Застосування поняття «Теореми додавання та множення ймовірностей»

МІНІСТЕРСТВО   ОСВІТИ   І   НАУКИ,   МОЛОДІ   ТА   СПОРТУ   УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ   НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 

Кафедра теорії ймовірностей

та  математичної  статистики

Спеціальність  «Статистика» 
 
 
 

Курсова робота 

на тему: Застосування поняття «Теореми додавання та множення ймовірностей» в курсі «Теорії ймовірностей та математичної статистики» 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                               виконала студентка

                                                                                  1-го курсу групи «А»

Куріліна Юлія Олегівна

                                                                              науковий курівник

                                                                   Дзундза А.І. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Донецьк 2011

СОДЕРЖАНИЕ 
 
 

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………    3

РАЗДЕЛ  1.  КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ  ВЕРОЯТНОСТИ … 4-5  

РАЗДЕЛ  2.  ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ……………………6-7

РАЗДЕЛ  3.  ФОРМУЛА УСЛОВНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ………………..8-9

РАЗДЕЛ  4.  ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ…………………10-11

РАЗДЕЛ  5.  ФОРМУЛА БАЙЕСА……………………………………….12-13

РАЗДЕЛ  6.  ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕННЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ…………………………………………………………. 14-15

РАЗДЕЛ  7.  ЛОКАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ………. 16-17

РАЗДЕЛ  8.  ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА…………………………………………………………………...18-20

РАЗДЕЛ  9.  ТЕОРЕМА ПУАССОНА……………………………………… 21

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….. 22

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………...23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 

Весь  мир построен на вероятности, любое  событие, которое мы ожидаем, может  произойти. Необычный характер теоретико-вероятностных  событий является причиной того, что  предмет теории вероятности отличается большим своеобразием.

Теория  вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных  явлений (явлений с неопределённым исходом, происходящих при неоднократном  воспроизведении определённого  комплекса условий).

Теория  вероятности, в наше время, занимает очень важное место в математической статистике, она является основой  математического аппарата и прикладных аспектов. Используя результаты, полученные теорией вероятностей, математическая статистика позволяет не только оценить значения искомых характеристик, но и выявит степень точности получаемых при обработке данных выводов.

Сейчас  теория вероятности очень актуальна, это большой, интенсивно развивающийся  раздел математики. Непосредственный подсчёт случаев, благоприятствующих данному событию, может оказаться затруднительным. Поэтому для определения вероятности события бывает выгодно представить данное событие в виде комбинации некоторых других, более простых событий. В данной работе мы обратим внимание на основные правила, используемые в теории вероятностей, а именно, теоремы сложения и умножения вероятностей.

  1. Правило произведения

Если  первое событие может произойти  n1 способами, а второе - n2 способами независимо от первого, то совместная реализация может произойти n1×n2 способами.

  1. Правило сложения

Если  первое событие может произойти  n1 способами, а второе - n2 способами независимо от первого, то первое или второе события могут произойти n1+n2 способами. 

Задача  данной работы – представить решение 27 задач по теории вероятности и  математической статистике.

Цель исследования – научиться на практике применять элементы теории вероятностей и математической статистики. 
 
 
 
 

РОЗДЕЛ   1

КЛАССИЧЕСКОЕ  ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

Задача 1. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов. 

m = 6, так  как есть только три случая  расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы  во всех ящиках оказалось разное  число шаров: (1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (3, 1, 2). Всего случаев расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы ни один  ящик не остался пустым равно

 
 
Тогда искомая вероятность P=6/10.  
 
Ответ: 0,6.

Задача 2. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: "а", "м", "р", "т", "ю". Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной карточке можно прочесть слово "юрта".

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов. 

n = 5*4*3*2 = 120 способов, так как первую карточку (букву) можно вытянуть (выбрать) 5 способами (так как всего карточек  пять), вторую - 4 (осталось к этому  шагу четыре), третью - 3 и четвертую  - 2 способами. m = 1, так как искомая  последовательность карточек "ю", потом "р", потом "т", потом "а" только одна. 

Получаем P=1/120.

Ответ: 1/120.

Задача 3. Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) четное; б) двузначное.

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события.

Случай  а). n = 9, так как всего 9 различных  карточек. m = 4, так как всего на 4 карточках написаны четные числа (2, 4, 6, 8). Тогда P=4/9. 
 
