Анализ технологических систем на основе математических моделей систем массового обслуживания

 

Анализ технологических систем на основе

математических моделей  систем массового обслуживания

 

Цель работы: Получение и закрепление навыков формализации технологических систем с использованием аппарата систем массового обслуживания (СМО); построения и использования при исследованиях имитационной модели технологической системы, реализованной на базе GPSSW; проведение аналитических расчетов и имитационных экспериментов по оценке характеристик (показателей эффективности) функционирования технологических систем.

 

1. Математическое моделирование систем массового обслуживания

 

1.1 Аналитическое моделирование СМО

 

В теории массового обслуживания аналитические решения были получены лишь для систем с детерминированным  временем поступления и временем обслуживания заявок и n – каналами обслуживания, систем с марковскими процессами (без последствий) распределения времени поступления и обслуживания с n – каналами обслуживания и некоторых смешанных систем. Кроме того, при построении аналитических моделей не учитывалась неоднородность, неординарность и нестационарность потока заявок, а также приоритеты заявок. В тоже время в моделях учитывались: характер поведения заявок в системе (системы с неограниченной очередью, с ограниченной очередью и с отказом), ограниченность потока заявок (разомкнутые и замкнутые) и в некоторой степени этапность обслуживания.

Рассмотрим аналитические модели для некоторых СМО.

 

1.1.1 n-канальная разомкнутая СМО с неограниченной очередью на обслуживание требований

 

1.1.1.1 Заданные условия функционирования СМО

 

- Число каналов обслуживания  – n.

- Число требований  поступающих в систему – неограниченно.

- Число требований  находящихся в очереди – неограниченно.

- Среднее  время между поступлениями двух  смежных требований – t_з.

- Среднее время обслуживания одного требования – t_об.

 

1.1.1.2 Показатели эффективности функционирования СМО

 

- Коэффициент использования  канала обслуживания – К_исп.

- Вероятность  занятого состояния каналов обслуживания – P_зан.

- Среднее число требований  находящихся в системе – N_ср.

- Среднее число требований  находящихся в очереди – N_оч.

- Среднее время пребывания  требования в системе – Т_ср.

- Среднее время пребывания  требования в очереди – Т_оч.

 

1.1.1.3 Аналитические модели СМО

 

1.1.1.3.1 Интенсивность потока требований на обслуживание, мин^-1

.     (1)

1.1.1.3.2 Интенсивность обслуживания требований, мин^-1

.    (2)

1.1.3.3 Приведенная интенсивность  потока требований

.     (3)

1.1.1.3.4 Финальные вероятности состояний системы

,    (4)

   (5)

 

1.1.1.3.5 Коэффициент использования одного канала

.    (6)

 

1.1.1.3.6 Вероятность того, что все n каналов заняты

.   (7)

 

1.1.1.3.7 Среднее число требований находящихся в системе

. (8)

 

1.1.1.3.8 Среднее число требований находящихся в очереди

.  (9)

1.1.1.3.9 Среднее время пребывания требования в системе, мин

.              (10)

1.1.1.3.10 Среднее время пребывания требования в очереди, мин

.              (11)

 

1.1.2 n-канальная разомкнутая СМО с ограниченной очередью на обслуживание требований

 

1.1.2.1 Заданные условия функционирования СМО

 

- Число каналов обслуживания  – n.

- Число требований поступающих  в систему – неограниченно.

- Число требований находящихся  в очереди – m.

- Среднее время между  поступлениями двух смежных требований  – t_з.

- Среднее время обслуживания  одного требования – t_об.

 

1.1.2.2 Показатели эффективности функционирования СМО

 

- Коэффициент использования  канала обслуживания – К_исп.

- Вероятность  занятого состояния каналов обслуживания – P_зан.

- Среднее число требований  находящихся в системе – N_ср.

- Среднее число требований находящихся в очереди – N_оч.

- Среднее время пребывания  требования в системе – Т_ср.

- Среднее время пребывания  требования в очереди – Т_оч.

 

1.1.2.3 Аналитические модели СМО

 

1.1.2.3.1-1.1.2.3.3 λ, μ и ρ определяются по формулам (1), (2) и (3) соответственно.

 

1.1.2.3.4 Финальные вероятности состояний системы

,              (12)

              (13)

1.1.2.3.5 Коэффициент использования одного канала

.             (14)

 

1.1.2.3.6 Вероятность того, что все n каналов заняты

.              (15)

 

1.1.2.3.7 Среднее число требований находящихся в системе

.              (16)

 

1.1.2.3.8 Среднее число требований находящихся в очереди

.                         (17)

1.1.2.3.9 Среднее время пребывания требования в системе, мин

.              (18)

1.1.2.3.10 Среднее время пребывания требования в очереди, мин

.              (19)

 

 

1.1.3 n-канальная разомкнутая СМО с отказами в обслуживании требований

 

1.1.3.1 Заданные условия функционирования СМО

 

- Число каналов обслуживания  – n.

