Застосування системи лінійних рівнянь у розв’язанні задач з економіки

 

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

                      НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ М.П. ДРАГОМАНОВА

                                

ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ІНСТИТУТ

 

КАФЕДРА ВИЩОЇ  МАТЕМАТИКИ

 

КУРСОВА РОБОТА З ГЕОМЕТРІЇ 

НА  ТЕМУ:

«Застосування системи лінійних рівнянь у розв’язанні задач з економіки»

 

 

АВТОР: студентка  21 МЕІ групи

 Маєвська Олександра Володимирівна

НАУКОВИЙ КЕРІВНИК:

кандидат фізико-математичних наук,

                                                           доцент Шаповалова Н. В.

РОБОТА ЗАХИЩЕНА __ ______ 2010 р.

ОЦІНКА: ______

КОМІСІЯ:

1. _______________________
2. _______________________
3. _______________________

 

  КИЇВ –  2010

                                                                 

 

План

    Вступ

  1. Поняття розв’язку системи рівнянь.

    1.1. Розв’язування системи лінійних рівнянь за формулами Крамера.

    1.2. Методи Гаусса та Жордана–Гаусса розв’язування систем лінійних                                       рівнянь.

      1.3. Матричний метод розв’язування систем лінійних алгебричних рівнянь.

     2. Застосування систем рівнянь для аналізу моделі Леонтьєва «витрати – випуск» 

Висновок

Література

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Вступ

 В своїй  курсовій роботі я розглядатиму  системи лінійних рівнянь, якими  моделюється переважна більшість практичних задач із економіки. Системи лінійних рівнянь розв’язуються  за декількома методами. Наприклад, такими методами є метод Крамера, Жордана-Гаусса, матричний метод, кожен з яких має свій алгоритм розв’язання. Це моделювання відбувається при використанні елементів алгебри матриць, яке є одним з основних методів розв’язку багатьох економічних задач. Це питання стало особливо актуальним при розробці і використанні баз даних, при роботі з ними майже вся інформація зберігається й обробляється в матричній формі. Прикладами задач, що використовують поняття матриці є задачі на знаходження виробничо - економічних показників: витрати сировини, витрати робочих годин, вартість випуску продукції підприємства; задачі, що приводять до складання і розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь на основі прогнозів випуску продукції по відомих запасах сировини;задачі про річну продуктивність підприємства по кожному виду виробів,річну потребу в кожнім виді сировини. Розглядають модель Леонтьєва та лінійну модель багатогалузевої економіки, балансові співвідношення.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Поняття  розв’язку системи рівнянь.

Найпростіше лінійне  алгебричне рівняння має вигляд:

а1 + а2х2+…+аnхn=b1                          (1.1)

Числа а1, …, аn називають коефіцієнтами рівняння, а х1, …, хn – його невідомими.

Розв’язком цього рівняння називають таку сукупність чисел λ1, …, λn, яка перетворює даний вираз на числову тотожність а1λ1 + а2λ2+ …+ аnλn = b1 . Коефіцієнти і змінні рівняння (1.1) утворюють  n – вимірні вектори 

Ліву частину  рівняння (1.1) можна записати як скалярний  добуток векторів    .

Якщо рівнянь типу (1.1) кілька, то вони  утворюють систему  рівнянь, яку в загальному випадку  записують у вигляді:

Цю систему  позначимо (1.2). Коефіцієнти цієї системи  рівнянь утворюють матрицю:

Праві ж частини  і невідомі – вектори 

                                              

                              

           та                                        

 

Вимірністю m i n відповідно.

    Використовуючи  дії над матрицями та векторами,  систему рівнянь (1.2 ) можна записати  у векторно – матричній формі   

Позначимо як (1.3).

В інших стандартних  формах запису системи лінійних алгебраїчних рівнянь застосовують знак підсумовування. Наприклад,

або                                        

Позначимо як (1.4).

Розв’язком  системи алгебраїчних лінійних рівнянь (1.2) називають таку сукупність чисел  λ₁,…,λ_n, яка перетворює всі рівняння (1.2) на числові тотожності.

Якщо права  частина (1.2) дорівнює нулю, то систему  рівнянь називають однорідною, або неоднорідною, якщо b ≠ 0.

Система рівнянь  може мати єдиний розв’язок, безліч розв’язків, що  утворюють деяку множину, а  може  не мати  жодного розв’язку.