Случай б). n = 9, так как всего 9 различных карточек. m = 0, так как на всех карточках написаны однозначные числа. Тогда P=0/9=0.  
 
Ответ: 4/9, 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РАЗДЕЛ  2

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ  ВЕРОЯТНОСТИ

 

Задача 1. На окружности даны точки А и В, причем эти точки не являются диаметрально противоположными. На этой же окружности выбирается точка С. Найти вероятность того, что отрезок ВС пересечет диаметр окружности, проходящий через точку А.

Решение: Пусть длина окружности равна L. Интересующее нас событие К «отрезок ВС пересекает диаметр DA» наступает, только если т.С лежит на полуокружности DA, не содержащей точку В. Длина этой полуокружности равна L. 

     

.

Ответ: 1/2

Задача 2. Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти 5 минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?

Решение:  Пусть х и  у обозначают время прибытия 1-го т 2-го дуэлянтов соответственно, измеренное в долях часа начиная с 5 часов.

 

Дуэлянты  встречаются, если , т.е. x - < y < x + .

Изобразим это на чертеже. Заштрихованная часть квадрата отвечает случаю, когда дуэлянты встречаются.

Площадь всего квадрата 1, площадь заштрихованной части:

     

.

Значит, шансы на поединок равны  .

Ответ: 1/6

Задача 3.  Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника.

Решение: Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольников. Значит,  

Вероятность того, что точка Х принадлежит  треугольнику KMN, равна:

     

Вывод: Вероятность попадания точки в некоторую фигуру прямо пропорциональна площади этой фигуры. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РАЗДЕЛ 3

УСЛОВНАЯ  ВЕРОЯТНОСТЬ 

Задача 1. Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?

Решение. Сначала подсчитаем вероятность того, что две карты окажутся одной определенной масти (например «пики»). Пусть А - появление первой карты такой масти, В - появление второй карты той же масти. Событие В зависит от события А, т.к. его вероятность меняется от того, произошло или нет событие А. Поэтому придется воспользоваться теоремой умножения в ее общей форме:

,  
где   (после вынимания первой карты осталось 35 карт, из них той же масти, что и первая - 8).

Получаем:  
.

События, состоящие в том, что будут  вынуты две карты масти «пики», масти «треф» и т.д., несовместны  друг с другом. Следовательно, для  нахождения вероятности их объединения  воспользуемся теоремой сложения: 
.

Ответ: 8/35

Задача 2. В игорном клубе половина игроков честные, половина – шулеры. Вероятность вытащить из колоды короля равна 1/8. Для шулера эта вероятность равна 1. Сидящий перед вами игрок вытаскивает из колоды короля с первого раза. С какой вероятностью перед вами шулер?

Решение: Пусть событие A заключается в том, что из колоды вытянут король, B – в том, что игрок шулер. Тогда событие  В  заключается в том, что игрок честный, и p (A | B) = 1,   

Если взять  первого попавшегося игрока, то он вытянет короля с вероятностью:

p(A)=p(B)*p(A|B)+p()*p(A|)=*1+*=

Обозначим через X событие, заключающееся в том, что игрок, вытянувший короля, – шулер. Тогда:

p(X)= = = = 

Ответ: 8/9

Задача 3. В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?

Решение. Пусть  А - событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай маршрута №1, В - маршрута №2.

Рассмотрим  все события, которые могут при  этом быть (в условиях нашей задачи):АА, АВ, ВА, ВВ. Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.

Так как  все эти события совместны, то:

;

;

отсюда  искомая вероятность:

 

Ответ: 0,6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РАЗДЕЛ  4

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ 

Задача 1. На рисунке изображена схема дорог. Найти вероятность того, что турист, вышедший из пункта А, попадет в пункт В, если на развилке он наугад выбирает любую дорогу (кроме обратной). 
 
Решение: Обозначим Hi={приход туриста в пункт Hi}, i=1, 2, 3, 4. Поскольку, выйдя из пункта А, он выбирает любую дорогу наугад, то P(Hi)=1/4, i=1, 2, 3, 4.

