Застосування чисел Фібоначчі

Зміст

Вступ…………………………………………………………………………………2

Розділ 1   Властивості  чисел Фібоначчі……………………………………………4

1. Історія чисел Фібоначчі…………………………………………………………4
2. Означення та математичні властивості чисел Фібоначчі……………………10
3. Золотий переріз (формула Біне)………………………………….……………15

Розділ 2 Застосування чисел  Фібоначчі…………………………………………..21

2.1 Математичні застосування  чисел Фібоначчі…………………………………21

2.2  Застосування чисел  Фібоначчі в теорії пошуку……………………………..30

2.3  Застосуваня чисел  Фібоначчі в природі……………………………………...34

Висновок…………………………………………………………………………….43

Список літератури………………………………………………………………….46

Вступ

   Древня історія надзвичайно багата  видатними математиками. Дослідження  древньої математичної науки  до сих під викликають захоплення  винахідливістю умів їх авторів.  Імена Квкліда, Аохімеда, Герона  відомі кожній освіченій людині. Зовсім інакша справа з з  математиками середньовіччя. Математика  в цю епоху розвивалася дуже  повільно, і визначних математиків  тоді було дуже мало.  Тим  більший інтерес являе собою  твір написаний математиком Леонардо  із Пізи, більш відомим під  прізвищем Фібоначчі, який був,  безумовно, найвизначнішим математиком  середньовіччя. Роль його книг  в розвитку математики і поширенні   в Европі математичних знать  важко переоцінити[6, c. 10-12].

 В курсові роботі розглядаються числа послідовності Фібоначчі, їх властивості, а також, тісно пов'язаний з цією темою, феномен золотого перерізу, в якому більшість вчених бачать одне із найбільш ярких, давно помічених людиною проявів гармонії природи.

  Золотий переріз, як і загадкові  властивості чисел Фібоначчі,  володіли думками і почуттями  багатьох видатних мислителів  минулого і продовжує хвилювати  думки сучасників не заради  самих математичних властивостей, а тому, що невідьемно від цінностей  обьектів мистецтва і в той  же час знаходить себе як  привид структурної едності обьектів  природи. Скульптура, архітектура,  музика, астрономія, біологія, психологія, техніка – ось ті сфера,  де так чи інакше знаходить  себе золотий переріз. Сучасні  дослідники знаходять його при  описі побудови рослин, пропорції  тіл тварин, птиць, людини, в статистиці  популяцій, в побудові ока і  логіки космосу і т.п[15, c. 24-25].

  Актуальність  теми зумовлена тим, що вже  багато тисячоліть кожна людина  ставить перед собою «одвічне»  філософське запитання, на яке,  можливо, ніколи їй не отримати  відповіді: є людина «вінцем  творіння», чи на жаль вона  – «буття-в-собі», тобто є випадковим  та самотнім в безкрайньому  Космосі? Від відповіді на це  запитання залежить, усвідомлення  людиною самої себе, своїх можливостей,  природи, та розуміння справжнього  смислу власного життя, місця  у цьому світі, система ідеалів  і взірців поведінки та діяльності.  Саме тому метою нашого дослідження є опис, аналіз і узагальнення різних виявів цього феномена (числа Фібоначі) як математичного еталону, що вказує на органічну єдність людини і Всесвіту.

  Об’єкт дослідження  – число Фібоначі та його  вияви у різноманітних сферах  людської діяльності. Предметом  є характеристики досліджуваної  математичної константи та її  роль у поясненні зв’язків  між людиною та Космосом.

  Розкриття об'єктивних законів гармонії формує міцний фундамент світоглядного і професійного ставлення до творчості і, отже, до життя. Вивчення та розуміння законів гармонії здатне направити творчу діяльність людини в русло творення нового, співзвучного об'єктивним законам сприйняття, якими відображені закони гармонії в природі. У цьому полягає одна з найважливіших професійних і соціальних завдань виховання і освіти[12, с.17].

