Жылулық сәуле шығару

                                         Мазмұны

Кіріспе ...................................................................................................3

I. Жылулық сәуле шығару

     1.1 Жылулық сәуле шығарудың негізгі заңдары ...........................4

     1.2 Рэлей-Джинс  және Планк формулалары ................................14

     1.3 Қара емес  денелердің сәуле шығаруы ....................................23

II. Экспериметтік бөлім

     2.1 Жарық көздері ..........................................................................24

     2.2 Оптикалық  пирометрия ............................................................25

     2.3 Жылулық сәулелену заңдарының сандық сипаттамалары......28

III. Қорытынды .....................................................................................30

Пайдаланған әдебиеттер ......................................................................31

                                                   Кіріспе

     Электромагниттік сәуленің  (жарықтың) кванттық табиғаты

     Жарықтың электромагниттік теориясы, электрндық теорияның жарық пен заттың әсерлесуі жайындағы көріністерімен толықтырылғаннан кейін 19ғ. аяғына таман  ескі толқындық теория үшін шешілместей болған көптеген проблемалардың аса оңай әрі айқындылықпен шешілуіне мүмкіндік туғызды. Электромагниттік теорияның өте әралуан физикалық есептерді шешуге қолдану нәтижелері жаңа толқындық оптиканың шексіз мүмкіндіктерінің көрінісі сияқты болып көрінеді.

     Бұл курстық  жұмыстың мақсаты- жылулық сәулелену  заңдарын толық меңгеру,абсолют  қара дененің сәуле жұтқыштық  және шығарғыштық қасиеттерін  түсіндіру.

      Дәл осы уақытта электромагнитттік теория шеңберінде шешімін табу мүмкін болмаған есептер пайда болды. Мәселен, қыздырылған денелер шығаратын жарықтың спектрлік үлестіруін сандық бейнелеуне істелген барлық әрекеттер сәтсіз аяқталды. Классикалық физика тұрғысынан мінсіз қорытылып шығарылған Релей-Джинс формуласы тәжірибе деректеріне қайшы болды және физикалық әбес нәтижеге алып келді. Проблеманың шешімін 1900ж.  аяғында Планк осциллятор энергиясының квантталуы жайындағы классикалық физика принциптерімен үйлеспейтін жорамал енгізіп тапты. Бұл жорамал классикалық көріністердің жетімсіздігін айқын көрсетіп берді және кванттық физиканың жасалуымен аяқталған ескі ұғымдардың революциялық күйреу процесіне қозғау салды.

     Бұл курстық  жұмыстың мазмұны: қарастырылатын  материалдың физикалық мағынасын  терең түсінуге мүмкіндік беретін  көрнекті келтірілген суреттермен, графиктермен және абсолют қара  дененің сәуле шығару құбылысын  теориялық жағынан дәлелдейтін  формулалармен баяндалған.

                                   Жылулық сәуле шығару

          1.1 Жылулық сәуле шығару және оның негізгі заңдары

     Негізгі тәжірибелік деректер. Жылулық сәуле шығаруды зерттеу әдістері. Қатты қыздырылған денелердің жарық шығара бастайтыны  белгілі. Дене температурасын өсіргенде жарқыраудың жарықтылығы артады, ал оның түсі қызылдан аққа дейін өзгереді. Осындай заңдылықтары, мысалы электр плитасы спиралының немесе қыздыру лампасы қылсымының қыздырылуын байқап көруге болады.

     Жылулық шығарылған  сәулеге тән белгі оның кең  тұтас спектрі болады.

