Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Эйлеровы и гамельтовы графы

ВВЕДЕНИЕ

Первая работа по теории графов, принадлежащая известному швейцарскому математику Л.Эйлеру, появилась в 1736г. Вначале теория графов казалась довольно незначительным разделом математики, так как она имела дело в основном с математическими развлечениями и головоломками. Однако дальнейшее развитие математики и особенно её приложений дало сильный толчок развитию теории графов. Уже в XIX столетии графы использовались при построении схем.

В настоящее время эта теория находит многочисленное применение в разнообразных практических вопросах: при установлении разного рода соответствий, при решении транспортных задач, задач о потоках в сети нефтепроводов, в программировании и теории игр, теории передачи сообщений. Теория графов теперь применяется и в таких областях, как экономика, психология и биология.

В этой работе мы подробнее рассмотрим эйлеровы графы, основные сведения и теоремы, связанные с этим понятием. А также задачи, которые решаются с помощью эйлеровых графов.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ

ПОНЯТИЕ "ГРАФ"

Граф G – пара (V,X), где V конечное непустое множество, содержащее p вершин, а множество Х содержит q неупорядоченных пар различных вершин из V.

Каждую пару X={u,v} вершин в Х называют ребром графа G и говорят, что Х соединяет u и v.Мы будем писать X=uv и говорить, что u и v – смежные вершины. Вершина u и ребро Х инцидентны, так же как v и Х. Если два различных ребра X и Y инцидентны одной и той же вершине, то они называются смежными. Граф с р вершинами и q ребрами называется (p;q)- графом. Граф (1,0)- называется тривиальным.[6]

Если элементом множества V может быть пара одинаковых элементов u, то такой элемент множества V называется петлёй.[3]

Типы графов:

Мультиграф, в нём не допускаются петли, но пары вершин могут соединяться более чем одним ребром, эти рёбра называются кратными (рис.1).
Псевдограф, в нём допускаются петли и кратные рёбра (рис.2).

Рис.1 Рис.2

Ориентированный граф, или орграф, состоит из конечного непустого множества V вершин и заданного набора Х упорядоченных пар различных вершин. Элементы из Х называются ориентированными рёбрами, или дугами. Нет петель и кратных дуг (рис. 3).

Направленный граф – это орграф, не имеющий симметричных пар ориентированных рёбер (рис.4).
Помеченные графы (или перенумерованные), если его вершины отличаются одна от другой какими-либо пометками. В качестве пометок обычно используются буквы или целые числа.[6]

Степенью вершины v_i в графе G называется число рёбер, инцидентных v_i ,обозначается d_i.[6] Для орграфа вводятся понятия степени входа и выхода. Степенью выхода вершины v называется количество рёбер, для которых v является начальной вершиной, обозначается outdeg(v). Степенью входа вершины v называется количество рёбер , для которых v является конечной вершиной, обозначается indeg(v). Если indeg(v)=0, то вершина v называется источником. Если outdeg(v)=0, то вершина v называется стоком.

1.2. Маршруты и связность

Граф G^/(U^/,V^/) называется подграфом графа G(U,V), если U^/ÌU и V^/ÌV. Обозначение: G^/ÌG.

Если V^/=V, то G^/ называется остовным подграфом G.[3]

Маршрутом в графе G называется чередующаяся последовательность вершин и рёбер v₀,x₁,v₁,…v_n-1,x_n,v_n; эта последовательность начинается и кончается вершиной, и каждое ребро последовательности инцидентно двум вершинам, одна из которых непосредственно предшествует ему, а другая непосредственно следует за ним. Указанный маршрут соединяет вершины v₀ и v_n и его можно обозначить v₀v₁v₂…v_n (наличие рёбер подразумевается). Эта последовательность иногда называется (v₀-v_n)-маршрутом. Маршрут замкнут, если v₀=v_n, и открыт в противном случае. Маршрут называется цепью, если все его рёбра различны, и простой цепью, если все вершины (а следовательно, и рёбра ) различны. Замкнутая цепь называется циклом. Замкнутый маршрут называется простым циклом, если все его n вершин различны и n³3.

Граф G называется связным, если любая пара его вершин соединена простой цепью.