- Число требований поступающих  в систему – неограниченно.

- Число требований  находящихся в очереди – 0.

- Среднее  время между поступлениями двух  смежных требований – t_з.

- Среднее время обслуживания  одного требования – t_об.

 

1.1.3.2 Показатели эффективности функционирования СМО

 

- Коэффициент использования  канала обслуживания – К_исп.

- Вероятность отказа в обслуживании – P_отк.

- Относительная пропускная  способность – Q.

- Абсолютная пропускная  способность – А.

- Среднее число занятых  каналов – К_ср.

 

1.1.3.3 Аналитические модели СМО

 

1.1.3.3.1-1.1.3.3.3 λ, μ и ρ определяются по формулам (1), (2) и (3) соответственно.

 

1.1.3.3.4 Финальные вероятности состояний системы

,                   (20)

                            (21)

 

 

 

 

1.1.2.3.5 Вероятность отказа в обслуживании

.              (22)

 

1.1.2.3.6 Относительная пропускная способность

.               (23)

 

1.1.2.3.7 Абсолютная пропускная способность, числ. треб./мин

.                           (24)

 

1.1.2.3.8 Среднее число занятых каналов

.               (25)

1.1.3.3.9 Коэффициент использования одного канала

.               (26)

 

1.1.4 n-канальная замкнутая СМО с очередью на обслуживание требований

 

1.1.4.1 Заданные условия функционирования СМО

 

- Число каналов обслуживания  – n.

- Число требований  поступающих в систему – m.

- Максимальное число требований находящихся в очереди – m - n.

- Среднее  время между поступлениями двух  смежных требований – t_з.

- Среднее время обслуживания  одного требования – t_об.

 

1.1.4.2 Показатели эффективности функционирования СМО

 

- Вероятность  занятого состояния каналов обслуживания – P_зан.

- Среднее число требований  находящихся в системе – N_ср.

- Среднее число требований  находящихся в очереди – N_оч.

- Среднее время пребывания требования в системе – Т_ср.

- Среднее время пребывания  требования в очереди – Т_оч.

- Среднее использование канала  обслуживания – R_м.

- Среднее использование одного  источника требований – R_ст.

- Коэффициент простоя при многоканальном  обслуживании – К_с.

 

1.1.4.3 Аналитические модели СМО

 

1.1.4.3.1-1.1.4.3.3 λ, μ и ρ определяются по формулам (1), (2) и (3) соответственно.

 

1.1.4.3.4 Финальные вероятности состояний системы

,             (27)

              (28)

 

1.1.4.3.5 Вероятность того, что все n каналов заняты

.               (29)

 

1.1.4.3.6 Среднее число требований находящихся в системе

.               (30)

 

1.1.4.3.7 Среднее число требований находящихся в очереди

.                         (31)

1.1.4.3.8 Среднее время пребывания требования в системе, мин

.              (32)

1.1.4.3.9 Среднее время пребывания требования в очереди, мин

.              (33)

 

1.1.4.3.10 Среднее использование канала обслуживания

.               (34)

 

1.1.4.3.11 Среднее использование одного источника требований

.               (35)

1.1.4.3.12 Коэффициент простоя при многоканальном обслуживании

.               (36)

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 Имитационное моделирование СМО, реализованных на базе общецелевой системы имитационного моделирования GPSSW

 

Аналитические модели были получены лишь для немногих СМО, для остальных систем они не были получены. Наличие такой проблемы мотивирует использование для определения характеристик СМО имитационного моделирования.

Имитационная модель представляется в виде программы, состоящей из набора операторов (блоков), каждый из которых записывается в отдельной строке. Операторы имеют структуру, состоящую следующих полей:

- поле номера оператора (не  обязательное для заполнения),

- поле метки оператора (обязательно только для некоторых операторов),

- поле имени оператора,

- поле переменных, включает от 1 до 8-ми подполей, разделенных запятыми,

- поле комментариев (не обязательное для заполнения).

Поля отделяются друг от друга пробелами.

С помощью оператором в имитационной модели реализуются объекты большинства  других категорий и типов.

В имитационной программе объекты  располагаются, как правило, в порядке их использования в модели.

Порядок прохождения  требованиями блоков: от первого блока, где они были сгенерированы, последовательно  до последнего, где они будут уничтожены, если не задан иной порядок прохождения блоков.