     1-суретте қыздырылған  денелердің шығарған сәулесінің  спектрлері көрсетілген(Люммер және  Принсгейм 1899 ж. өлшенген).                                                         Графиктерден сәуле шығаратын дененің  температурасын өсіргенде жылулық сәуле шығарылған дененің толық қуатының өсетіндігі және спектрлік тығыздық максимумының спектрдің қысқа толқынды аймағына ығысытындығы көрінеді. 19-20 ғасырлар аралығында физика алдына жылулық сәуле шығару спектрін қалай түсіндіруге болады деген мәселе қойылды. Осы проблемаларды зерттеу кванттық көріністердің пайда болуына алып келгендігі белгілі.                                                 1.1-сурет                                                  

    Жылулық  сәуле шығару және оның сипаттамалары.  Электромагниттік сәуле шығарудың табиғатта ең көп тараған түрі жылулық сәуле шығару болып табылады. Жылулық сәуле заттың ішкі энергиясы есебінен шығарылады, сондықтан да ол температурасы 0 К-нен өзгеше кез-келген температурадағы барлық денелерге тән.

      Жылулық  сәуле шығару дененің ішкі  энергиясының кемуіне, демек, дене  температурасының төмендеуін, сууын  туғызады. Энергияның ұзақ уақыт  бойы шығарылу мүмкіндігін қамтамасыз  ету үшін, оның шығынының орнын  толтырып отыру қажет.Бірақ сәуле  шығарумен қатар дененің өзі  басқа денелер шығарған энергияның  бір бөлігін жұтады. Энерияның  жұтылуы дененің ішкі энергиясының  өсуін, демек, температураның жоғарылауын  туғызады. Денелердің энергияны  тұрақты түрде шығаруы және  жұтуы оңашаланған термодинамикалық  жүйеде ақыр аяғында белгілі  бір температураның орнығуына  алып келеді; осы температура  жағдайында дене шығарғанда энергияның  кемуі, жұтқанда оның өсуімен теңгеріледі, шығарылатын және жұтылатын энергия спектрі уақытша байланысты өзгеріссіз қалады. Сәуле шығарудың осы түрі тепе-теңдік сәуле шығару деп аталады.   Термодинамикалық жүйенің уақыт өткенде параметрлері өзгермейтін күйі термодинамикалық тепе-теңдік күй деп аталады. Термодинамикалық тепе-теңдікте тұрған жүйе үшін мына қасиеттер  тән: жылулық сәуле шығару үшін оңашаланған жүйенің термодинамикалық тепе-теңдік күйі белгілі уақыт өтісімен орнығады;егер жүйе термодинамикалық тепе-теңдіке жетсе және сыртқы жағдайлар өзгермейтін болса, онда жүйе өзі өз бетінше осы күйден шыға алмайды. Сәуле шығарудың басқа барлық түрлері (бұларды люминесценция деп жалпы ортақ атпен біріктіреді) мұндай қасиетке ие емес. Мысалы, хемилюминесцияда сәуле шығару  химиялық түрленулерде бөлінетін энергия есебінен пайда болады. Хемилюминесция жағдайында сәуле шығару процесі химиялық реакция жүріп біткен уақытқа дейін ғана созылады. Жылулық тепе-теңдік химиялық процесс онымен бірге хемилюминесция біткеннен кейін ғана орнайды. Дәл осы жағдай электро-, фото-, және катодлюминесценция жағдайларында да орын алады. Сонымен сәуле шығарудың барлық түрлері ішінен тек жылулық сәуле шығару ғана тепе-теңдікте бола алады. Жылулық сәуле шығару дененің температурасына тәуелді, өйткені ол атомдар мен молекулалардың бейберекет жылулық қозғалысының салдары болып табылады.

     Денелердің  сәуле шығарғыштық және жұтқыштық  қабілеті.Әр түрлі денелер жарықты әр түрлі жұтады. Қара денелер жарықты күшті жұтады, ақ денелер нашар жұтады. Бұған дәлел ретінде көптеген мысал келтіруге болады. Мысалы күн сәулесіне қойылған бөшкедегі су егер бөшке қара түске боялған болса, онда тезірек жылиды.

     Дененің сәуле  жұтқыштық қабілетін сандық сипаттау  үшін мына шаманы енгіземіз:

                 α=                                                                                            (1.1)

Мұндағы - денеге түсетін жарық энергиясы. α шамасын дененің жұту қабілеттігі деп айтамыз.Жұту қабілеттігін тәжірибе жүзінде дененің қыздырылуы бойынша есептеуге болады.     

