Четные и нечетные функции

 

Из  истории функции:

     Термин  «функция» ввел в математику Готфрид  Лейбниц (1646-1716).Он употреблял его в  очень узком смысле, связывая только с геометрическими образами.

Лишь  И.Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом преобразования этой переменной величины и постоянных».

     Леонард Эйлер (1707-1783 гг.), вводя в своём  учебнике понятие функции, говорил  лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

     В развитие понятия функции внесли свой вклад французский математик 

Ж.-Б. Фурье (1768-1830 гг.), русский ученый Н.И. Лобачевский (1792-1856 гг.), немецкий математик Дирихле ( 1805-1859 гг.) и др. ученые, и общепризнанным стало следующее определение: « Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное определенное значение величины у»

 

Определения 

     Функция f (x) называется четной, если для любого х D выполняются условия:

1) -х D, то есть область определения D(f) функции f симметрична относительно начала координат.

2) f (–x) = f (x), то есть в симметричных точках х и –х функция f принимает одинаковые значения.

     График  четной функции на всей области определения  симметричен относительно оси OY. Четные функции обладают «хорошими» алгебраическими свойствами: сумма, разность, и произведение двух четных функций тоже являются четными функциями.

Примерами четных функций могут служить y = cos x, y = |x|, y = x² + |x|, f(x)=x^2k ,x R 
 

                                                                y=х²

                    
 
 

          Функция f (x) называется нечетной, если для любого  х D выполняются условия:  
    1)-х D

    2) f (–x) = –f (x). 

Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат. Примерами нечетных функций являются y = sin x, y = x³. 

 
 
 
 
 
 

                       

 
 

 
 
 
 

     Свойства  четности и нечетности для функций  не являются отрицаниями  друг друга, как для четности и нечетности натуральных чисел. Равенства  f(-x)= f(x) и f(-x)= -f(x) не противоречат друг другу. Они могут выполняться одновременно - правда, только в случае, когда f(x)= f(-x)=0. Поэтому функция может быть одновременно и четной, и нечетной. Простейшим примером такой функции является функция у=0. Функции, которые одновременно четные и нечетные – это функции, имеющие в качестве области определения произвольное множество чисел, но принимаемые на ней только нулевое значение. 

Чтобы исследовать функцию  на четность или нечетность нужно: 

1. Проверить симметрична ли область определения функции относительно начала координат
2. Проверить равенства f(-x)= f(x)

                                           f(-x)= - f(x)

Примеры:

     1)f(x)=

D(f)= (- ; -3) (-3;3) (3; + ).

f(-x)= .

Значит  f(x) - нечетная функция.

     2)g(x)=

D(f)= (- ; -2) (-2;2) (2; + ).

f(-x)= = f(x).

Значит  f(x) - четная функция.

    3)h(x)= x cos3x-sinx+2

  h(-x)= (-x) cos3(-x)-sin(-x)+2= -x cos3x+sinx+2.

Значит  h(x) – не является четной и не является нечетной функцией.

  При решении задач, где требуется  выяснить, является ли заданная функция четной или нечетной, нужно быть очень внимательным и не судить только по-внешнему виду главного равенства.

  Например:

f(x)=log (x+ )   ,  D(f)=R

f(-x)=log (-x+ )  

f(x)+ f(-x)= log ((x+ ) ( -x)) = log (x +1-x )= log 1= 0

     Значит f(-x)= -f(x), y= f(x)- нечетная функция.

  Ссылка  на то, что выражения f(x) и f(-x) «разные», поэтому f(x) f(-x), ничего не доказывает. Условие четности заключается в истинности высказывания: « Для любого x D(f) выполнено числовое равенство f(-x)= -f(x)»

      А утверждение о том, что условие  четности не выполняется, заключается  в истинности высказывания, являющегося отрицанием предыдущего: «Существует      x D(f) такое, что f(-x) f(х). Функция   у = не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения  D = несимметрична относительно начала координат. Область определения функции y = x³ + 1 охватывает всю числовую ось и поэтому симметрична относительно начала координат, однако f (–1) ≠ f(1). Значит, функция y = x³ + 1 не является ни четной, ни нечетной. 

Представляют  интерес следующие  утверждения:

• 1.Сумма (разность) четных функций четна, а нечетных – нечетна.
• 2.Произведение или частное двух нечетных функций четно.
• 3.Произведение или дробь двух четных функций четно.
• 4.Произведение или дробь четной и нечетной функции нечетно.
• 5.Композиция двух четных функций четна.
• 6.Композиция двух нечетных функций нечетна.
• 7.Композиция любой функций с четной четна (но не наоборот)
• 8.Функция, обратная четной, четна, а нечетной – нечетна.
• 9.Производная четной функции нечетна, а нечетной – четна.