Розділ 1   Властивості  чисел Фібоначчі

1.1  Історія чисел Фібоначчі

  Італійський купець Леонардо із Пізи (1180-1240), відомий як Фібоначчі, був, безумовно, найбільшим математиком доби Середньовіччя. Роль його книг у розвитку математики надзвичайно велика. У цей час Відродження було ще дуже далеко, проте історія дарувала Італії короткий проміжок часу, який можна назвати репетицією епохи Ренесансу. Цією репетицією керував Фрідріх II, імператор (з 1220 р.) Священної Римської імперії. Улюблені його дідом лицарські турніри Фрідріх II зовсім не визнавав. Замість цього він культивував значно менш криваві математичні змагання, на яких супротивники обмінювалися не ударами, а завданнями. На таких турнірах і заблищав талант Леонардо Фібоначчі. Цьому сприяло хороша освіта, яку дав синові купець Боначчи, який взяв його з собою на Схід і приставили до нього арабських учителів[2, с.11].

  Заступництво Фрідріха і  стимулювало випуск наукових  трактатів Фібоначчі: 
-   Kніга абака (Liber Abaci), написана в 1202 році, але дійшла до нас у другому своєму варіанті, який відноситься до 1228 
 -   Практики геометрії "(1220г.) 
 - Kніга квадратів (1225г.) 
   По цих книгах, переважаючим за своїм рівнем арабські і середньовічні європейські твори, вчили математику мало не до часів Декарта (XVII в.). 
  Як зазначено в документах 1240 року, захоплені громадяни Пізи говорили, що він був "розсудливий і ерудований чоловік", а не так давно Жозеф Гіз (Joseph Gies), головний редактор Британської Енциклопедії заявив, що майбутні вчені в усі часи "віддаватимуть свій борг Леонардо Пізанському, як одному з найбільших інтелектуальних першопрохідців світу ". Його роботи після довгих років тільки зараз перекладаються з латинської мови на англійську.  
   Хоча він і був найбільшим математиком середньовіччя, єдині пам'ятники Фібоначчі - це статуя навпроти Пізанської вежі через річку Арно і дві вулиці, які носять його ім'я, одна - в Пізі, а інша - у Флоренції. Здається дивним, що так мало відвідувачів до 179-ти футової Падаючої вежі – чули про Фібоначчі або бачили його статую. Фібоначчі був сучасником Бонанні (Bonanna), архітектора Пізанської вежі, будівництво якої той почав у 1174 році. Обидва вони зробили внесок у світову історію, але один, чий внесок набагато перевершує іншого, майже невідомий

  Найбільший інтерес викликає  у нас твір Фібоначчі “Kнига  абака”. Ця книга представляє  собою об’ємну працю, що вміщує  майже всі арифметичні та алгебраїчні  знання того часу. Вона відіграла  значну роль у розвитку математики  в Західній Європі протягом  декількох наступних століть. 

   Зокрема, саме за  цією книгою Європа ознайомилася  з індуськими (арабськими) цифрами.

   На С. 123-124 даного  рукопису Фібоначчі наводить  задачу: Дехто помістив пару кроликів у деякому місці, огородженому з усіх боків стіною, з метою дізнатися, скільки пар кроликів народиться при цьому протягом року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів народжує на світ ще одну пару, а процес народження у кроликів відбувається з другого місяця після свого народження.

   Ця задача породила найвідомішу  з усіх у світі числових  послідовностей, яка тоді ще не  знала, яку роль відведе їй  в історії людства доля. Числа  Fn, що утворюють послідовність  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... називаються  “числами Фібоначчі”, а сама  послідовність – послідовністю  Фібоначчі. 

  Суть послідовності Фібоначчі  в тому, що, починаючи з 1,1, наступне  число одержимо складанням двох  попередніх чисел. 