     Мөлдір емес  денелер үшін жұтылған және  шағылған жарық энергияларының  қосындысы  түскен жарық энергиясы  ағынына тең:

+,                                                                                        

Сондықтан өлшемділіксіз α шамасы мына аралықта жатады: 0≤α≤1. Шексіз жағдайларды былай атауға болады: α=0-«ақ дене»,α=1-«қара дене».

     Тәжіридеден  бір дененің жұту қабілеттілігі  дене температурасы өзгергенде  және оған түсетін ν= жарық жиілігі өзгергенде өзгеретіндігі көрінеді. Демек, әрбір денені α= α(ω,Т) қайсыбір функциямен сипаттауға болады. Әрине, әр түрлі денелерде осы функциялар тіптен әр түрлі болады.

      Жарықтың шығарылуы.Қандай да бір қыздырылған денені, мысалы, қыздыру лампасының қатты қыздырылған қылсымын қарастырайық. Дене бетінің ауданы ds элементін бөліп алып беттің осы бөлігінің жиіліктердің ω-ден ω+dω-ге дейінгі аралығында шығаратын сәуле қуатын d  арқылы белгілейік.

      d   шамасы   ds және dω шамаларына пропорционал болатындығы түсінікті. Сондықтан мына өрнекті жазуға болады:

       d =rdωds                                                                                          (1.2)

      Осы формуладағы  пропорционалдық r коэффициенті дененің  сәуле шығарғыштық қабілеті деп айтамыз. Сәуле шығарғыштық қабілеттілікте сәуле жұтқыштық қабілеттілік сияқты дененің Т температурасынан және ω жарықтың жиілігіне тәуелді, яғни r=r(ω,T).

                                             Киргоф заңы

      Тепе-теңдік жылулық сәуле шығару.Т температураға дейін қыздырылған ішіне қуыс істелген дене бар болсын.(1.2-сурет). Қуыстың қабырғалары жылулық сәуле шығаратындықтан, қуыс осы сәулемен толтырылған болады.                                                                                                                                                                                Дене температурасы тұрақты етіп ұсталатын  стационарлық жағдайларда қуыс қабырғалады   мен оның ішіндегі сәуле арасында жылулық тепе-теңдік орнайды.                                                       

                                                                                                1.2-сурет                                                                                                                                                             Осы жағдайда қуыстағы жылулық сәуле тепе-теңдік сәуле деп аталады.                                                                                      Қуысты сыртқы кеңістікпен қосатын кішкене тесік істеп тепе-теңдік жылулық сәулені зерттеуге болады. Осы тесік арқылы тепе-теңдік жылулық сәуле қуыстан сыртқа шығатын болады және оның сипаттамаларын өлшеуге болады.                                                                   1.2-сурет

     Кирхгоф заңы. 1859ж. неміс физигі Г. Кирхгофтың ашқан заңына сәйкес тепе-теңдік күйде сәуле шығарғыштық қабілеттіліктің сәуле жұтқыштық қабілеттілікке қатынасы дене табиғатына тәуелді емес:                                                   

= f(ωT,)                                                                                                   (1.3)

     Мұнда f(ωT,)- барлық денелер үшін бірдей жарық жиілігі мен дене температурасының әмбебеп функциясыдеп аталады. Осы  атаудың мағынасы қара дененің анықтамасынан түсінікті, осындай анықтамаға сәйкес осы дене үшін α f(ωT,)=1, демек,= f(ωT,). Алғашында Кирхгоф осы заңды термодинамика түсініктерін пайдаланып теориялық қорытып шықты. Кейіннен осы заң расталып шықты.