Свойства маршрутов, цепей и циклов

Всякий незамкнутый (и, v)- маршрут, содержит в себе простую (и, v)- цепь. В частности, любая (и, v)- цепь, содержит в себе простую (и, v)- цепь. Причем, если (и, v)- маршрут содержит в себе вершину w (w^u и w^v), то в общем случае, простая (и, v)- цепь может не содержать в себе вершину w.
Всякий непростой цикл можно разбить на два или более простых. Причем для замкнутого маршрута такое утверждение не верно.
Всякая непростая (и, v)- цепь, может быть разбита на простую (и, v)- цепь и один или более простых циклов. Причем для незамкнутого маршрута такое утверждение не верно.

4) Для любых трех вершин и, w, v из существования (и, w)- цепи их и (w, v)- цепи, следует существование (и, v)- цепи. Причем может не существовать

(и, v)- цепи, содержащей вершину w.

5) Объединение двух несовпадающих простых (и, v)- цепей содержит простой цикл.

Если граф содержит 2 несовпадающих цикла с общим ребром e, то после удаления этого ребра граф по-прежнему содержит цикл.

Лемма. Если два графа изоморфны:

то они одного порядка;
у них одинаковое количество ребер;
для произвольного i, 0 <i<n-1, (n - порядок графов) количество вершин степени i, у обоих графов одинаковое;
у них совпадают обхваты;
у них одинаковое количество простых циклов минимальной длины (по количеству ребер).

Граф называется связным, если любые две его несовпадающие вершины соединены маршрутом. Очевидно, что для связности графа необходимо и достаточно, чтобы в нем для какой-либо фиксированной вершины и и каждой другой вершины v существовал (и, v)- маршрут.

Теорема. Граф G=(V,E) связен тогда и только тогда, когда множество

его вершин нельзя разбить на два непустых подмножества V1 и V2 так, чтобы обе граничные точки каждого ребра находились в одном и том же множестве.

Всякий максимальный связный подграф графа G называется связной компонентой (или компонентой) графа G. Слово "максимальный" означает максимальный относительно включения, т.е. не содержащийся в связном подграфе с большим числом элементов. Множество вершин связной компоненты называется областью связности.

1.3. СТЕПЕНИ ВЕРШИН ГРАФА И ИХ СВОЙСТВА

Степенью вершины графа G называется число инцидентных ей ребер, т.е. число вершин в ее окружении. Будем обозначать степень вершины v через deg_Gv (или deg v).Тем самым deg v=|N(v)|. Максимальная и минимальная степени вершин графа G обозначаются символами Δ(G) и δ(G) соответственно.

Вершина степени 0 называется изолированной, вершина степени 1 — висячей (или концевой). Ребро, инцидентное концевой вершине также называется концевым.

Теорема. Сумма степеней всех вершин графа есть число, равное удвоенному числу ребер.

Следствие (лемма о рукопожатиях). В любом графе число вершин нечетной степени четно.

Граф называется регулярным (или однородным), если степени всех его вершин равны; степенью регулярного графа называется степень его вершин. Степень регулярного графа G обозначается через deg G.

Матрицей смежности графа G с множеством вершин {v₁ ..., v_n} (соответствующей данной нумерации вершин) называется матрица А = (a_ij) размера n X n, в которой элемент а_ij- равен числу ребер в G, соединяющих v₁ и v_j. Например, на рис. 2.6 дана матрица смежности графа, изображенного на рис. 2.4.

Можно получить несколько различных матриц смежности данного графа, меняя обозначения его вершин; это приведет к изменению порядка строк и столбцов матрицы Л. Но в результате всегда получится симметричная матрица из неотрицательных целых чисел, обладающая тем свойством, что сумма чисел в любой строке или столбце равна степени соответствующей вершины (здесь каждая петля учитывается в степени вершины один раз). Обратно, по любой заданной симметричной матрице из неотрицательных целых чисел легко построить граф (единственный с точностью до изоморфизма), имеющий данную матрицу своей матрицей смежности. Отсюда следует, что теорию графов можно свести к изучению матриц особого типа.

Примеры задач и их решение

Задача 1.

Утверждают что в одной компании из пяти человек каждый знаком с двумя и только с двумя другими. Возможна ли такая компания?

Решение.