Наприклад, 2х = 4 має єдиний розв’язок х = 2, рівняння х₁ + 3х₂ = 5 – безліч розв’язків х₁ = 5 – 3х₂, які залежать від довільного параметра t = х₂.

Дві системи рівнянь називають еквівалентними( рівнозначними ), якщо вони мають одну й ту саму множину розв’язків.

Кількість розв’язків системи  лінійних алгебраїчних рівнянь (1.2) залежить від співвідношеннями між числами m i n. Можливі такі три випадки: 1) m = n; 2)m < n; 3) m > n.

У першому випадку число  невідомих і кількість рівнянь  однакові. Тоді розв’язок системи  рівнянь єдиний, хоча не виключені  й інші випадки.

 Другий   випадок  характеризується тим, що кількість  рівнянь менша від числа невідомих. Отже, щоб  розв’язати систему рівнянь, треба відокремити базисні та вільні невідомі і розв’язати систему відносно базисних невідомих. До загального розв’язку входитимуть вільні невідомі, яким можна надати будь – яких значень. Такого виду системи рівнянь характерні для задач лінійної оптимізації.

У третьому випадку кількість  рівнянь більша, ніж число невідомих. У цьому разі кажуть, що система  рівнянь є перевизначеною. Щоб  розв’язати таку систему, треба розглянути n – рівнянь, знайти їхній розв’язок і вимагати, щоб він задовольняв ще й решту рівнянь. Якщо ці m – n рівнянь перетворюються на тотожності, то система рівнянь має розв’язок, а якщо хоча б одне з них не задовольняється, то система не має розв’язку. Останнє трапляється частіше, оскільки у третьому випадку система рівнянь розв’язку не має.

Незалежно від того, якою є залежність між числами m i n, систему  лінійних алгебраїчних рівнянь завжди треба перевіряти на сумісність.

Система рівнянь (1.2) називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо не має жодного розв’язку.

Ознакою сумісності системи  рівнянь є така теорема.

Теорема 1. (Кронекера – Капеллі). Для того,щоб система лінійних алгебраїчних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи рівнянь дорівнював рангу розширеної матриці.

Доведення. Позначимо через А матрицю системи рівнянь, а через В – розширену матрицю, яка, крім коефіцієнтів системи рівнянь, включає ще й вільні члени:

 

 

Очевидно, що будь – який мінор матриці А є  мінором матриці В; тому ранг матриці  системи рівнянь не може перевищувати ранг розширеної матриці.

Необхідність. Припустимо, що система рівнянь (1.2) сумісна, тобто існують такі числа х₁ = λ₁,…,х_n = λ_n, при яких кожне з рівнянь перетворюється на числову тотожність.  З іншого боку це рівнозначне тому, що останній стовпець матриці В лінійно виражається через решту і не впливає на обчислення рангу матриці. Через це

rang A = rang B.                                        (1.5)

  Достатність. Припустимо, що виконується умова (1.5). Тоді базисний мінор для матриць А і В спільний. Нехай він міститься на головному мінорі r- го порядку       

За теоремою про базисний мінор стовпець вільних членів є лінійною комбінацію решти стовпців, у тому числі й базисних:

Останнє співвідношення рівнозначне таким  r рівностям:

і розв’язок  х₁ = λ₁,…,х_r λ_r,    x_r + 1 = 0,…, х_n = 0 є розв’язком системи рівнянь (1.2).   

 

 

 

 

 

1.1. Розв’язування системи лінійних рівнянь за формулами Крамера.

Розв’язок системи  лінійних рівнянь знаходять за формулами  Крамера, як правило, в тому випадку, коли m=n і визначник системи рівнянь │∆│≠  0

Теорема 2. Якщо m = n і виконується умова │∆│≠  0, то розв’язок системи рівнянь має такий вигляд:                            

де 

 

позначимо (1.6)

А  ∆j одержується з визначника ∆ заміною j-го стовпця стовпцем вільних членів b.

Доведення теореми здійснюється безпосередньо перевіркою. Підставимо розв’язок (1.6) у перше рівняння (1.2). Тоді

Усі члени суми, крім першого, дорівнюють нулю, а перший член дорівнює ∆.

Із доведення випливає, що й інші рівняння будуть задовольнятися як тотожності, оскільки в останній сумі лише один член не дорівнює нулю.