Для тех же самых СМО, для которых были приведены аналитические модели, рассмотрим имитационные модели, представленные на языке имитационного моделирования GPSS и реализованные в одноименной программной системе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.1 n-канальная разомкнутая СМО с неограниченной очередью на обслуживание требований

 

1.2.1.1 Создание имитационной  модели на языке GPSS

В имитационной программе используются следующие объекты:

1.2.1.1.1 Источник заявок (генератор), который реализуется оператором

            GENERATE  (Exponential(1,0,t_з)) ;имитирует поступление требований в систему через интервалы времени, распределенные по экспоненциальному закону со средним значением времени t_з.

Уничтожение требований реализуется  оператором

         TERMINATE   1 ;1   означает,        что при поступлении требования в этот   блок из итогового счетчика завершений размером N (задается START   N) вычитается единица.

1.2.1.1.2 Объект статистической категории – очередь, который имитируется с помощью набора операторов

              QUEUE   otchered ;при  поступлении требования в этот   блок длина очереди с именем otchered увеличивается на 1 (значение по умолчанию).

DEPART   otchered ;при поступлении требования в этот   блок длина очереди с именем otchered уменьшается на 1 (значение по умолчанию). 

1.2.1.1.3 Объект аппаратной  категории – одноканальное устройство, которое имитируется с помощью набора операторов

SEIZE   stanok1 ;имитирует поступление требования на канал обслуживания с именем stanok1.

        ADVANCE  (Exponential(1,0,t_об))  ;имитирует временную задержку требования на обслуживание, распределенную по экспоненциальному закону со средним значением времени t_об.

RELEASE   stanok1 ;имитирует освобождение канала обслуживания с именем stanok1 требованием.

Если система содержит n каналов, то необходимо добавить в программу n таких фрагментов.

1.2.1.1.4 Маршруты требований  в системе

В данной системе необходимо изменить порядок прохождения блоков требованиями. Во-первых, требования должны направлялись на обслуживание на один из n каналов, который свободен. Во-вторых, после обслуживания на этом канале требование должно покидать систему.

Оба условия реализуются  с помощью оператора TRANSFER. В первом случае он используется в режиме all.

   TRANSFER   all,stanok_1,stanok_n,5 ;задает ряд по которому

определяется последовательность прохождения блоков, начиная с  блока с меткой stanok_1, заканчивая блоком с меткой stanok_n с шагом 5 блоков.

Во втором – в безусловном режиме перехода.

TRANSFER   ,term  ;требование поступившее на этот блок направляется к блоку с меткой term.

1.2.1.1.5 Полный текст программы для исследования n-канальной разомкнутой СМО с неограниченной очередью на обслуживание требований выглядит следующим образом

GENERATE (Exponential(1,0,t_з))

QUEUE  otchered

TRANSFER all,stanok_1,stanok_n,5

stanok_1 SEIZE  stanok1

DEPART otchered

ADVANCE (Exponential(1,0,t_об))

RELEASE stanok1

TRANSFER ,term

SEIZE  stanok2

DEPART otchered

ADVANCE (Exponential(1,0,t_об))

RELEASE stanok2

TRANSFER ,term

…

stanok_n SEIZE  stanokn

DEPART otchered

ADVANCE (Exponential(1,0,t_об))

RELEASE stanokn

term  TERMINATE 1

 

 

1.2.1.2 Реализация имитационной модели в программной системе  GPSSW

 

 

 

1.2.1.2.1 Запуск программы.

Программа находится по адресу C:\Program Files\Minuteman Software\GPSS World Student Version\GPSSW.exe. После запуска загрузочного файла появится главное окно программы (рис. 1).

 

1.2.1.2.2 Создание нового  проекта.

Выбрать в меню File пункт New (можно непосредственно на панели инструментов навести курсор на ярлык , и нажать левой клавишей мыши). Появится диалоговое окно (рис. 2) предлагающее создать новый документ одного из двух типов: Model – файл для записи моделей и сохраняемый с расширением .gps; Text file – текстовый файл, сохраняемый с расширением .txt. После выбора пункта Model появится окно (рис. 3).

 

 

1.2.1.2.3. Ввод имитационной программы.

В окне Model необходимо ввести программу, состоящую из последовательности блоков. Каждый блок вводится с новой строки. Блоки можно вводить набором  вручную, а можно использовать шаблоны (рис. 4), которые находится в меню Edit пункт Insert GPSS Bloks. Например, при выборе шаблона GENERATE появится окно (рис. 5), которое содержит имя блока, его символическое обозначение, подполя переменных (A, B, C, D, E, F, G, H), поле метки блока (Label) и поле комментария (Comment). После заполнения подполя А и нажатия клавиши OK в окно Model будет введена соответствующая строка. Чтобы продолжить ввод программы нужно выбрать следующий шаблон блока, заполнить необходимые данные и выполнить ввод и т. д. до тех пор, пока не будет введена вся программа.