     Киргоф заңын  растайтын теориялық ой-пікірлерді  қарастырайық. Тепе-теңдік жылулық  сәулемен толтырылған қуыс ішінде  қандай да бір дене бар деп  ұйғарайық. Сірә, жылулық тепе-теңдік  күйдегі дененің жұтатын сәуле  қуаты оның шығаратын сәуле  қуатына тең:

  d  = d                                                                                                (1.4)

өйткені бұлай болмаған жағдайда дене қыздырылы немесе салқындай бастар еді. Дененің сәуле шығарғыштық немесежұтқыштық қабілеттіліктерінің анықтамаларын пайдаланып, мынаны жазамыз:

  d  = αd,                                                                                               (1.5)

d=rdwds,                                                                                                    (1.6)

мұндағы r- сәуле шығарғыштық қабілеттілік, α- сәуле жұтқыштық қабілеттілік,-дене бетінің ds элементіне түсетін ω-ден ω+dω-ге дейінгі спектрлік аралығындағы жиілігі бар сәуле қуаты.Осы d  = d- d=rdωds өрнектерінен мына өрнек шығады:

rdωds.                                                                                               (1.7)

     Енді біздің  сыншы денені мөлшері мен пішіні  дәл осындай басқа денемен  алмастырайық. Жылулық сәуле шығару  сипаттамалары өзгеріссіз қалатындықтан  (1.4)-(1.7) формулалары, α және r коэффициенттерінің енді басқа мәндері болғандығына қарамастан, күшіне қалады. Сонымен  (1.7) формуладағы r және α-дан басқа барлық шамалар инвариант. Бірақ сонда қытынасы да инвариант болуы тиіс, бұл Кирхгоф заңының мазмұнын анықтайды.

      Тепе-теңдік жылулық сәуле шығарудың спектрлік тығыздығы. Тепе-теңдік жылулық сәуле  ρ(ω,Т) спектрлік тығыздықпен сипатталады; ол кеңістіктің бірлік көлеміне және ω  жиілік маңындағы  ені dω жиіліктердің шексіз кіші аралығына келетін Т температурада шығарылатын тепе-теңдік сәуле энергиясы ретінде қарастырылады. V көлемдегі және жиіліктердің      ω-ден ω+dω-ге дейінгі жиіліктер аралығындағы жылулық сәуле шығару энергисы мынаған тең:

    dω=V(ω,T)dω.                                                                                           (1.8)

dω шамасы Дж-мен өлшенеді. (1.8) формуланы  ρ(ω,Т) функциясының анықтамасы ретінде қарастыруға болады.

     ρ(ω,Т) функция  қара дене шығаратын сәуленің  спектрлік тығыздығы деп атайды, өйткені ол функция қара дененің  сәуле шығарғыштық қабілеттілігі мағынасына ие Кирхгофтың әмбебап f(ω,Т) функциясымен бірмәнді байланысқан.

      Люммер  және Присгейм тепе-теңдік жылулық  сәуле шығарудың спектрлік тығыздығын  экспериментік зерттеді. Осы зерттеуледің  нәтижелері 1-суретте көрсетілген

                                      Абсолют қара дене

Температуралық жарық теориясы үшін абсолют қара дененің сәуле шығарғыштық қабілетін білудің мәні зор, өйткені сол арқылы қара емес денелердің сәуле шығарғыштығын іздестіруге болады. Ол үшін әрине функциясын білу де қажет. Бұл функцияларды табу мәселесін қарастырудан бұрын абсолют қара денеге біраз тоқталған жөн болады.Табиғатта толқын ұзындығы қандай екеніне қарамай барлық сәулелерді түгел жұтатын абсолют қара дене кездеспейді. Қара дене деп саналатын нақты денелер тек көрінетін сәулелерді ғана жақсы жұтады, соның өзінде де оларды толық жұтпайды. Мысалы, қара күйе көрінетін жарықтың 0,99 үлесін ғана жұтады, инфрақызыл жарықты нашар жұтады. Алайда абсллют қара дене рөлін атқара алатын денені қолдан жасауға болады, мысалы кішкене тесігі бар үлкен қуыс дене абсолют қара дене орнына жүре алады. Осындай қуыстың (1.3-сурет) ішіне ілінген сәуле қайтып сыртқа шыққанша оның қабырғасының ішкі бетінен сан рет шағылады, әр жолы түскен жарықтық өте аз үлесі ғана кері карай серпіледі. Іс жүзінде бұл қуыс енген жарықты толығынан жұтады. Сөйтіп қуыс дененің кішкене тесігі абсолют қара дене қызметін атқарады. Осы айтылғанға негіздеп қасиеттері жағынан абсолют қара денеге ұқсас сәулелік энергия көзін жасауға болады.

