Формулировка задачи коммивояжера и алгоритмы ее решения

Содержание

Введение 3

Задача  коммивояжера 4

Общее описание   4

Методы  решения задачи коммивояжера 5

1. Жадный алгоритм. 5                                                               
2. Деревянный алгоритм 8               
3. Метод ветвей и границ 10 
4. Алгоритм Дейкстры 14    

Анализ  методов решения задачи коммивояжера 17

Практическое  применение задачи коммивояжера 18

Выводы 20

Литература 21

Введение

Комбинаторика – раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного множества в соответствии с заданными правилами.

Каждое  такое правило определяет способ построения некоторой конструкции  из элементов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией. Поэтому можно сказать, что целью комбинаторного анализа является изучение комбинаторных конфигураций. Это изучение включает в себя вопросы существования комбинаторных конфигураций, алгоритмы их построения, оптимизацию таких алгоритмов, а также решение задач перечисления, в частности определение числа конфигураций данного класса. Простейшим примером комбинаторных конфигураций являются перестановки, сочетания и размещения.

Большой вклад в систематическое развитие комбинаторных методов был сделан Г. Лейбницем (диссертация “Комбинаторное искусство”), Я. Бернулли (работа “Искусство предположений”), Л. Эйлером. Можно  считать, что с появлением работ  Я. Бернулли и  Г. Лейб-ница комбинаторные  методы выделились в самостоятельную  часть математики. В работах Л.Эйлера по разбиениям и композициям натуральных  чисел на слагаемые было положено начало  одному из основных методов  перечисления комбинаторных конфигураций – методу производящих функций.  

Возвращение интереса к комбинаторному анализу  относится к 50-м годам ХХ в. в  связи с бурным развитием кибернетики  и дискретной математики и широким  использованием электронно-вычислительной техники. В этот период активизировался  интерес к классическим комбинаторным  задачам.

 Классические комбинаторные задачи – это задачи выбора и расположения элементов конечного множества, имеющие в качестве исходной некоторую формулировку развлекательного содержания типа головоломок.

В 1859 г. У. Гамильтон придумал игру “Кругосветное  путешествие”, состоящую в отыскании  такого пути, проходящего через все  вершины (города, пункты назначения) графа, изображенного на рис. 1, чтобы посетить каждую вершину однократно и возвратиться в исходную. Пути, обладающие таким  свойством, называются гамильтоновыми циклами.

Задача  о гамильтоновых циклах в графе  получила различные обобщения. Одно из этих обобщений – задача коммивояжера, имеющая ряд применений в исследовании операций, в частности при решении некоторых транспортных проблем.

1. Задача коммивояжера
1. Общее описание

Задача коммивояжера (в  дальнейшем сокращённо - ЗК) является одной  из знаменитых задач теории комбинаторики. Она была поставлена в 1934 году, и  об неё, как об Великую теорему  Ферма обламывали зубы лучшие математики. В своей области (оптимизации  дискретных задач) ЗК служит своеобразным полигоном, на котором испытываются всё новые методы.

Постановка задачи следующая.

Коммивояжер (бродячий торговец) должен выйти из первого города, посетить по разу в неизвестном порядке  города 2,1,3..n и вернуться в первый город. Расстояния между городами известны. В каком порядке следует обходить города, чтобы замкнутый путь (тур) коммивояжера был кратчайшим?

Чтобы привести задачу к  научному виду, введём некоторые термины. Итак, города перенумерованы числами  jÎТ=(1,2,3..n). Тур коммивояжера может быть описан циклической перестановкой t=(j₁,j₂,..,j_n,j₁), причём все j₁..j_n – разные номера; повторяющийся в начале и в конце j₁, показывает, что перестановка зациклена. Расстояния между парами вершин  С_ij образуют матрицу С. Задача состоит в том, чтобы найти такой тур t, чтобы минимизировать функционал

Относительно математизированной формулировки ЗК уместно сделать  два замечания.

Во-первых, в постановке С_ij означали расстояния, поэтому они должны быть неотрицательными, т.е. для всех jÎТ:

(последнее равенство  означает запрет на петли в  туре), симметричными, т.е.  для  всех i,j:

и удовлетворять неравенству треугольника, т.е. для всех:

В математической постановке говорится о произвольной матрице. Сделано это потому, что имеется  много прикладных задач, которые  описываются основной моделью, но всем условиям (2)-(4) не удовлетворяют. Особенно часто нарушается условие (3) (например, если С_ij – не расстояние, а плата за проезд: часто туда билет стоит одну цену, а обратно – другую). Поэтому мы будем различать два варианта ЗК: симметричную задачу, когда условие (3) выполнено, и несимметричную - в противном случае. Условия (2)-(4) по умолчанию мы будем считать выполненными.