Каждого из этой компании изобразим на рисунке кружком. Если двое знакомы, соединим соответствующие кружки отрезком. Оказывается, что такие ситуации не только возможны, но все их можно описать аналогичными схемами . Из рассматриваемой компании нельзя выделить ни «четырехугольник», ни «треугольник», поскольку тогда из оставшихся нельзя будет составить компанию, удовлетворяющую условию, схема знакомства единственная.

Задача 2.

Участники пионерского слета, познакомившись, обменялись конвертами с адресами. Докажите, что

а) всего было передано четное число конвертов;

б) число участников, обменявшихся конвертами нечетное число раз, четное.

Решение.

Пусть участники слета А₁,A₂, ..., А_n - вершины графа, а ребра соединяют на рисунке пары вершин, изображающих ребят, обменявшихся конвертами:

а) степень каждой вершины A_i показывает число конвертов, которые передал участник А_i своим знакомым. Общее число переданных конвертов N равно сумме степеней всех вершин графа. N = степ. A₁ +степ. A₂ +...+степ. A_n-1 + + степ. A_n, но N = 2р, где р — число ребер графа, то есть N — четное. Следовательно, было передано четное число конвертов;

б) в равенстве N = степ. . A₁ +степ. A₂ +...+степ. A_n-1 + + степ. A_n сумма нечетных слагаемых должна быть четной, а это может быть только в том случае, если число нечетных слагаемых четно. А это означает, что число участников, обменявшихся конвертами нечетное число раз, четное.

Эйлеровы графы

2.1 Задача о кёнигсбергских мостах.

Отцом теории графов является Эйлер (1707-1782), решивший в 1736г. широко известную в то время задачу, называвшуюся проблемой Кёнигсбергских мостов. В городе Кёнигсберге (ныне Калининград) было два острова, соединенных семью мостами с берегами реки Преголя и друг с другом так, как показано на рисунке 5. Задача состояла в следующем: найти маршрут прохождения всех четырёх частей суши, который начинался бы с любой из них, кончался бы на этой же части и ровно один раз проходил по каждому мосту.

Рис.5.

Легко, конечно попытаться решить эту задачу эмпирически, производя перебор всех маршрутов, но все попытки окончатся неудачей. Исключительный вклад Эйлера в решение этой задачи заключается в том, что он доказал невозможность такого маршрута.

Для доказательства того, что задача не имеет решения, Эйлер обозначил каждую часть суши точкой (вершиной), а каждый мост – линией (ребром), соединяющей соответствующие точки. Получился “граф”. Этот граф показан на рисунке 6, где точки отмечены теми же буквами, что и четыре части суши на рисунке 5.

Рис.6.

Утверждение о не существовании “положительного” решения у этой задачи эквивалентно утверждению о невозможности обойти специальным образом граф, представленный на рисунке 6.

Отправляясь от этого частного случая Эйлер обобщил постановку задачи и нашёл критерий существования обхода у данного графа, а именно граф должен быть связным и каждая его вершина должна быть инцидентна чётному числу рёбер.

2.2 Эйлеровы графы

Решение Эйлером задачи о Кёнигсбергских мостах привела к первой опубликованной работе по теории графов. Задачу об обходе мостов можно обобщить и получить следующую задачу теории графов: можно ли найти в данном графе G цикл, содержащий все вершины и все рёбра? Граф, в котором это возможно, называется эйлеровым. Таким образом, эйлеров граф имеет эйлеров цикл – замкнутую цепь, содержащую все вершины и все рёбра. Ясно, что эйлеров граф должен быть связным.

Если снять ограничения на замкнутость цепи, то граф называется полуэйлеровым.

Теорема 1(критерий):

Граф с более чем одной вершиной имеет эйлеров цикл тогда и только тогда, когда он связный и каждая его вершина имеет чётную степень.

Доказательство: Предположим, что граф G имеет эйлеров цикл. Граф является связным, так как каждая вершина принадлежит циклу. Для всякой вершины v графа G каждый раз, когда эйлеров цикл проходит через v, он вносит 2 в степень v. Поэтому степень v чётная.