     

Исходя из схемы  дорог, определяем, что P(B!H1) = 0; P(B!H2) =1/2; P(B!H3) = 1; P(B!H4) =1/3. Таким образом, по формуле полной вероятности:

Ответ: 11/24

Задача 2. Из двенадцати лотерейных билетов пять выигрышных. Билеты вытягиваются по одному без возвращения. Какова вероятность того, что во второй раз вытянут выигрышный билет

Решение: Как обычно, вдоль каждой ветви "дерева вероятностей" значения вероятностей перемножаются, а затем значения на концах нужных веток между собой складываются. В результате получаем ответ:

Ответ: 5/12

Задача 3. В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода - 30%, второго - 50%, третьего - 20%. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.

Решение: Пусть событие H1 состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, H2 на втором, H3 - на третьем заводе. Очевидно:   

   P(H1) = 3/10,  P(H2) = 5/10,  P(H3) = 2/10.

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; A/Hi означает событие, состоящее в том, что выбрана бракованная лампа из ламп, произведенных на i-ом заводе. Из условия задачи следует:  

   P (A/H1) = 5/10; P(A/H2) = 3/10; P(A/H3) = 2/10

По формуле  полной вероятности получаем   

  

Ответ: 17/500 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РАЗДЕЛ 5

ФОРМУЛА БАЙЕСА

 

Задача 1. Сообщение со спутника на землю передаётся в виде бинарного кода, то есть как упорядоченного набора нулей и единиц. Предположим, что послание на 70% состоит из нулей. Помехи приводят к тому, что только 80% нулей и единиц правильно распознаются приёмником. Если принят сигнал “1”, то какова вероятность того, что отправлен сигнал “0”?

Решение: Пусть событие В0 состоит в том, что отправлен сигнал “0”, а событие В1 – в  том, что отправлен сигнал “1”. Пусть событие А0 состоит в том, что принят сигнал “0”, с событие А1 – в том, что принят сигнал “1”. Нас интересует Р(В0/А1). По условию:

      Р(В0) = 0,7 Р(В1) = 0,3

      Р(А0/ В0) = 0,8 Р(А1/ В0) = 0,2

      Р(А1/В0) = 0,8 Р(А0/ В 1) = 0,2

По формуле  Байеса получаем:

      Р(В0/А1) = 0,2×0,7/(0,2×0,7+0,8×03) = 0,37.

Ответ: 0,37

Задача 2. Имеются пять урн следующего состава: 
2 урны (состава B1) по 2 белых и 3 черных шара, 
2 урны (состава B2) по 1 белому и 4 черных шара, 
1 урна (состава B3 ) — 4 белых и 1 черный шар. 
Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался белым (событие A). Чему равна после опыта вероятность (апостериорная вероятность) того, что шар вынут из урны третьего состава?

Решение: Согласно предположению:

P(B1)=2/5, P(B2)=2/5, P(B3)=1/5;

РB1(А)=2/5, РB2(А)=1/5, РB3(А)=4/5.

Согласно  формуле Байеса имеем:

Ответ: 2/5.

Задача 3. Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки. Первая организация представила 15 счетов, вторая — 10, третья — 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.

Решение: Пусть А1, А2, А3  — события выбора счета у первой, второй и третьей организаций. Соответствующие вероятности будут:

, ,

По формуле полной вероятности определяем вероятность выбора правильно оформленного счета:

По формуле  Байеса находим исходную вероятность

.

Ответ: 0,19

    РАЗДЕЛ 6

    ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Задача 1. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий: 
а) только одно отделение получит газеты вовремя; 
б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

Решение: Введем события 
А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение), 
А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),  
А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),  
по условию P(A1)=0,95; P(A2) = 0,9; P(A3)=0,8.  
 
Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя). Событие Х произойдет, если  
или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3,  
или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,  
или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 1.  
Таким образом,   
Так как события А1, А2, А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем: 
 
Найдем вероятность события У=(хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием). Введем противоположное событие  =(все отделения получат газеты вовремя). Вероятность этого события: 
 
Тогда вероятность события У:  
 
Ответ: 0,032; 0,316.

