Экономический смысл производной

Московский государственный университете экономики, статистики и

информатики (МЭСИ) 
 
 
 

Кафедра прикладной информатики 
 
 
 
 

Реферат 

Экономический смысл производной 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил: Фам Ан Тон ДКИ-103 
 
 

г.Москва

2012

Оглавление

Экономическое приложение производной. 3

Экономическая интерпретация производной 3

Применение производной в экономической теории. 6

Заключение 8

Список литературы 8 

Введение 

  Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике. Например, изменение площади, объема фигуры в зависимости от изменения ее размеров. Однако древними греками идея функциональной зависимости осознавалась интуитивно.

  Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили перед математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами математики постоянных величин. Нужны были новые математические методы, отличные от методов элементарной математики.

  Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него "геометрический налет". В современных терминах это определение связано с понятием множества и звучит так: «Функция  есть произвольный способ отображения множества А = {а} во множество В = {в}, по которому каждому элементу а А поставлен в соответствие определенный элемент в В. Уже в этом определении не накладывается никаких ограничений на закон соответствия (этот закон может быть задан Формулой, таблицей, графиком, словесным описанием). Главное в этом определении: а А !b B. Под элементами множеств А и В понимаются при этом элементы произвольной природы.

  В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований. Но наряду с интегральными методами складывались и методы дифференциальные. Вырабатывались элементы будущего дифференциального исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются с помощью дифференцирования. В то время такие задачи были трех видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций, отыскивание условий существования алгебраических уравнений квадратных корней.

  Первый  в мире печатный курс дифференциального  исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.

  Появление анализа бесконечно малых революционизировало  всю математику, превратив ее в математику переменных величин.

  Исследование  поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными.

  В своей же работе я хочу подробнее остановится на приложениях производной.

Экономическое приложение производной.

Экономическая интерпретация производной

      В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем.

      Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин.

      Предельные  или пограничные величины характеризуют  не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

      Надо  заметить, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно использовать предельные величины.

      Рассмотрим  ситуацию: пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда Dx- прирост продукции, а Dy - приращение издержек производства.

      В этом  случае производная  выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции ,где MC – предельные издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество.

       Геометрическая интерпретация предельных издержек - это тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке (см. рис.).

       Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер.

       Другой пример - категория предельной выручки (MR— marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта. 

Она представляет собой первую производную от выручки: .

При этом R= PQ, где R–выручка (revenue); P–цена (price).

Таким образом  , Þ MR= P.

      Это равенство верно относительно условий  совершенной конкуренции, когда  экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать влияния на цену.

      Обратимся к теориям потребления: кардиналистской  и ординалистской.

      Кардиналистский (количественный) подход к теории цен  предполагает равное влияние величин  полезности товара и затрат на его  производства на формирование цены. В  основе рассматриваемого подхода - исследования А. Маршалла.

      Ординалистский (Порядковый) подход к теории цен  разрабатывался И. Фишером, В. Парето. Суть данного подхода состоит в том, что потребители, имеющие определенный уровень доходов, сравнивают между собой цены и полезность различных наборов экономических благ и отдают предпочтение тем наборам, которые при сравнительно низких ценах имеют максимальную полезность для конкретного потребителя.

        В соответствии с первой, суммарную  полезность U для любого субъекта, если в экономике существует n потребительских благ в объемах х₁,  x₂,… х_n, можно выразить в виде кардиналистской функции полезности:

U= U(х₁, x₂,… x_n).

Предельные  полезности MU товаров выступают в качестве ее частных производных: . Они показывают, на сколько изменяется полезность всей массы благ, достающихся субъекту, при бесконечно малом приращении количества блага  i (i=1,2…n)

      В ординалистской теории полагается, что  потребитель оценивает полезность не отдельных благ, а потребительских наборов; что он способен сопоставить полезности наборов товаров.

      Ординалистская функция полезности исследована подробно, значительный вклад в ее изучение внес Дж. Хикс. После его трудов началось прогрессирующее вытеснение понятия "предельная полезность" категорией предельной нормы замещения (MRS – marginal rate of substitution).

      Предположим, что происходит замещение товара y товаром х при движении сверху вниз вдоль кривой безразличия. Предельная норма замещения товара y товаром x показывает, какое количество товара x необходимо для того, чтобы компенсировать потребительскую утрату единицы товара  y.

Они определяются так:    .

      Т.к. dy отрицательно, знак  "-" вводится, чтобы MRS была больше нуля.

Итак, предельная норма замещения геометрически  есть касательная к кривой безразличия  в данной точке. Значение предельной нормы замещения по абсолютной величине равно тангенсу угла наклона касательной к кривой безразличия.

