Формула сложных процентов и её применение

Формула сложных процентов и  её применение

 

 Содержание:

 

1. Краткая аннотация проекта 

 Цели,задачи,актуальность 

2. Введение 

3. Основная часть 

 Процент. Формула «сложных  процентов» 

 Доказательство формулы «сложных  процентов» методом математической индукции.

4. Практическая часть 

5. Некоторые литературные и  исторические сюжеты 

6. Заключение 

 

 Аннотация 

 Существует формула «сложных  процентов», но её нет в школьных  учебниках, её, к сожалению, не  знают и не применяют даже  старшеклассники. 

 А между тем, она существенно облегчает решение многих задач. Считаю выбранную мною тему «Формула сложных процентов и её применение» актуальной.

 

 Актуальность темы обуславливается: 

 недостаточным содержанием  задач практического применения  в учебниках по формуле «сложных процентов».

 

 Цель проекта: 

 подобрать теоретический материал, связанный с изучением формулы  «сложных процентов»;

 показать целесообразность  практического применения формулы  «Сложных процентов» при решении  задач математического и экономического содержания;

 привлечь внимание одноклассников  к этим задачам и научить  их решать.

 

 Задачи:

 расширение кругозора; 

 уметь находить и анализировать  информацию;

 использовать полученные сведения  и умения при решении задач 

 

 Введение 

 Понятие  процент как сотой части какого-либо числа. Одно из основных понятий элементарной математики.

 Практически  каждый школьник знаком с ним  и знает правила нахождения  процента данного числа, числа  по его проценту, процентное отношение  чисел. Умеет решать задачи  по этим правилам или с помощью пропорции. Но среди множества задач на проценты встречаются такие, в которых некоторая величина в конце каждого этапа времени испытывает изменение на определённое число процентов.

 Решить  такую задачу, находя несколько  раз процент от данной величины не просто, но возможно, если таких этапов 2 или 3. Если же число этапов больше, то нужно применять так называемую формулу «Сложных процентов». В школьных учебниках математики её нет, но эта формула хорошо известна в теории процентов и неразрывно связана с правилом начисления « Сложных процентов», например в банковском деле. Иногда встречаются задачи с понятием «среднего процента прироста», в которых тоже находит применение формула «сложных процентов»

 Предлагаемая  вашему вниманию работа посвящена решению задач по формуле «сложных процентов» . Надеюсь, что она окажется полезной для учеников, которые будут поступать в вузы.

 

 Основная  часть 

 Среди  десятичных дробей особенно часто  на практике используется дробь  0,01, т. е. «процент». Процент – сотая часть числа. В хозяйственных и статистических расчетах, во многих отраслях науки части величин принято выражать в процентах.

 При  решении многих сложных задач  на проценты удобно использовать  формулу сложных так называемых  «Сложных процентов»

1.Проценты, начисленные на величины, полученные  в результате начисления процентов,  называются сложными.

 Пусть  некоторая переменная величина  Ѕ в начальный момент имеет  значение Ѕ0, когда она увеличилась  на р%, то стала равна Ѕ1 

 Ѕ1= Ѕ0 *(1+p/100)

 Если же величина несколько  раз изменилась (увеличилась или  уменьшилась) на одно и тоже  число %, то её значение вычисляется  через n изменений по формуле  «сложных процентов» 

 Ѕn= Ѕ0 *(1±p/100)n

2. Если изменение происходит  на разное число процентов,  то формула выглядит так: Ѕn=Ѕо(1+Р1/100)(1+Р2/100)…(1+ Рn/100);

 Докажем формулу «сложных  процентов» методом математической  индукции. Рассмотрим тот случай, когда в конце каждого этапа  времени начисляется одно и  то же постоянное количество  процентов – Р %.

 Ѕn= Ѕо *(1+Р/100)ⁿ. 

 Некоторая величина Ѕ , исходное  значение которой Ѕо, в конце  первого этапа будет равна 

 Ѕ1=Ѕ0 *(1+Р/100)

 В конце второго этапа 

 Ѕ2=Ѕ1*( 1+Р/100)= Ѕ0 *(1+Р/100) *(1+P/100)=Ѕ0 *(1+Р/100)2 и т. д. 