Обратно, нужно показать, что каждый связный граф, у которого степени вершин чётные, имеет эйлеров цикл. Докажем эту теорему, используя индукцию по числу вершин. Поскольку теорема тривиально справедлива при n£3, начнём индукцию с n=3. Предположим, что каждый связный граф, имеющий менее k вершин, и все вершины которого обладают чётной степенью, содержит эйлеров цикл. Пусть G – связный граф, содержащий k вершин, степени которых чётные. Допустим, что v₁и v₂ - вершины графа G. Поскольку граф G – связный, существует путь из v₁ в v₂.Поскольку степень v₂ – чётная, существует неиспользованное ребро, по которому можно продолжить путь. Поскольку граф конечный, то путь, в конце концов, должен вернуться в v₁ , и эйлеров цикл С₁ можно считать построенным. Если С₁ является эйлеровым циклом для G, тогда доказательство закончено. Если нет, то пусть G^/ - подграф графа G, полученный удалением всех рёбер, принадлежащих С₁. Поскольку С₁ содержит чётное число рёбер, инцидентных каждой вершине, каждая вершина подграфа G^/ имеет чётную степень.

Пусть e – ребро графа G^/ , пусть G_e – компонента графа G^/ , содержащая е. Поскольку G^/ имеет менее, чем k, вершин, и у каждой вершины графа G^/ чётная степень, граф G^/ имеет эйлеров цикл. Пусть С₂ . Далее у С₁и С₂ имеется общая вершина, допустим, а. Теперь можно продолжить эйлеров цикл, начиная его в а, пройти С₁ , вернуться в а, затем пройти С₂ и вернуться в а. Если новый эйлеров цикл не является эйлеровым циклом для G , продолжаем использовать этот процесс, расширяя наш эйлеров цикл, пока, к конце концов, не получим эйлеров цикл для G .

Из теоремы 1 следует, что если в связном графе G нет вершин с нечётными степенями, то в G есть замкнутая цепь, содержащая все вершины и все рёбра графа G. Аналогичный результат справедлив для связных графов, имеющих некоторое число вершин с нечётными степенями.

Следствие 1(а): Пусть G- связный граф, в котором 2n вершин имеют нечётные степени, n>1. Тогда множество рёбер графа G можно разбить на n открытых цепей.

Следствие 1(б): Пусть G- связный граф, в котором две вершины имеют нечётные степени. Тогда в G есть открытая цепь, содержащая все вершины и все рёбра графа G (и начинающаяся в одной из вершин с нечётной степенью, а кончающаяся в другой).[6]

Эйлеровым путём в графе называется путь, содержащий все рёбра графа. Эйлеров путь называется собственным, если он не является эйлеровым циклом.

Теорема 2: Если граф G обладает эйлеровым путём с концами А и В (А не совпадает с В), то граф G связный и А и В – единственные нечётные его вершины.

Доказательство: Связность графа следует из определения эйлерова пути. Если путь начинается в А, а заканчивается в другой вершине, то и А и В – нечётные даже если путь неоднократно проходил через А и В. В любую другую вершину графа путь должен был привести и вывести из неё, то есть все остальные вершины должны быть чётными.

Теорема 3: (обратная) Если граф G связный и А и В единственные нечётные вершины его, то граф G обладает эйлеровым путём с концами А и В.

Доказательство: Вершины А и В могут быть соединены ребром в графе, а могут быть соединены.

Если А и В соединены ребром, то удалим его; тогда все вершины станут чётными. Новый граф (по теореме 1) обладает эйлеровым циклом, началом и концом которого может служить любая вершина. Начнём эйлеров путь в вершине А и кончим его в вершине А. Добавим ребро (А,В) и получим эйлеров путь с началом в А и концом в В.

Если А и В не соединены ребром, то к графу добавим новое ребро (А,В), тогда все вершины его станут чётными. Новый граф (по теореме 1) обладает эйлеровым циклом. Начнём его из вершины А по ребру (А,В). Заканчивается путь тоже в вершине А. Если удалить теперь из полученного цикла ребро (А,В), то останется эйлеров путь с началом в В и концом в А или началом в А и концом В.

Таким образом, всякую замкнутую фигуру, имеющую в точности две нечётные вершины, можно начертить одним росчерком без повторений, начав в одной из нечётных вершин, а кончив в другой.

Теорема 4: Если связный граф G имеет 2k нечётных вершин, то найдётся семейство из k путей, которые в совокупности содержат все рёбра графа в точности по одному разу.