Приклад. Знайти за формулами Крамера розв’язок системи рівнянь

Розв’язання. Обчислимо визначник системи рівнянь

∆ =

   = - 3 - 4 +12 + 3 + 8 – 6 = 10

              Система рівнянь сумісна, має єдиний розв’язок. Знайдемо його за формулами Крамера:

∆₁ =  = - 9 – 4 – 1 +24 = 10;

 ∆₂ =   = 36 – 2 +4 – 18 = 20;

 ∆₃ = = 1 – 12 + 9 + 2 = 0;

               

 Але і у цих формулах  є негативні сторони. Недоліком  формул Крамера є той факт, що їх, як правило, можна ефективно  використовувати лише тоді, коли  розв’язок єдиний, хоча цілий  клас лінійного програмування зводиться до систем лінійних алгебричних рівнянь, якщо число невідомих більше від кількості рівнянь. Для таких задач ефективнішими виявляються методи послідовного виключення ( Гаусса ) чи повного виключення ( Жордана – Гаусса ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Методи Гаусса та Жордана – Гаусса розв’язування систем лінійних алгебричних рівнянь.

Метод Гаусса простіший, ніж  метод Крамера. Його можна застосувати  також тоді, коли є безліч розв’язків. За цим методом не треба окремо досліджувати систему рівнянь(1.3) на сумісність, оскільки останній крок перетворень укаже базисний мінор і дасть відповідь на питання про сумісність системи.

    Припустимо заради  простоти, що в системі рівнянь  (1.2) коефіцієнт а11 ≠ 0. Тоді поділимо на нього рівняння і за допомогою утвореного рівняння виключимо х1  із другого, третього і, нарешті, m-го рівнянь. У результаті таких перетворень дістанемо рівнозначну систему рівнянь

Позначимо (1.7).

 Коефіцієнти перетвореної  системи визначаються заданими  системою виразами

      

          k = 2,…,m; l=2,…,n)     (1.8)

 

    На  другому кроці повторимо процес  виключення, але вже з системою n – 1 рівнянь, починаючи з другого. Знову заради простоти припустимо, що а22 ≠ 0. Це припущення не є істотним, оскільки інакше рівняння можна поміняти місцями. В результаті цього перше задане рівняння залишиться без змін:

       (1.9)

     Утворені  коефіцієнти розраховуються за  формулами, подібними до формул (1.8):

                           (1.10)

    У системі рівнянь  в n – 2 рівняннях, починаючи з третього, виключаємо х3, завдяки третьому рівнянню і т.д. За скінчене число кроків, що визначається рангом матриці, дістаємо систему рівнянь

               (1.11)

матриці  якої ( як основна, так і розширена ) мають трикутну форму:

 

     Очевидно, що головний мінор матриці  В є базисним, а система рівнянь  – сумісною, якщо rang d = rang B. B іншому випадку ранг матриці В хоча б на одиницю більший, ніж d. На матриці це можна помітити в рядках r + 1, …, m, які в матриці d є нулями, а в В, хоча б в одному з них, вільний член β3 ≠ 0. Таким чином, здійснюючи перетворення, наведені вище, які далі називатимемо перетвореннями Гаусса, дістаємо матриці d і В, еквівалентні вихідним матрицям А і В. Зазначимо, що коли не змінювати порядок рядків і стовпців, то значення відповідних визначників – мінорів теж залишаться без зміни, проте завдяки простішій структурі матриці d обчислювати їх значно легше. Тому цей процес можна покласти в основу обчислення визначників     ( особливо – вищих порядків ).

     Невідомі, стовпці коефіцієнтів яких утворює  базисний мінор, називатимемо базисними, а решту, що залишилися, - вільними.

За нашим  вибором у системі рівнянь (1.11) невідомі розподіляться так:

  х₁,…, х_r – базисні; x_{r + 1},…, x_n – вільні, n – r = s.

     Загальним розв’язком системи  рівнянь (1.2) називатимемо такий, в якому базисні невідомі виражаються через вільні і з якого можна здобути будь – який частинний розв’язок.

 Очевидно, що будь – який частинний розв’язок можна дістати з базисного, якщо замість вільних невідомих взяти конкретні числові значення.

     Базисним розв’язком системи рівнянь (1.2) називатимемо розв'язок, в якому вільні невідомі дорівнюють нулю.

Щоб знайти загальний розв’язок системи рівнянь (1.2) за методом Гаусса, треба в системі рівнянь (1.11) з останнього рівняння визначити

X_r = β_r – d_r,_{r + 1}x_{r +1} - … - d_rnx_n

і підставити в  перші r – 1 рівняння. Отже, ми виключили із системи рівнянь (1.11) невідому х_r. Далі з (r – 1)-го рівняння знайдемо х_{r – 1} і виключимо невідому х_{r – 1} з перших (r – 2) – х рівнянь і т. д. В результаті дістанемо систему рівнянь

                    (1.12)

Яку називатимемо базисною системою рівнянь ( або системою з базисом ).

