Аналитическая геометрия

 

 

Содержание:

         Введение.

1. Развитие аналитической геометрии.

 

2. Метод координат.

 

3. Декартовые координаты на прямой.

 

4. Декартовые  и  полярные  координаты  на  плоскости.

 

5. Декартовая прямоугольная система координат в пространстве.

         Заключение.

         Список используемой литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Аналитическая геометрия – это раздел математики, в котором с помощью алгебраических методов изучаются геометрические объекты. Основными понятиями аналитической геометрии являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности 2 - го порядка). Основными средствами исследования в аналитической геометрии служат метод координат и методы элементарной алгебры. Возникновение метода координат тесно связано с бурным развитием астрономии, механики и техники в 17 веке. Отчетливое и исчерпывающее изложение этого метода и основ аналитической геометрии было сделано Р. Декартом в его "Геометрии" (1637). Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов методы алгебры и математического анализа. Французский математик Декарт широко применял координаты для исследования многих геометрических вопросов. Он пользовался не двумя осями, а одной, на которой откладывал абсциссы. Ординаты он определял как расстояния точек плоскости от оси абсцисс. Эти расстояния Декарт отсчитывал по любому заранее выбранному направлению, а не обязательно по перпендикуляру. Как абсциссы так и ординаты у Декарта были всегда величинами положительными, независимо от направления соответствующих отрезков. Различение направлений на осях знаками было введено позже, учениками Декарта. Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма. Дальнейшая разработка аналитической геометрии связана с трудами Г. Лейбница, И. Ньютона и особенно Л. Эйлера. Средствами аналитической геометрии пользовался Ж. Лагранж при построении аналитической механики, Г. Монж в дифференциальной геометрии. Наряду с декартовой системой координат применяются и другие системы. Наиболее используемая полярная система координат.

 

1. Развитие аналитической геометрии.

Алгебраическая трактовка вопросов геометрии подготавливала почву для создания аналитической геометрии, предметом которой является уже не только нахождение отдельных отрезков, выражаемых корнями уравнений с одним неизвестным, но изучение свойств различных геометрических образов, прежде всего алгебраических линий и поверхностей, выражаемых уравнениями с двумя или более неизвестными или координатами.

Координаты появились еще в древности, притом в различных формах, между собой непосредственно не связанных. С одной стороны, это были географические координаты, именовавшиеся долготой и широтой, причем положение пунктов земной поверхности, изображенной в виде прямоугольника, характеризовалось парой чисел. Сходными были астрономические координаты, служившие для определения положения светил на небесной сфере. Другой вид координат представляли собой отрезки, зависимости между которыми, так называемые симптомы, выражали определяющие свойства этих кривых. В этом случае речь шла не о числовых координатах любых точек с отсчетом от фиксированного меридиана и параллели, а об отрезках диаметров и хорд, связанных с точками рассматриваемой фигуры.

Своеобразной разновидностью координат были отрезки широт и долгот в теории изменения форм Орема. Здесь не было ни числовых координат любых точек, ни «симптомов», выраженных средствами геометрической алгебры; словесно сформулированная зависимость между широтой и долготой формы изображалась плоской линией.

Координатные отрезки древнегреческой геометрии стали известны в Европе частью по арабским сочинениям, но главным образом по трудам Архимеда и особенно Аполлония. Параллельные хорды или полухорды, сопряженные некоторому диаметру, Аполлоний называл, если перевести с греческого, «по порядку проведенными линиями», а отрезки этого диаметра от его конца до хорды — «отсеченными на диаметре по порядку проведенными (линиями)» . В своем упоминавшемся ранее латинском издании «Конических сечений» (Венеция, 1566) Федориго Коммандино впервые  выражения передал оборотом ordinatim applicatae, т. е. «по порядку приложенные» (т. е. направленные) , а второе — quae ab ipsis ex diametro ad verticem abscinduntur, т. е. «которые отсекаются ими па диаметре от вершины». Отсюда берут начало термины abscissa, т. е. «отсеченная», ordinata и applicata, которые, впрочем, укоренились не сразу. Слово «абсцисса», встречавшееся в смысле отрезка у различных авторов, например Кавальерп (1635), становится техническим термином координатной геометрии в 1668 г. у Микеланджело Риччи (1619—1692) особенно у Лейбница, начиная с рукописей 1673 г. Ферма и Декарт в своих основоположных сочинениях по аналитической геометрии (1636—1637; писали еще об «отрезках диаметра». Слово «ордината» в нашем смысле применял другой переводчик па латынь «Конических сечений» — Франческо Мавролико. Ферма пользовался термином applicata, Декарт — appliquee par ordre, т. е. французским переводом ordinatim applicata, но также (в письме 1638 г.) словом ordonnee, которое незадолго перед тем в 1637 г. употребил в своем курсе П. Эригон (в латинском тексте 1644г.—ordinata); затем им стал регулярно пользоваться Лейбниц. В середине XVIII в. слово «ордината» начинает вытеснять в геометрии на плоскости слово «аппликата». Обе координаты первоначально назывались неизвестными величинами, как у Ферма, или неопределенными, как у Декарта; слово «координаты» ввел в 1692 г. Лейбниц, имея в виду уже любые криволинейные координаты. Но еще и позднее понятие о координатах связывалось с отрезками диаметров и хордами плоских кривых. Так обстоит, например, дело в статьях «Abscissa, die Abscisse» и «Ordinatae, ordinatim applicatae, die Ordinaten» «Математического словаря» (Mathematisches Lexicon, Leipzig, 1716) Xp. Вольфа .