 Пусть формула верна при  n=к, т.е. Ѕк=Ѕo*(1+P/100)к .

 

 Докажем что формула верна  при n=k+1. Действительно, 

 Ѕk+1= Ѕk*(1+P/100) =Ѕo*(1+P/100)к * (1+P/100) = Ѕo*(1+P/100)к+1.

 Итак, формула Ѕn=Ѕo*(1+P/100)ⁿ доказана.

 Иногда в задачах встречается  понятие «средний процент прироста». 

 Под средним процентом прироста понимают такой постоянный процент прироста, который за n этапов давал бы такое же изменение величины Ѕ, которое она получает в действительности. При неравных поэтапных процентах изменения.

 Средний процент прироста q % определяется формулой

 

 Ѕо(1+Р1/100)* (1+P2/100)… (1+Pn/100)=Ѕo(1+q/100)ⁿ 

1+q/100=ⁿ√(1+P1/100)…(1+Pn/100).

 Отсюда видно, что средний  процент прироста не равен  среднему арифметическому величин  Р1,…,Рn. Здесь существует полная  аналогия с определением известного из физики понятия «средняя скорость движения»

 

 Практическая часть 

 Решим ряд задач с применением  формулы «сложных процентов» 

 Задача №1 

 Цену товара снизили на 20% , затем новую цену снизили  ещё на 15% и, наконец, после перерасчета  произвели снижение ещё на 10% . Какова новая цена товара, если первоначальная цена 25000тенге.

 Решение: 

1.По формуле «сложных процентов» 

 Ѕ3=Ѕо*(1-Р1/100)*(1-P2/100)*(1-P3/100)

 Ѕ3=Ѕ0*(1-20/100)*(1-15/100)*(1-10/100)

 Ѕ3=Ѕ0*4/5*17/20*9/10

 Ѕ3=2500*4*17*9/1000

 Ѕ3= 612*2, 5

 Ѕ3= 15300

15300т. – новая цена, т. е.  цена снизилась на 9700тенге. 

 

 Ответ: 1530 тенге. 

 

2.Решим эту же задачу обычным  способом ( по определению процента)

1)25000*0,2=5000(тенге.) – на столько  снизили цену в 1-й раз 

2)25000-5000=20000 (тенге.) – новая цена после 1-го снижения её на 20%.

3)20000*0,15= 3000 (тенге.) на столько снизилась  цена во 2-ой раз. 

4) 20000-3000=17000(тенге.) – новая цена  после её снижения на 15%.

5) 17000*0.1=1700 (тенге.) на столько снизилась  в 3-й раз 

6)17000-1700=15300 (тенге) – новая цена после её снижения на 10 %

 

 Ответ: 15300 тенге. 

 

 Задача №2.

 Магазин продал одному покупателю 30% имевшегося в куске полотна,  второму покупателю – 40% остатка,  а третьему – 20% нового остатка.  Сколько полотна осталось продать , если первоначально его было 1250м.

 Решение: 

1. По формуле «сложных процентов» 

 Ѕn=Ѕ0*(1-30/100)*(1-40/100)*(1-20/100)

 Ѕn=1250*0,7*0,6*0,8

 Ѕn=1250*0,336=420(м) 

 

 Ответ: 420м 

 

2. По определению процента.

1) 1250 * 0.3=375(м) полотна продали первому покупателю.

2)1250-375=875(м) первый остаток .

3)875*0.4=350(м )полотна продали второму  покупателю.

4)875-350=525(м) второй остаток. 

5) 525*0.2=105(м) – полотна продали  третьему покупателю.

6)525-105=420(м)-осталось продать. 

 

 Ответ: 420м.

 Задача №3.

 Герой романа И.А.Гончарова  «Обломов» Илья Обломов за  весну похудел на 25%, затем за  лето прибавил 20%, за осень похудел  на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел  или поправился за год Обломов  и на сколько процентов? 

 Решение: 

 Пусть Ѕо - первоначальный вес , а Ѕn – полученный вес к концу года,

 решаем по формуле сложных  процентов 

 Пусть Ѕ0=1, то 

 Ѕ4=1*(1-25/100)*(1+20/100)*(1-10/100)*(1+20/100)

 Ѕ4=1*(1-1/4) *(1+1/5)*(9/10)*11/5

 Ѕ4=1*3/4*6/5*9/10*6/5

 Ѕ4=1*972/1000 или Ѕ4=1*(1-х/100)

1- х/100 = 0,972

100-х=0,972*100

100-х=97,2

 х=2,8

 Обломов похудел за год  на 2,8%

 Ответ: похудел на 2,8%

 Задача №4.