1.4- сурет. Абсолют қара дене сәуле шығарғыштық қабілетін зерттеу тәжірибесінің схемасы

     Іс жүзінде  абсолют қара дене моделі өте  шабан балқитын жіңішке ұзын А түтіктен  жасалады. (1.4-сурет). Сәуле көп шағылып; мол жұтылу үшін оның ішіне бірнеше жерінен кішкене тесігі бар бөгеттер орнатылады. Осындай түтік электр пешінің ішіне қойылып қабырғасы қалаған температураға жеткізе қыздырылады. Сонда түтіктің ауызынан шыққан сәуле қасиеттері жағынан абсолют қара дене шығаратын сәулеге ұқсас болады. Осындай модельді пайдаланып абсолют қара дене дене жарқырауын зерттеуге болады. Сондай тәжірибе схемасы 1.4-суретте кескінделіп отыр. Мұнда абсолют қара дене делінетін А түтіктің тесігінен шыққан сәулелер С линзадан өтіп трубаның саңылауынан түседі, ол сәулелер объективтен өтіп параллель шоққа айналады да Р призмаға түседі. Толқын ұзындығы әр түрлі сәулелер призмадан өткенде түрліше бұрышқа бұрылады. Егер   труба белгілі бұрышқа бұрылып орнатылған болса, сонда оның толқын ұзындығы мәндері ден +-ге дейінгі сәулелерге тиіс энергия ағыны өтеді. Бұл энергия ағыны қарайтылған J термоэлементке түседі. Термоэлемент көмегімен өлшенетін осы энергия ағынының қуаты () абсолют қара дене спектрлік сәуле шығарғыштық қабілеті () мен спектрлік интервал көбейтіндісіне пропорцинал: . Егер труба басқа бұрышқа бұрылып қойылса, онда термоэлемент көрсететін энергия ағыны қуаты   . Сонда толқын ұзындықтары  спектрдің алқаптарына жататын сәулелік энергия қуаттарының қатынасы мынаған тең болады:

     ∙                                                                      (1.9)

     Бұдан спектрдің екі алқабына сай абсолют қара дене сәуле шығарғыштық қабілеттерінің қатынасын табамыз:

     ∙.                                                                     (1.10)

     Осылайша берілген  бір температурада абсолют қара  дененің әр түрлі толқын ұзындығына  сәйкес салыстырма сәуле шығарғыштық қабілетін табуға болады. 1.5-суретте осындай өлшеулер нәтижесі график түрінде көрсетілген. Бұл графиктерге қарағанда абсолют қара дененің сәуле шығарғыштық қабілеті оның температурасы көтерілген сайын күшейе түседі.

                                                   1. 5-сурет

     Әрбір қисықтың  бір максимумы () болады, температура артқан сайын ол максимумдар қысқа толқындар алқабына қарай ығысады. Бұл айтылғандар температура көтерілгенде дененің жарқырауы, демек жарықтылығы да, қауырт күшейетіндігін, сонымен қабат шығарылатын сәуле түсі де өзгеретіндігін қуаттайды. Егер дене температурасы  төмен болса,максимал мәні ұзын толқындар алқабына жатады, дене инфрақызыл сәулелерді мол шығарады. Көрінетін сәулелер үлесіне келетін энергия аз болады, көз жарықты сезбейді. Дене тепературасы  шамамен 600 -ға жеткенде ғана көзге әсер ететін ұзын толқынды , қызғылт түсті жарық шығарады. Температурасы одан әрі көтерілгенде  денеден шығатын көрінетін сәулелер күшейе түседі.

              Абсолют қара дененің сәуле шығару заңдары

     Абсолют қара  дененің эксперимент арқылы табылған  сәуле шығару қисығые сан жағынан  талдау нәтижесінде, XIX   ғасырдың аяқ кезінде, мынадай үш заң тағайындалды:

     Стефан- Больцман заңы. Абсолют қара дененің толық жарқырауы (R) оның дәрежеленген абсолют температурасына пропорционал.