 

1.2.1.2.4 Трансляция имитационной программы.

 

Чтобы оттранслировать программу необходимо выбрать в меню Command пункт Create Simulation. После запуска этой команды появится журнал отчета, в котором будет сообщение об успешной завершении трансляции или о допущенных в программе ошибках.

 

1.2.1.2.5. Редактирование файла выходной статистики.

 

Прежде чем осуществить запуск программы необходимо отредактировать файл выходной статистики. Для этого нужно активировать окно с программой, выбрать в меню Edit пункт Settings, открыть вкладку Reports и оставить флаги только напротив тех объектов, которые используются в модели, например, одноканальные устройства (Facilities), многоканальные устройства (Storages) и очереди (Queues) рис. 6.

 

1.2.1.2.6. Выполнение программы.

 

Для выполнения программы необходимо выбрать в меню Command команду START, в результате появится диалоговое окно с текстовой строкой, в которой набрана команда START 1 (рис. 7). Вместо единицы нужно ввести требуемое число и нажать кнопку OK.

В результате выполнения программы  будет создан файл стандартной выходной статистики, с расширением .gpr, в котором находятся все необходимые данные для оценки характеристик системы (рис. 8).

1.2.1.3 Определение показателей эффективности функционирования системы по результатам имитационного моделирования

 

1.2.1.3.1 Коэффициент использования одного канала

.              (37)

1.2.1.3.2 Среднее число требований находящихся в системе

.             (38)

 

1.2.1.3.3 Среднее число требований находящихся в очереди

.                           (39)

 

1.2.1.3.4 Среднее время пребывания требования в системе, мин

.     (40)

 

1.2.1.3.5 Среднее время пребывания требования в очереди, мин

.             (41)

 

 

1.2.2 n-канальная разомкнутая СМО с ограниченной очередью на обслуживание требований

 

Отличительные особенности данной системы от ранее рассмотренной системы состоят в следующем.

 

1.2.2.1.1. Появляется новый объект – накопитель с ограниченной емкостью требований, который реализуется с помощью следующего набора операторов

nakopitel STORAGE s_ ;задает емкость s_ накопителя с

именем nakopitel

…

ENTER      nakopitel        ;поступившее в этот блок

требование, занимает одну единицу емкости (значение задано по умолчанию) накопителя с именем nakopitel

…

LEAVE       nakopitel ;поступившее в этот блок

требование, освобождает одну единицу емкости накопителя с именем nakopitel

1.2.2.1.2.  Появляется  изменение в маршруте передвижения  требований. Если накопитель требований заполнен не полностью, то требование направляется в него (блок ENTER). Если накопитель полностью заполнен, то требование должно направлять на выход из системы (блок TERMINATE). Таким образом, необходимо осуществить переход требования по условию, который реализуется с помощью оператора TEST.

TEST NE S$nakopitel,s_,term ;сравнивает текущее

содержимое накопителя с его емкостью s_, если они не равны (символ NE) то требование направляется к следующему по порядку блоку, в противном случае – к блоку с меткой term.

1.2.2.1.3 Полный текст программы для исследования n-канальной разомкнутой СМО с ограниченной очередью на обслуживание требований выглядит следующим образом

nakopitel STORAGE s_

GENERATE (Exponential(1,0,t_з))

TEST NE S$nakopitel,s_,term

ENTER  nakopitel

QUEUE  otchered

TRANSFER all,stanok_1,stanok_n,6

stanok_1 SEIZE  stanok1

LEAVE  nakopitel

DEPART otchered

ADVANCE (Exponential(1,0,t_об))

RELEASE stanok1

TRANSFER ,term

SEIZE  stanok2

LEAVE  nakopitel

DEPART otchered

ADVANCE (Exponential(1,0,t_об))

RELEASE stanok2

TRANSFER ,term

…

stanok_n SEIZE  stanokn

LEAVE  nakopitel

DEPART otchered

ADVANCE (Exponential(1,0,t_об))

RELEASE stanokn

term  TERMINATE 1

 

 

1.2.2.2 Реализация имитационной модели в программной системе  GPSSW

 

Последовательность  действий при реализации имитационной модели разомкнутой СМО с ограниченной очередью такая же, как и в предыдущем случае (см. п. 1.2.1.2).

В результате выполнения имитационной программы в файле стандартной выходной статистики будет получена следующая информация рис. 9.

