Апории Зенона и их современная интерпретация

         

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

    САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

 

 

Реферат по философии

 

 Апории Зенона и их современная интерпретация

 

 

 

Выполнила: студентка группы № 101 Герасименко Марина Вахтанговна

Руководитель: Федчук Дмитрий Аркадьевич

 

 

 

 

 

 

 

   Санкт-Петербург 2012

 

Содержание:

1. Введение
2. Зенон Элейский и его роль в истории философии
3. Апории Зенона
4. Современная трактовка апорий Зенона
5. Заключение
6. Библиография

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Движенья нет, сказал мудрец брадатый. 
Другой смолчал и стал пред ним ходить. 
Сильнее бы не мог он возразить; 
Хвалили все ответ замысловатый. 
Но, господа, забавный случай сей 
Другой пример на память мне приводит: 
Ведь каждый день пред нами солнце ходит, 
Однако ж прав упрямый Галилей.   

А. С. Пушкин      

 

Аргументы Зенона Элейского вот уже на протяжении двадцати пяти веков не оставляют  равнодушным ни одного серьезного мыслителя, будь то философ или ученый, и  редкий из них, соприкоснувшись с ними не пытается предложить то или иное решение или хотя бы дать им собственную оценку. А оцениваются они до парадоксальности различно: и как софизмы, и как неизмеримо глубокие и убедительные доказательства, раскрывающие диалектическую природу непрерывного и прерывного. Соответственно и сам Зенон характеризуется то как афизик, враг современной ему науки, бросивший вызов здравому человеческому рассудку, то как мыслитель, оказавший значительное влияние на развитие абстрактной науки установлением понятий точки, момента, множества, или даже как разработавший вместе с Парменидом тот логический метод доказательства, которым до сих пор пользуется математика. Уже сам факт столь противоречивых, взаимоисключающих оценок представляет собой загадку. Если аргументы – только силлогизмы, не имеющие научного значения, то почему в течение столь длительного времени так и не была доказана их ложная основа? Если же они представляют собой серьезный научный интерес, то почему выявленные ими трудности, столько раз объявленные окончательно решенными, все еще не преодолены, а аргументы не разгаданы?

Главное здесь неизвестность истинной цели, которую преследовал Зенон при  составлении аргументов, что не может  не отражаться на восприятие смысла доказательств. Именно фрагментарность и неясность доказательств, анонимность их назначения породили бесчисленные предположения об их цели и многочисленные различия в их понимании, когда каждое из предложений находит свое основание в аргументах.

 «Трудности, нашедшие отражение в апориях Зенона, - подчеркивала С. Яновская, - и в наши дни нельзя считать преодоленными». Поэтому апории  Зенона не перестают интересовать и математиков, и физиков, и философов, и ученых многих направлений. Интерес к апориям в настоящее время связан с проблемами научного познания пространства, времени, движения и строения систем в самом широком смысле, а также с проблемами «начал» науки в смысле истории возникновения исходных понятий о природе («тело», «точка», «место», «мера», «число», «множество», «конечное», «бесконечное» и другие) и в плане дискуссий, в ходе которых уточнялся смысл этих понятий и которые переросли в итоге в проблему основания математики, вообще начал точного естествознания.

 

Зенон Элейский и его роль в истории  философии

«Одни философы называются физиками, — говорит Диоген Лаэртский, — за изучение природы; другие — этиками, за рассуждение о нравах; третьи — диалектиками, за хитросплетение речей. Физика, этика и диалектика суть три части философии; физика учит о мире и обо всем, что в нем содержится; этика — о жизни и свойствах человека; диалектика же заботится о доводах и для физики и для этики. До Архелая существовал только один род — физика; от Сократа ... берет начало этика; от Зенона Элейского — диалектика».