 Число 76,8 дважды увеличивали  на одно и тоже число процентов,  а затем дважды уменьшали на  одно и тоже самое число процентов. В результате получилось число 67,5.

 На сколько процентов увеличивали,  а затем уменьшали это число? 

 Решение. 

 По формуле Ѕп= Ѕо (1+P/100)ⁿ 

 Ѕо =76,8, п=2, P -число процентов  неизвестно 

76,8(1+P/100)? - такое число стало  после двукратного увеличения, т. е. это Ѕп ,

 затем это число Ѕп уменьшали  двукратно на Р% и получили 

76,8(1+Р/100)2 * (1-P/100)2 – по условию  это выражение равно 67,5

76,8(1+Р/100)2 * (1-Р/100)2 =67,5 это уравнение  относительно Р 

((1+р/100)*(1-р/100))2=67,5/76,8

 ((1+Р/100)(1-Р/1000))2=675/768;

(1+Р/100)(1-Р/1000)=15/16;

1-(Р/100)2=15/16;

(P/100)2=1-15/16;

(P/100)2=1/16;

P/100=1/4;

P=25

 Значит, число процентов равно  25.

 

 Ответ: 25%.

 

 Задача  №5.

 Цена  на товар сначала снизилась  на 5% ,а затем повысилась на 5% . Изменилась ли первоначальная цена, и если да, то на сколько процентов?

 Решение: 

1. По формуле  «сложных процентов» 

 Пусть  Ѕ0=1

 Ѕ2=1*(1-5/100)*(1+5/100)

 Ѕ2= 1*(1-25/10000)

 Ѕ2= 1*(1-25/10000)= 1*0,9975 или Ѕ2=1-х/100

1- х/100 = 0,9975

100-х=0,9975*100

100-х=99,75

 х=0,25

 т.е дешевле  на 0,25

 Ответ:  дешевле на 0,25%

 

 Задача  №6.

 Бизнесмен под офис отвел  участок в виде прямоугольника. Однако затем он решил длину  этого участка увеличить на 35% , а ширину уменьшить на 14% . На сколько процентов изменилась площадь офиса?

 Решение: 

 Пусть а(см)- длина участка,  в(см)- ширина участка, 

 Ѕ0=ав (см2)-первоначальная площадь  офиса. 

 Ѕn-новая площадь офиса 

 Ѕn =а*(1+35/100)в*(1-14/100)

 Ѕn= ав*1,161=ав*(1+0,161)=ав*(1+16,1/100),

 Ѕn= Ѕ0*(1+16,1/100), т.е 

 Ѕn>Ѕ0 на 16,1%

 Ответ: увеличилась на 16,1%.

 

 Задача №7.

 Двое рабочих вышли из  одного и того же дома и  пошли на один и тот же  завод. У первого из них был  шаг на 10% короче второго, но зато он делал шагов на 10% больше, чем второй. Кто из этих рабочих придет раньше на завод?

 Решение: 

 Пусть а- длина шага первого  рабочего, в- количество шагов  первого рабочего,

 Ѕ=ав расстояние от дома  до работы, тогда это же расстояние  второй рабочий пройдет за:

 Ѕ =а*(1-10/100)в*(1+10/100)

 Ѕ= ав*(1-0,1)*(1+0,1)

 Ѕ= ав*(1-0,01),

 ав=ав*0,99

 ав>ав*0,99 ,

 значит второй рабочий придет  на работу раньше.

 Ответ: Второй рабочий. 

 Задача №8.

 После двух последовательных  снижений цен на одно и то же число процентов цена блокнота упала с 300 тенге до 192 тенге. На сколько процентов снижалась цена блокнота каждый раз?

 Решение. 

 По формуле Ѕп= Ѕо (1-P/100)ⁿ 

 Ѕо =300 п=2 P- неизвестно 

300(1-P/100)2=192

100(1-P/100)2=64

(1-P/100)2=0,64

1-P/100=0,8

P/100=1-0,8;

P/100=0,2

 Р=20 Ответ: на 20%.