Із останньої системи рівнянь можна знайти загальний розв’язок системи рівнянь

                     (1.13)

     Щоб  не виконувати перетворення Гаусса  спочатку в прямому порядку,  виключаючи невідомі під головною  діагоналлю, а потім – у зворотному, виключаючи невідомі над нею, здійснюють повне виключення невідомих у стовпці за допомогою ключового елементу. У спеціалізованій літературі цей модифікований метод Гаусса називають методом Жордана – Гаусса. Суть його розглянемо за допомогою приведення правил  вибору ключового елемента:

1. Ключовий рядок вибирають для кожної ітерації іншим і так, щоб йому відповідала лише одна базисна невідома.
2. Ключовий стовпець вибирають на кожній ітерації також іншим з ненульовим елементом у ньому.
3. На місці ключового елемента має бути одиниця, а решта елементів ключового стовпця дорівнюють нулю. Занулення елементів досягається додаванням ключового рядка, помноженого на число k, до рядка, що заповнюється. Число k вибирається протилежним до того, на місці якого буде нуль.

 

1.3. Матричний метод розв’язування систем лінійних алгебричних рівнянь.

      Якщо систему рівнянь записати  у векторно – матричній формі  (1.13), а кількість рівнянь системи та число невідомих будуть однакові й det A≠ 0, то для її розв’язання, крім формул Крамера, можна використати матричний метод. Для цього треба знайти матрицю, що є оберненою до А, і помножити рівність (1.13) зліва на неї.

Тоді                                      ,

або                                              .                         (1.14)

Формула (1.14) виражає розв’язок, здобутий матричним методом.

Приклад. Знайти розв’язок системи рівнянь

                        

                                                  

Матриця системи рівнянь А =      має обернену матрицю, оскільки

det a = -3. Оберненою є матриця

Отже, х₁ = 1; х₂ = 1; х₃ = 1.

Якщо кількість рівнянь  системи і число невідомих  різні, то розбиваємо матрицю за стовпцями  на дві частини, першу з яких складає під матриця коефіцієнтів при базисних (б), другу – при вільних (в) невідомих:

                     А = ( А_б, А_в ).                          (1.15)

Тоді систему  рівнянь (1.13) можна переписати у вигляді

А_б

б+ А_{в в} = .

Якщо знайти обернену матрицю до матриці А_б , то загальний розв’язок

 системи  рівнянь (1.13) матиме вигляд 

б = А^-1_б – A^-1_{в в}.

     Процес відшукання оберненої матриці рівнозначний розв’язанню спеціальних систем рівнянь, кількість яких дорівнює порядку матриці.

 Дійсно, згідно  з означенням оберненої матриці 

Аx=Е.

Стовпці матриці x є невідомими,які потрібно знайти. Перша система рівнянь має вигляд Аx₁ = e_1, друга - Аx₂ = e₂  і т. д.,де  e_i – одиничні вектори,в яких усі координати дорівнюють нулю,за винятком i-ї,що дорівнює 1. Обернену матрицю можна обчислювати за методом виключення Жордана-Гаусса.

 Розглянемо задачі, що приводять до складання і

рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь на основі про-

гнозу випуску  продукції по відомих запасах  сировини.

Приклад. Підприємство випускає три види продукції, використовуючи сировину трьох типів. Необхідні характеристики виробництва зазначені в табл. 1.Потрібно визначити обсяг випуску продукції кожного виду при заданих запасах сировини. Задачі такого роду типові при прогнозах і оцінках функціонування підприємств, експертних оцінках проектів освоєння родовищ корисних копалин, а також у планування мікроекономіки підприємств.

Вид сировини	Витрати сировини за видами продукції. вага од/вик.			Запас сировини, Вагв. од.
	1	2	3
1	6	4	5	2400
2	4	3	1	1450
3	5	2	3	1550

 

Таблиця 1

 Розв’язання. Позначимо невідомі обсяги випуску продукції через

х₁ х₂ і х₃. Тоді за умови повної витрати запасів для кожного

виду сировини можна записати балансові співвідношення, що утворюють систему трьох рівнянь із трьома невідомими:

Розв’язуючи цю систему рівнянь будь-яким способом, знаходимо, що при за-

даних запасах сировини обсяги випуску продукції складуть по кажно-

му виду, відповідно (в  умовних одиницях),

х₁ = 150,   х₂ = 250,   х₃ = 100.