 

Зенон Элейский, ученик Парменида и пифагорейцев, учитель Горгия и собеседник юного Сократа, жил, по предположениям, около двух с половиной тысяч лет назад, примерно через сто лет после Пифагора. Известно также, что родиной его была Элея, совсем неприметный приморский город в Италии, и лишь слава Парменида и самого Зенона вывела его из безвестности. Поэтому-то говорили позже, что этот город только и умел, что «вскармливать доблестных мужей». Сведений из жизни Зенона сохранилось немного. По некоторым данным он принимал деятельное участие в политических событиях, был ярым приверженцем демократии, а также участвовал в борьбе с тираном Неархом. Организовав политический заговор и потерпев неудачу, Зенон был схвачен, подвергнут допросам и пыткам, но ни в чем не признался и не выдал соучастников. Когда же пытки стали нестерпимыми, Зенон, чтобы освободиться от страданий, вызвал своими словами такой гнев врагов, что был тут же омертвлен.

Наиболее всего Зенон знаком как составитель апорий (в переводе с греческого —безвыходное положение, затруднение). Диоген Лаэртский и Аристотель называют его родоначальником диалектики, которая является методом выяснить истину с помощью раскрытия внутренних противоречий в самом мышлении. 

Для оценки роли Зенона Элейского  в развитии науки, нужно вспомнить, в каком состоянии находилась греческая философия в середине пятого века до нашей эры. В то время ионийские философы из Малой Азии пытались найти первоначало всех вещей, то есть основной элемент, из которого была образована Вселенная. Каждый из них придерживался своего решения элемента: один отводил эту роль воздуху, другой - воводе, третий же – «бескачественному», «безграничному» или «неопределенному». Ионийцы были убеждены, что все виды материи, знакомые нам, возникают в результате непрестанно текущих процессов сдавливания, разрежения и сгущения первостепенного элемента. Тогда Гераклит Эфесский и сделал акцент на этом постоянном изменении, сделав вывод: «Река, в которую мы входим ныне, не та же самая, что была вчера; все меняется; гармония Вселенной – это гармония противоположностей». В конце концов, основанная Пифагором школа, в качестве основного элемента выдвинула число, причем рассматривались числа как дискретные единицы, которые были наделены пространственным измерением. Однако учитель Зенона, Парменид, обрушил критику на все эти теории. Когда подвергается рассмотрению любой основной элемент, о нем можно сделать одно из трех утверждений: он существует; он не существует; он и существует, и не существует. Это кажется немыслимым, ведь третье утверждение внутренне противоречиво, второе тоже невообразимо, так как невозможно говорить об отсутствии чего-либо, прибегая к тем же самым терминологиям, которые были использованы для его описания. Невозможно даже представить существование небытия. Поэтому мы можем сделать вывод, что данный элемент существует. Изменение не представляется возможным, ведь это значило бы, что первоэлемент не был распространен с одинаковой плотностью повсюду. Пустота также невозможна, поскольку это было бы таким местом, где первоэлемент не существует. Значит, Вселенная представляет собой неизменный, неподвижный, плотный и единовидный шар. Все есть Единое. Надо заметить, что Парменид к этому выводу приходит лишь при помощи логики, тем самым не прибегая к умозрению или интуиции, характерным для систем размышления его предшественников. Если вывод противоречит чувствам, тем хуже для чувств: видимость обманчива.

Зенон стал продолжателем дела, которое начал Парменид. Тактика его сводилась не к тому, чтобы защитить точку зрения учителя, а к тому, чтобы продемонстрировать, что из утверждений его оппонентов возникают еще большие нелепости. Благодаря этому Зенон выработал метод опровержения противников посредством серии некоторых вопросов. Во время ответа на них, собеседник был вынужден прийти к самым различным парадоксам, с необходимостью следовавшим его взглядам. Метод этот получил название диалектического (от греческого «диалегомай» – «разговаривать») и впоследствии был применен Сократом. Так как самыми главными противниками Зенона были пифагорейцы, большое количество его парадоксов связано с атомистической концепцией пифагореизма. Вот почему они в особенности важны для современных атомистических теорий числа, пространства, времени и материи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Апории Зенона

 

 

  Зенон Элейский, мыслию разящий, 
  Пронзил меня насквозь стрелой дрожащей, 
  Хоть сам её полётом пренебрег. 
     Рождён я звуком, поражён стрелою. 
     Ужель тень черепахи мне закроет 
     Недвижного Ахилла быстрый бег!

