любого человека. Но проблемную ситуацию является понятием относительным. Например, ситуация, выраженная уравнением х+9=10, является проблемной для начинающего школьника и не является таковой для учащихся старших классов.

Числовое равенство 123+2*х=197 становится задачей, если оно сопровождается целевым заданием “решить уравнение”.

Решить задачу – значит преобразовать данную проблемную ситуацию или установить, что такое преобразование в данных условиях (или в данной среде) невозможно.

Естественно определить процесс решения задачи как целенаправленную мыслительную или практическую деятельность человека, осуществляющего решение задачи. 

Глава II. Анализ процесса решения задачи .

2.1. Характеристика основных этапов решения задачи.

Процесс решения учебной задачи можно разделить на 4 основные этапы: осмысление условия задачи (анализ условия), поиск и составление плана решения, осуществление плана решения, изучение (исследование) найденного решения.

Осмысление условия задачи (1 этап).

1). Умение анализировать требование задачи.

Под анализом требования задачи понимается выяснение возможных путей ответа на вопрос задачи. Одним из важнейших компонентов умения анализировать требование задачи является умение преобразовывать требование задачи в ему равносильное.