Загальна постановка задачі прогнозу випуску продукції. Нехай

С = || c_ij|| ; і = 1, 2,..., m,  j = 1, 2,..., n                                (2.1)

- матриця витрат  сировини m видів при випуску продукції п видів. Тоді, при відомих обсягах запасу кожного виду сировини, що утворюють відповідний вектор

                                  (2.2)

вектор-план = ( x₁, x₂,..., x_n ) випуску продукції визначається з розв’язку системи m рівнянь з n невідомими:

   

                                        (2.3)

де індекс "т" означає транспонування вектора-рядка  в вектор-стовпець.

 

 

 

 

 

 

 

 

Однорідна система рівнянь.

Однорідною  називають систему рівнянь,в якій вільні члени b_i дорівнюють нулю.

У загальному вигляді  однорідна система рівнянь записується  так:

                            (1.17)

Очевидно, і  це легко перевірити за формулами Крамера, що коли визначник системи рівнянь не дорівнює нулю, то воно має єдиний розв’язок (нульовий).

Теорема 3. Для того щоб система рівнянь (1.17) мала нетривіальний розв’язок,необхідно і достатньо, щоб її визначник det b_ij дорівнював нулю.

Доведення. Необхідність очевидна. Якщо det b_ij ≠ 0 ,то, як уже згадувалося, x_i = 0(i= 1,…, n).

Достатність доведемо, застосовуючи метод математичної індукції. Очевидно, що для n=1твердження є справедливим, оскільки замість системи рівнянь (1.17) маємо одне рівняння b₁₁x₁ = 0.

Нетривіальний розв’язок можливий лише за умови b₁₁x₁ = 0. Припустимо за методом математичної індукції,що результат справедливий при k=n-1. Звідси доведемо, що коли визначник системи рівнянь(1.17) дорівнює  нулю, то існує нетривіальний розв’язок. Цілком природно,що хоча б один елемент b_ij не дорівнює нулю, оскільки інакше всі  елементи будуть нулями і будь-який     n-вимірний вектор є розв’язком системи рівнянь. Будемо вважати,що              b₁₁ ≠ 0.Тоді,використовуючи метод Гаусса,виключимо x₁ з усіх рівнянь,за винятком першого. Застосувавши  формули переходу, запишемо систему рівнянь

                                 (1.18)

з визначником

=0

Оскільки b₁₁ ≠ 0,виходить,що (n-1)-вимірний визначник дорівнює нулю. З іншого боку, він є визначником системи рівнянь порядку  n-1, яку дістанемо з (1.18), якщо не враховувати перше рівняння. За припущенням математичної індукції вона має розв’язок  =( ₂,…, _n). Із першого рівняння (1.18) знаходимо

 Розв’язок ₁, ₂,…, _n і є нетривіальним розв’язком однорідної системи рівнянь (1.17).

Теорема 4. Загальний розв’язок неоднорідної  системи рівнянь А =

x = y +υ,                                 (1.19)

де y – загальний розв’язок  відповідної  однорідної системи рівнянь Ау = 0, а υ – довільний частинний розв’язок неоднорідної системи рівнянь А = .

Доведення. Підставляємо розв’язок (1.19)  у систему рівнянь A = :А(у + υ) = Ау + Аυ = 0 + b = b.

Отже, розв’язок (1.19) задовольняє вихідну систему рівнянь. Найчастіше за частинний розв’язок вибирають базисний. Систему рівнянь, в якій відповідна неоднорідна система рівнянь має нетривіальний розв’язок, іноді називають невизначеною.

 

 

 

 

 

                  

 

 

 

 

 

  2. Застосування систем рівнянь для аналізу моделі Леонтьєва «витрати – випуск»

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь широко застосовуються на практиці. Зумовлено це багатьма об’єктивними чинниками, серед яких можна виділити два основних. По-перше, значна кількість задач з економіки має властивості  подільності й адитивності. По-друге,в тих випадках, коли математичні моделі нелінійні,їх можна лінеаризувати, тобто наближено замінити адекватною лінійною моделлю. У цьому разі ми дещо поступимося точністю оцінки ситуації, але зможемо простіше здійснити необхідні обчислення.