Поль Валери

Известно, что Зенонои было выдвинуто более сорока апорий, однако до нас дошло всего лишь девять. Самыми известными являются пять апорий, в которых Зенон подвергает анализу понятия множества и движения. «Апорию меры» Симпликий изложил следующим oбразом : "Доказав, что, "если вещь не имеет величины, она не существует", Зенон, прибавляет: "Если вещь существует, необходимо, чтобы она имела некоторую величину, некоторую толщину и чтобы было некоторое расстояние между тем, что представляет в ней взаимное различие". Тоже самое можно сказать о предшествующей, о той части вещи, которая является предыдущей по малости в дихотомическом делении. Тем самым, это предшествующее должно так же иметь некоторую величину и свое предшествующее. Если что-то было сказано один раз, то это всегда можно повторять. Тем самым, крайнего предела никогда не настанет, того предела, где не было бы отличных друг от друга частей. Тем самым, если существует множественность, необходимо, чтобы вещи являлись в одно и то же время великими и малыми и настолько малыми, чтобы совсем не иметь величины, и настолько великими, чтобы быть бесконечными.

Видно, что аргумент, поставленный Зеноном, адресован против пифагорейского представления о том, что тела "состоят из чисел". На самом деле, если мыслить число как точку, не имеющую величины ("толщины", протяженности), тогда сумма таких точек (тело), соответственно, тоже не будет иметь величины, если же мыслить число "телесно", как имеющее некоторую конечную величину, то, так как тело содержит бесконечное количество таких точек (ведь тело, по заключению Зенона, можно делить "без предела"), оно должно иметь бесконечную величину. Поэтому из этого следует, что нельзя    мыслить тело в виде суммы неделимых единиц, как это было видно у пифагорейцев.

Тогда можно сказать, продолжив мысль Зенона: если "единица" неделима, то она не имеет пространственной величины (точки); если же она имеет величину, даже насколько возможно малую, значит она делима до бесконечности.

Элеаты впервые поставили  перед наукой вопрос, который является одним из центральных методологических вопросов и до настоящего времени: как надлежит мыслить континуум - дискретным или непрерывным? Состоящим из неделимых (единиц, "единств", монад) или же делимым до бесконечности? Всякая величина должна быть понята теперь с точки зрения того, состоит ли она из единиц (как арифметическое число пифагорейцев), неделимых "целых", или она сама по себе есть целое, а элементы, которые ее составляют, не имеют самостоятельного существования. Данный вопрос ставится и по отношению к числу, и по отношению к пространственной величине (линии, объему, плоскости), и по отношению к времени. В зависимости от решения проблемы континуума формировались и разные методы изучения природы и человека.

Это была пока только одна апория Зенона, в которой выявляется противоречивость понятия "множества". Далее следуют те апории, где обсуждается возможность мыслить движение. Будет видно, что в основе этих апорий тоже лежит проблема континуума. Самые популярные четыре апории этого рода: "Дихотомия", "Ахиллес и черепаха", "Стрела" и "Стадий". Основные положения апорий и их содержание передает Аристотель в "Физике": "Есть четыре рассуждения Зенона о движении, доставляющие большие затруднения тем, которые хотят их разрешить. Первое, о несуществовании движения на том основании, что перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца... Второе, так называемый Ахиллес. Оно заключается в том, что существо более медленное в беге никогда не будет настигнуто самым быстрым, ибо преследующему необходимо раньше придти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда имеет некоторое преимущество... Третье... заключается в том, что летящая стрела стоит неподвижно; оно вытекает из предположения, что время слагается из отдельных "теперь"... Четвертое рассуждение относится к двум разным массам, движущимся с равной скоростью, одни - с конца ристалища, другие - от середины, в результате чего, по его мнению, получается, что половина времени равна ее двойному количеству".