   Але чому ця  послідовність так важлива для  нас і ми про неї говоримо? Послідовність Фібоначчі – це  не просто гра з числами,  а найбільш важливе математичне  вираження природних явищ з  усіх, що колись було відкрито. Гідно подиву, скільки всього  можна обчислити за допомогою  послідовності Фібоначчі і як  її члени проявляються у величезній  кількості комбінацій. Приклади, що  наведені нижче, подають деякі  цікаві застосування цієї математичної  послідовності. Дана послідовність  асимптотично (наближаючись усе  повільніше та повільніше) прямує  до деякого постійного співвідношення (відношення члена послідовності  до попереднього йому). Однак це  співвідношення ірраціональне, тобто  являє собою число з нескінченною, непередбаченою послідовністю десяткових  цифр у дробовій частині. Його  неможливо виразити точно. Навіть  затративши на це вічність, неможливо  визнати співвідношення точно,  до останньої десяткової цифри.  Будемо наводити його у вигляді  1.618. При діленні будь-якого члена  послідовності Фібоначчі на наступний  одержимо зворотну до 1.618 величину (1: 1.618=0.618). При діленні кожного  числа на наступне за ним  через одне, одержимо число 0.382[15, с.22].

   Особові назви  цьому співвідношенню почали  надавати ще до того, коли Лука  Пачіолі (середньовічний математик)  назвав його “Божественною пpопоpцією”. Cеред його сучасних назв є  такі, як “Золотий переріз та  “відношення обернених квадpатів”. Kеплеp назвав це співвідношення  одним із “скарбів геометpії”.  В алгебрі загальноприйняте його  позначення грецькою літерою  фі: Ф=1.618. Тут необхідно відзначити, що Фібоначчі лише нагадав  людству це співвідношення, так  як воно було відомо ще в  давні часи під назвою “Золотий  переріз”. Людина розподіляє навколишні  предмети за формою. Форма, в  основі побудови якої знаходяться  комбінації симетрії та золотого  перерізу, сприяє найкращому зоровому  сприйняттю та виникненню відчуття  краси та гармонії. Ціле завжди  складається з частин, частини  різної величини знаходяться  у визначеному співвідношенні  один до одної та до цілого. Принцип золотого перерізу –  найвищий вияв структурної та  функціональної досконалості цілого  та його частин у мистецтві,  науці, техніці та природі.  Золотий переріз – це таке  пропорційне ділення відрізку  на частини, при якому весь  відрізок так відноситься до  більшої частини, як найбільша  частина відноситься до меншої; тобто менший відрізок так  відноситься до більшого, як більший  до всього 

a: b = b: c або с: b = b: а.

  Багато вчених присвятили  значний час на відгадування  секретів піраміди в Гізі. Вона  ще й сьогодні залишається  видатною числовою головоломкою. Наведемо деякі дані. Довжина  грані піраміди в Гізі дорівнює  783,3 фута (238,7 м), висота піраміди – 484,4 фута (147,6 м). Довжина грані, поділена на висоту, дає співвідношення Ф=1,618. Висота 484,4 фута відповідає 5813 дюймам (5-8-13) – це числа з послідовності Фібоначчі. Сучасні вчені схиляються до інтерпретації, що піраміда побудована з метою передати майбутнім поколінням якісь знання. Ці знання акумульовані Фібоначчі. Така ж історія і з мексиканськими пірамідами.

  З історії астрономії  відомо, що І. Тіціус, німецький  астроном XVIII ст., за допомогою послідовності  Фібоначчі знайшов закономірність  та порядок у відстанях нашої  сонячної системи.

  У 1997 році декілька  особливостей ряду описав Володимир  Михайлов. Михайлов переконаний,  що Природа (так само і Людина) розвивається за законами, які  закладені в цій числовій послідовності.  У сосновій шишці, якщо глянути  на неї з боку черенка, можна  виявити дві спіралі: одна закручена  проти, друга за часовою стрілкою. Число цих спіралей – 8 та 13. У соняшнику спостерігаються  пари спіралей: 13 та 21, 21 і 34, 34 та 55, 55 та 89. Відхилень від цих пар  не існує!.. У Людини в наборі  хромосом соматичної клітини  (їх 23 пари), основою спадкових хвороб  є 8, 13 та 21 пари хромосом... Можливо,  усе це свідчить про те, що  ряд чисел Фібоначчі представляє  собою деякий зашифрований закон  природи.