Прикладом найпростішої лінеаризованої моделі є заміна функції двох змінних(яка, наприклад, виражає критерій ефективності ) її розвиненням у ряд Тейлора:     

Відкинувши  вираз (││х – х⁰││² ) і поклавши f(x₁,x₂) = C, дістанемо лінійне рівняння, яке відповідає фіксованому значенню функції С. Зазначимо, що математичні моделі реальних задач описуються системами лінійних алгебраїчних рівнянь, які мають велику вимірність. Вони містять десятки, сотні або й тисячі рівнянь і невідомих, визначення яких потребує використання електронно-обчислюваної техніки.

Наприклад, якщо в ситуації, запропонованій Ф. Кене, для обчислень  достатньо системи трьох лінійних рівнянь, то в розрахунках економіки  сучасного підприємства, що випускає десятки одиниць продукції , їх буде вже не менше кількості кінцевого продукту.

Другою особливістю застосування лінійних рівнянь є той факт, що майже всі коефіцієнти матриці  системи рівнянь обчислюють наближено. Тому обчислення слід виконувати з  певною точністю(0,1%, чотири знаки  після коми тощо). Вибираючи методи розв’язання системи рівнянь,слід орієнтуватися на ті, які не погіршують точності обчислень.

Третьою особливістю практичних лінійних моделей є блокова структура  коефіцієнтів матриці системи рівнянь, серед яких є багато нулів або таких, що повторюються. Наприклад, модель планування може характеризуватися блоковою структурою, де Е – одиничні матриці, а заштриховані прямокутники – блоки підматриці з ненульовими коефіцієнтами. Василь Леонтьєв поклав початок систематизованому дослідженню економіки в її частково розширеному вигляді. При такому підході виробничі процеси в економіці розкрупнюються  до рівня N секторів (галузей) виробництва,  хоча й не до рівня окремих підприємств або фірм, та аналізуючи переміщення продуктів, товару, послуг між цими галузями. Зазначимо, що

 « чиста галузь» є деякою економічною абстракцією. Вона не обов’язково існує реально у вигляді деякого міністерства чи об'єднання. Наприклад, під галуззю «електроенергетика» можна розуміти  сукупність усіх електростанцій незалежно відомчої належності. Така відокремленість галузей утруднює практичне застосування здобутих результатів, але, з іншого боку, дає змогу провести детальний аналіз технологічної структури суспільного виробництва і розподілу.

     Основні припущення моделі, яку в подальшому будемо називати моделлю Леонтьєва, такі:

1. В економічній системі виробляється, купляється, споживається та інвестується n видів продукції, які позначатимемо індексами

1, 2, 3, …, n.

2. Кожна галузь виробляє лише один вид продукції. Отже, спільне виробництво різних товарів виключається. Різні галузі виробляють різні товари і тому галузь, що виробляє продукцію виду i, позначатимемо тим самим індексом.
3. Під виробничим процесом у кожній галузі розумітимемо перетворення деяких ( можливо, всіх ) видів продукції, взятих у певних кількостях, на деяку кількість продукції одного чи іншого виду. При цьому припускається, що співвідношення витраченої і випущеної продукції є сталим.

У моделі Леонтьєва  такий характер перетворень можна  описати так: якщо для виробництва  одиниці продукції в  j-й галузі треба витратити а_ij одиниць  і-ї продукції, то випуск λ одиниць j-ї продукції потребує витрат λа_ij одиниць  і-ї продукції (і = 1,…, n). Ці n₂ величин а_ij називають витратними ( або технологічними) коефіцієнтами. Припускається, що вони сталі. За термінологією економістів у моделі зберігається сталість питомого випуску при сталих пропорціях витрат ( незалежно від масштабів виробництва).

     Через  Х_i позначимо загальний обсяг продукції, випущеної галуззю під номером і за одиницю часу ( наприклад, рік ). Ці величини визначають валовий випуск і-ї галузі. Частина валового випуску споживається у вигляді витрат, необхідних для виробництва. Тоді кінцеву продукцію ( У_і ) запишемо як різницю між валовим випуском Х_і і-ї галузі та продукцією, спожитою як виробничі витрати в усій економічній системі. Остання частина продукції обчислюється за формулою   

Якщо через У_j позначити кінцеву продукцію, тобто частину, що була спожита у невиробничій галузі для створення запасів, інвестицій, експорту тощо, то дістанемо систему рівнянь,                                        

яку називають моделлю Леонтьєва «витрати-випуск».