Термин «ось», который у Аполлония относился к взаимно перпендикулярным сопряженным диаметрам, употребил в более широком смысле И. Барроу (1670). Обозначение начальной точки буквой О восходит к ее наименованию origine — «начало», данному Ф. Лагиром в 1679 г.; двадцатью годами ранее Я. де Витт писал об initium immutabile, неподвижном начале. Декарт еще говорил о точке, с которой начинаются вычисления.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Метод  координат.

Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку — аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным ей методом.

Координатами точки, называются числа, определяющие положение точки на данной линии или на данной поверхности или же в пространстве. Так, положение точки на земной поверхности будет определено, если известны её географические координаты — широта и долгота.

Для нахождения координат точки необходимо задание ориентиров, от которых ведётся отсчёт. В случае географических координат такими ориентирами будут экватор и нулевой меридиан. Если даны ориентиры и указано, как, пользуясь ими, находить координаты точки, то говорят, что задана система координат.

Характерной особенностью метода координат является определение геометрических фигур уравнениями, что позволяет производить геометрические исследования и решать геометрические задачи средствами алгебры. Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры — единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Можно сказать, что аналитическая геометрия занимает такое же положение по отношению к элементарной геометрии, какое алгебра занимает относительно арифметики. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач, составляет главную ценность метода координат.  Но иногда удобнее обращаться к приёмам элементарной геометрии, так как в отдельных случаях они позволяют находить изящные решения, более простые, чем получаемые методом координат.

Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

При практическом применении понятия координат координаты предмета, рассматриваемого условно как точка, могут быть определены лишь приближённо. Задание координат предмета означает, что точка, определяемая этими координатами, либо является одной из точек этого предмета либо достаточно близка к нему.

 Основная задача аналитической  геометрии заключается в изучении  геометрических фигур с помощью  соотношений между координатами  точек, из которых эти фигуры  образованы. Любую фигуру можно  рассматривать как множество  точек, удовлетворяющих некоторому  геометрическому условию. Это условие  можно записать в виде алгебраического  уравнения, связывающего координаты  x и y каждой точки фигуры. Суть метода аналитической геометрии состоит в изучении свойств фигуры с помощью соответствующего уравнения, исследуемого средствами алгебры.

Этот метод позволяет устанавливать геометрические факты систематичным образом, в отличие от традиционной "синтетической" геометрии, где приходилось изобретать методы доказательства для каждого отдельного случая.

                                                                                                                                                                                                                                                                                           

 

 

 

3. Декартовы координаты на прямой.

Аналитическая геометрия есть область математики, изучающая свойства геометрических объектов при помощи метода, в основу которого положено понятие координат.

Ввести координаты на прямой – это значит, установить взаимно однозначное соответствие между множеством точек прямой и множеством действительных чисел. Для этого проведем на плоскости горизонтальную прямую. Выберем на ней положительное направление, указываемое стрелкой, точку отсчета О и единицу масштаба (рис. 1).

Если на прямой выбрано направление, начальная точка О и единица масштаба, то говорят, что на этой прямой введена декартова система координат. При этом сама прямая, обозначаемая Ох, называется координатной осью, а точка О – началом координат.

Возьмем на оси Ох точку М, лежащую слева или справа от начала координат. Отрезок  оси  с  началом  в точке  О  и  концом  в точке  М называется направленным и обозначается , а его длина обозначается .