Первая апория - "Дихотомия" - доказывает невозможность движения, так как для того, чтобы преодолеть любое расстояние, предположительно понадобится "отсчитывание" бесконечного множества "середин": ведь всякий отрезок можно делить пополам - и так до бесконечности. Иначе говоря, если континуум мыслится как актуально данное бесконечное множество, то движение в подобном континууме невозможно мыслить, ибо невозможно занять бесконечное число последовательных положений в ограниченный промежуток времени.

Эту антиномию можно  интерпретировать двойственным образом, и в зависимости от истолкования ее и решают по-разному. Если полагать, что противоречие заключается в невозможности в конечный отрезок времени "отсчитать" бесконечное число моментов (пройти бесконечное число положений), то разгадка антиномии будет заключаться в указании, что Зенон неправомерно отождествил бесконечность с бесконечной делимостью. Такое решение апории Зенона дал Аристотель, когда ввел понятие континуума как потенциально делимого до бесконечности. На самом деле, если все дело в том, что в конечный отрезок времени нельзя пройти бесконечное количество точек пространства, то довольно указать на то, что и любой конечный отрезок времени точно так же можно делить до бесконечности, как и любой отрезок пространства. Однако возможность деления, по словам Аристотеля, еще не тождественна действительной поделенности как пространства, так и времени. Другими словами, пространство и время делимы до бесконечности потенциально, но не поделены до бесконечности актуально. Бесконечная делимость не есть бесконечная величина, и потому движение, по Аристотелю, мыслимо без всякого противоречия. Каждому моменту времени соответствует определенная точка в пространстве. Итак, введением потенциальной бесконечности Аристотель решает антиномию, возникшую у Зенона при допущении континуума как актуальной бесконечности.

Однако  проблема актуальной бесконечности, поставленная Зеноном, при всем этом не снимается. На самом деле, рассуждение Зенона основано на невозможности мыслить завершенную бесконечность. И если полагают, что не только любой отрезок пространства, но любой отрезок времени несет в себе бесконечность, так что между моментами и того, и другого можно установить взаимно-однозначное соответствие, то этим еще не решается вопрос о том, как же мыслить бесконечность осуществленной, оконченной. Этот вопрос Аристотель решает, устраняя полностью актуально-бесконечный континуум. Попытку разрешить проблему, находясь на почве актуальной бесконечности, предпринял Г. Кантор. Также С.А. Богомолов попытался показать, как с точки зрения теории множеств можно разрешить парадоксы Зенона.

В основе апории "Ахиллес" лежит то же противоречие, что и в основе "Дихотомии": чтобы догнать черепаху, Ахиллес должен занять бесконечное множество "мест", которые до тех пор занимала черепаха. Исходный пункт таков: Ахиллес начинает преследование черепахи, находящейся впереди него. Сперва он должен достичь того места, где находится черепаха в момент его старта. Когда он достигнет ее, черепаха окажется впереди него, так как успеет за это время продвинуться дальше, и он должен будет теперь бежать к новой цели. И опять, прибежав туда, он не застанет ее, ведь за то время, что он потратил на бег, она продвинулась на какое-то расстояние, пусть самое незначительное, но и его надо преодолеть и затратить на это время, и так бесконечно, величина проходимого пути и затраченного времени будет уменьшаться, но не сможет исчезнуть; поэтому самое быстрое никогда не настигнет самое медленное.

Это абсурдно, но логически (при соблюдении заданных условий) неизбежно. А условия заданы вполне определенно: даны два тела, движущиеся с различной скоростью, дано расстояние между ними в момент старта, дано отсутствие общей цели их движения: черепаха движется независимо от Ахиллеса к собственной цели, Ахиллес движется в зависимости от черепахи и должен последовательно пересечь все точки, пройденные ею, стремясь в каждой уменьшающейся части пути к новой цели. Поскольку он должен пройти на одну часть пути больше,  чем черепаха, - ведь та первую часть пути прошла еще до начала рассуждения, и эта «лишняя величина» делима бесконечно, то несмотря на превосходство в скорости, Ахиллес не сможет одолеть эту последнюю, все вновь и вновь уменьшающуюся, но не исчезающую величину.