  Цифровой код развитку  цівілізації можна визначити  за допомогою різних методів  у нумерології. Наприклад, за  допомогою приведення складних  чисел до однозначних. Проводячи  подібну процедуру зі всіма  складними числами ряду Фібоначчі,  Михайлов одержав такий ряд  цих чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9. Потім все повторюється 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8,.. і повторюється  знову та знову... Цей ряд також  має властивості ряду Фібоначчі;  кожний нескінчено наступний  член дорівнює сумі попередніх. Виявляється, що цей ряд періодичний,  з періодом 24 члени, після чого  весь порядок цифр повторюється. Одержавши цей період, Михайлов  запропонував цікаве припущення  – чи не є набір із 24 цифр  своєрідним цифровым кодом развитку  цивілізації? 

  Ральф Нельсон Элліотт винайшов  сміливе рішення. Якщо практично  все в нашому світі базується  на коефіцієнтах Фібоначчі, то  чому б не використати їх  в аналізі посування цін на  біржах. Вводячи свій підхід, Элліотт  навів думку: “Будь-якій людській  діяльності притаманні тpи відмінні  особливості: фоpма, час та відношення, – і всі вони підпорядковуються  послідовності Фібоначчі”.

  Послідовність Фібоначчі  залишається математичною кабалою  до сьогодні, і кожне нове відкриття  проливає новий відблиск на  магію цих цифр[17, с.33].

1.2  Означення та математичні властивості чисел Фібонанні

  Визначення: Числа Фібоначчі або Послідовність Фібоначчі - числова послідовність, що володіє рядом властивостей. Наприклад, сума двох сусідніх чисел послідовності дає значення наступного за ними (наприклад, 1 +1 = 2; 2 +3 = 5 і т.д.), що підтверджує існування так званих коефіцієнтів Фібоначчі, тобто постійних співвідношень. 
  Послідовність Фібоначчі починається можна записати так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...

Властивості послідовності  Фібоначчі: 
1. Відношення кожного числа до подальшого більш і більш прагне до 0.618 по збільшенні порядкового номера. Ставлення ж кожного числі до попереднього прагне до 1.618 (зворотного до 0.618). Число 0.618 називають (ФИ). 
2. При розподілі кожного числа на наступне за ним, через одне виходить число 0.382; навпаки - відповідно 2.618. 
3. Підбираючи, таким чином, співвідношення, одержуємо основний набір фибоначчиевских коефіцієнтів: ... 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236. 
Наведені нижче приклади показують деякі цікаві додатки цієї математичної послідовності[1, с.15].

Приклад: 

  Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметровий раковина має спіраль довжиною 35 см. Форма спірально завитий раковини привернула увагу Архімеда. Справа в тому, що ставлення вимірювань завитків раковини постійно й дорівнює 1.618. Архімед вивчав спіраль раковин і вивів рівняння спіралі. Спіраль, накреслений по цьому рівнянню, називається його іменем. Збільшення її кроку завжди рівномірно. В даний час спіраль Архімеда широко застосовується в техніці.

Розглянемо числову послідовність: U₁, U₂, …, U_n, … (1)

в якій кожен член дорівнює сумі двох попередніх, тобто при всякому n>2

U_n=U_n-1+U_n-2 (2)

  Такі послідовності, в яких кожен член визначається як деяка функція попередніх, часто зустрічаються в математиці і називаються рекурентними або поворотними послідовностями. Причому важливим окремим випадком після послідовності (1) є послідовність, у якій U₁ = 1 і U₂ = 1, а умови (2) дає нам можливість обчислити послідовно один за одним всі члени цього ряду.     Обчислимо кілька перших членів такій послідовності: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377 і т.д., які вже зустрічалися нам в задачі про кроликах. На честь автора цього завдання вся послідовність (1) при U₁ = U₂ = 1 називається рядом Фібоначчі, а члени її - числами Фібоначчі. Числа Фібоначчі мають цілу низку цікавих і важливих властивостей. Розглянемо деякі з них:

1. Сума перших n чисел Фібоначчі можливо обчислювати  по формулі:

U₁+U₂+…+U_n=U_n+2-1 (3)

Доведемо це:

U₁= U₃– U₂ 
U₂= U₄– U₃ 
U₃= U₅– U₄ 
…………… 
U_n-1= U_n+1– U_n 
U_n= U_n-2– U_n+1

Додавши всі ці рівності почленно, отримаємо:

U₁+U₂+ U₃₊…+U_n=U_n+2 – U₂, згадаємо, що U₂=1, значить U₁+U₂+ U₃₊…+U_n= U_n+2 – 1

2. Суму чисел Фібоначі с непарними номерами можливо обчислити по формулі:

U₁+U₃+ U₅+…+U_2n-1=U_2n (4)

Доведемо це:

U₁= U₂ 
U₃= U₄– U₂ 
U₅= U₆– U₄ 
………….. 
U_2n-1=U_2n– U_2n-2

Додавши всі ці рівності почленно, отримаємо:

U₁+U₃+ U₅+…+U_2n-1=U_2n

3. Суму чисел Фібоначі з парними номерами можливо обчислити за формулою:

U₂+U₄+ U₆+…+U_2n=U_2n+1-1 (5)

Доведемо це:

На основі 1-ї властивості ми маємо:

U₁+U₂+ U₃+…+ U_2n=U_2n+2-1

На основі 2-ї властивості ми маємо:

U₁+U₃+ …+U_2n-1=U_2n

Віднімаючи почленно з рівності (3) рівність (4) ми отримаємо:

U₂+U₄+ U₆+…+U_2n=U_2n+2-1– U_2n= U_2n+1-1

4. Формули (3) і (4) були виведені за допомогою почленного складання цілої серії очевидних рівностей. Ще одним прикладом застосування цього прийому може служити висновок формули для суми квадрат першого n чисел Фібоначчі.Сумма квадратов первых n чисел Фибоначчи:

U₁²+U₂²+…+U_n²=U_n?U_n+1 (6)

Звернемо увагу для цього, що

U_k+U_k+1– U_k-1 ·U_k = U_k(U_k+1– U_k-1)= U_k·U_k= U_k²

U₁² =U₁·U₂ 
U₂²= U₂·U₃– U₁· U₂ 
U₃²= U₃ U₄– U₂ U₃ 
…………………. 
U_n²=U_n·U_n+1– U_n-1·U_n

Склавши ці рівності почленно, ми отримаємо:

U₁²+U₂²+…+U_n²=U_n·U_n+1

А тепер розглянемо ще одна чудова властивість послідовності  Фібоначчі і поговоримо про її зв'язки з гармонією Золотого перетину. 
Навіть зараз, коли він стоїть у руїнах, Парфенон в Афінах - це одне з найбільш знаменитих споруд у світі. Він був побудований в епоху розквіту давньогрецької математики. 
Фасад Парфенона вписується в прямокутник, сторони якого утворюють так зване золоте перетин. Слово "перетин" тут вжито в значенні "ділення на частини". Золотий перетин відрізка - це поділ його на частини довжиною X і Y так, що (X + Y): X = X: Y. Довжина прямокутника більша його ширини приблизно в 1,6 рази. Обчислити точне значення можна; греки вміли будувати золоті прямокутники, але не вміли знаходити довжини сторін[1, с.45-47]. 
Сучасні комп'ютери можуть обчислити відношення довжини до ширини з будь заданою точністю. З точністю до трьох знаків після коми воно дорівнює 1,618. Це означає, що прямокутник шириною 1 метр повинен мати довжину приблизно 1,618 м, або 1 м 61 см 8 мм. Речами, що мають таку форму, виявляється зручно користуватися. Тому багатьом "прямокутним" предметів нашого побуту (книгам, сірникових коробках, валізах і т.п.) часто надається саме така форма. 
Стародавні греки вважали, що прямокутники, сторони яких утворюють золотий перетин, мають найбільш приємну для очей форму. Греки приписували золотому перетину і деякі магічні властивості, так само як і єгиптяни, які використовували його при розрахунках пірамід. Будь прямокутник, сторони якого відносяться як 1:1,618, будемо називати золотим. А при чому тут числа Фібоначчі? Якщо ви спробуєте розділити кожне з них на попереднє, то вийде: 1: 1 = 1; 2: 1 = 2; 3:2 = 1,5; 5:3 = 1,666 666; 8: 5 = 1,6; 13: 8 = 1,625; 21: 13 = 1,615384; ...