      Приведем  еще один пример элементарного анализа  на микроуровне, который имеет аналог и на макроуровне.

      Любой индивид свой доход Y после уплаты налогов использует на потребление  C  и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом, как правило, целиком используют его на потребление, так что размер сбережения равен нулю. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено теорией и подтверждено эмпирическими исследования, потребление и сбережение зависят от размера дохода:

Y= C(Y) + S(Y).

      Зависимость потребления индивида от дохода называется функцией склонности к потреблению или функцией потребления.

      Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume), показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода: .

      По  мере увеличения доходов MPC уменьшается. Последовательно определяя сбережения при каждом значении дохода, можно построить функцию склонности к сбережению или функцию сбережения. Долю прироста сбережений в приросте дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS(marginal propensity to save):  .

С увеличением  доходов MPS увеличивается.

      Еще одним примером использования производной  в экономике является анализ производственной функции. Поскольку ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию - предельный продукт труда MP_L(marginal product of labor) – это дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений труда (L – labor) при неизменной величине капитала: .

Если  вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то , т.к. dY - результат, dL - затраты, то MP_L – предельная производительность труда.

      Аналогично, MP_k - предельный продукт капитала - дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда: .

      Если  вложения осуществляются малыми порциями, то .

MP_k - характеризует предельную производительность капитала.

    Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Определение:  Эластичностью функции Е_x(y) называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при Dx®0:

       .

Эластичность  функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится  функция y= f(x), при изменении независимой переменной x на 1%.

Приведем  несколько конкретных иллюстраций  такой зависимости. Прямой коэффициент эластичности спроса по цене устанавливает, на сколько процентов увеличивается (уменьшается) спрос Q на товар i при уменьшении (увеличении) его цены P на 1%:  .

      Перекрестный  коэффициент эластичности спроса по цене показывает, на сколько процентов изменится спрос на товар i при однопроцентных колебаниях цены  товара j (j = 1,2,…n):  .

      Количественную  сторону взаимодействия дохода и  спроса отражает коэффициент эластичности спроса по доходу, который указывает, на сколько процентов изменится  спрос на i-тый товар Q_i если доход, предназначенный на текущее потребление, изменится на 1%:  .

   Можно привести и другие примеры использования  производной при фокусировке  различных категорий и закономерностей. Дальнейшее раскрытие экономического смысла хотелось бы осуществить через рассмотрение экономической интерпретации математических теорем.

Применение  производной в  экономической теории.

   Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

   Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию  теоремы: если дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x₀) = 0.

Один из базовых  законов теории производства звучит так: "Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода".

   То  есть уровень выпуска Q_o является оптимальным для производителя, если MC(Q_o)=MR(Q_o),  где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.

   Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R – прибыль, а C – общие издержки производства.

   Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Q_o, при котором функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0. Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q), поэтому R’(Q_o) = C’(Q_o), откуда следует, что MR(Q_o) = MC(Q_o).

Другое  важное понятие теории производства - это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: “оптимальный объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”.

   Получим это условие как следствие  сформулированной выше теоремы.  Средние  издержки AC(Q) определяются как , т.е. издержки по производству всего товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии , откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или , т.е. MC(Q)=AC(Q).

   Понятие выпуклости функции также находит  свою интерпретацию в экономической  теории.

   Один  из наиболее знаменитых экономических  законов - закон убывающей доходности - звучит следующим образом: "с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает".

   Иными словами, величина , где Dy - приращение выпуска продукции, а Dx - приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция y= f(x), выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

   Другим  базисным понятием экономической теории является функция полезности U= U(x), где х  - товар, а U – полезность (utility). Эта величина очень субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом: с ростом количества товара, дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной точкой для математического исследования теории спроса и предложения.

Заключение

   Экономический смысл производной: производная  выступает как интенсивность  изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

   Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.

   Наиболее  актуально использование производной  в предельном анализе, то есть при  исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).

   Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем

   Знание  производной также позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии. 
 

Список  литературы

1. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева  Т.И.Курс высшей математики для экономических вузов.- М.: Высшая школа, 1982.-Ч.1.
2. Колесников А.Н.Краткий курс математики для экономистов.-М.:Инфра-М,1997.
3. Лопатников Л.И. Краткий экономико-математический словарь.-М.:Наука,1987.
4. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике.- М.: Финансы и статистика,1998,Ч.1
5. Высшая математика для экономистов. (Под редакцией профессора Н.Ш.Кремера) М.-2001.