                                  R=                                                                  (1.11)

Мұндағы тұрақты шама, оның сан мәні мынадай =5,7∙ Вт/. Бұл заңды алғаш (1879ж.) эксперимент жасап Стефан,  одан соң теория жүзінде (1884ж.) Больцман тағайындаған. Осы заңды пайдаланып абсолют қара дененің  1 бетінен  1с ішінде шығарылатын сәулелік энергия мөлшерін есептеп  табуға болады. Бұл заңның практикада маңызы зор.

     2) Виннің  заңы. Абсолют қара дененің спектрлік сәуле шығарғыштық қабілетінін максимал мәніне сәйкес келетін толқын ұзындығы () оның Т абсолют температурасына кері пропорционал.

 =                                                                                                    (1.12)

мұндағы тұрақты шама, толқын ұзындығы мкм-мен алынса, онда С=1,3∙ .

Абслют қара дененің сәуле шығару қисығын бирқатар физиктер классикалық физика заңдарына сүйеніп түсіндірмек болды. Бірақ ондай жұмыстар нәтижелі болмады. Бұл мәселені тек 1900 жылы белгілі неміс физигі Макс Планк шешті. Мұнда ол жарық үздік-үздік  белгілі мөлшерде, энергия порциялары- энергия квантары түрінде шығарылады, энергия кванты () жарық тербеліс жиілігіне (ν-ге) пропорционал: болады деп жорыды. Планк өзі ұсынған осы гипотезаға сүйеніп және статистикалық физика заңдарын пайдалана отырып, абсолют қара дене сәуле шығарғыштық қабілетінің  толқын ұзындығы мен температураға тәуелділігін дұрыс көрсететін формула қорытып шығарды; яғни  функциясының тәжірибеден мәлім абсолют қара дене сәуле шығару қисығына сай түрін тапты. Плактың бұл формуласының тұжырымды түрі мынадай:

                                                           (1.13)

 Мұндағы тұрақты шамалар. Бұлардың сан мәндері мынадай:

  3,70∙ , =1,433см∙град.

     Осциляторлар  бағынатын жаңа кванттық заңдарды есепке алғанда Планктың (1.13) формуласы төмендегі түрде де жазылады:

2πh                                                      (1.14)

мұндағы  h – Планктың тұрақтысы, k- Больцманның тұрақтысы, с- жарықтың вакуумдағы жылдамдығы. Планктың осы формуласын жарық энергиясы көлемдік тығыздығы шамасын () табу үшін мына түрде жазуға болады:

=∙                                                                                           (1.15 )

      Планктың формуласы бойынша абсолют қара дене спектрлерінде энергияның таралуын толық түсіндіруге болады. Планктың осы формуласынан абсолют қара дененің жоғарыда баяндалған заңдарын қорытып шығаруға да болады. Мысал ушін, Стефан- Больцман заңын қорытып шығаруды қарастырайық.

     Абсолют қара  дененің  толық энергетикалық  жарқырауы мынаған тең:

                                          .                                               (1.16)

      Енді (1.14) өрнек бойынша мәнін орнына қойсақ, сонда

                                   (1.17)

     Жаңа айнымалы шама (х) алайық, ол х= болсын, сонда:

                                                                     (1.18)

     мұндағы

                                           .

     Сонда

                                         ∙6,498= 5,7∙

     Сөйтіп

       5,7∙.

     Бұл өрнек  жоғарыда келтірілген Стефан-Больцман  мен Виннің заңдары Планк формуласының  салдары болып табылады.Сондықтан  Планктың формуласы температуралық  жарық шығарудың негізгі заңы  саналады.Планктың энергия кванттары  жайындағы гипотезасы тек абсолют  қара денелердің сәуле шығару  заңдарын түсіндіріп қана қойған  жоқ, бұл осы күнгі физиканың  негізгі гипотезаларының бірі  болды.