Аристотель отмечает, что аргумент по существу тот же самый, что и  «Дихотомия», и действительно, доказательство в «Ахиллесе» также осуществляется на основе постоянного возобновления одного и того же несомненного условия и вследствие этого бесконечной делимости заданного расстояния. Но имеются между двумя аргументами и существенные отличия. Во-первых, в «Ахиллесе» не задан как в «Дихотомии» тот целый путь, который подвергается делению как конечный по своим границам. Наоборот, благодаря движению черепахи, постоянно продвигающейся вперед, он все время изменяется. Во-вторых, в отличие от «Дихотомии», где не было задано деление времени, здесь бесконечному делению в первую очередь подвергается именно время, и уже в зависимости от результата его деления, от его уменьшения получаются уменьшающиеся части пути: ведь Ахиллес благодаря превосходству в скорости, затрачивает на прохождение предыдущего расстояния меньше времени, чем черепаха, и соответственно этому меньшему времени уменьшается каждый раз следующая часть пути. В-третьих, в «Ахиллесе» задано не одно, а два тела, движение которых различно, и не только по скорости. Черепаха движется непрерывно, направление и цель ее движения, как уже говорилось, независимы от Ахиллеса: наоборот, направление и цель движения Ахиллеса полностью зависимы от движения черепахи. Целью его движения ни в коем случае не является ни одна точка впереди черепахи. Это исключено условием: он догоняет черепаху, а не соревнуется с нею в беге к одной и той же цели. Введение общей точки, к которой движутся и черепаха, и Ахиллес просто уничтожает заданную Зеноном задачу.  
В-четвертых, в «Ахиллесе» задано начало движения, которое было невозможно согласно первому тексту «Дихотомии», так как дихотомическим делением была исключена начальная неделимая величина. Во втором аргументе такая величина, наоборот, задана: это расстояние между двумя телами к моменту движения, которое, по условию, проходится полностью, без каких-либо делений. А поскольку прохождение этого расстояния Ахиллесом требует определенного времени, то оказывается задана и начальная величина времени. В «Дихотомии» же начальный момент времени не был задан, но поскольку в условие было включено указание на то, что половина должна быть пройдена прежде, и оно постоянно повторялось, то начальный момент незримо присутствовал, но был неопределенным, бесконечно делящимся. В «Ахиллесе» вопрос о начале движения не стоит, движение происходит: движется черепаха и пробегает заданные части пути Ахиллес. Таковы особенности второго аргумента. В условии заданы точные начальные координаты двух движущихся тел, на основе которых Зенон создает вполне строгое доказательство.

В третьей апории - "Стрела" - Зенон доказывает, что летящая стрела покоится. Каждое тело занимает свое положение, находясь против равного расстояния. Покоящееся занимает одно и то же положение, определяемое его собственной протяженностью. Движущееся же меняет свое положение и занимает поэтому не одно и то же, а многие положения, одно вслед за другим. Определить эти положения, как и сам факт движения можно благодаря указанию времени, в которое происходит движение. Происходит же оно всегда в настоящем времени. Зенон находит совершенно точное обозначение такого времени, когда вводит в условие «теперь». «Теперь» - это такое время, которое исключает прошлое и будущее; оно есть истинное настоящее, в котором только и может существовать тело. Таким образом, движущееся, пребывая в «теперь», находится в настоящем времени занимает соответствующее ему настоящее положение.

Зенон в апории «Стрела» исходит из понимания времени как суммы дискретных (неделимых) моментов, отдельных "теперь", а пространства - как суммы точек. Он рассуждает так: в каждый момент времени стрела занимает определенное место, равное своему объему (ибо в противном случае стрела была бы "нигде"). Но если занимать равное место, то двигаться невозможно (движение предполагает, что предмет занимает место, большее, чем он сам). Значит, движение можно мыслить только как сумму состояний покоя, а это невозможно (ибо сумма нулей не дает никакой величины). Таков результат, вытекающий из допущения, что пространство состоит из суммы неделимых "мест", а время - из суммы неделимых "теперь".

