Динамические системы в экономике

Федеральное государственное  образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

 

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ

РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ»

 

Кафедра “Прикладаня  математика”

 

 

 

 

 

 

Динамические  системы в экономике

 

реферат по дисциплине “Теория развивающихся систем”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил студент группы КМФЭ1-1м

Никитин Семен  Артемович

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2012г.

 

Содержание:

 

Введение……………………………………………………………….2

Модель  колебания цены, аналогичная осоциллятору………….4

Мягкая  потеря устойчивости……………………………………….6

Жесткая потеря устойчивости……………………………………...10

Список  литературы…………………………………………………..14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ.

 

В экономической науке существуют различные теории, претендующие на объяснение вида, размера и тенденций в колебаниях цен. Тот факт, что цены претерпевают значительные изменения, не только не подвергается сомнению, но и является основой существования фондового рынка. Однако причина этих колебаний была обойдена вниманием экономистов.

Классическое утверждение А. Маршалла заключается в следующем: «Когда спрос и предложение пребывают в равновесии, количество товара, производимого в единицу времени, можно назвать равновесным количеством, а цену, по которой он продается, равновесной ценой. Такое равновесие является устойчивым, т.е. цена при некотором отклонении от него будет стремиться к возвращению в прежнее положение подобно тому, как маятник колеблется в ту и другую сторону от своей низшей точки»

Причина этих постоянных колебаний подробно не рассматривается. Обычно экономисты считают достаточным объяснение, что колебания цены связаны со случайными актами обмена. Но ведь если эти колебания не затухают со временем в точке равновесия, значит, точка равновесия на самом деле не является устойчивой. В то же время колебательное движение происходит не произвольно, а вокруг этой самой неустойчивой равновесной точки, т.е. само движение – устойчиво. Понятие устойчивости хорошо известно в математике (но данный математический аппарат мало используется в экономической науке

Математическую  формализацию понятия состояния  динамической (движущейся) системы  дал А. Пуанкаре (1854- 1912). Он был геометр  по образу мышления и мыслил геометрически. Во всяком случае, так он сам говорил.

Модель Пуанкаре исходит из представления множества возможных состояний системы в виде некоторого пространства состояний или фазового пространства, где в качестве переменных выступают не только координаты, но и скорости. Поэтому состояния динамических систем будут близкими, если близки не только их конфигурации, но и их скорости. Задание координат и скоростей полностью определяет движе- ние системы, поэтому в отличие от привычного нам евклидового пространства из любой точки фазового пространства может выходить только одна траектория. Фазовые траектории никогда не пересекаются, так как в каждой точке состояние системы определено однозначно, и, следовательно, однозначно задано дальнейшее движение. Так что все фазовое пространство разбивается на непересекающиеся фазовые траектории.

Режимы движения динамической системы могут  качественно отличаться. Так, например, математический маятник может  совершать колебания, а может  вращаться вокруг своей оси. Поэтому  фазовое пространство разбивается  на области качественно разных режимов движения (разной динамики), отве- чающие траекториям разного топологического типа. Области разной динамики отделены друг от друга фазовыми траекториями, называемыми сепаратрисами (separate – разделять, отделять). Фазовое пространство, разбитое на области разной динамики дает фазовый портрет динамической системы.

Правило, по которому значения динамических переменных в  любой последующий момент времени  получаются из исходного набора, задает оператор эволюции системы.

Динамические  модели экономики относятся к динамическим системам. Конкретные динамические системы могут быть как детерминированными, так и стохастическими. Фазовое пространство, на котором задана система, может быть не только непрерывным, но и дискретным. Оно может быть в одних своих частях непрерывным, в других – дискретным. В случае, когда фазовое пространство непрерывно, оно может быть конечной или бесконечной размерности. Оператор динамической системы может быть задан аналитическими или логическими фор- мулами, он может быть задан дифференциальными уравне- ниями или некоторыми вычислительными алгоритмами.

 Рассмотрим некоторые динамические модели, объясняющие различные экономические процессы и интерпретирующие различные экономические функции в качестве соответствующих членов дифференциальных уравнений.

Заранее сформулируем несколько правил для построения экономических моделей, справедливость которых будет показана ниже:

Во-первых, модель не должна быть слишком сложной. Если в модели содержится больше двух переменных, то она будет проявлять стохастический характер.

Во-вторых, для  модели нужно выбрать правильный временной горизонт, т.к. существуют «быстрые» и «медленные» переменные, зависящие от времени.

В третьих, нужно  определить параметры, которые являются ключевыми для изучаемых процессов, и которые изменяют свойства системы при прохождении через свои бифуркационные точки.