То  же верно про производную третьего пятого и вообще любого нечетного  порядка.Производная четного порядка  сохраняет четность.

     Докажем утверждения под номером 7 и 9.

№7.

Дано:

y= f(x)   и y= g(x)-четная функция.

Доказать:

y=f (g(x))- четная функция.

Доказательство:

Так как  g(x)-четная функция, то g(-x)=g(x) , следовательно f(g(-x))= f(g(x)), что и требовалось доказать

№9

Дано:

f (x)-четная функция.

Доказать:

f ^/(x)-нечетная функция/

Доказательство:

f ^/(-x)=(f(-x))^/(-x)^/=f^/ (x)(-1)=-f ^/(x)

Что и  требовалось доказать.

      Как правило, функция, взятая «наугад», не будет ни четной, ни нечетной. Возникает вопрос: зачем вводить понятия четности и нечетности, если «большинство» функций таковыми не являются?

Ответ на этот вопрос мы нашли в статье А.Землякова  «Четные и нечетные функции», где он приводит два примера: физический и математический. 

Физический  пример использования  чётных и нечётных функци. 

     Если  физическая система обладает какой-нибудь симметрией, то и связанные с нею  функции часто имеют те или иные свойства симметрии. В простейших случаях возникают как раз четные или нечетные функции.

рисунок 6 

Пример:  

     На  горизонтальный стержень – ось Ох – надета однородная пружина, концы  которой закреплены в симметричных точках x=-d и x=d, а к середине пружины – в точке x=0 – прикреплена шайба, свободно (без трения) перемещающаяся вдоль стержня.

а) Пусть  шайба отведена в точку с координатой  x. Обозначим через F(x) величину силы, действующей на шайбу со стороны пружины (точнее говоря, проекцию этой силы на ось Ох), а через U(x)-потенциальную энергию шайбы в этом положении. Очевидно, пружине безразлично, вправо или влево отводится шайба: абсолютная величина силы и потенциальная энергия при смещениях x и –x одинаковы, то есть

 и U(x) =U(-x)

Учитывая, что сила в положениях x и –x направлена в противоположные стороны (рис б, в), можем записать F(-x)=-F(x).

Таким образом, из одних лишь соображений  симметрии мы получаем следующее:

1)Функция F(x), выражающая зависимость силы F от смещения x, нечетная;

2)Функция  U(x),выражающая зависимость потенциальной энергии от смещения, четная.   

Математический  пример. 

     Очевидно, степенная функция f(х)= хⁿ, где n N, при этом четном n будет четной, а при нечетном n – нечетной. Произвольный многочлен p(x), вообще говоря, не будет ни четной, ни нечетной функцией. Однако его можно представить в виде суммы двух многочленов

p₊(x) и p_--(x), являющихся соответственно четной и нечетной функциями.

Например:

p(x)= х⁷+2х⁶-х⁵-3х⁴-13х²+х+17= p₊(x) + p_-(x),где

p₊(x)= 2х⁶-3х⁴-13х²+17  -  сумма одночленов из p(x), содержащих х в четной степени, а

 p_-(x)= х⁷-х⁵+х -  сумма одночленов из p(x), содержащих х в нечетной степени.

      Оказывается, что не только многочлен, но и любую функцию с симметричной областью определения можно представить в виде суммы четной и нечетной функции!

Теорема:

Если  функция f удовлетворяет условию симметрии (С), то ее можно представить в виде суммы двух функций - четной f₊(х) и нечетной f _-(х):

            f(х) = f₊(х)+ f _-(х)                 (1)

области определения которых те же, что  у функций f_: D(f₊)= D (f _-)= D (f), причем такое представление единственно.

      Доказательство.

Допустим, что функция f(х) уже представлена в виде (1) и функции f _- и f₊  удовлетворяют соотношениям

             f₊(-х)+ = f₊(х),

             f _-(-х) =-f _-(х)                                       (2)

Подставив в формулу (1) вместо х значение –х, из формул (2) получим

                       f(-х)= f₊(х) – f _-(х)                  (3)

Складывая равенства (1) и (3), получаем

                         f(х)+ f(-х)= 2 f₊(х), откуда

                   f₊(х)=                           (4а)

Аналогично, вычитая (3) из (1), находим

                         f _-(х)=                           (4б)

Таким образом, если функция f представима в виде (1), то функции f₊ и f _-  однозначно отыскиваются по функции f с помощью формул (4). Следовательно, если представление (1) существует, то оно единственно.