Кроме  длины с каждым  направленным  отрезком сопоставляется его числовая характеристика – так называемая величина направленного отрезка. Величиной ОМ направленного отрезка называется число, равное длине отрезка , взятой со знаком плюс, если направление совпадает с направлением оси Ох, и со знаком минус, если направление противоположно  направлению  оси  Ох.

Из определения величины направленного отрезка следует, что величины отрезков и , направленных в противоположные стороны данной оси, отличаются лишь знаком, т. е.

ОМ = – МО .             

Декартовой координатой точки М называется число х, равное величине  ОМ направленного  отрезка :  х = ОМ.

Тот факт, что точка М имеет координату х, символически обозначают так: М(х). При этом координата начала О считается равной нулю.

Таким образом при помощи декартовой системы координат на прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек прямой и множеством всех действительных чисел: любой точке прямой соответствует определенное действительное число, а любому действительному числу – определенная точка на прямой.

Пусть М1(х1) и М2(х2) – две заданные точки, лежащие на оси Ох. Используя равенство и определение декартовой координаты точки нетрудно установить, что при любом расположении точек О, М1 и М2 на координатной оси величина направленного отрезка будет равна разности величин отрезков и :

М1М2  = ОМ2 – ОМ1  =  х2 – х1 .      

Расстояние между точками М1 и М2 (обозначим его d) равно длине отрезка , следовательно, равно модулю величины этого отрезка и находится по формуле

d = | х2 – х1 | . 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Декартовы  и  полярные  координаты  на  плоскости.

Ввести координаты на плоскости – это значит установить взаимно однозначное соответствие между множеством точек плоскости и множеством упорядоченных пар действительных чисел.

 Д е к а р т о в ы   к о о р д и н а т ы   н а   п л о с к о с т и. Система  координат  на  плоскости  позволяет  решать  задачи,  связанные  с  положением   точек   на  плоскости,  построение  графиков,  геометрических  фигур,   нахождением   расстояния  между  точками  и  т.д. Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую единицу масштаба (рис. 2). Указанная совокупность осей называется декартовой прямоугольной системой координат на плоскости. Ось Ох называют осью абсцисс, а ось Оу – осью ординат. Эти оси называют также координатными осями. Обозначим через Мх и Му соответственно проекции  произвольной  точки М  плоскости  на  оси  Ох  и  Оу.

Декартовыми прямоугольными координатами х и у точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков и : х  =  ОМх,  у  =  ОМу.

Декартовы координаты х и у точки М называются соответственно ее абсциссой и ординатой. Тот факт, что точка М имеет координаты х и у, символически обозначают так: М(х; у).

Плоскость, на которой введена декартова прямоугольная система координат, называется координатной и обозначается Оху. Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, называемые четвертями, квадрантами или координатными углами.

 П о л я р н ы е   к о о р д и н а т ы. Полярные координаты на плоскости вводятся следующим образом. Зафиксируем на плоскости точку О и выходящую из нее полупрямую Ор, а также выберем единицу масштаба (рис.3). Точка О называется полюсом, полупрямая Ор – полярной осью. Полярными координатами точки М (отличной от О) называются два числа r и j, первое из которых (полярный радиус r) равно расстоянию точки М от полюса О, а второе (полярный угол j) – угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось Ор до совмещения с полупрямой ОМ.

Точку М с полярными координатами  r и j обозначают символом М(r ; j). Полярный угол j измеряется в радианах. Полюсу О соответствует полярный радиус r = 0, полярный угол для него не определен.

Для того чтобы соответствие между отличными от полюса точками плоскости и упорядоченными парами полярных координат (r ; j) было взаимно однозначным, обычно считают, что r и j изменяются в следующих  границах:

.       

Установим связь между декартовыми координатами точки и ее полярными координатами. При этом будем предполагать, что начало декартовой прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительную полуось  Ох  примем за полярную ось . Такие две системы координат называются согласованными.

Пусть точка М имеет декартовы координаты (х; у) и полярные координаты (r ; j).

   ,         

   .         

Формулы выражают декартовы координаты точки М через ее полярные координаты. Это можно доказать для любого расположения точки М на координатной плоскости. Формулы выражают полярные координаты точки М через ее декартовы координаты и тоже верны при любом положении точки М, если она не лежит на оси Оу, т. е. если х ¹ 0. Заметим, что вторая из формул дает два значения j. Поэтому для вычисления полярного угла j точки М по ее декартовым координатам х и у предварительно выясняют, в каком квадранте лежит точка М.