3.  Золотий переріз (формула Біне)

  Золотий переріз — це найкомфортніша для ока пропорція, форма, в основі побудови якої лежить поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє якнайкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії.

  У математиці принцип золотого перерізу вперше сформульовано ще в «Началах» Евкліда, найвідомішому математичному творі античної науки, написаному в III столітті до н.е.

  У часи середньовічного Ренесансу геніальний італійський математик Лука Пачолі написав першу книжку про золотий переріз, назвавши її «божественною пропорцією», — продовжив Олексій Стахов. — На його думку, навіть Бог використовував принцип золотого перерізу для створення Всесвіту. До речі, цю ідею пізніше використав Кеплер, чия остання книжка так і називалася — «Гармонія Всесвіту» [12, с.35-37].

  Водночас Леонардо да Вінчі, другом котрого був Пачолі, використовував для композиційної побудови своєї знаменитої Джоконди т.зв. «золотий рівнобедрений трикутник», у якому відношення бедра до основи дорівнює золотому перерізу. Результат відомий, — підсумував учений.

  Розглянемо малюнок. Відрізок прямій АВ можна розділити точкою C на дві частини наступними способами:  
· На дві рівні частини АВ: АC = АВ: ВС;  
· На дві нерівні частини в будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють), таким чином, коли АВ: АC = АC: ВС.  
Останнє і є золотий розподіл або розподіл відрізка в крайньому і середньому відношенні.  
  Алгебраїчно «золотий перетин можна виразити таким чином: AB: AC = AC: (AB - AC), звідки AC = AB: 2 ( - 1) ≈ 0,62 AB. Число 0,62 позначено літерою φ, на честь давньогрецького скульптора Фідія.  
Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом 0,618 ..., якщо C прийняти за одиницю, А = 0,382 ...  
  Золотий перетин тісно пов'язане з числами Фібоначчі. Числа 0.618 і 0.382 є коефіцієнтами послiдовностi Фібоначчі. На цій пропорції базуються основні геометричні фігури.  
  Розглянемо взаємозв'язок «золотого перерізу з числами Фібоначчі.  
Числа, що утворюють послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... називаються «числами Фібоначчі», а сама послідовність - послідовністю Фібоначчі. Суть послідовності Фібоначчі в тому, що починаючи з 1, 1 наступне число виходить складанням двох попередніх.  
  Дана послідовність асимптотично (наближаючись все повільніше і повільніше) прагне до деякого постійного співвідношенню. Однак, це співвідношення ірраціонально, тобто представляє собою число з нескінченною, непередбачуваною послідовністю десяткових цифр в дробовій частині. Його неможливо виразити точно.  
  Якщо який-небудь член послідовності Фібоначчі розділити на попередній йому (наприклад, 13:8), результатом буде величина, що коливається близько ірраціонального значення 1.61803398875 ... і через раз то перевершує, то не досягає його[13, с.77-80].  
  Широке поширення отримали т.зв. «Золоті фігури», мають у своїй основі «золотий перетин».  
  Прямокутник з «золотим» відношенням сторін стали називати «золотим прямокутником». Він також володіє цікавими властивостями. Якщо від нього відрізати квадрат, то залишиться знову золотий прямокутник. Цей процес можна продовжувати до нескінченності. А якщо провести діагональ першого і другого прямокутника, то точка їх перетину належатиме всім одержуваним золотим прямокутниках.

  Існує цікавий ланцюговий дріб, всі числа в якому дорівнюють 1:

 
Якщо позначити це число за х,то воно задовольнятиме рівняння  1 + 1/x=1, або х²+х+1=0. Розляненмо його додатній розв*язок х₁=(1+√5):2≈1,618...

Саме це число називають  в математиці "золотим перерізом" і позначають грецькою літерою τ.