      А теперь - небольшой трюк: для произвольной функции f определим функции

f₊ и f _- соотношениями (4).

      Тогда из формул (4) следует, что, во-первых, f(х) = f₊(х)+ f _-(х), то есть (1) выполняется, и, во-вторых, что функции f₊ и f _- являются, соответственно, четной и нечетной. Например, проверим условие (Н) для функции f _-(х). Для произвольного х имеем 

 f_-(-х)= = =- =- f_-(х)

что и  требовалось доказать. Четность функции  f₊  проверяется точно так же. 

   Задачи  на тему «Четные и  нечетные функции» интересны  и разнообразны. Для  успешного их решения  полезно знать  следующие практически очевидные утверждения: 

• Если f(x)- нечетная функция и 0 D(f), то f(0)=0

Замечание: для четной функции это утверждение неверно.

• Если x - корень уравнения f(x)=0 и f(x)-четная (нечетная) функция, то -x -так же корень уравнения.
• Если y=f(x) –четная (нечетная) функция, то уравнение f(x)=0 имеет нечетное количество корней тогда и только тогда, когда x=0 является корнем этого уравнения.
• Если x -точка максимума (минимума) четной функции, то -x - так же точка максимума (минимума) функции.
• Если x - точка максимума (минимума) нечетной функции, то -x - точка минимума (максимума) функции.
• Если y=f(x) – четная функция, то угловые коэффициенты касательных к графику функции в точках x и - x противоположны.
• Если f(x) – нечетная функция, то угловые коэффициенты касательных к графику функции в точках x и - x равны.
• Если область определения функции симметрична относительно начала координат,                   то эту функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

 

          Таковой суммой является функция     Первое                                                     слагаемое является четной функцией, второе – нечетной. 

• Если четная функция y=f(x) определяется на множестве всех действительных чисел, для всех неотрицательных x задается формулой g(x), то для всех отрицательных   x   f(x)=g(-x).
• Если нечетная функция y=f(x) определяется на множестве всех действительных чисел, для всех неотрицательных x задается формулой g(x), то для всех отрицательных   x   f(x)=-g(-x).

 
 

Решений  задач. 

      1. Четная функция y=f(x), определенная на множестве всех действительных чисел, на множестве неотрицательных чисел совпадает с функцией g(x)=x +2x-5. Какой формулой задается функция f(x) на множестве отрицательных чисел.

Решение.

Если  при х 0, f(x)=x +2x-5, то при х 0 f(x)=g(-x), т.е. f(x)= x -2x-5 

2. Нечетная  функция y=f(x), определенная на множестве всех действительных чисел, на множестве неотрицательных чисел совпадает с функцией g(x)=x +2x-5. Какой формулой задается функция f(x) на множестве отрицательных чисел.

Решение.

Если при х 0, f(x)=x +2x-5, то при х 0  f(x)= -(x -2x-5)

                                                                       f(x)= -x +2x+5 

3. Найдите значение функции y=3f(-x)-g(-x)f(x) в точке х 0,если известно, что функция y=f(x)-четная, а y=g(x)-нечетная;f(х )=1,g(х )=3.

Решение.

Т.к. y=f(x)-четная

f(х )=1, то f(-х )=1

Т.к. y=g(x)-нечетная и g(х )=3, то g(-х )=-3.

Значит  y(х )=3*1-(-3)*1=6

4. Найдите сумму корней уравнения: 4x -sin x-7xsinx+1=0

      Решение:

Функция f(x)=4x -sin x-7xsinx+1 – четная и определена на множестве всех действительных чисел. Значит если х - корень уравнения, то - х -корень уравнения.

Очевидно  х=0-корень уравнения. Поэтому сумма  корней данного уравнения вне  зависимости от их числа равна  нулю.

5. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(x)=13x(2x+1)(7x+6)(4x-9) . Сколько корней имеет уравнение f(x)=0.

Решение.

Решим уравнение 13x(2x+1)(7x+6)(4x-9)=0

              x=0   или  x=-    или х= -     или    х=

При х 0, f(x)=g(x),то х=0 и х= - неотрицательные корни уравнения f(x)=0

А т.к. f(x)-четная функция, то х=- - единственный отрицательный корень уравнения f(x)=0

Ответ: 3

. 

       6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение =0 (1) имеет единственное решение?