 Задача №9 

 Влажность воздуха к полудню  по сравнению с утренней снизилась  на 12%, а затем к вечеру ещё  на 5% по сравнению с полуднем . Сколько процентов от утренней  влажности воздуха составляет влажность воздуха к вечеру и на сколько процентов она снизилась?

 Решение: 

 По формуле сложных процентов  получаем уравнение: 

 Ѕn=Ѕ0*(1-12/100)*(1-5/100)

 Ѕn=Ѕ0*0,88*0,95

 Ѕn=Ѕ0*0,836 , при Ѕ0=1 получаем 

1- х/100 = 0,836

100-х=83,6

 х=16,4

 Ответ: снизилась на 16,4%, составляет 83,6%.

 

 Задача №10

 За три года население  города увеличилось с 2000000 до 2315250. Найти средний годовой процент  прироста населения. 

 Решение: 

 Применим формулу «сложных  процентов»:

2315250=2000000*(1+р/100)3

(1+р/100)3=2315250/2000000

(1+р/100)3=1,157625

1+р/100 =1,05

 р/100=1,05-1

 р/100=0,05

 р=5

 Ответ: 5%

 

 Некоторые литературные и  исторические сюжеты 

 

 Различные истории, связанные  с начислением простых и сложных  процентов, встречаются в ряде  художественных произведений, в исторических документах и преданиях.

 Вот некоторые примеры. 

1. В романе М.Е.Салтыкова-Щедрина  "Госпо¬да Головлевы" есть  такой эпизод: "Порфирий Владимирович  сидит у себя в кабинете, исписы¬вая  цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька, Арина Пет¬ровна, подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 руб. ассигнациями, не присвоила себе, а положила бы в ломбард на имя малолетне¬го Порфирия ? Выходит, однако, немного: всего 800 руб. ассигнациями".

 Предполагая, что Порфирию  Владимировичу в момент счета  было 53 года, установим, по сколь¬ку  процентов в год платил ломбард.  Пусть р % — искомая ставка. Тогда по формуле сложных процентов  имеем: 100*(1+р/100)53=800.

 Отсюда (1+р/100)53=8 и р=100*(81/53-1).Производя  расчеты , получаем, что 

 р = 4% — не очень много! 

 

2. В этом же романе сын  Порфирия Владими¬ровича Петя  проиграл в карты казенные 3000 руб.и попросил у бабушки эту  сумму взаймы. Он говорил: "Я бы хороший процент дал. Пять про¬центов в месяц". Подсчитаем, сколько денег го-тов был вернуть Петя через год, согласись бабуш¬ка на его условия.

 

 Если вести расчет по сложным  процентам, то Петя Ѕ1=3000*(1+5/100)12=5400 вернул бы бабушке Если же  вести счет по простым процентам, то он вернул бы Ѕ2=3000*(1+0,05*12)=4800 руб.

 Однако, не веря внуку, бабушка  денег не дала!

3. В новелле О.Бальзака "Гобсек" один из героев, господин Дервиль,  взял у ростовщика Гоб¬сека  сумму в 150 000 франков сроком  на 10 лет под 15% годовых. Вычислим, какую же сумму вернул Дервиль Гобсеку по прошествии этого срока. Итак, Ѕ0 = 150000, р = 15%, п = 10 лет. По формуле сложных процентов Ѕ=Ѕ0*(1+р/100)п получаем Ѕ= (1 + 0,15)'° = 606 833,6 франка.

 формуле сложных процентов J = 50- 1

4. Сложные проценты обладают  удивительным свойством — с  возрастанием показателя п вели¬чина  (1 + а)", а > 0 достигает колоссальных  раз¬меров. Чтобы показать это,  рассмотрим знамени¬тое завещание  Бенджамена Франклина: "Препоручаю 1000 фунтов стерлингов бостон¬ским жителям. Если они примут эту тысячу фун¬тов, то должны поручить ее отборнейшим гражда¬нам, а они будут давать их с процентами по 5 на 100 в год в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через 100 лет возвысится до 131 000 фунтов. Я желаю, чтобы тогда 100 000 фунтов употребле¬ны были на постройку общественных зданий, а остальные

31 000 фунтов отданы были в  процен¬ты на 100 лет. По истечении  второго столетия сумма возрастет  до 4 061 000 фунтов, из коих 1 061 000 фунтов  оставляю в распоряжении бостон¬ских жителей, а 3 000 000 — правлению Масса¬чусетсской общины. Далее не осмеливаюсь прости¬рать своих видов". Мы видим, что, завещав всего 1000 фунтов, Б.Франклин распоряжается миллиона-ми. Проверим, не ошибся ли он в своих расчетах.