  Наприклад, поштові листівки виготовляють у вигляді прямокутника, відношення сторін у якому дорівнює цьому числу. Якщо від цього прямокутника відрізати найбільший можливий квадрат, то отримаємо прямокутник, подібний даному. Процес цей є нескінченним, і ми вже знаємо чому: розклад ірраціонального числа τ=(1+√5):2 у ланцюговий дріб є нескінченним. 

  Послідовність чисел Фібоначчі 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... у якій кожний наступний елемент дорівнює сумя двох попередніх тісно пов*язана з τ: відношення сусілніх елементів у ній наближено дорівнює "золотому перерізу". І чим "далі" від початку розташовані елементи послідовності, тим ближче їх відношення до цього числа. На графіку це має такий вигляд: 

  Числа Фібоначчі пов'язані із золотою пропорцією за допомогою дивовижних математичних формул, які були виведені в 19-му столітті французьким математиком Біне 
  Однак подібно до того, як ім'я Фібоначчі пов'язано з числами Фібоначчі, ім'я Біне в сучасній науці асоціюється з чудовою математичними формулами, які встановлюють зв'язок чисел Фібоначчі та Люка з "золотою пропорцією"[18, с.22-25].

Ще раз дамо визначення чисел Фiбоначчi:

Визнечення. Числа Фiбоначчi , для , визначаються рекуррентно

(1)   , ;

2. для всiх .

Iз визначення чисел Фiбоначчi слiдує, що

, , , , , , , , , , .

Для обчислення чисел Фібоначчі справедлива наступна формула Біне:

(3)  , .

Із (1) и (2) слідує, що індукційне припущення, при доведенні формули Біне, має припускати справедливість (3) для та , і значить, початкові умови мають вимагати виконання (3) для і .  Тому доведення формули Біне може проводитися по наступній теоремі математичної індукції.

Теорема 1. Нехай - одномісний предикат на , який задовольняє умовам:

1. - істини.
2. ( - істини ® - істина).

Тоді предикат тотожно істинний на .

Проведемо доведення формули Біне по теоремі 1.

Для та рівність (3) має вид:

, .

Очевидно, що ці рівності вірні.

Припустимо, що рівність (3) істинна для чисел та . Тоді з (2) слідує, що:

.

Після простих перетворень правій частині одержимо, що:

За  індукцією формула Біне доведена[13, с.45-47].

Розділ 2 Застосування чисел Фібоначчі

2.1 Математичні  застосування чисел Фібоначчі

  Принципи «золотого перетину» використовуються в математиці, фізиці, біології, астрономії й інших науках, в архітектурі та інших мистецтвах. Вони лежать в основі архітектурних пропорцій багатьох чудових творів, головним чином античності та Відродження.

  У кожній науці  є, так звані, «Метафізичні» знання, без яких неможливе існування самої науки. Наприклад, якщо виключити з математики поняття натурального та ірраціонального чисел або аксіоми геометрії, математика відразу ж перестане існувати. З таким же правом до розряду «метафізичних» знань може бути віднесено й «золотий перетин», яке вважалося «каноном» античної культури, а потім і епохи Відродження. Однак, як це не парадоксально, в сучасній теоретичній фізиці і математиці «золота пропорція» ніяк не відображена. Нині робляться спроби показати, що «золотий перетин» є однією з найважливіших «метафізичних» ідей, без якої важко уявити подальший розвиток науки, зокрема, теоретичної фізики і математики[10, с.105].

   «Золотий переріз» та математика – невід’ємні поняття, які не можуть існувати окремо.

  Широке поширення  отримали так звані «Золоті  фігури», мають у своїй основі  «золотий перетин».

 «Золотий трикутник» - це рівнобедрений трикутник,  у якого відношення довжини  бічної сторони до довжини  основи дорівнює 1.618.  
Є й «золотий кубоід» - це прямокутний паралелепіпед з ребрами, що мають довжини 1.618, 1 і 0.618.