Похожим образом можно было бы рассуждать, исходя из неделимости "моментов" времени: в каждый из моментов стрела должна покоиться, а значит, движение невозможно. Допустить движение значит предположить, что "момент" будет разделен.

Ясно видно, что доказательство невозможности движения основано на допущении дискретного континуума - пространство и время мыслятся как состоящие из актуального множества неделимых "единиц".

Апория "Стадий" по своим предпосылкам сходна со "Стрелой". Пусть по ристалищу, по параллельным прямым, с равной скоростью движутся навстречу друг другу два предмета равной длины и проходят мимо неподвижного третьего предмета той же длины. Пусть ряд А1, А2, А3, А4 означает неподвижный предмет, ряд В1, В2, В3, В4 - предмет, движущийся вправо, и ряд С1, С2, С3, С4 - предмет, движущийся влево:

 

 

А1 А2 А3 А4

В1 В2 В3 В4 --->

      <---С1 С2 С3 С4

 

По истечении одного и того же момента времени точка В1 проходит половину отрезка А1А4 и целый  отрезок С1С4, т.е. она пройдет мимо четырех точек на отрезке С1С4 и в то же время мимо только половины точек на отрезке А1А4.

А1 А2 А3 А4

В1 В2 В3 В4

С1 С2 С3 С4

Согласно предпосылке Зенона, каждому  неделимому моменту времени соответствует  неделимый отрезок пространства. Это значит, что точка В1 в один момент времени преодолевает разные части пространства в зависимости от того, с какого пункта вести отсчет: по отношению к отрезку А1А4 она в момент времени проходит одну неделимую часть пространства, по отношению к отрезку С1С4 - две неделимые части пространства. Неделимый момент времени оказывается вдвое больше самого себя. Значит, либо неделимый момент времени должен быть делимым, либо делимой должна быть неделимая часть пространства. Поскольку же ни того, ни другого Зенон не допускает, то вывод его гласит: движение невозможно мыслить без противоречия, а значит, движения не существует.

Таким образом, все четыре апории имеют целью доказать невозможность движения, поскольку его нельзя мыслить, не впадая в противоречие. Вывод Зенона парадоксален в том смысле, что, будем ли мы мыслить континуум делимым до бесконечности (апории "Дихотомия" и "Ахиллес и черепаха") или же, напротив, состоящим из неделимых моментов (апории "Стрела" и "Стадий"), мы не можем без противоречия мыслить движение ни в том, ни в другом случае. В первом случае в силу бесконечной делимости пространства никакой - даже самый малый - отрезок пути не может быть пройден. Более того, внимательно присмотревшись к апории "Дихотомия", мы увидим, что движение не может даже и начаться: ведь чтобы пройти половину отрезка, нужно сначала пройти половину этой половины и т.д. до бесконечности, а значит, невозможно пройти никакой конечный отрезок пути. В случае "Ахиллеса" - та же ситуация, только бесконечная последовательность направлена не в прошлое, а в будущее.

Во втором случае - "Стрела" и "Стадий" - никакое движение невозможно в силу того, что и время, и пространство состоят из неделимых элементов.

Парадоксы Зенона не раз квалифицировались  в истории как скептицизм и  даже "софизмы". Поводом к этому  служило, помимо прочего, и то обстоятельство, что эти парадоксы разрушают  определенные представления, в том числе не только теоретические установки (пифагорейцев или Гераклита), но и, казалось бы, неопровержимые факты опыта, к каковым относятся и множественность, и движение.

Апории Зенона действительно имеют  критическую направленность, и  будет видно ниже, к какому пересмотру теоретических предпосылок пифагореизма дала толчок критика Зенона.