 Процентная ставка равна р = 5% годовых. Через 100 лет первоначальная сумма 50 = 1000 фунтов превратится в Ѕ=Ѕ0*(1+5/100)100=1000*(1,05)100≈ 131 501,06 фунтов. Эта сумма совсем немного отличается от 131 000 фунтов, указанных в заве¬щании. Далее, 31 000 фунтов еще через 100 лет превратится в

 Ѕ1= 31 000(1 + 0,05)100 = 4 076 532,8 фунтов.

 Фактически проценты начислялись  не на 31 000 фунтов, а на 31 501,06 фунтов, и поэтому к концу второго  столетия эта сумма превратится  в 

 Ѕ2 = 31 501,6(1,05)100= 4 142 422,7 фунтов.

 Расчеты показывают, что Б.Франклин  действи¬тельно мог распоряжаться  миллионами!

 Однако мы должны понимать, что нами, как всегда это бывает  при применении математики к  реалиям окружающего мира, рассмотрена  только идеальная математическая  модель, не учитываю¬щая ни инфляции, ни денежных реформ, ни де¬номинации, ни многих других причин. Однако суть явления — рост величины вклада до колос¬сальных размеров при возрастании срока его хра¬нения — эта модель показывает очень хорошо.

 

5. Рассмотрим еще одну гипотетическую ситуа¬цию, иллюстрирующую колоссальный рост вкла¬да при увеличении срока его хранения. Предпо¬ложим, что в начале нашей эры на одну копейку ежегодно начисляли по 5% годовых. Это, конеч¬но, не совсем реальная ситуация, но примем ее и займемся вычислениями. В какую сумму превра¬тится эта копейка через 2000 лет, т.е. к нашему времени?

 По формуле сложных процентов  при 50= 1 коп., п = 2000 лет, р = 5% имеем: 

S = 1*(1+0,05)2000=(1,05)2000коп.Оценим эту  величину.

 Непосредственным подсчетом  убеждаемся, что

(1,05)14≈ 1,98≈2 коп. Следовательно,  через 14 лет наш вклад в одну  копейку удвоится. Это удвоение  произойдет 142,8 раза = 2000 : 14, следовательно,  к 2000 г. одна копейка превратится  в 2142 копеек.

 Оценим это число. Известно, что 2'° = 1024,

220 = 1 048 576, 222 = 4 194 304, 240 = 1 099 511 627 776.

 Поэтому интересующая нас  сумма в 2142 представляется в  виде:

2142 = 240 * 240 * 240 * 222 = (1 099 511 627 776)3 *4 194 304 коп.!

 Эта сумма превосходит все  денежные запасы мира! По поводу решения этой задачи можно дос¬ловно повторить все сказанное после решения задачи 4, однако характер роста сложных про¬центов показан здесь очень ярко.

 

 Заключение 

 Готовя данную работу, я ставила  цель более глубокого изучения  этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу.

 Решение текстовых задач  у многих учащихся вызывают  затруднения, поэтому в своей  работе я показала, что при  решении задач на проценты  применение формулы «сложных  процентов» весьма эффективна. Например, задача №1 решена двумя способами и в сравнении видно, что формула «сложных процентов» очень удобна в применении, а в задаче №4, без этой формулы решить её трудно, т.к. неизвестно число процентов.

 Поэтому  непонятно почему формулы «сложных  процентов» нет в школьных учебниках.

 Работая  над данной темой , способствовала  расширению своего математического  кругозора, развитию умения анализировать,  сравнивать, глубоко и прочно  усвоив материал.

 Мне  хочется порекомендовать ученикам  эту формулу, применять её и решать задачи на проценты.