 

 

МОДЕЛЬ  КОЛЕБАНИЯ ЦЕНЫ, АНАЛОГИЧНАЯ ОСЦИЛЛЯТОРУ

 

Если динамическую систему (например, вышеупомянутый  маятник), обладающую состоянием устойчивого равновесия, вывести из этого состояния каким-либо внешним воздействием и затем предоставить самой себе, то возникающие в системе колебания вблизи устойчивого равновесия называют собственными или свободными. Способную совершать собственные колебания систему называют осциллятором.

Применим известную модель гармонического осцилятора для объяснения рыночных явлений.

q’’ + 2γq’ + ω q = 0 . (1)

Любое экономическое  событие должно происходить в  неком пространстве. Значит, первым шагом в построении модели должно быть определение пространства, на котором задана система. С пространством связывают некую систему отсчета координат (экономических переменных), позволяющих определить положение любой точки относительно начала координат (точки отсчета).

Представляется  самым простым определить в качестве координат экономического пространства количества благ (активов, товаров) системы, выраженные в неких условных единицах. Положение точки в пространстве задает соответствующие количества активов, существующие в системе в данный момент времени.

Если количества благ неизменны, то точка неподвижна (система покоится), однако это состояние неинтересно для анализа. Если количества благ начинают изменяться, то система приходит в движение. В этом случае мы должны учесть скорость и направление движения системы, вводя с этой целью дополнительные координаты, количества благ (активов, товаров) нашей системы, которые производятся и потребляются в системе за определенный промежуток времени (единицу времени). Тем самым мы вводим в качестве дополнительных координат производные от количества блага по времени, которые дают скорость изменения благ в системе.

«Движение»  экономической системы будем понимать как изменение равновесной координаты q₀ на величинуq.

Произведение  цен на объем товара дает его стоимость, обозначим ее как Φ, которую участники рынка стремятся максимизировать. При отклонении экономической системы от равновесия на малую величину товара q , общая стоимость товара уменьшается, и возникает «сила рынка», возвращающая систему в точку равновесия. Если принять точку равновесия за начало координат, то при разложении в ряд Тейлора пред- ставление функции стоимости около этой точки имеет вид: ...,т.к.первая производнаяФ вточке равновесия равна нулю, а представление силы имеет вид: f_q = cq + ... . Для малых отклонений от равновесия прочие члены можно не учитывать. Возвра- щающая «сила рынка» как раз и есть третий член уравнения (1). Если система отклонилась от равновесия, то при этом нарушается баланс спроса и предложения, и под действием «рыночных сил»

f= ω² q

возникает изменение  баланса скорости производства и  потребления товара для возврата системы к точке равновесия, т.е. возникает величина q” – ускорение экономической системы.

Второй член уравнения γq’ выполняет роль обратной связи в экономической системе. Принцип обратной связи – это общий принцип действия любого регулятора. В случае когда γ > 0 , в системе возникает сила, аналогичная силе трения в механической системе. Под трением, видимо, следует понимать транзакцион-ные издержки. Вспомним определение Коуза: «Транзакционные издержки это издержки сбора и обработки информации, издержки проведения переговоров и принятия решений, издержки контроля и юридической защиты выполнения контракта» [Из перечисленных издержек не всегда поддаются учету издержки достоверности информации и принятых решений. Чем больше скорость производства товара q^’, тем большее сопротивление среды испытывает производитель, при этом γ больше нуля.

Таким образом, за счет транзакционных издержек экономическая система имеет свойство «саморегуляции». Трение сглаживает возникающие в системе колебания и приводит систему к равновесию. В этом случае говорят, что система устойчива.

Ажиотажный спрос или паника дестабилизируют рынок и выводят его из равновесия, появляется «отрица тельное трение» γ < 0 . Возникающие в системе случайные колебания начинают усиливаться, и система все дальше и дальше уходит от положения равновесия.

В приведенной во “Введении” цитате Маршалл говорит как о колебаниях цены товара, так и о колебаниях объема производства. Цена товара p является функцией его количества q : p = j(q) . Данная функция является кривой спроса на данный товар. Согласно Маршаллу qpⁿ = C . Очевидно, что колебания должны происходить вокруг точки равновесия (q₀ , p₀ ), причем p₀=εq^-ξ,где ξ=1/n,ε=C^ξ. Однако мы можем принять эту точку за начало координат и разложить функцию в ряд p +p=ε(q +q)^-ξ =ε(q^-ξ -ξq^-ξ-1q+...). Для достаточно малых q мы можем ограничиться первыми двумя членами ряда. Значит p = -εξq^{-ξ -1}q , и уравнение для цены товара совершенно аналогично предыдущему для объема товара

p’’+2γp’+ω p=0.

Следовательно, колебания относительных значений  как цены, так и количества блага  происходят по одному и тому же закону.

Мы можем  записать уравнение в виде

x’’+2γx’+ω x=0, (2)

где x означает как изменение цены, так и изменение количества блага в системе.