Задача 2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Решение: Введем независимые события:  
А1 = (при аварии сработает первый сигнализатор);  
А2 = (при аварии сработает второй сигнализатор);  
по условию задачи P(A1)=0,95, P(A2)=0,9.  
Введем событие Х = (при аварии сработает только один сигнализатор). Это событие произойдет, если при аварии сработает первый сигнализатор и не сработает второй, или если при аварии сработает второй сигнализатор и не сработает первый, то есть   
Тогда вероятность события Х по теоремам сложения и умножения вероятностей равна: 
 
Ответ: 0,14.

Задача 3. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Решение: Пусть р - вероятность попадания в цель при одном выстреле. Введем событие X = {при четырех выстрелах есть хотя бы одно попадание} и противоположное ему событие   = {при четырех выстрелах нет ни одного попадания}.  
 
Вероятность события   равна  , тогда вероятность события Х равна  . По условию эта вероятность равна 0,9984, откуда получаем уравнение относительно   
 
 
 
р=0,8 
Ответ: 0,8. 
 
 
 
 

РАЗДЕЛ   7

ЛОКАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 
 

Задача 1.  Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна р. Найти вероятность, что за смену откажут m элементов. 
р= 0,024, m=6.

Решение: Используем локальную предельную теорему: 

 
. 
Здесь n=1000, k =6, p=0,024, q= 1-p = 0,976, значения функции берутся из таблицы.

Подставляем:  
 
 
Ответ: 0,000084

Задача 2. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение: По условию, n=400; k=80; р=0,2, q=0,8.

Воспользуемся локальной предельной теоремой: 

.

Вычислим определяемое данными задачи значение x=(k-np)/√npq=(80-400•0.2)/8=0. По таблице находим φ(0)=0.3989. Искомая вероятность P400(80)=(1/8)•0.3989=0.04986

Ответ: 0.04986

Задача 3. Найти вероятность того, что событие A наступит равно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность этого события равна 0,2.

Решение: Воспользуемся теоремой Лапласа.

Для нашей задачи получается: 

n=400;  k=80;  p=0.2;  q=1−p=0.8;  p400(80)=C804000.2800.8400−80 (по формуле Бернулли) или, воспользовавшись локальной предельной теоремой:

p400(80)≈1√400·0.2·0.8·φ(80−400·0.2√400·0.2·0.8)=81·φ(0)  По таблице φ(0)=0.3989 , поэтому p400(80)≈81·φ(0)=81·0.3989 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РАЗДЕЛ  8

ИНТЕГРАЛЬНАЯ  ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА  МУАВРА—ЛАПЛАСА

Задача 1. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы с вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?

Решение: Будем считать, что событие А произошло, если турист пообедал у заинтересованного владельца.

По условию  задачи p=P(A)=0,5, n=100. Нас интересует такое наименьшее число посетителей  m, что вероятность одновременного прихода не менее чем  m  туристов из числа  n=100  с вероятностью успеха p=0,5 приблизительно равна вероятности переполнения ресторана, т.е.  1 - 0,99 = 0,01.

Таким образом, нас интересует такое наименьшее число  m, что 

P100(m, 100) ≈ 0,01. Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.

В нашем  случае: m – неизвестно, 

,  ,  .

Тогда:

Используя таблицы для функции  Ф(х), находим,  , и, значит,  . Следовательно, в ресторане должно быть 62 места.

Ответ: 62 места

Задача 2. В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет между k1 и k2. Найти наивероятнейшее число включенных ламп среди n и его соответствующую вероятность. 
n = 6400, k1 = 3120, k2 = 3200.

Решение: Используем интегральную теорему Лапласа:

,

,
,

 
где n = 6400, p = 0.5, q = 1-p = 0.5, k1 =3120, k2 = 3200, Ф - функция Лапласа (значения берутся из таблиц). Подставляем: 
 
Найдем наивероятнейшее число включенных ламп среди n из неравенства:  
np-q≤k0≤np+p 
6400*0,5≤k0≤6400*0,5+0,5 
3199,5≤k0≤3200,5 
Отсюда k0=3200. Найдем вероятность по локальной теореме Лапласа:  
Pn(k0)≈φ 
  
 
Ответ: 0,4772; 3200; 0,0099752..

Застосування поняття «Теореми додавання та множення ймовірностей» 📙 Курсовая → 🆔 81843

Застосування поняття «Теореми додавання та множення ймовірностей» 📙 Курсовая → 🆔 81843

Застосування поняття «Теореми додавання та множення ймовірностей»