Дисперсійний аналіз економетричної моделі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат на тему:

Дисперсійний аналіз економетричної моделі

 

Між оцінками параметрів економетричної моделі та коефіцієнтом кореляції, що характеризує тісноту зв’язку, існує  зв’язок. Для простої економетричної моделі його можна записати так:

  ,

де  — коефіцієнт парної кореляції;

, — середньоквадратичне відхилення відповідно залежної і незалежної змінної.

Це співвідношення було покладено  в основу алгоритму визначення альтернативної оцінки параметрів моделі за методом 1МНК. Алгоритм має назву покрокової регресії і наступні кроки:

Крок 1. Стандартизація (нормалізація) всіх змінних моделі:

Крок 2. Визначення кореляційної матриці , елементи якої розраховуються таким чином:

Крок 3. Із усіх елементів матриці вибирається той, якому відповідає . Це означає, що незалежна змінна найтісніше зв’язана з залежною змінною . Будується економетрична модель:

.

Крок 4. Серед інших елементів матриці знову вибирається . Якщо даному коефіцієнту кореляції відповідає , то ця змінна вводиться в побудовану раніше економетричну модель; в результаті дістанемо:

і т.д.

Процес продовжується  до тих пір, поки всі незалежні  змінні поступово будуть включені в  модель. Якщо є обмеження, яке вказує на недоцільність розширення економетричної моделі за рахунок змінних, що залишилися, то процес розрахунку закінчується раніше. Таким обмеженням може бути співвідношення між коефіцієнтом кореляції чи детермінації, виправленими й невиправленими на число ступеней свободи.

Система нормальних рівнянь у даному алгоритмі:

 

Позначимо елементи через вектор , а інші елементи –— через матрицю , тоді система рівнянь у матричному вигляді матиме такий вигляд:

.

Звідси  , тобто отримаємо альтернативний оператор оцінювання параметрів моделі за методом 1МНК.

Оскільки оцінки параметрів моделі відносяться до стандарти-зованих змінних, то щоб перейти до оцінок параметрів моделі, в якій змінні мають свій початковий вимір, необхідно:

Множинний коефіцієнт детермінації, який визначає рівень варіації залежної змінної за рахунок незалежних, розраховується таким чином:

, чи 

.

Коефіцієнт детермінації без урахування числа ступеней свободи:

.

Співвідношення між  ними дорівнюватиме:

.

Множинний коефіцієнт кореляції  характеризує тісноту зв’язку між залежною і незалежними змінними. Множинний коефіцієнт детермінації і кореляції знаходяться на множині

Якщо оцінка параметрів моделі отримана на основі покрокової регресії, то для визначення коефіцієнта детермінації можна використати такі співвідношення:

де  – визначник матриці ;

 –– алгебраїчне доповнення  першого елемента матриці  .

Гіпотеза про наявність чи відсутність зв’язку між залежною і незалежною змінними може бути перевірена на основі -критерію:

.

Фактичне значення — критерію порівнюється з табличним при сту-пенях свободи і і вибраному рівні довіри. Якщо _факт > _табл , то гіпотеза про суттєвість зв’язку між залежною і незалежними змінними економетричної моделі підтверджується, в протилежному випадку — відкидається.

Альтернативна формула  розрахунку — критерію через коефіцієнт детермінації:

.

Значущість оцінок параметрів моделі можна визначити на основі — критерію:

.

Значення критерію порівнюється з табличним при вибраному рівні значущості і ступенями свободи. Якщо _факт > _табл , то відповідний параметр економетричної моделі є достовірним.

На основі — критерію і стандартної помилки будуються довірчі інтервали для параметрів :

.

Прогноз залежної змінної  на основі економетричної моделі при  заданих залежних змінних можна  виконати на основі такого співвідношення:

.

У цьому співвідношенні є стандартною помилкою прогнозу:

,

де  — прогнозні значення незалежних змінних.

 

 

 

Приклад дисперсійного  аналізу економетричної

моделі та прогноз

 

Приклад 3.1. Визначити коефіцієнти детермінації та кореляції для економетичної моделі, яка побудована в прикладі 2.1. Перевірити гіпотезу про суттєвість зв’язку на основі F- і t- критеріїв. Виконати прогноз витрат на харчування, якщо загальні затрати становитимуть 900 одиниць, а середній склад сім’ї – 8,5.

 

Розв’язання

 

Економетрична модель має  вигляд:

.

1. Визначимо коефіцієнт детеpмінації на основі співвідношення:

,

де  , — відповідно залишкова й загальна дисперсії.

.

Це значення коефіцієнта  детермінації свідчить про те, що варіація витрат на харчування на 96,09% визначається варіацією загальних затрат і  складу сім’ї.

2. Коефіцієнт кореляції . Оскільки коефіцієнт кореляції наближається до одиниці, то це свідчить, що зв’язок між витратами на харчування, загальними затратами і складом сім’ї є дуже тісним.

3. Визначимо F- критерій (критерій Фішера):

.

Порівняємо розраховане  значення критерію Фішера з табличним. При ступенях свободи ; і рівні довіри , F_табл

Оскільки F_факт > F_табл, то гіпотеза про значущість зв’язку, який описується економетричною моделлю, підтверджується.

4. Розрахуємо t- критерії:

Табличне значення t- критерію при ступені свободи і рівні довіри дорівнює 2,16. Враховуючи, що

оцінки параметрів моделі і є достовірними. Оскільки , то знизимо рівень довіри: . У цьому випадку t_табл = 1,77. А це означає, що 10-процентний рівень довіри підтверджує значущість вільного члена моделі.

5. Побудуємо довірчі інтервали для оцінок параметрів моделі:

6. Розрахуємо прогнозне значення витрат на харчування на основі еконо-

метричної моделі.

 

6.1. Визначимо точковий прогноз витрат на харчування на основі моделі:

6.2. Знайдемо дисперсію прогнозу:

.

6.3. Стандартна помилка прогнозу:

6.4. Визначимо довірчі інтервали прогнозного рівня витрат на харчування:

.

При

.

Таким чином, точковий прогноз  витрат на харчування дорівнює 233,1678 одиниць, а інтервальний буде знаходитись  у межах від 211,8896 до 254,4455 одиниць.

 

Приклад 3.2. Побудувати економетричну модель, яка характеризує залежність між продуктивністю праці, фондомісткістю продукції та плинністю робочої сили, на основі покрокової регресії. Перевірити достовірність моделі та її параметрів. Дати змістовне тлумачення параметрів моделі. Вихідні дані наведені в табл. 3.1.

Таблиця 3.1

№ п / п	Продуктивність праці	Фондомісткість продукції	Плинність робочої сили
1	32	1,0	20
2	29	0,5	16
3	30	0,8	14
4	31	0,7	10
5	25	0,6	24
6	34	0,6	13
7	29	0,8	18
8	24	0,5	15
9	20	0,6	15
10	33	1,0	8

Розв’язання

 

1. Ідентифікуємо змінні моделі:

Y — продуктивність праці, залежна змінна;

X₁ — фондомісткість продукції, незалежна змінна;

X₂— плинність робочої сили, незалежна змінна.

У загальному вигляді  економетрична модель:

.

2. Специфікуємо модель в лінійній формі:

Оскільки оцінка параметрів моделі за методом 1МНК виконуватиметься на основі покрокової регресії, то спочатку буде побудована економетрична модель виду:

,

де

3. Нормалізуємо змінні моделі. Розрахунки представимо в табл. 3.2.

 

 

Таблиця 3.2

№ п / п	Y
1	32	1	20	3,3000	0,2900	4,7000	10.8900	0,0841	22,0900
2	29	0,5	16	0,3000	–0,2100	0,7000	0,0900	0,0441	0,4900
3	30	0,8	14	1,3000	0,0900	–1,3000	1,6900	0,0081	1,6900
4	31	0,7	10	2,3000	–0,0100	–5,3000	5,2900	0,0001	28,0900
5	25	0,6	24	–3,7000	–0,1100	8,7000	13,6900	0,0121	75,6900
6	34	0,6	13	5,3000	–0,1100	–2,3000	28,0900	0,0121	5,2900
7	29	0,8	18	0,3000	0,0900	2,7000	0,0900	0,0081	7,2900

Продовження табл. 3.2.

8	24	0,5	15	–4,7000	–0,2100	–0,3000	22,0900	0,0441	0,0900
9	20	0,6	15	–8,7000	–0,1100	–0,3000	75,6900	0,0121	0,0900
10	33	1	8	4,3000	0,2900	–7,3000	18,4900	0,0841	53,2900
	287	7,1	153				176,1	0,309	194,1

 

    Продовження табл. 3.2

№ п / п
1	0,7864	1,6489	1,0668
2	0,0715	–1,1946	0,1589
3	0,3098	0,5120	–0,2951
4	0,5481	–0,0569	–1,2030
5	–0,8817	–0,6258	1,9747
6	1,2630	–0,6258	–0,5221
7	0,0715	0,5120	0,6128
8	–1,1200	–1,1946	–0,0681
9	–2,0732	–0,6258	–0,0681
10	1,0247	1,6498	–1,6570

 

Середні значення:

.

Дисперсія:

Середньоквадратичні відхилення:

;

4. Побудуємо кореляційну матрицю (матрицю парних коефіцієнтів кореляції):

.

Розрахунок елементів  кореляційної матриці наведено в  табл. 3.3.

  Таблиця  3.3

Y*2
0,6184	2,7217	1,1381	1,2973	0,8389	1,7600
0,0051	1,4272	0,0252	–0,0854	0,0114	–0,1898
0,0960	0,2621	0,0871	0,1586	–0,0914	–0,1511
0,3004	0,0032	1,4472	–0,0312	–0,6593	0,0684
0,7774	0,3916	3,8995	0,5517	–1,7411	–1,2357
1,5951	0,3916	0,2725	–0,7903	–0,6593	0,3267
0,0051	0,2621	0,3756	0,0366	0,0438	0,3138
1,2544	1,4272	0,0046	1,3380	0,0763	0,0813
4,2981	0,3916	0,0046	1,2973	0,1412	0,0426
1,0500	2,7217	2,7455	1,6905	–1,6978	–2,7336
Всього
10,0000	10,0000	10,0000	5,4632	–3,7375	–1,7174

 

Звідси кореляційна  матриця:

.

5. Враховуючи, що

,

то на першому етапі  треба побудувати економетричну  модель виду:

.

Рівняння для визначення параметру  має вигляд:

Запишемо модель:

,

6. На другому етапі включимо в економетричну модель , в результаті модель набуде такого вигляду:

.

Система рівнянь для  визначення параметрів цієї моделі:

Розв’язавши систему  рівнянь, отримаємо:

Економетрична модель має  вигляд:

.

7. Розрахуємо коефіцієнти детермінації та кореляції:

Це значення коефіцієнта  детермінації свідчить про те, що варіація продуктивності праці лише на 37,9% визначається варіацією фондомісткості продукції та плинності робочої сили.

Коефіцієнт кореляції характеризує не тісний зв’язок факторів із продуктивністю праці.

8. Оцінимо достовірність моделі та її параметрів на основі критеріїв Фішера та Стьюдента.

При ступенях свободи і ; рівні довіри F_табл = 19,36. Оскільки F_факт < F_табл, то нульова гіпотеза відносно суттєвості зв’язку, який вимірюється на основі економетричної моделі, відхиляється. Це означає, що економетрична модель є недостовірною, тому перевірка значущості оцінок параметрів моделі є недоцільною.

9. Виконаємо перехід до економетричної моделі, в якій змінні виражені в абсолютних значеннях (вони наведені в табл. 3.1)

.

10. Наведемо розраховані економетричні моделі в даному прикладі і дамо змістовне тлумачення параметрів цих моделей.

1) ;

2) .

Перш за все звернімо увагу на відсутність вільного члена  в першій економетричній моделі. Це пов’язано з тим, що всі змінні нормалізовані і мають одну й ту саму одиницю виміру. Параметри першого рівняння характеризують граничну зміну залежної змінної, якщо незалежна збільшиться на величину свого середньоквадратичного відхилення . Так, якщо збільшиться на , то — на при незмінній величині ; якщо збільшиться на , то — на 0,288 при незмінній величині фактора . Враховуючи, що всі змінні мають одну й ту саму величину виміру, параметри першої економетричної моделі характеризують порівняльну силу впливу незалежних змінних на залежну. При параметрі це свідчить, що фондомісткість продукції сильніше впливає на продуктивність праці, ніж плинність робочої сили.

В другій економетричній моделі, яка характеризує зв’язок  продуктивності праці з фондомісткістю продукції та плинністю робочої  сили, коли кожний економічний показник має свою початкову одиницю виміру, є вільний член. Його рівень залежить від початку відрахунку змінних, а також від одиниць виміру кожної змінної моделі.

Параметр  показує, що при зміні фондомісткості продукції на 1 тис.грн. продуктивність праці зросте на 11,86 тис.грн., якщо плинність робочої сили не зміниться. Параметр показує, що при збільшенні плинності робочої сили на 1% продуктивність праці зменшиться на 0,288 тис.грн. У загальному кожний із цих параметрів характеризує граничну зміну продуктивності праці, якщо відповідний фактор зміниться на одиницю за умови, що інший є константою. Маючи оцінку параметрів лінійної моделі і та співвідношення середніх значень продуктивності праці і кожного із факторів зокрема, знайдемо коефіцієнти еластичності:

Коефіцієнти еластичності характеризують, на скільки процентів  зміниться продуктивність праці, якщо кожний із факторів, зокрема, зміниться на 1%. Так, = 0,29, тобто якщо фондомісткість продукції збільшиться на 1% , продуктивність праці – на 0,29%. = – 0,15, а це означає, що граничне збільшення продуктивності праці при зниженні плинності робочої сили на 1% складатиме 0,15%.

 

ЛІТЕРАТУРА

1. Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980.
2. Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1986.
3. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12.
4. Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое моделирование. –– М., 1975.
5. Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975.
6. Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964.
7. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971.
8. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962.
9. Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып. 1,2.
10. Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975.
11. Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в эконометрии. –– М., 1979.
12. Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964.
13. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978.
14. Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд.
15. Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States, 1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964.