 

 

МЯГКАЯ  ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ

 

Чтобы в системе  возникли автоколебания, т.е. собственные периодические незатухающие колебания, необходимо наличие обратной связи, которая придает системе способность управлять поступающей извне энергией. Форма, амплитуда и частота колебаний при этом задаются самой системой.

Следовательно, рассматривая теорию рынков, нам, кроме  изучения существующего колебательного процесса, необходимо сделать некие предположения, которые смогли бы объяснить появление необходимых и достаточных условий для возникновения этих самых автоколебаний в экономической системе.

Смысл обратной  связи в экономической системе, видимо, состоит в том, что участники рынка пытаются понять ситуацию, возникающую на рынке, и предпринять выгодные с их точки зрения действия. Это взаимодействие, в котором как ситуация, так и взгляды участников являются зависимыми переменными, называется, по терминологии Дж. Сороса, «рефлексивностью» В качестве термина использовано слово, которое французы употребляют для обозначения глагола, субъект и объект которого совпадают.

Источником  энергии в экономике, без сомнения, является труд.

Коэффициент затухания γ, определяющий величину транзакционных издержек, не является постоянным и зависит от ожиданий участников рынка. При стабильном рынке γ имеет положительное значение, при возникновении «неверных» представлений или ожиданий участников рынка может возникнуть ситуация «отрицательного трения».

В то же время  коэффициент γ должен изменяется «не очень сильно» или для «не очень больших» q , т.е. наша нелинейная система близка к линейной системе.

Запишем уравнение  в виде:


x’+2γ[1-αf(x)]x’+

x=0.

Параметр a играет роль коэффициента обратной связи, обеспечивающего «рефлексивность» рынка.

Перепишем систему  в так называемой нормальной  форме:

(4)

Случаи, когда  удается найти точные решения в  явой аналитической форме, представляют, скорее, исключение из правил. Поэтому в теории колебаний разработан богатый арсенал приближенных или асимптотических методов. Перейдем к полярной системе координат     x = rcos( t +θ) , y = -rsin( t +θ) , причем r и q независимые переменные, медленно меняющиеся от времени t :

(5)

Разрешив систему  относительно получаем:

(6)

 

Этот прием, когда исходные нелинейные дифференциальные уравнения заменяются также на нелинейные, однако более простые, носит название метода Ван-дер-Поля.

Если исследуемая  фазовая траектория – неподвижная  точка или предельный цикл (состояние  равновесия), то усредненное за один период значение r^’ очевидно равно нулю, так как радиус – вектор должен возвратиться в исходную точку. Значит, координаты этих состояний равновесия суть корни уравнения:

Φ(r,θ) = 0 . (7)

 Исходя из условия на экстремум, состояние равновесия r = ri будет устойчивым, если Φ’(ri ) < 0 , и неустойчивым, если Φ’(r_i ) > 0 . Остальные движения будут либо асимптотически приближаться к ним, либо асимптотически удаляться от них при

Теперь перейдем  ко второму уравнению (6). Если Ψ(r)=0 , то второе уравнение интегрируется сразу:

и мы можем представить  себе картину фазовых траекторий. Все интегральные кривые суть прямые, проходящие через начало координат под углом .  Движение вдоль каждой из этих прямых определяется уравнением r’ = Φ(r, θ) . Если мы вспом- ним теперь про собственную частоту вращения , то каждая из этих прямых будет вращаться. Корни уравнения r_i дадут круговые предельные циклы, а прочие точки прямой образуют траектории движения, асимптотически приближающиеся к состояниям равновесия или асимптотически удаляющиеся от них.

Перейдем теперь к случаю, когда второе уравнение не тождественно нулю. Пусть уравнение Ψ(r, θ) = 0

имеет несколько  корней r_j , которые не совпадают с состояниями равновесия r_i . Тогда движение изображающей точки по какому-нибудь предельному циклу подчиняется уравнениям:

r_i =const, θ=μΨ(r_i )+θ₀ .

Устойчивость или неустойчивость рассматриваемого предельного цикла определяется устойчивостью или неустойчивостью соответствующего состояния равновесия, а направление вращения – знаком Y .

Выберем f(x) = 1 + βx - x . Постоянный член характеризует «отрицательное трение», квадратичный ограничивает действие постоянного члена «не очень большими» значениями x , третий член является произвольным. Два коэффициента из трех выбраны равными единице для упрощения выкладок. Этого результата всегда можно добиться заменой переменной x на , т.е выбором «правильного» масштаба измерений.

