Доказательство теорем

Теоре́ма Піфаго́ра  — одна із засадничих евклідової геометрії, котра встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що вона доведена грецьким математиком Піфагором, на честь котрого вона названа (є й інші версії, зокрема альтернативна думка, що ця теорема у загальному вигляді була сформульована математиком-піфагорійцем Гіппасом).

Теорема 

Теорема звучить  наступним чином:

В прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. 

Позначивши довжину  гіпотенузи трикутника як c, а довжини  катетів як a та b, отримаємо наступну формулу:

a² + b² = c²

Таким чином, теорема  Піфагора встановлює співвідношення, яке дозволяє визначити сторону  прямокутного трикутника, знаючи довжини двох інших. Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів, котра визначає співвідношення між сторонами довільного трикутника. 

Також доведено зворотнє твердження (називають також  зворотньою до теореми Піфагора):

Для будь-яких трьох  додатніх чисел a, b і c, таких що a² + b² = c², існує прямокутний трикутник з катетами a та b і гіпотенузою c.

                      Алгебраїчне доведення

Квадрати утворюються  з чотрьох прямокутних трикутників. 

1. Відомо понад  сто доведень теореми Піфагора. Тут представлено доведення засноване на теоремі існування площі фігури:

Розмістимо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено на малюнку.

2. Чотирикутник  зі сторонами c є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів 90°, а розгорнутий кут —180°

3. Площа всієї  фігури рівна, з одної сторони,  площі квадрата зі стороною  «a+b», а з іншої — сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрату.

Що і необхідно  було довести. 
 

За  подібністю трикутників                              

.                                                                                                  

Нехай ABC — прямокутний трикутник, в якому кут C прямий, як показано на рисунку. Проведемо висоту з точки C, і назвемо H точку перетину з стороною AB. Утворений трикутник ACH подібний до трикутника ABC, оскільки вони обидва прямокутні (за визначенням висоти), і в них спільний кут A, очевидно третій кут буде в цих трикутників також однаковий. Аналогічно міркуюючи, трикутник CBH також подібний до трикутника ABC. З подібності трикутників: Якщо: 
 

Тоді

Це можна записати у вигляді

Якщо додати ці дві рівності, отримаєм

іншими словами, Теорема Піфагора:

                         Доведення Евкліда 
 

В Евклідових «Началах», теорема         Піфагора доведена методом паралелограмів. Нехай A, B, C вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A. Опустимо перпендикуляр з точки A на сторону протилежну до гіпотенузи в квадраті побудованому на гіпотенузі. Лінія ділить квадрат на два прямокутники, кожен з яких має таку саму площу, що й квадрати побудовані на катетах. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються в паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються в прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

1.  Проведемо  відрізки CF і AD, отримаємо трикутники BCF і BDA.

2.  Кути CAB і  BAG — прямі; відповідно точки  C, A і G — колінеарні. Так само B, A і H.

3.  Кути CBD і  FBA — обидва прямі; тоді кут  ABD дорівнює куту FBC, оскільки обидва є 

      сумою прямого кута та кута ABC                                .

4.  Трикутник  ABD та FBC рівні за двома сторонами  та кутом між ними.

5.   Оскільки  точки A, K і L — колінеарні, площа  прямокутника BDLK дорівнює двом

       площам трикутника ABD (BDLK = BAGF = AB2)

6.   Аналогічно міркуюючи отримаєм CKLE = ACIH = AC2

7.   З одного боку площа CBDE дорівнює сумі площ прямокутників BDLK та CKLE, а з

       другого боку площа квадрата BC2, або AB2 + AC2 = BC2.

                         Теорема косинусів

В тригонометрії, Теорема косинусів це твердження про властивість довільних трикутників  котре є узагальненням теореми  Піфагора. Нехай a, b, і c це сторони трикутника, а A, B, і C це його кути протилежні вказаним сторонам. Тоді,

Ця формула  корисна для знаходження третьої  сторони трикутника якщо відомі решта  дві сторони та кут між ними, та для знаходження його кутів, якщо відомі довжини його сторін. 

Із теореми  косинусів

Твердження cos C = 0 означає що C є прямим кутом, оскільки a і b додатні. Іншими словами, це теорема Піфагора. Хоча теорема косинусів є загальнішою ніж теорема Піфагора, вона не може використовуватись для її доказу, оскільки теорема Піфагора сама використовується для доведення теореми косинусів.

                             Доведення (для гострого кута) 
 
 
 

Нехай a, b, і c це сторони трикутника а A, B, і C це кути протилежні цим сторонам. Проведемо  відрізок з вершини кута B що утворює  прямий кут із протилежною стороною, b. Якщо довжина цього відрізка x, тоді 

  звідки       

Це означає, що довжина цього відрізку   

Схожим чином, довжина частини b що з'єднує точку  перетину відрізку із стороною b та кут C рівна  Решта довжини b рівна

 Ми маємо два прямокутних  трикутники, один з катетами

  гіпотенузою c. Звідси, відповідно  до теореми Піфагора:

 завжди 1, отже

                                          Доведення теореми косинусів                                                                                               

          використовуючи вектори 

Використовуючи  вектори, ми можемо легко довести  теорему косинусів. Нехай ми маємо  довільний трикутник із вершинами A, B, і C що утворений векторами a, b, і c, нам відомо, що:

 звідси

Згадавши чому дорівнює добуток двох векторів, отримаємо

                                                Простейшее доведення теореми Піфагора                                            

     "Квадрат, побудований на гіпотенузі  прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах." Просте доведення теореми виходить в простому випадку рівнобедреного прямокутного трикутника. Ймовірно, з нього і начина-лась теорема. Насправді, досить просто поглянути на мозаїку рівнобедрених прямо-вугільних треуголь¬ников (мал. 1), щоб переконатися в справедливості теореми. Наприклад, для ?ABC : квадрат, побудований на гіпотенузі АС містить 4 початкових трикутника, а квадрати, побудовані на катетах, - по два. Теорема доведена.  Старокитайський доказ. Математичні трактати Древнього Китаю дійшли до нас в редакції II ст до н.е. Річ у тому, що в 213 р. до н.е. китайський імператор Ши Хуан-ді, прагнучи Старокитайський доказ. Математичні трактати Древнього Китаю дійшли до нас в редакції II ст до н.е. Річ у тому, що в 213 р. до н.е. китайський імператор Ши Хуан-ді, прагнучи ліквідовувати колишні традиції, наказав спалити всі древні книги. У II ст до н.е. в Китаї був винайдений папір і одночасно починається відтворення древніх книг. Так виникла тематика в дев'яти книгах” — головне з математіко, що збереглися, - астрономічних вигадувань в книзі “Математики” поміщений чер-теж (мал. 2, а), що доводить теорему Піфагора. Ключ до цього доказу підібрати не-важко. Насправді, на старокитайському кресленні чотири рівні прямокутні трикутники з катетами а, b і гіпотенузою з укладені так, що їх зовнішній контур утворює квадрат із сторо-ній а+b, а внутрішній — квадрат із стороною з, побудований на гіпотенузі (мал. 2, би). Якщо квадрат із стороною з вирізувати і що залишилися 4 затушованих трикутника укласти в два пря-моугольника (мал. 2, в), то ясно, що порожнеча, що утворилася, з одного боку, рівна с2, а з іншої — а2+Ь2, тобто с2=а2+Ь2. Теорема доведена. Відмітимо, що при такому доказі по-будови усередині квадрата на гіпотенузі, які ми бачимо на старокитайському кресленні (мал. 2, а), не використовуються. Мабуть, древнекитай¬ськие математики мали інше доказательст-во. Саме якщо в квадраті із стороною з два заштрихованих трикутника (мал. 2, би) відрізувати и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис. 2, г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют “креслом невесты”, состоит из двух квадратов со сторонами а и b, т.е. с²=а²+Ь² 

    .

На малюнку 3 відтворено креслення з трактату “Чжоу-бі...”. Тут теорема Піфагора рас-смотрена для єгипетського треугольні¬ка з катетами 3, 4 і гіпотенузою 5 одиниць виміру.

Квадрат на гіпотенузі містить 25 кліток, а вписаний в нього квадрат на більшому катеті—16. Ясно, що частина, що залишилася, містить 9 кліток. Це і буде квадрат на меншому катеті.  Староіндійський доказ. Математики Древньої Індії відмітили, що для доведення теореми Піфагора досить використовувати внутрішню частину старокитайського креслення. У на¬пісанном на пальмовому листі трактаті “Сиддханта широмані” (“Вінець знання”) найбільшого індійського математика XII ст Бхаськари поміщений креслення (мал. 4, а) з характерним для індійських доказів словом “дивися!”. Як видимий, прямо-угольньниє трикутники укладені тут гіпотенузою назовні і квадрат с2 перекладається в “крісло нареченої” а2-b2 (мал. 4, би). Відмітимо, що окремі випадки теореми Піфагора (наприклад, побудова квадрата, площа якого удвічі більше площі даного квадрата) зустрічаються в староіндійському трактаті “Сульва сутра” (VII —v вв. до н.е.).  Доказ Евкліда приведений в пропозиції 47 першої книги “Почав”. На гипоте-нузе і катетах прямокутного трикутника АВС будуються відповідні квадрати (мал. 5) і доказива¬ется, що прямокутник BJLD рівновеликий квадрату ABFH, а прямокутник ICEL — квадрату АС КС. Тоді сума квадратів на катетах дорівнюватиме квадрату на гіпотенузі. Насправді, затушовані на малюнку трикутники ABD і BFC рівні по двох сторонах і куту між ними: Fb=ab, Bc==bd і ?FBC=d+?ABC=?ABD. Але Sabd=1/2 SBJLD, оскільки в треу¬гольника ABD і прямокутника BJLD загальна підстава BD і загальна висота LD. Аналогічно Sfbc=1\2 SABFH (Bf—общєє підстава, АВ—общая висота). Звідси, враховуючи, що Sabd=sfbc, маємо Sbjld= SABFH.

Аналогічно, використовуючи равенство трикутників ВСЬК. і  АСОВІ, доводиться, що Sjcel=sackg. Отже, Sabfh+sackg=sbjld+sjcel= SBCED, що і потрібно було довести. Доказ Евкліда порівняно із старокитайським або староіндійським виглядає надмірно складним. З цієї причини його незрідка називали “ходульним” і “надуманим”. Але така думка поверхнева. Теорема Піфагора у Евкліда є завершальною ланкою в ланцюзі пропозицій 1-ої книги “Почав”. Для того, щоб логічно бездоганно побудувати цю цей ланцюг, щоб кожен крок доказу був 

 заснований на раніше доведених  пропозиціях, Евкліду потрібна  була саме вибрана ним дорога.

    Ще  давно була винайдена головоломка,  звана сьогодні “Піфагор”. Неважко  переконатися в тому, що в основі  семи частин головоломки лежать  рівнобедрений прямокутний трикутник і квадрати, побудовані на його катетах, або, інакше, фігури, складені з 16 однакових рівнобедрених прямокутних трикутників і тому що укладаються в квадрат. Така лише мала дещиця багатств, прихованих в перлині античної математики — теоремі Піфагора

. Далі я розгляну  декілька доведень алгебри теореми

    ДОВЕДЕННЯ  ТЕОРЕМИ ПІФАГОРА. Хай Т— прямокутний трикутник з катетами а, b і гіпотенузою з (мал. 6, а). Доведемо, що с2=а2+Ь2. Побудуємо квадрат Q із стороною а+Ь (мал. 6, би). На сторонах квадрата Q візьмемо крапки А, В, З, D так, щоб відрізки АВ, ВС, CD, DA відсікали від квадрата Q прямоуголь¬ниє трикутники Т1, Т2, Т3, Т4 з катетами а і b. Четирех¬угольник ABCD позначимо буквою Р. Покажемо, що Р — квадрат із стороною с.

Всі трикутники Т1, Т2, Т3, Т4  дорівнюють трикутнику Т (по двох катетах). Тому їх гипо-тенузи дорівнюють гіпотенузі трикутника Т, тобто відрізку с. Доведемо, що всі кути цього чотирьох-косинця прямі. Хай ? і ?— величини гострих кутів трикутника Т. Тоді, як вам відомо ?+?= 90°. Кут в при вершині А чотирикутника Р  разом з кутами, рівними ? і ?, складає розгорнутий кут. Тому ?+?=180°. І так як ?+?= 90°, то ?=90°. Так само доводиться, що і останні кути чотирикутника Р прямі. Следователь¬но, чотирикутник Р — квадрат із стороною с.

     Квадрат  Q із стороною а+Ь складається  з квадрата Р із стороною  з і чотири треугольні-ков, рівних треуголь¬нику Т. Поетому для їх площ виконується рівність S(Q)=S(P)+4S(T) .

Оскільки S(Q)=(a+b) 2 ; S(P)=c2 і S(T)=1/2(ab), то, підставляючи ці вирази в S(Q)=S(P)+4S(T), отримуємо рівність

(a+b) 2=c2+4*(1/2) ab . Оскільки (a+b) 2=a2+b2+2ab, ту рівність (a+b) 2=c2+4*(1/2) ab мож¬но записати так: a2+b2+2ab=c2+2ab.

З рівності a2+b2+2ab=c2+2ab виходить, що с2=а2+Ь2. 

ЩЕ  ОДИН ДОКАЗ АЛГЕБРИ. Хай АВС — даний прямоуголь¬ний трикутник з прямим кутом С. Проведем висоту CD з вершини прямого кута З (мал. 7).

         За визначенням  косинуса кута (Косинусом гострого  кута прямокутного трикутника  на-зи¬ваєтся відношення прилеглого  катета до гіпотенузи) соsА=ad/ac=ac/ab. Звідси Ab*ad=ac2. Аналогічно соsВ=bd/bc=bc/ab. Звідси Ab*bd=ВС2. Складаючи отриману рівність почленно і помічаючи, що Ad+db=ab, отримаємо: АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2. Теорема доведена.

           Висновок. Значення цієї теореми полягає перш за все в тому, що з неї або з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. На жаль, неможливо тут привести все або навіть найкрасивіші доведення теореми, проте хочеться сподівається, що наведені приклади переконливо свідчать про величезний інтерес сьогодні, та і вчора, що проявляється по відношенню до неї. 
 
 
 
 

                                   Доказу методом розкладання

  Існує цілий  ряд доказів теореми Піфагора, в яких квадрати, побудовані на  катетах і на гіпотенузі, розрізають  так, що кожній частині квадрата,построєнного  на гіпотенузі, відповідає частина  одного з квадратів, побудованих на катетах. У всіх цих випадках для розуміння доказу досить одного погляду на креслення; міркування тут може бути обмежене єдиним словом: "Дивися!", як це робилося у вигадуваннях древніх індуських математиків. Слідує, проте, відмітити, що насправді доказ не можна вважати повним, поки ми не довели рівності всіх відповідних один одному частин. Це майже завжди досить не важко зробити, проте може (особливо при великій кількості частин) зажадати досить тривалої роботи.

                          Доказ Епштейна 

Почнемо з доказу Епштейна(мал. 1); його перевагою є те, що тут як складові частини розкладання фігурують  виключно трикутники. Щоб розібратися  в кресленні, відмітимо, що пряма CD проведена  перпендикулярно прямою EF.  Розкладання на трикутники можна зробити і наочнішим, ніж на малюнку. 

                        Доказ Нільсена.

  На малюнку  допоміжні лінії змінені за  пропозицією Нільсена.

Доказ Бетхера

.  На малюнку  дано вельми наочне розкладання  Бетхера..

                          Доказ Перігаля. 

У підручниках  незрідка зустрічається розкладання  вказане на малюнку (так зване "колесо з лопатями"; цей доказ  знайшов Перігаль). Через центр O квадрата, побудованого на більшому катеті, проводимо прямі, паралельну і перпендикулярну гіпотенузі. Відповідність частин фігури добре видно з креслення

.

           Доказательство Гутхейля. 

 Змальоване на малюнку розкладання належить Гутхейлю; для нього характерне наочне розташування окремих частин, що дозволяє відразу побачити, які спрощення спричинить випадок рівнобедреного прямокутного трикутника..

                     Доказ 9  століть  н.е.                                                                                         доказ 9 століть н.е.  століть н.е.  Раніше були представлені лише такі докази, в яких квадрат, побудований на гіпотенузі, з одного боку, і квадрати, побудовані на катетах, з іншою, складалися з рівних частин. Такі докази називаються доказами за допомогою складання ("аддитивними доказами") або, частіше, доказами методом розкладання. До цих пір ми виходили із звичайного розташування квадратів, побудованих на відповідних сторонах трикутника, тобто зовні поза трикутником. Проте у багатьох випадках вигідніше інше розташування квадратів.

На малюнку  квадрати, побудовані на катетах, розміщені рівнями один поряд з іншим. Цю фігуру, яка зустрічається в доказах, що датуються не пізніше, ніж 9 століттям н. е., індуси називали "стільцем нареченої". Спосіб побудови квадрата із стороною, рівній гіпотенузі, ясний з креслення. Загальна частина двох квадратів, побудованих на катетах,, і квадрата, побудованого на гіпотенузі, - неправильний заштрихований п'ятикутник 5. Приєднавши до нього трикутники 1 і 2, отримаємо обидва квадрати, побудовані на катетах; якщо ж замінити трикутники 1 і 2 рівними ним трикутниками 3 і 4, то отримаємо квадрат, побудований на гіпотенузі. На малюнках нижче змальовано два різні розташування близьких до того, яке дається на першому малюнку.