                                       1.2 Релей-Джинс формуласы 

      Тепе-теңдік жылулық сәуле шығарудың  термодинамикасы. ρ(ω,Т) функциясын теориялық есептеуді өрістің еркіндік дәрежелері бойынша энергияның теңдей үлестірілуі жайында термодинамиканың белгілі заң негізінде орындауға болады. Осы заңға сәйкес жылулық тепе-теңдік күйде жүйенің әрбір еркіндік дәрежесіне орташа алғанда kT/2-ге тең бірдей энергия келеді. Мұндағы Т- жүйенің термодинамикалық температурасы, k- Болцман тұрақтысы. Осы заңды жылулық сәуле шығаруға қолдану үшін тұйық қуыстағы электромагнитік  өрістің еркіндік дәрежесін есептеу қажет.

      Есептеудің  негізгі идеясы бойынша қуыстағы  тепе-теңдік жылулық сәуле шығаруды  тұрғын  толқындардың жиынтығы  түрінде келтіріледі. Шын мәнінде  мәселе тепе-теңдік сәуленің стационарлық  кеңістіктің құрылымын элементар  қарапайым құрылымдарға- синусойдалық  тұрғын толқындарға спектрлік  жіктеу жайында болып отыр.

     Мына екі  жағдай маңызды. Бірінші тепе-теңдік  жылулық сәуленің кеңістіктік  құрылымы стационар, екінші- қуыс  қабырғаларына түсетін сәуле  энергиясы қабырғаның шығаратын  энергиясына тең. Осы екі шарт  орындалатын қарапайым жүйеге  қос параллель айна- оптикалық  резонатор жатады(1.6-сурет).                                                                                                        Осындай резонатордағы жарық өрісін тұрғын толқындардың  дискреттік санамалы жиыны түрінде өрнектеуге болады. Әр түрлі тұрғын толқындардың саны өрістің еркіндік дәрежесінің ізделіп отырған санын анықтайды.                                                                     1.6-сурет

    Сонымен екі  жазық айнаның ортасындағы жарық  өрісін қарастырайық. Айналардың  ара қашықтығын L арқылы белгілейміз.  х өсін айналардың бетіне нормаль бойынша бағыттаймыз. Жазық резонатордағы жарық өрісі бірөлшемді толқындық теңдеуді қанағаттандырады:

     - = 0                                                                                        (1.19)

     Айналарды  идеал өткізгіштер деп есептеп, шекаралық шарттарды мына түрде  жазамыз:

     Е(0,t)=E(L,t)=0                                                                                (1.20)

    Осы шекаралық шарттармен  (1.19 )  теңдеуінің  шешімі мынадай болады:

     E(x,t)= A(t)sin                                                                                   (1.21)

(1.20)-ны (1.19)-ге қойып А(t) амплитуда үшін теңдеуді аламыз:

     +=0                                                                                           (1.22)

     Сонымен, амплитуда  гармоникалық осцилятордың теңдеуіне  бағынады. Осы теңдеудің шешімі: A(t)=cos(ωt+φ),        ω=c.                                  (1.23)

     Екінші жағынан, (1.21)-ді(1.20)-ге қойып, мына теңдеуді аламыз:

     sinL=0,

    Осыдан π,             =1,2,3,….                                            (1.24) 

    Демек, ω=c =,=1,2,3,….                                          (1.25)

      Сонымен, резонатордағыжарық өрісінің құрылымы толқындардың дискреттік жиыны түрінде болады. Жарық интенсивтігінің белгілі кеңістіктік үлестірілуімен сипатталатын әрбір тұрғын толқыны «өріс осцилляторы» деп айтуға болады. Жарық өрісінің бірнеше қарапайым құрылымы 1.7-суретте көрсетілген. Мұндағы маңызды нәрсе, ол өріс осцилляторлары                                       резонаторда санамалы жиын құрап   тұрады,                   демек оларды нөмірлеуге болады. Әр түрлі осцилляторлар бір-бірінен   тәуелсіз болатындықтан(бұлардың амплитудалары кез-келген мәнге ие) бұлардың толық саны өрістің еркіндік дәрежесінің санын анықтайды.                          

