Алгоритм решения задачи о назначениях

13.3.1. Алгоритм решения  задачи о назначениях

Этот алгоритм состоит из трех этапов.

Этап 1:

1. Формализация  проблемы в виде транспортной  таблицы по аналогии с решением  транспортной задачи.

2. В каждой  строке таблицы найти наименьший  элемент и вычесть его из  всех элементов данной строки.

3. Повторить  ту же самую процедуру для  столбцов.

Теперь в каждой строке и в каждом столбце таблицы  есть по крайней мере один нулевой элемент. Представленная в полученной с помощью описанного выше приема "приведенной" транспортной таблице задача о назначениях эквивалентна исходной задаче, и оптимальное решение для обеих задач будет одним и тем же. Сущность Венгерского метода заключается в продолжении процесса приведения матрицы до тех пор, пока все подлежащие распределению единицы не попадут в клетки с нулевой стоимостью. Это означает, что итоговое значение приведенной целевой функции будет равно нулю. Так как существует ограничение на неотрицательность переменных, нулевое значение целевой функции является оптимальным.

Этап 2.

Если некоторое  решение является допустимым, то каждой строке и каждому столбцу соответствует  только один элемент. Если процесс распределения  элементов осуществляется только в  клетки с нулевой стоимостью, он приведет к получению минимального значения целевой функции.

1. Найти строку, содержащую только одно нулевое  значение стоимости, и в клетку, соответствующую данному значению, поместить один элемент. Если  такие строки отсутствуют, допустимо  начать с любого нулевого значения  стоимости.

2. Зачеркнуть  оставшиеся нулевые значения  данного столбца.

3. Пункты 1 и 2 повторять до тех пор, пока  продолжение описанной процедуры  окажется невозможным.

Если на данном этапе окажется, что есть несколько  нулей, которым не соответствуют  назначения и которые являются незачеркнутыми, то необходимо:

4. Найти столбец,  содержащий только одно нулевое  значение, и в соответствующую  клетку поместить один элемент.

5. Зачеркнуть  оставшиеся нули в данной строке.

6. Повторять  пункты 4 и 5 до тех пор, пока  дальнейшая их реализация окажется  невозможной.

Если окажется, что таблица содержит неучтенные нули, повторить операции 1-6. Если решение  является допустимым, т.е. все элементы распределены в клетки, которым соответствует  нулевая стоимость, то полученное решение  одновременно является оптимальным. Если решение является недопустимым, осуществляется переход к этапу 3.

Этап 3.

1. Провести минимальное  число прямых через строки и столбцы матрицы (но не по диагоналям) таким образом, чтобы они проходили через все нули, содержащиеся в таблице.

2. Найти наименьший  среди элементов, через которые  не проходит ни одна из проведенных  прямых.

3. Вычесть его  из всех элементов, через которые  не проходят прямые.

4. Прибавить  найденный элемент ко всем  элементам таблицы, которые лежат  на пересечении проведенных ранее  прямых

5. Все элементы  матрицы, через которые проходит  только одна прямая, оставить  без изменения.

В результате применения данной процедуры в таблице появляется по крайней мере один новый ноль. Необходимо возвратиться к этапу 2 и  повторять алгоритм до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.  

Пример 13.7. Некоторая компания имеет четыре сбытовые базы и четыре заказа, которые необходимо доставить различным потребителям. Складские помещения каждой базы вполне достаточны для того, чтобы вместить один из этих заказов. В табл. 13.29 содержится информация о расстоянии между каждой базой и каждым потребителем. Как следует распределить заказы по сбытовым базам, чтобы общая дальность транспортировки была минимальной?

Решение

Понимание существа проблемы можно в значительной степени  облегчить, если перед тем, как применять  Венгерский метод, попытаться решить поставленную задачу, используя один из широко известных  методов. Примените метод Вогеля и проследите, насколько он приближает нас к оптимальному решению, которое мы рассмотрим в конце данного раздела. Значения общего спроса и общего предложения для всех строк и столбцов равны единице.

Этап 1 Венгерского метода: В каждой строке находится наименьший элемент.

Наименьший элемент  вычитается из всех элементов соответствующей  строки

Найденный наименьший элемент вычитается из всех элементов  соответствующего столбца.

В соответствии с процедурой, описанной в этапе 2, осуществляются назначения. Наличие  назначения обозначается через 

Таблица 13.33. Назначения в клетки с нулевыми значениями

На данном этапе  мы можем осуществить только три  нулевых назначения, тогда как  требуемое их количество равно четырем. Полученное распределение является недопустимым. Переходим к этапу 3. Проводим наименьшее число прямых, проходящих через все нули таблицы.

Таблица 13.34. Проведение прямых через  нулевые элементы

Наименьшим элементом, через который не проходит ни одна из прямых, является число 2. Скорректируем  таблицу так, как это описано  выше в соответствии с этапом 3, т.е. вычтем 2 из каждого элемента, через  который не проходит ни одна прямая, и добавим 2 ко всем элементам, лежащим  на пересечении двух прямых, оставив  без изменения все прочие элементы, через которые проходит только одна прямая. Теперь перераспределим соответствующие  назначения сбытовых баз и потребителей.

Теперь требование о размещении четырех назначений в клетки с нулевой стоимостью выполняется, следовательно, полученное решение является оптимальным. Перевозки  осуществляются со сбытовой базы А  к потребителю I, с базы В —  к потребителю II, с базы С —  к потребителю III и с базы D —  к потребителю IV. Хотя данное решение  и является оптимальным, однако оно  не единственное. Тем не менее в  любом оптимальном решении должен присутствовать маршрут (С,III), поскольку  это единственный элемент с нулевой  стоимостью в строке С. Два других оптимальных распределения назначений представлены ниже.

Минимальную дальность  перевозок для каждого из трех решений можно вычислить из исходной таблицы:

Решение 1: 68 + 60 + 35 + 45 - 208 миль;

Решение 2: 68 + 63 + 35 + 42 = 208 миль;

Решение 3: 72 + 56 + 35 + 45 = 208 миль. 
Общая дальность перевозок для всех трех решений одинакова.

Примечание: в задачах большей размерности, чем задача из примера 13.7. убедиться в том, что проведенное в соответствии г пунктом 1 этапа 3 число прямых является минимальным, гораздо труднее. В этой связи может оказаться полезным так называемое "правило правой руки":

1. Выбирается  любая  строка  или  столбец,   содержащие только  один  нулевой элемент.

2. Если выбрана  строка, прямая проводится через  столбец, в котором находился  данный нулевой элемент.

3. Если выбран  столбец, прямая проводится через  строку, содержащую данный нулевой  элемент.

4. Пункты 1-3 повторяются  до тех пор, пока не будут  учтены все входящие в таблицу  нули.

http://sider.home.nov.ru/book/side4/ch13_3.htm

http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/63982/