Иногда на плоскости вводят и другие координаты. Примером могут служить эллиптические координаты – им соответствуют взаимно перпендикулярные семейства эллипсов и гипербол. Такие координаты оказываются удобными при рассмотрении некоторых конкретных задач механики и физики. Однако, в большинстве случаев пользуются самыми простыми координатами – декартовыми прямоугольными координатами.

 

 

 

 

 

5. Декартова прямоугольная система координат в пространстве.

Декартова прямоугольная система координат в пространстве задается тремя попарно перпендикулярными осями координат с общим началом:

Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Оz – ось аппликат.

Плоскости Оху, Оуz, Ozx называются плоскостями координат. Система координат Охуz называется правой, если для наблюдателя, стоящего на плоскости Оху и расположенного так, что ось Оz направлена от ног к голове, кратчайший поворот, совмещающий положительное направление оси Ох с положительным направлением оси Оу, происходит против часовой стрелки. Если же такой поворот происходит по часовой стрелке, то система называется левой. Названия "правая система" и "левая система" объясняются тем, что оси координат правой системы направлены как большой, указательный, средний палец правой руки, расположенные попарно перпендикулярно друг другу, а оси левой системы – как пальцы левой руки. Радиус-вектором точки М относительно декартовой прямоугольной системы координат Охуz называется вектор . Координатами точки М относительно декартовой прямоугольной системы координат называются проекции ее радиус-вектора на оси координат:

х=Прх ,    у=Пру ,    z=Прz , т.е. скалярные величины направленных отрезков  на осях Ох, Оу, Оz:

х=(ОР)х, у=(ОQ)y, z=(OR)z,

где P, Q, R – проекции точки М на оси Ох, Оу, Оz соответственно. При этом пишут

Существует определения координат вектора.

Координатами вектора  относительно декартовой прямоугольной системы координат Охуz называются его проекции на оси координат: ах=Прх , ау=Пру , аz=Прz . При этом употребляется запись =( ах ,ау, аz).  Координаты вектора равны разностям между координатами его конца и начала: если  , то

, , выражение координат вектора через координаты его начала и конца. Действительно, . Следовательно,

.

Аналогичным образом можно найти выражения для , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

Трудно переоценить значение декартовой системе координат в развитии математики и её приложений. Огромное количество задач, требовавших для решения геометрической интуиции, специфических методов получило решение, состоящее в аккуратном проведении алгебраических выкладок. Метод координат лежит в основе расчетов  сложных физических процессов, траектории движения космических и наземных объектов и т.д.

Сферическая и полярная системы координат иногда бывают удобней прямоугольной декартовой, особенно в задачах, связанных с окружностями или дугами кривых. Метод координат позволяет быстро и красиво решать сложные геометрические задачи, он имеет ряд преимуществ по сравнению с векторным методом, даёт наглядное представление на координатной плоскости и в пространстве сложных зависимостей, выраженных формулами, уравнениями. Графики функций позволяют описать свойства этих функций. Многие линии, фигуры можно описать в координатах. Векторный и координатный методы тесно связаны друг с другом. Выбор зависит от условия задачи, поставленного вопроса. Нельзя сказать, что какой-то  из методов решения лучше или проще для целой серии задач. Выбор системы координат для конкретных задач более конкретен. При практическом применении понятия координат, координаты предмета, рассматриваемого условно как точка, могут быть определены лишь приближённо. Задание координат предмета означает, что точка, определяемая этими координатами, либо является одной из точек этого предмета либо достаточно близка к нему.

В результате исследования можно сделать вывод, что метод координат (и математика в целом) развивается исходя из практических нужд. В том числе метод координат играет огромную роль в динамике, географии, астрономии. Аналитическая геометрия так же используется при описании строения земной коры. В частности, можно осуществлять аппроксимацию складок земной коры линиями первого и второго порядков. Векторы применяются для пространственного описания тектонических движений, деформаций и напряжений в земной коре. Ныне аналитическая геометрия применяется в различных разделах математики, механики, физики и т.д.

 

 

 

Список используемой литературы.

 

1. Бахвалов C. В., Бабушкин Л. И. Аналитическая геометрия. М., 1962.

 

2. Погорелов А.В., Аналитическая геометрия, 4 изд., М., Наука, 2004.

 

3. Антонов В. И. и др. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Опорный конспект.. - Проспект, 2011. - 139 с.

 

4. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. — 13-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 240 с.

 

5. http://a-geometry.narod.ru/theory/theory_27.htm

         Декартовые прямоугольные координаты  в пространстве.

 

6. http://www.cleverstudents.ru/cartesian_rectangular_coordinates.html

Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.