 
У зірчастому п'ятикутнику кожна з  п'яти ліній, що складають цю фігуру, ділить іншу відносно золотого перетину, а кінці зірки є «золотими  трикутниками». Усередині п'ятикутника можна продовжити будувати п'ятикутники, і це ставлення буде зберігатися.  
Зірчастий п'ятикутник називається пентаграмою. Піфагорійці вибрали п'ятикутну зірку в якості талісмана, вона вважалася символом здоров'я і служила розпізнавальним знаком.

 
  В даний час існує гіпотеза, що пентаграма - первинне поняття,  а «золотий перетин» вдруге. Пентаграму  ніхто не винаходив, її тільки  скопіювали з натури.   Вид  п'ятикутної зірки мають п'ятипелюсткові  квіти плодових дерев і чагарників, морські зірки. Ті й інші  створіння природи людина спостерігає  вже тисячі років. Тому природно  припустити, що геометричний образ  цих об'єктів - пентаграма - стала  відома раніше, ніж «золота» пропорція.  
  «Лотаринзький хрест», який служив емблемою «Вільної Франції» (організація, яку в роки другої світової війни очолював генерал де Голль), складений з тринадцяти одиничних квадратів. Встановлено, що пряма, що ділить площа «лотаринзького хреста» на дві рівні частини, ділить його у золотому відношенні[15, с.63-70].

Звернемо увагу на пентаграму. Вона викликає зацікавлення багатьох людей.

Пентаграма і «Пентагон»

  Якщо в пентаграмі провести всі діагоналі, то в результаті ми одержимо добре відому нам п'ятикутну зірку. Доведено, що точки перетину діагоналей в пентаграмі завжди є точками золотого перетину діагоналей. При цьому ці точки утворюють нову пентаграму FGHKL. У новій пентаграмі можна провести діагоналі, перетин яких утворюють ще одну пентаграму, і це процес може бути продовжений до безкінечності. Таким чином, пентаграма ABCDE як би складається з нескінченного числа пентаграм, які кожен раз утворюються точками перетину діагоналей. Ця нескінченна повторюваність однієї і тієї ж геометричної фігури створює відчуття ритму і гармонії, яке не усвідомлено фіксується нашим розумом. Пентаграма викликала особливе захоплення у піфагорійців і вважалася їх головним розпізнавальним знаком. Будівля військового відомства США має форму пентаграми і отримало назву «Пентагон», що значить правильний п'ятикутник. 
  Послідовно відсікаючи від «золотих прямокутників» квадрати до нескінченності, кожен раз поєднуючи протилежні точки чвертю кола, можна отримати досить витончену криву. Першим увагу на неї звернув давньогрецький вчений Архімед, ім'я якого вона і носить. Він вивчав її і вивів рівняння цієї спіралі. В даний час «спіраль Архімеда» широко використовується в техніці. У гідротехніки по «золотої спіралі» згинають трубу, що підводить потік води до лопат турбіни. Завдяки цьому напір води використовується з найбільшою продуктивністю.

 
 
  Прямокутник з «золотим» відношенням  сторін стали називати «золотим  прямокутником». Він також володіє  цікавими властивостями. Якщо  від нього відрізати квадрат,  то залишиться знову золотий  прямокутник. Цей процес можна  продовжувати до нескінченності. А якщо провести діагональ  першого і другого прямокутника, то точка їх перетину належатиме  всім одержуваним золотим прямокутниках.  
 
 
  Окрім пентагона і пентаграми золоті відношення є і в правильних многогранниках. Правильний многогранник – це таких многогранник, всі грані якого рівні ті є правильними многокутниками. Ще в «Началах» Евкліда доведено, що існує п’ять видів правильних многогранників: тетраедр, гексаедр, додекаедр, ікосаедр. Геометрія додекаедра і ікосаедра тісно. Якщо взяти ребро певної довжини та об’єм, то вони легко виражаються через золоту пропорцію. Навколо многогранників можна описати три види сфер: перша (внутрішня) дотикається до граней, з радіусом Ri, друга дотикається до ребер, з радіусом Rm. Третя сфера (зовнішня), описана навколо тіла і дотикається до вершин, з радіусом Rс. Доведено: радіуси цих сфер для многогранників із ребром одиничної довжини виражаються через число золотого перерізу[5, с.85-100].