Однако есть в этих апориях и  такая сторона, на которую до сих  пор обращалось недостаточно внимания, но которая сыграла важную роль в  развитии науки. В самом деле, в апориях Зенона предполагается обязательным при исследовании движения строго соотносить друг с другом точки пространства с моментами времени: все, что движется, должно иметь пространственную и временную "координаты". И хотя Зенон доказывает, что в действительности движение не соответствует и не может соответствовать этому требованию (потому оно и немыслимо), но требование, само требование от этого своей силы не теряет. А это, в сущности, есть работа над прояснением необходимых логических предпосылок определения понятия движения. Зенон сформулировал задачу для науки. И, хотя сам он счел ее неразрешимой, другие ученые могли теперь пытаться ее решить хотя бы путем обхода тех парадоксов, которые вскрыл Зенон.

Таким образом, Зенон в ходе своей  критически-отрицательной работы подготовил почву для создания важнейших понятий точного естествознания: понятия континуума и понятия движения. Стремление впоследствии положительно решить задачу, условия которой дал Зенон, привело к созданию новых программ научного исследования - с одной стороны, программы Демокрита, с другой - преобразованной (не без помощи Платона) пифагорейской программы и, наконец, программы Аристотеля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Современная трактовка апорий Зенона

Очень часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть аргументы Зенона и таким образом «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху. В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому бессмысленно ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями — ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий.

Д.Гильберт и П. Бернайс в монографии «Основания математики» (1934) замечают по поводу апории «Ахиллес и черепаха»:

«Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждениями о том, что сумма  бесконечного числа этих временных  интервалов все-таки сходится и, таким  образом, дает конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться».

Серьёзные исследования апорий Зенона рассматривают физическую и математическую модели совместно Р. Курант и Г. Роббинс полагают, что для разрешения парадоксов необходимо существенно углубить наше понимание физического движения. С течением времени движущееся тело последовательно проходит все точки своей траектории, однако если для любого ненулевого интервала пространства и времени нетрудно указать следующий за ним интервал, то для точки (или момента) невозможно указать следующую за ней точку, и это нарушает последовательность. «Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать её основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие».

Гильберт и Бернайс высказывают  мнение, что суть парадоксов состоит в неадекватности непрерывной, бесконечно делимой математической модели, с одной стороны, и физически дискретной материи, с другой: «мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени». Другими словами, парадоксы возникают из-за некорректного применения к реальности идеализированных понятий «точка пространства» и «момент времени», которые не имеют в реальности никаких аналогов, потому что любой физический объект имеет ненулевые размеры, ненулевую длительность и не может быть делим бесконечно.

Близкую точку зрения можно найти  у Анри Бергсона:

«Противоречия, на которые указывает  школа элеатов, касаются не столько  самого движения как такового, сколько  того искусственного преобразования движения, которое совершает наш разум».

 

 

 

и у Николя Бурбаки:

«Вопрос о бесконечной делимости  пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привел, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса – как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера».

Замечание Бурбаки означает, что  необходимо объяснить: каким образом  физический процесс за конечное время  принимает бесконечно много различных  состояний. Одно из возможных объяснений: пространство - время в действительности является дискретным, то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени. Если это так, то все парадоксы бесконечности в апориях исчезают. Дискретное пространство-время активно обсуждалось физиками ещё в 1950-е годы — в частности, в связи с проектами единой теории поля, — однако существенного продвижения по этому пути добиться не удалось.

С. А. Векшенов считает, что для решения  парадоксов необходимо ввести числовую структуру, более соответствующую интуитивно-физическим представлениям, чем канторовский точечный континуум. Пример неконтинуальной теории движения предложил Садео Шираиши.

Морис Клайн в своих комментариях по поводу апорий Зенона пишет: «Важно отчётливо сознавать, что природа и математическое описание природы — не одно и то же, причём различие обусловлено не только тем, что математика представляет собой идеализацию… Природа, возможно, отличается несравненно большей сложностью, или структура её не обладает особой правильностью».