Доказательство: Половину нечётных вершин обозначим А₁,А₂,…,А_k,другую половину В₁,В₂,…,В_k(рис.7). Если вершины А_i и В_i (1<i<k) соединены ребром, то удалим из графа G ребро (А_i,В_i). Если вершины А и В не соединены ребром, то добавим к G ребро (А_i,В_i). Все вершины нового графа будут чётными, то есть в новом графе найдётся эйлеров цикл. При восстановлении графа G цикл разобьется на k отдельных путей, содержащих все рёбра графа.

Рис.7

Пусть G=(V,E) – ориентированный граф. Ориентированным циклом называется ориентированный путь ненулевой длины из вершины в ту же вершину без повторения ребер.

Пусть G=(V,E) – ориентированный граф. Ориентированный цикл, который включает все рёбра и вершины графа G, называется эйлеровым циклом. Говорят, что ориентированный граф G имеет эйлеров цикл.

Теорема 5: Ориентированный граф имеет эйлеров цикл тогда и только тогда, когда он связный и степень входа каждой вершины равна степени выхода.

2.3 Оценка числа эйлеровых графов

Лемма : В любом графе число вершин нечётной степени чётно.

Доказательство: По теореме 1 сумма степеней всех вершин число чётное. Сумма степеней вершин чётной степени чётна, значит, сумма степеней вершин нечётной степени также чётна, значит, их чётное число.

Пусть G(p) – множество всех графов с р вершинами, а Е(р) – множество эйлеровых графов с р вершинами.

Теорема 6: Эйлеровых графов почти нет, то есть

lim

Доказательство: Пусть E^/ (р) – множество графов с р вершинами и чётными степенями. Тогда по теореме1 Е(р)ÌЕ^/(p) и |Е(р)|£|Е^/(p)|.В любом графе число вершин нечётной степени чётно, следовательно, любой граф из Е^/(p) можно получить из некоторого графа G(p-1), если добавить новую вершину и соединить её со всеми старыми вершинами нечётной степени. Следовательно, |Е^/(p)| £|G(p-1)|. Но |G(p)|=2^{C(p, 2)}. Заметим, что

С(k,2)-C(k-1,2)=

Далее имеем:

|Е(р)|£|Е^/(p)| £|G(p-1)| = 2^{C( p-1,2)}=2^C(p,2)-(p-1) = |G(p)|2^-(p-1)

, откуда lim . [3]

2.4 Алгоритм построения эйлеровой цепи в данном эйлеровом графе.

Этот метод известен под названием алгоритма Флёри.

Теорема 7: Пусть G – эйлеров граф, тогда следующая процедура всегда возможна и приводит к эйлеровой цепи графа G. Выходя из произвольной вершины и, идём по рёбрам графа произвольным образом, соблюдая лишь следующие правила:

стираем рёбра по мере их прохождения и стираем также изолированные вершины, которые при этом образуются;
на каждом этапе идём по мосту только тогда, когда нет других возможностей.

Доказательство: Покажем сначала, что указанная процедура может быть выполнена на каждом этапе. Предположим, что мы достигли некоторой вершины V; тогда если V¹U, то оставшийся подграф H связен и содержит ровно две вершины нечётной степени, а именно U и V. Согласно теореме 3 и определению полуэйлерова графа, граф H содержит полуэйлерову цепь P из V в U. Поскольку удаление первого ребра цепи Р не нарушает связности графа Н, то описанное в теореме построение (Т 1б)) возможно на каждом этапе. Если же V=U, то доказательство остаётся тем же самым до тех пор, пока есть ещё рёбра, инцидентные вершине U.

Осталось только показать, что данная процедура всегда приводит к полной эйлеровой цепи. Но это очевидно, так как в G не может быть рёбер, оставшихся не пройденными после использования последнего ребра, инцидентного U. В противном случае удаление некоторого ребра, смежного одному из оставшихся, привело бы к несвязному графу, что противоречит условию 2).