Решение: Отметим, что поскольку и , и являются четными функциями, то вся левая часть исходного уравнения также является четной функцией. Пусть далее а – искомое значение параметра, а - соответствующее этому параметру единственное решение исходного уравнения. Тогда число - также является решением исходного уравнения (I). Действительно, согласно определению корня, значение левой части в точке равно 0. С другой стороны, значение левой части в точке - также должно равняться 0 в силу ее четности. А это означает, что число - также является корнем уравнения (I). Теперь вспомним, что - это не просто решение уравнения (I), а единственное решение. Поэтому оно должно совпадать с числом - , которое, как это было показано выше, также является решением уравнения (I). Итак, , откуда . Значит, число 0 является решением уравнения (I). Подставляя это число в уравнение, мы получаем верное равенство:

Этому равенству удовлетворяют числа  и Было бы грубой логической ошибкой объявить эти значения а искомыми. Мы этого пока не доказали. Мы доказали только то, что помимо вышеуказанных значений и искомых значений параметра а не существует. Но это еще не означает, что и являются искомыми. Это над отдельно проверять, и сейчас мы такую проверку проведем.

Пусть а=0 .Тогда уравнение (I) превращается в и имеет, очевидно, единственное решение x=0.

Пусть теперь а=2sin1. Тогда уравнение (I) превращается в

Перепишем полученное уравнение в следующем виде

 (2)

Поскольку константа sin1 положительна, а выражение в скобках не отрицательно (это усматривается из монотонности функции sinx в диапазоне острых углов, а также из очевидного соотношения которому удовлетворяют острые углы 1 и cosx ), то вся левая часть уравнения (2) также неотрицательна. Кроме того, уравнение (2) равносильно системе уравнений

которая, очевидно, имеет единственное решение x=0 .

Таким образом, проверка значений и показала, что при каждом из них уравнение (I), действительно, имеет единственное решение. Отсюда и следует ответ.

Ответ:  

7. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет нечетное количество решений.

Решение:

Рассмотрим  функцию  тогда

 f(x) – четная. Исходное уравнение имеет нечетное число решений лишь в том случае, если x=0 – решение.

Это означает, что 

Осталось  убедиться, что при этих случаях  а, исходное уравнение имеет нечетное число решений (в действительности достаточно проверить только, что число решений конечно)

При имеем, что выражение , при раскрытие знака модуля по определению, распадается на две серии решений:

               или    

Решений нет.                                x=0

Т.к.

при любом x.

При имеем одно решение x=0.

При имеем распадается на две серии:

  или          

                                      2 корня. 

Исходное  уравнение имеет 3 корня.

Ответ:

           

8. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение. 

 

Решение: Прежде всего отметим, что все входящие в уравнение системы функции аргумента x являются четными. Далее допустим, что а – искомое значение параметра, а пара( ) – единственное решение исходной системы при указанном значении а. Тогда, в силу отмеченного выше факта четности функций аргумента x , входящих в уравнение исходной системы, можно утверждать, что пара ( ) также является решением исходной системы. Но пара ( ) – это не просто решение, а единственное решение исходной системы, и поэтому она должна совпадать с парой ( ) , то есть должно выполняться условие ( )=( ), откуда Итак, если а – искомое значение параметра, то соответствующее ему единственное решение уравнения 1)и 2), после чего получим

Решая эту систему, легко устанавливаем, что ей удовлетворяют две пары: и

Таким образом, «претендентами» в искомые  значения параметра являются только и Но действительно ли они являются искомыми значениями или нет, можно выяснить только проверкой. Проведем проверку:

Пусть Тогда исходная система приобретает вид:

 

Для нас  будет более удобным переписать ее в виде

Из уравнения 2) следует, что  и А эти неравенства, в свою очередь, приводя к выводу о том, что

Таким образом, левая часть уравнение 1а) ограничена снизу числом 0, и поэтому  это уравнение может быть удовлетворено  только если и Рассматривая эти уравнения в группе с 2), получаем единственное решение , Таким образом, значение действительно является искомым.

Пусть Тогда исходная система приобретает вид

Непосредственной  постановкой можно убедиться, что  этой системе удовлетворяют, например, пары (0;-1) и (1;0). Поэтому значение параметра  искомым не является.

Ответ:  

9. При каких значениях параметра а уравнение П (x-1)+4a cos(2Пx)+4а =0 имеет единственное решение?

Решение.

   Так как cos(2Пx)= cos(2П(x-1)), то уравнение примет вид                                                       П (x-1) +4a cos(2П(x-1))+4а =0

   Пусть П(х-1)=t

t +4a cos(2t)+4a =0

Очевидно, функция f(x)= t +4a cos(2t)+4a является четной. Поэтому уравнение в качестве единственного решения может иметь только t=0

               4a+4a =0

           a=0         или а= -1

Проверим, будет ли данное уравнение при  найденных значениях а иметь  единственное решение.

      а=0            t =0       t=0    - единственные решения

а=-1       t -4cos2t+4=0