Получаем:

Для :

Получаем 

Получаем систему :

При отрицательных  (a <1) устойчивым положением системы всегда является начало координат. Если > 0 , уравнение при положительных r имеет два положения равновесия: r_1,2 = 0; . Первое положение равновесия неустойчиво. При любом малом возмущении r , скорость изменения r^’ становится положительной, и r растет, пока не достигнет второй точкиравновесия , которая устойчива. При дальнейшем увеличении r , r^’ становится отрицательной, и система стремится вернуться в эту точку. Мы имеем неустойчивое положение равновесия в начале координат и устойчивый предельный цикл радиуса . Остальные траектории разбиваются на два класса: на траектории, наматывающиеся снаружи на предельный цикл, и на траектории, наматывающиеся изнутри на предельный цикл После потери устойчивости равновесия установившимся режимом оказывается колебательный периодический режим вблизи положения равновесия.

a>1

a<1

 

Говорят, что  произошла мягкая потеря устойчивости, так как устанавливающийся колебательный режим при малой закритичности (отличии параметра от критического значения) мало отличается от состояния равновесия.

Если, начиная  с некоторого значения параметра a >1 , мы будем его непрерывно уменьшать (уменьшать «рефлексивность»), то радиус предельного цикла будет также непрерывно уменьшаться, стремясь к нулю при a . При a = 1 предельный цикл исчезнет, сольется с неустойчивым фокусом, передав фокусу свою устойчивость; мы видим, что a=1 является бифуркационным значением параметра a .

Таким образом, при малой рефлексивности рынка ( 0 < a < 1 ) мы имеем стабильную равновесную цену товара, однако с ростом рефлексивности возникают автоколебания цены, амплитуда которых, начиная с нуля, будет непрерывно увеличиваться.


В целом мягкая потеря устойчивости приводит к колебаниям, амплитуда которых составляет около 3% от средней цены товара.

 

 

ЖЕСТКАЯ ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ

 

Возьмем более  точное аппроксимирующее выражение  для f(x). Предположим, что:

Тогда

 

где

Радиусы предельных циклов даются уравнением:

Φ(r) = 0 .

Уравнение всегда имеет корень r₀ = 0 . При b < 0 ситуация аналогична рассмотренной в предыдущем примере, т.е. при a < 1 уравнение не имеет положительных корней, а при a > 1 имеет единственный положительный корень (мягкий режим). Если > 0 , то мы имеем более интересный случай. При:

уравнение не имеет положительных корней, при a > 1 имеет единственный положительный корень (мягкий режим) и, нако- нец, при a₀ < a < 1 имеет два положительных корня, из которых устойчивым является больший.
Таким образом, при a₀ < a < 1 устойчивое состояние равновесия и устойчивый предельный цикл разделены неустойчивым предельным циклом.

 

 

 a₀ < a < 1

 

Поэтому траектории, начинающиеся внутри неустойчивого предельного  цикла, будут идти к состоянию равновесия и только траектории, которые начинаются вне неустойчивого предельного цикла, будут наматываться на устойчивый предельный цикл.

Неустойчивый  предельный цикл не соответствует, конечно, автоколебательным процессам. Он является границей, разделяющей «области притяжения» (аттракторы) устойчивого автоколебательного режима и устойчивого состояния равновесия. При достаточно сильном «толчке» в системе сразу возникают автоколебания с ненулевой амплитудой. Наблюдается жесткое установление автоколебаний. При этом система уходит со стационарного режима скачком и перескакивает на иной режим движения. В общем случае этот режим может быть другим устойчивым стационарным режимом, или устойчивыми колебаниями или более сложным движением.

 

 

 

 

На рис. изображена плоскость параметров a , b , разбитая на области различных режимов. При убывании параметра a изображающая точка будет находиться на устойчивом предельном цикле до тех пор, пока a не станет равным a₀ . При переходе a через это бифуркационное значение устойчивый предельный цикл, слившись с неустойчивым предельным циклом, пропадает, автоколебания срываются.

Повидимому, жесткая  потеря устойчивости соответствует  скачкам цен, которые возникают  в кризисных ситуациях, подобных общеизвестным обвалам рынка в последние несколько лет. Например, правительство принимает решение о дефолте, участники рынка пытаются понять возможные последствия и предпринять выгодные с их точки зрения действия.

Заметим, что  во всех примерах поведение системы  качественно изменялось при переходе параметра a через бифуркационное значение. Подобные качественные изменения являются предметом рассмотрения теории катастроф.

Катастрофой называется скачкообразное изменение (качественная трансформация), возникающее в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий.

Кроме описанных  двух способов потери устойчивости  положение равновесия может «умирать», слившись с другим при подходе  параметра к критическому значению (или же «из воздуха» рождается  пара положений равновесия). Из двух рождающихся (или умирающих) вместе положений равновесия одно устойчиво, другое неустойчиво

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

1. Маршалл А. Принципы экономической науки., т. II. – М.: Прогресс, 1993 –310с.
2. Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. — 256 с.
3. Царев И.Г. «Динамические системы в экономике»