(1.24) формулаға сәйкес, толқындық сандар кеңістігінде әрбір өріс осциллятордың үлесіне   мөлшері π/L болатын ұяшық(1.8-сурет), тиеді мұндағы L-резонатордың ұзындығы.                                        1.7- сурет

     Енді қарастыруды  үш кеңістіктік координаттар  жағдайына таратып, айнадан  істелген  қабырғалары бар куб пішінді  қуыс ішіндегі жарық өрісін қарастырамыз (1.9-сурет).Куб қырының ұзындығы  L, көлемі V=, координат осьтері кубтың қырлары бойымен бағытталған болсын.

     Өрістің әрбір  декарттық  құраушылары үшін мына толқындық теңдеу орындалады:

=0                                                                                              (1.26)

     мұндағы     Лаплас операторы. (1.26) теңдеудің  шешімін мына түрде іздестіреміз:

     Е(x,y,z,t)=sin() sin() sin()cos(ωt+φ).                                    (1.27)

     (1.27)-ды (1.26)-ге қойғанда мына теңдеу алынады:

     ==                                                       (1.28)                                  

              1.8-сурет                             1.9-сурет

     Бұл толқындық  санның  k модулін және жарық толқыны ω  жиілігін өзара байланыстыратын дисперсиялық теңдеу деп аталатын теңдеу.

(1.24)-ға ұқсас, шекаралық шарттардан мына қатынастар алынады:

,                                                        (1.29)

Мұндағы шамаларын жарық толқынының толқындық векторының декарттық құраушылары ретінде қарастыруға болады. Сонымен, үш өлшемді жағдайда өріс осцилляторы жай сандардың үштігімен сипатталады. Толқындық сандар кеңістігінде («k-кеңістік») өріс осцилляторын бейнелейтін сурет 1.10- суретте көрсетілген.                         1.10-сурет

 Осы суреттен түгелдей әрқайсысының көлемі                                                               

                                                                                (1.30)

 болатын  кубиктерге  бөлінетіндігі көрінеді, сонда әрбір  жеке кубикке өзінің осцилляторы  сәйкес келеді.

     Енді  өрістің  еркіндік  дәрежесінің толық санын  есептеп шығару қиын  емес.0-ден ω-ге дейінгі жиіліктер ауқымын алып жататын жарық өрісін қарастырайық.  (1.29) дисперсиялық теңдеуге сәйкес өрістің толқындық сандары 0-ден k=- ға дейінгі ауқымды алып тұрады. Толқындық сандар кеңістігіндегі осы аймақ радиусы k шар түрінде болады, ал оның көлемі болады. (1.28) формулаға  сәйкес сандар, мысалы

      0                                                                                        (1.31)

сай келеді. Берілген аймаққа (толқындық сандар кеңістігінің оң оқтанды) радиусы k шардың   бөлігі ғана кіреді, осы бөліктің көлемі

                                                                                                 (1.32)

     Өрістің ізделіп отырған осцилляторлар саны, сірә кеңістіктегі өрістің барлық осцилляторлары алып жататын көлемнің бір осцилляторға сәйкес келетін ұяшықтың көлеміне қатынасына тең.

     Осы санды арқылы белгілеп, былай жазуға болады:

        =                                                                                               (1.33)

   Сонымен, (1.33) формула көлемі кеңістік аймағын және 0-ден ω-ге дейінгі жиіліктер аралығын алып жатқан өрістің осцилляторлары санын анықтайды. Осы формула жарық толқындары мүмкін болатын таралу бағыттарымен байланысқан өрістің еркіндік дәрежесінің санын береді. Бірақта белгілі бағытта таралатын толқынның екі тәуелсіз поляризация күйі болады (мысалы,х осі бойымен таралатын жазық толқын, жалпы алғанда, және толқындарының суперпозициясы болып табылады). Сондықтан жарық өрісінің еркіндік дәрежесінің толық саны  санынан екі есе артық және ол мына шамаға тең болады: