Эйлеров Граф
Введение………………………………………………….
1.Дерево.Свойство деревьев
2.Элеров Граф
3.Критерии Существования Эйлера цикла.
4.Теорема Эйлера
Заключение……………………………………………….
Список Литературы…………………………………
Первая работа по теории
графов, принадлежащая известному швейцарскому
математику Л.Эйлеру, появилась в 1736г.
Вначале теория графов казалась довольно
незначительным разделом математики,
так как она имела дело в
основном с математическими
В настоящее время эта теория находит многочисленное применение в разнообразных практических вопросах: при установлении разного рода соответствий, при решении транспортных задач, задач о потоках в сети нефтепроводов, в программировании и теории игр, теории передачи сообщений. Теория графов теперь применяется и в таких областях, как экономика, психология и биология.
В этой работе мы подробнее рассмотрим эйлеровы графы, основные сведения и теоремы, связанные с этим понятием. А также задачи, которые решаются с помощью эйлеровых графов.
Дерево. Свойство деревьев
Деревом называется связный граф, не содержащий циклов. Любой (в том числе несвязный) граф без циклов называется ациклическим. Несвязный граф, каждая компонента связности которого является деревом, называется лесом. Можно сказать, что деревья являются компонентами леса. На рис.1 изображены два дерева G1, G2 и лес G3.
Рис.1
Сформулируем основные свойства деревьев. Сделаем это в виде совокупности утверждений, которые эквивалентны между собой (т.е. из любого утверждения следует любое другое) [].
Теорема 1. Пусть G(X, E) – неориентированный граф с p вершинами и q ребрами. Тогда следующие утверждения эквивалентны.
1 . G есть дерево.
2 . Любые две различные вершины x и y графа G соединены единственной простой цепью.
3 . G – связный граф, утрачивающий это свойство при удалении любого из его ребер.
4 . G – связный граф и p = q + 1.
5 . G – ациклический граф и p = q + 1.
6 . G – ациклический граф, причем если любые две его вершины x и y соединить ребром e, то в полученном графе будет ровно один простой цикл.
Для доказательства теоремы достаточно доказать следующую цепочку следствий: 1 Þ 2 Þ 3 Þ 4 Þ 5 Þ 6 Þ 1 , так как это означает, что из любого утверждения 1 – 6 выводится любое другое.
1 Þ2 . Так как граф связен, то любые две его вершины можно соединить простой цепью. Пусть m1 и m2 - две различные простые цепи, соединяющие вершины x и y. Если цепи m1 и m2 не имеют общих вершин, за исключением вершин x и y, то есть простой цикл. Предположим, что цепи m1 и m2 имеют общие вершины, отличные от x и y. Пусть z – первая из таких вершин при движении от вершины x к вершине y и пусть m1(x, z) и m2(x, z) – части цепей m1 и m2, взятые от вершины x до вершины z. Тогда - простой цикл. Это противоречит тому, что граф ацикличен, и поэтому m1=m2, т.е. утверждение 2 доказано.
2 Þ3 . Граф G – связен, поскольку любые две его различные вершины x и y соединены простой цепью. Возьмем некоторое ребро графа e = (x, y). Согласно 2 простая цепь m={e} между вершинами x и y единственна. Если ребро e удалить, то вершины x и y будет невозможно соединить простой цепью, и полученный граф будет несвязным. Утверждение 3 доказано.
3 Þ4 . По условию 3 граф связен. Соотношение p = q + 1 докажем по индукции. Если граф имеет две вершины и удовлетворяет 3 , то он выглядит так:
В этом случае p = 2, q = 1 и соотношение p = q + 1 выполняется. Предположим теперь, что соотношение верно для всех графов, удовлетворяющих 3 и имеющих меньше, чем p вершин, и докажем его для графа G с p вершинами. Удалим из графа G произвольное ребро e. Тогда новый граф G´ будет несвязным и будет состоять из двух связных компонент G1 и G2. По предположению индукции имеем
p1 = q1 + 1, p2 = q2 + 1,
где pi – число вершин компоненты Gi, qi – число ее ребер. Следовательно,
p = p1 + p2, q = q1 + q2 + 1,
поэтому p = q1 + q2 + 2 = q + 1, и свойство 4 доказано.
4 Þ5 . Предположим, что граф G, удовлетворяющий 4 , имеет простой цикл m длиной l ³ 1. Этот цикл содержит l вершин и l ребер. Для любой из p - l вершин, не принадлежащих циклу m, существует инцидентное ей ребро, лежащее на кратчайшей цепи ( т.е. цепи минимальной длины), идущей от данной вершины к некоторой вершине цикла m. Все такие ребра попарно различны. Если вершины x1 и x2 инцидентны одному такому ребру e, то e = (x1, x2), и кратчайшая цепь m1 для вершины x1 проходит через вершину x2, а кратчайшая цепь m2 для вершины x2 проходит через вершину x1 (рис. 2). Это противоречит тому, что цепи m1 и m2 – кратчайшие. Общее число ребер q в графе G в этом случае не меньше, чем l + p – l = p, т.е. q ³ p, что противоречит соотношению p = q + 1. Отсюда следует, что G – ациклический граф, и утверждение 5 доказано.
Рис. 2
5 Þ6 . Так как G – ациклический граф, то каждая его компонента связности Gi (i = 1, 2, …, k) является деревом. Для каждой компоненты Gi имеем в соответствии с 5 pi = qi + 1, откуда , т.е. p = q + k. С другой стороны, p = q + 1, поэтому k = 1, т.е. граф G связен. Таким образом, G – дерево. Тогда (см. 2 ) любые две различные вершины x и y графа G соединены единственной простой цепью. Если добавить ребро между несмежными вершинами x и y, то оно образует с указанной цепью единственный простой цикл. Утверждение 6 доказано.
6 Þ1 . По условию 6 G – ациклический граф. Если граф G не является связным, то возьмем вершины x и y из различных компонент связности графа G и соединим их ребром e. Построенный граф является, как и граф G, ациклическим. Это противоречит свойству G, поэтому G – связный граф, и свойство 1 доказано. Таким образом, доказана и теорема 1.
Определение, аналогичное дереву, можно ввести и для орграфа.
Определение 2. Орграф G(X, E) называется прадеревом или ориентированным деревом, растущим из корня x0, при следующих условиях:
1 . Неориентированный граф G', соответствующий графу G, является деревом.
2 . Единственная простая цепь между x0 и любой другой вершиной x графа G' является путем в орграфе G, идущим из вершины x0 в вершину x.
На рис. 3 изображено ориентированное дерево.
Рис. 3
В неориентированном графе G(X, E) вершина x называется концевой или висячей, если d(x) = 1, т.е. если этой вершине инцидентно единственное ребро e. Это ребро также называется концевым или висячим. С висячими вершинами связана следующая теорема.
Теорема 2. В любом дереве G(X, E) с p ³ 2 вершинами имеется не менее двух концевых вершин.
Доказательство. Пусть q – число ребер дерева G. В силу теоремы 1 p = q + 1. Кроме того, из теоремы 1.1 имеем
.
Таким образом, получаем
. (1)
Предположим, что x0 – единственная концевая вершина в дереве G. Тогда d(x0) = 1, d(x) ³ 2, если x ¹ x0. Отсюда
. (2)
Неравенство (2) противоречит (1), поэтому либо концевых вершин нет, либо их по крайней мере две. Если концевых вершин в G нет, то d(x) ³ 2 для всех xÎX. Тогда
. (3)
Неравенство (3) тоже противоречит (1). Отсюда следует, что концевых вершин в G две или больше. Теорема доказана.
Важным является вопрос о том, сколько существует деревьев с заданным числом вершин. Для деревьев с помеченными вершинами (например пронумерованными) или для помеченных деревьев ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 3. (А. Кэли, 1897 г.). Число помеченных деревьев с p вершинами равно pp-2.
Доказательство. Пусть G(X, E) – дерево с p помеченными вершинами. Для простоты предположим, что вершины пронумерованы в произвольном порядке числами 1, 2, …, p. Рассмотрим способ, позволяющий однозначно закодировать дерево G.
В соответствии с теоремой 2 дерево G имеет концевые вершины. Пусть x1 – первая концевая вершина в последовательности 1, 2, …, p и пусть e1 = (x1, y1) – соответствующее концевое ребро. Удалим из дерева вершину x1 и ребро e1. Получим новое дерево G1 с числом вершин p - 1. Найдем теперь первую концевую вершину x2 дерева G1 в последовательности вершин 1, 2, … …, p из множества {1, 2, …, p }\{x1}, далее возьмем концевое ребро e2 = (x2, y2) и удалим из G1 x2 и e2. Эту процедуру последовательно повторяем. Через (p - 2) шага остается дерево из двух вершин xp-1, yp-1 и одного ребра ep-1 = (xp-1, yp-1). Рассмотрим последовательность вершин
s(G) = {y1, y2, …, yp-2}.
Очевидно, что по данному дереву последовательность строится однозначно. Покажем теперь, что по данной последовательности вершин s (G) дерево G можно восстановить однозначно. В последовательности 1, 2, …, p существуют вершины, не принадлежащие s (G). Выберем первую из них x1 и построим ребро e1 = (x1, y1). Затем удалим x1 из последовательности 1, 2, …, n и y1 удалим из s(G). Аналогичным образом построим ребро e2 = (x2, y2). Продолжая этот процесс, мы однозначно восстановим дерево G. Рассмотрим пример.
Построение кода |
Восстановление |
s(G) |
s(G) и список вершин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотренный пример позволяет отметить следующие две особенности:
1 В списке s(G) вершины могут повторяться.
2 . При восстановлении
дерева последнее ребро
Итак, существует
взаимно однозначное
Отметим, что среди pp-2 помеченных деревьев с p вершинами могут быть и изоморфные.
Определение 3. Подграф G1(X1, E1) неориентированного графа G(X, E) называется каркасом, или остовным деревом графа G, если G1 – дерево и X = X1.
Теорема 4. Граф G(X, E) тогда и только тогда обладает каркасом, когда он связен.
Доказательство. Необходимость этого очевидна. Докажем достаточность. Пусть G(X, E) – связный граф. Выясним, есть ли в графе G такое ребро, удаление которого не нарушает связности графа G. Если таких ребер нет, то граф есть дерево в соответствии с теоремой 1. Если же такое ребро, например e, существует, то выбросим его и придем к графу G1(X, E\{e}). Затем указанную процедуру проделываем с графом G1 и т.д. Через конечное число шагов будет построен, очевидно, каркас графа G. Теорема доказана.
Доказательство теоремы дает алгоритм построения некоторого каркаса в связном графе. Однако связный граф может иметь несколько каркасов, поэтому естественно поставить задачу выбора каркаса, удовлетворяющего дополнительным условиям.
Определение 4. Графом с нагруженными ребрами (нагруженным графом) называется неориентированный граф G(X, E), каждому ребру eÎE которого поставлено в соответствие число m(e) ³ 0, называемое весом или длиной ребра e.
Аналогично можно определить нагруженный орграф.
Поставим задачу нахождения такого каркаса G1(X, E1) в нагруженном графе G(X, E), для которого сумма
минимальна. Каркас с таким свойством называется минимальным каркасом. В соответствии с теоремой 4 каждый нагруженный связный граф обладает минимальным каркасом. Эта задача возникает при проектировании линий связи и электропередач, дорог, трубопроводов и т.п., когда требуется соединить системой каналов связи заданные узлы так, чтобы любые два узла были связаны (возможно, через другие узлы), а общая длина каналов связи была минимальной; при этом узлы можно считать вершинами нагруженного графа, весам ребер которого соответствует длина возможного канала связи между соответствующими узлами. Тогда искомая сеть каналов будет минимальным каркасом этого графа.
Эйлеровы Графы
Решение Эйлером задачи о Кёнигсбергских мостах привела к первой опубликованной работе по теории графов. Задачу об обходе мостов можно обобщить и получить следующую задачу теории графов: можно ли найти в данном графе G цикл, содержащий все вершины и все рёбра? Граф, в котором это возможно, называется эйлеровым. Таким образом, эйлеров граф имеет эйлеров цикл – замкнутую цепь, содержащую все вершины и все рёбра. Ясно, что эйлеров граф должен быть связным.[6]
Если снять ограничения на замкнутость цепи, то граф называется полуэйлеровым.
Теорема 1(критерий):
Граф с более чем одной вершиной имеет эйлеров цикл тогда и только тогда, когда он связный и каждая его вершина имеет чётную степень.
Доказательство: Предположим, что граф G имеет эйлеров цикл. Граф является связным, так как каждая вершина принадлежит циклу. Для всякой вершины v графа G каждый раз, когда эйлеров цикл проходит черезv, он вносит 2 в степень v. Поэтому степень v чётная.
Обратно, нужно показать, что каждый связный граф, у которого степени вершин чётные, имеет эйлеров цикл. Докажем эту теорему, используя индукцию по числу вершин. Поскольку теорема тривиально справедлива при n£3, начнём индукцию с n=3. Предположим, что каждый связный граф, имеющий менее k вершин, и все вершины которого обладают чётной степенью, содержит эйлеров цикл. Пусть G – связный граф, содержащий k вершин, степени которых чётные. Допустим, что v1 и v2 - вершины графа G. Поскольку граф G – связный, существует путь из v1 в v2 .Поскольку степень v2 – чётная, существует неиспользованное ребро, по которому можно продолжить путь. Поскольку граф конечный, то путь, в конце концов, должен вернуться в v1 , и эйлеров цикл С1 можно считать построенным. Если С1 является эйлеровым циклом для G, тогда доказательство закончено. Если нет, то пусть G/ - подграф графа G, полученный удалением всех рёбер, принадлежащих С1. Поскольку С1 содержит чётное число рёбер, инцидентных каждой вершине, каждая вершина подграфа G/ имеет чётную степень.
Пусть e – ребро графа G/ , пусть Ge – компонента графа G/ , содержащая е. Поскольку G/ имеет менее, чем k, вершин, и у каждой вершины графа G/ чётная степень, граф G/ имеет эйлеров цикл. Пусть С2 . Далее у С1 и С2 имеется общая вершина, допустим, а. Теперь можно продолжить эйлеров цикл, начиная его в а, пройти С1 , вернуться в а, затем пройти С2 и вернуться в а. Если новый эйлеров цикл не является эйлеровым циклом для G , продолжаем использовать этот процесс, расширяя наш эйлеров цикл, пока, к конце концов, не получим эйлеров цикл для G .[1]
Из теоремы 1 следует, что если в связном графе G нет вершин с нечётными степенями, то в G есть замкнутая цепь, содержащая все вершины и все рёбра графа G. Аналогичный результат справедлив для связных графов, имеющих некоторое число вершин с нечётными степенями.
Следствие 1(а): Пусть G- связный граф, в котором 2n вершин имеют нечётные степени, n>1. Тогда множество рёбер графа G можно разбить на n открытых цепей.
Следствие 1(б): Пусть G- связный граф, в котором две вершины имеют нечётные степени. Тогда в G есть открытая цепь, содержащая все вершины и все рёбра графа G (и начинающаяся в одной из вершин с нечётной степенью, а кончающаяся в другой).[6]
Эйлеровым путём в графе называется путь, содержащий все рёбра графа. Эйлеров путь называется собственным, если он не является эйлеровым циклом.[1]
Теорема 2: Если граф G обладает эйлеровым путём с концами А и В (А не совпадает с В), то граф G связный и А и В – единственные нечётные его вершины.
Доказательство: Связность графа следует из определения эйлерова пути. Если путь начинается в А, а заканчивается в другой вершине, то и А и В – нечётные даже если путь неоднократно проходил через А и В. В любую другую вершину графа путь должен был привести и вывести из неё, то есть все остальные вершины должны быть чётными.
Теорема 3: (обратная) Если граф G связный и А и В единственные нечётные вершины его, то граф G обладает эйлеровым путём с концами А и В.
Доказательство: Вершины А и В могут быть соединены ребром в графе, а могут быть соединены.
Если А и В соединены ребром, то удалим его; тогда все вершины станут чётными. Новый граф (по теореме 1) обладает эйлеровым циклом, началом и концом которого может служить любая вершина. Начнём эйлеров путь в вершине А и кончим его в вершине А. Добавим ребро (А,В) и получим эйлеров путь с началом в А и концом в В.
Если А и В не соединены ребром, то к графу добавим новое ребро (А,В), тогда все вершины его станут чётными. Новый граф (по теореме 1) обладает эйлеровым циклом. Начнём его из вершины А по ребру (А,В). Заканчивается путь тоже в вершине А. Если удалить теперь из полученного цикла ребро (А,В), то останется эйлеров путь с началом в В и концом в А или началом в А и концом В.
Таким образом, всякую замкнутую
фигуру, имеющую в точности две
нечётные вершины, можно начертить
одним росчерком без
Теорема 4: Если связный граф G имеет 2k нечётных вершин, то найдётся семейство из k путей, которые в совокупности содержат все рёбра графа в точности по одному разу.
Доказательство: Половину нечётных вершин обозначим А1,А2,…,Аk,другую половину В1,В2,…,Вk(рис.7). Если вершины Аi и Вi (1<i<k) соединены ребром, то удалим из графа G ребро (Аi,Вi). Если вершины А и В не соединены ребром, то добавим к G ребро (Аi,Вi). Все вершины нового графа будут чётными, то есть в новом графе найдётся эйлеров цикл. При восстановлении графа G цикл разобьется на k отдельных путей, содержащих все рёбра графа.[2]
Пусть G=(V,E) – ориентированный граф. Ориентированным циклом называется ориентированный путь ненулевой длины из вершины в ту же вершину без повторения ребер.
Пусть G=(V,E) – ориентированный граф. Ориентированный цикл, который включает все рёбра и вершины графа G, называется эйлеровым циклом. Говорят, что ориентированный граф G имеет эйлеров цикл.
Теорема 5: Ориентированный граф имеет эйлеров цикл тогда и только тогда, когда он связный и степень входа каждой вершины равна степени выхода.[1]
Критерии существования
Что необходимо, чтобы в графе существовал эйлеров цикл? Во-первых, граф должен быть связанным: для любых двух вершин должен существовать путь, их соединяющий. Во-вторых, для неориентированных графов число ребер в каждой вершине должно быть четным. На самом деле этого оказывается достаточно.
Теорема 1. Чтобы в связанном неориентированном графе G существовал эйлеров цикл, необходимо и достаточно, чтобы число вершин нечетной степени было четным.
Доказательство.
Необходимость. Любой эйлеров цикл должен прийти в вершину по одному ребру и покинуть ее по другому, так как любое ребро должно использоваться ровно один раз. Поэтому, если G содержит эйлеров цикл, то степени вершин должны быть четными.
Достаточность. Пусть G — связный неориентированный граф, все вершины которого имеют четную степень. Начнем путь из некоторой произвольной вершины x0 и пойдем по некоторому ранее не использованному ребру к следующей вершине, и так до тех пор, пока не вернемся в вершину x0 и не замкнем цикл. Если все ребра окажутся использованными, то нужный эйлеров цикл построен. Если же некоторые ребра не использованы, то пусть Ф — только что построенный цикл. Так как граф G связен, то цикл Ф должен проходить через некоторую вершину, скажем xi, являющуюся конечной вершиной какого-либо до сих пор не использованного ребра. Если удалить все ребра, принадлежащие Ф, то в оставшемся графе все вершины по-прежнему будут иметь четную степень, так как в цикле Ф должно быть четное число ребер (0 является четным числом), инцидентных каждой вершине.
Начиная теперь с xi, получаем цикл Ф’, начинающийся и оканчивающийся в xi. Если все оставшиеся ранее ребра использованы для цикла Ф’, то процесс окончен. Нужный эйлеров цикл будет образован частью цикла Ф от вершины x0 до xi, затем циклом Ф’ и, наконец, частью цикла Ф от вершины xi до x0. Если же все еще остались неиспользованные ребра, то объединение построенных выше циклов Ф и Ф’ дает новый цикл Ф. Мы снова можем найти вершину xj, принадлежащую циклу и являющуюся концевой вершиной некоторого неиспользованного ребра. Затем мы можем приступить к построению нового цикла Ф’, начинавшегося в xj, и так до тех пор, пока не будут использованы все ребра и не будет получен таким образом эйлеров цикл Ф. Это доказывает теорему.
Хотя доказательство проведено для неориентированных графов, оно сразу переносится на ориентированные, только требование четности заменяется теперь на такое: число входящих в каждую вершину ребер должно быть равно числу выходящих.
Следствие #1.
Для связного эйлерова графа G множество ребер можно разбить на простые циклы.
Следствие #2.
Для того чтобы связный граф G покрывался единственной эйлеровой цепью, необходимо и достаточно, чтобы он содержал ровно 2 вершины с нечетной степенью. Тогда цепь начинается в одной из этих вершин и заканчивается в другой.
В доказательстве теорем Коши и Александрова используется теорема Эйлера. Эта знаменитая теорема впервые появилась в 1752 году в журнале Петербургской академии наук в работах Леонарда Эйлера 1 "Элементы учения о телах" и "Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями".
Теорема Эйлера. Пусть В --- число вершин выпуклого многогранника, Р --- число его ребер и Г --- число граней. Тогда верно равенство
В-Р+Г=2.
Число =В-Р+Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То что эйлерова характеристика равна 2 для некоторых знакомых нам многогранников, видно из таблицы.
Многогранник |
В |
Р |
Г |
|
Тетраэдр |
4 |
6 |
4 |
2 |
Октаэдр |
6 |
12 |
8 |
2 |
Параллелепипед |
8 |
12 |
6 |
2 |
n-угольная пирамида |
n+1 |
2n |
n+1 |
2 |
n-угольная призма |
2n |
3n |
n+2 |
2 |
Рис. 21. |
Для доказательства теоремы Эйлера возьмем произвольную грань F1 многогранника, а также смежную с ней по ребру грань F2. Подчеркнем, что эту пару граней ограничивает связный (т. е. состоящий из одного куска) несамопересекающийся контур из ребер этих граней. Выберем третью грань F3, которая прилегает к этой паре по некоторому связному куску ломаной, состоящей из ребер (рис. 21). Это, как нетрудно увидеть, всегда можно сделать. Тогда граница тройки этих граней тоже представляет собой связный несамопересекающийся контур. Легко показать, что к уже отобранным граням можно присоединить четвертую грань, затем пятую и т. д. так, чтобы получающаяся на очередном шаге совокупность граней F1, F2, ..., Fi была ограничена связным несамопересекающимся контуром.
Подсчитывать эйлерову характеристику многогранника будем поэтапно. На первом этапе вклад грани F1 в эйлерову характеристику, т. е. число вершин грани минус число ее ребер (такое же) плюс число граней (в данном случае равное 1), равен 1. Присоединяя новую грань F2, мы прибавляем некоторое число новых вершин, отнимаем число (меньшее числа вершин на единицу) новых ребер и прибавляем единицу, соответствующую новой грани. В итоге, вклад в эйлерову характеристику на втором этапе нулевой. Так как присоединяемая на каждом этапе грань имеет с предыдущими гранями общую границу в виде одной связной ломаной, то на каждом шаге (за исключением последнего) число новых вершин на единицу меньше числа новых ребер. Поэтому на каждом шаге, начиная со второго вплоть до предпоследнего, вклад в эйлерову характеристику нулевой. Присоединение последней грани не дает ни новых вершин, ни новых ребер, добавляя в эйлеровой характеристике к уже имеющейся единице еще одну, соответствующую последней грани. Таким образом, на последнем этапе мы получаем эйлерову характеристику многогранника, равную 2.
Рис. 22. |
Теорема Эйлера имеет огромное значение в геометрии. Эта теорема породила новое направление в математике --- топологию. Эйлерова характеристика не зависит ни от длин ребер, ни от площадей граней, ни от каких-либо углов многогранника. Эйлерова характеристика равна 2 независимо от того, выпуклый это многогранник или нет. Главное --- чтобы поверхность этого многогранника не имела дыр и была " похожа" на сферу, а не на рамку (рис. 22). Для многогранника, " похожего" на рамку, эйлерова характеристика равна 0.
В данной работе были рассмотрены основные понятия теории Эйлерова графа Известно, что эйлеровы графы получили широкое распространение и популярность благодаря тому, что многие головоломки и задачи можно решить с использованием знаний теории графов. Частные примеры таких головоломок и сюжетных задач были приведены в практической части. Задачи на отыскание путей через лабиринты, близкие к задачам на эйлеровы графы, находят применение в современной психологии и при конструировании вычислительных машин. Также с практической точки зрения, сейчас графы применяют во многих других областях науки таких как: программирование, физика, химия, биология, экономика и т.д.
Харари Ф. Теория графов. – М.: Мир, 1973, http://www.mccme.ru ,