 

1.2.2.3 Определение показателей эффективности функционирования системы по результатам имитационного моделирования

 

1.2.2.3.1 Коэффициент использования  одного канала

.              (42)

 

1.2.2.3.2 Среднее число  требований находящихся в системе

.             (43)

 

1.2.2.3.3 Среднее число требований находящихся в очереди

.                          (44)

 

1.2.2.3.4 Среднее время  пребывания требования в системе,  мин

.     (45)

 

1.2.2.3.5 Среднее время  пребывания требования в очереди, мин

.               (46)

 

 

1.2.3 n-канальная разомкнутая СМО с отказа в обслуживании требований

 

1.2.3.1 Создание имитационной  модели на языке GPSS

 

Отличительные особенности  данной системы от рассмотренной в п. 1.2.1. системы состоят в следующем.

 

1.2.3.1.1.  Отсутствует  объект очередь.

1.2.3.1.2.  Появляется  изменение в маршруте передвижения  требований. Если при поступлении  требования в систему все каналы  заняты, требование покидает систему  не обслуженным.

TRANSFER all,stanok_1,term,4

1.2.3.1.3 Полный текст программы для исследования n-канальной разомкнутой СМО с отказом в обслуживании требований выглядит следующим образом

GENERATE (Exponential(1,0,t_з))

TRANSFER all,stanok_1,term,4

stanok_1 SEIZE  stanok1

ADVANCE (Exponential(1,0,t_об))

RELEASE stanok1

TRANSFER ,term

SEIZE  stanok2

ADVANCE (Exponential(1,0,t_об))

RELEASE stanok2

TRANSFER ,term

…

stanok_n SEIZE  stanokn

ADVANCE (Exponential(1,0,t_об))

RELEASE stanokn

TRANSFER ,term

term  TERMINATE 1

 

1.2.3.2 Реализация имитационной модели в программной системе  GPSSW

 

Последовательность  действий при реализации имитационной модели разомкнутой СМО с отказом  такая же, как и в предыдущем случае (см. п. 1.2.1.2).

В результате выполнения имитационной программы в файле стандартной выходной статистики будет получена следующая информация рис. 10.

 

 

 

1.2.3.3 Определение показателей эффективности функционирования системы по результатам имитационного моделирования

 

1.2.3.3.1 Вероятность отказа в обслуживании

,                         (47)

где N – содержимое итогового счетчика завершений (START N).

 

1.2.3.3.2 Относительная пропускная способность

.                            (48)

 

1.2.3.3.3 Абсолютная пропускная способность, числ. треб./мин

.                           (49)

 

1.2.3.3.4 Среднее число занятых каналов

.                    (50)

 

1.2.3.3.5 Коэффициент использования одного канала

.                           (51)

 

1.2.4 n-канальная замкнутая СМО с очередью на обслуживание требований

 

1.2.4.1 Создание имитационной  модели на языке GPSS

 

Отличительные особенности  данной системы от рассмотренной в п. 1.2.1. системы состоят в следующем.

 

1.2.4.1.1.  Источником  заявок является многоканальное устройство с числом каналов m_, которое реализуется в программе следующим образом

mstankov STORAGE m_

GENERATE 1

ENTER  mstankov

ADVANCE (Exponential(1,0,t_з))

…

LEAVE  mstankov

TERMINATE 1

Оператор GENERATE выполняет формальную функцию по выработке требований, число которых ограничивается командой START.

1.2.4.1.2 Полный текст программы для исследования n-канальной разомкнутой СМО с отказом в обслуживании требований выглядит следующим образом

mstankov STORAGE m_

GENERATE 1

ENTER  mstankov

ADVANCE (Exponential(1,0,t_з))

QUEUE  otchered

TRANSFER all,robot_1, robot _n,5

robot_1  SEIZE  robot1

DEPART otchered

ADVANCE (Exponential(1,0,t_об))

RELEASE robot1

TRANSFER ,leav

SEIZE  robot2

DEPART otchered

ADVANCE (Exponential(1,0,t_об))

RELEASE robot2

TRANSFER , leav

…

robot_n  SEIZE  robotn

DEPART otchered

ADVANCE (Exponential(1,0,t_об))

RELEASE robotn

Leav  LEAVE  mstankov

TERMINATE 1

 

 

 

1.2.4.2 Реализация имитационной модели в программной системе  GPSSW

 

Последовательность  действий при реализации имитационной модели замкнутой СМО с очередью такая же, как и в предыдущем случае (см. п. 1.2.1.2).

В результате выполнения имитационной программы в файле стандартной выходной статистики будет получена следующая информация рис. 11.