Практическая часть

Задачи:

Существует ли эйлеров цикл в графе G. Если существует, найдите его.[2]

Решение:

А) Так как каждая вершина имеет чётную степень, то по критерию в этом графе существует эйлеров цикл: 1,4,6,9,10,8,5,3,2,4,7,10,11,8,6,5,2,1

Б) В этом графе также каждая вершина имеет чётную степень, значит, существует и эйлеров цикл: 1,2,3,4,5,3,1,4,5,2,1

В) Здесь каждая вершина имеет степень 5, то есть нечётную, следовательно, в этом графе (по критерию) нет эйлерова цикла.

Где на выставке следовало бы сделать вход и выход (рис.8) , чтобы можно было провести экскурсию по всем залам, побывав в каждом из них в точности один раз?[2]

Рис.8

Решение:

В этом графе вершины А и В имеют степень 3, то есть нечётную, следовательно, в нём существует эйлеров путь с началом в одной из этих вершин и концом в другой. Значит, вход и выход следует установить в вершинах А и В.

. Среди приведённых ниже графов найдите те, которые имеют эйлеров цикл.[1]

Решение:

а) Т.к. этот граф связный и каждая его вершина имеет чётную степень, то по критерию эйлерова графа, данный граф имеет эйлеров цикл:

a b e j i f c b d h j g f a c d e h g i a

б) Этот граф связный, но т.к. все его вершины имеют нечётную степень, то он не имеет эйлерова цикла.

в) Этот граф связный, но т.к. все его вершины имеют степень 3, то есть нечётную, то он не имеет эйлерова цикла.

г) Данный граф связный, степени вершин а и с имеют нечётную степень, значит, этот граф не имеет эйлерова цикла.

4. Среди приведённых ниже графов найдите те, которые имеют эйлеров цикл.[1]

Решение:

а) Граф не является связным, то есть не выполняется первое условие критерия, значит, он не имеет эйлерова цикла.

б) Этот граф является связным и все его вершины имеют чётную степень, значит, по критерию эйлерова графа, он имеет эйлеров цикл:

a c f h I j k g d c b f I l j g e d a

в) Данный граф связный, но степени вершин а и е нечётные, следовательно по критерию, этот граф не имеет эйлерова цикла.

г) Граф является связным, но так как все его вершины имеют нечётную степень, то граф не имеет эйлерова цикла.

5. Среди приведённых ниже графов найдите те, которые имеют собственный эйлеров путь.[1]

Решение:

а) Граф связный, и только две его вершины (a и f) имеют нечётную степень, следовательно, то по теореме 3, граф имеет собственный эйлеров путь.

б) Граф связный; deg(a)=3, deg(b)=3, deg(c)=3, то есть более двух вершин имеют нечётную степень, значит, не имеет эйлерова пути.

в) Этот граф связный и только две вершины (с и j) имеют нечётную степень, значит, граф имеет собственный эйлеров путь.

г) Граф связный; deg(a)=3, deg(b)=4, deg(c)=1, deg(d)=3, то есть более двух вершин имеют нечётную степень, следовательно, в этом графе нет эйлерова пути.

Заключение

В данной работе были рассмотрены основные понятия теории графов, их виды. Большое внимание уделили вопросу существования в них эйлеровых цепей и циклов, рассмотрели ряд теорем и свойств. Описали алгоритм нахождения эйлерова цикла в произвольном графе, а в практической части показали его применение на конкретных примерах.

Известно, что эйлеровы графы получили широкое распространение и популярность благодаря тому, что многие головоломки и задачи можно решить с использованием знаний теории графов. Частные примеры таких головоломок и сюжетных задач были приведены в практической части. Задачи на отыскание путей через лабиринты, близкие к задачам на эйлеровы графы, находят применение в современной психологии и при конструировании вычислительных машин. Также с практической точки зрения, сейчас графы применяют во многих других областях науки таких как: программирование, физика, химия, биология, экономика и т.д.

Литература

Андерсон, Джеймс А. Дискретная математика и комбинаторика: пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. – 960с.
Березина Л. Ю. Графы и их применение. – М.: Просвещение, 1979.
Новиков С.А. Дискретная математика для программистов – СПб.: Питер, 2001. – 304с.
Оре о. Графы и их применение. – М.: Мир,1973.
Уилсон Р. Введение в теорию графов. – М.: Мир, 1977.
Харари Ф. Теория графов. – М.: Мир, 1973.

	Страница
	Страница