Второе замечание касается числа всех возможных туров. В  несимметричной ЗК все туры t=(j₁,j₂,..,j_n,j₁) и t’=(j₁,j_n,..,j₂,j₁) имеют разную длину и должны учитываться оба. Разных туров очевидно (n-1)!.

Зафиксируем на первом и  последнем месте в циклической  перестановке номер j₁, а оставшиеся n-1 номеров переставим всеми (n-1)! возможными способами. В результате получим все несимметричные туры. Симметричных туров имеется в два раз меньше, т.к. каждый засчитан два раза: как t и как t’.

Можно представить, что  С состоит только из единиц и нулей. Тогда С можно интерпретировать, как граф, где ребро (i,j)  проведено, если С_ij=0 и не проведено, если С_ij=1. Тогда, если существует тур длины 0, то он пройдёт по циклу, который включает все вершины по одному разу. Такой цикл называется гамильтоновым циклом. Незамкнутый гамильтонов цикл называется гамильтоновой цепью (гамильтоновым путём).

В терминах теории графов симметричную ЗК можно сформулировать так:

Дана полная сеть с n  вершинами, длина ребра (i,j)= С_ij. Найти гамильтонов цикл минимальной длины.

В несимметричной ЗК вместо “цикл” надо говорить “контур”, а  вместо “ребра” - “дуги” или “стрелки”.

Некоторые прикладные задачи формулируются как ЗК, но в них  нужно минимизировать длину не гамильтонова цикла, а гамильтоновой цепи. Такие  задачи называются незамкнутыми. Некоторые  модели сводятся к задаче о нескольких коммивояжерах, но мы здесь их рассматривать  не будем.

1.2. Методы решения ЗК

1.2.1. Жадный алгоритм

 Жадный  алгоритм – алгоритм нахождения наикратчайшего расстояния путём выбора самого короткого, ещё не выбранного ребра, при условии, что оно не образует цикла с уже выбранными рёбрами. “Жадным” этот алгоритм назван потому, что на последних шагах приходится жестоко расплачиваться за жадность.

Посмотрим, как поведет себя при  решении ЗК жадный алгоритм. Здесь  он превратится в стратегию “иди в ближайший (в который еще  не входил) город”. Жадный алгоритм, очевидно, бессилен в этой задаче. Рассмотрим для примера сеть на рис. 2, представляющую узкий ромб. Пусть коммивояжер  стартует из города 1. Алгоритм “иди вы ближайший город” выведет его  в город 2, затем 3, затем 4; на последнем шаге придется платить за жадность, возвращаясь по длинной диагонали ромба. В результате получится не кратчайший, а длиннейший тур.

В пользу процедуры “иди в ближайший” можно  сказать лишь то, что при старте из одного города она не уступит  стратегии “иди в дальнейший”.

Как видим, жадный алгоритм ошибается. Можно ли доказать, что он ошибается  умеренно, что полученный им тур  хуже минимального, положим, в 1000 раз? Мы докажем, что этого доказать нельзя, причем не только для жадного логарифма, а для алгоритмов гораздо более  мощных. Но сначала нужно договориться, как оценивать погрешность неточных алгоритмов, для определенности, в  задаче минимизации. Пусть f_B - настоящий минимум, а         f_A - тот квазиминимум, который получен по алгоритму. Ясно, что f_A/ f_B≥1, но это – тривиальное утверждение, что может быть погрешность. Чтобы оценить её, нужно зажать отношение оценкой сверху:

где, как  обычно в высшей математике, ε≥0, но, против обычая, может быть очень  большим. Величина ε и будет служить  мерой погрешности. Если алгоритм минимизации  будет удовлетворять неравенству (5), мы будем говорить, что он имеет  погрешность ε.

Предположим теперь, что имеется алгоритм А  решения ЗК, погрешность которого нужно оценить. Возьмем произвольный граф G (V,E) и по нему составим входную матрицу ЗК:

Если в  графе G есть гамильтонов цикл, то минимальный тур проходит по этому циклу и f_B = n. Если алгоритм А тоже всегда будет находить этот путь, то по результатам алгоритма можно судить, есть ли гамильтонов цикл в произвольном графе. Однако, непереборного алгоритма, который мог бы ответить, есть ли гамильтонов цикл в произвольном графе, до сих пор никому не известно. Таким образом, наш алгоритм А должен иногда ошибаться и включать в тур хотя бы одно ребро длины 1+nε. Но тогда f_A³(n-1)+(1+nε) так что f_A/f_B=1+nε т.е. превосходит погрешность ε на заданную неравенством (5). О величине ε в нашем рассуждении мы не договаривались, так что ε может быть произвольно велик.

Таким образом  доказана следующая теорема.

Либо алгоритм А определяет, существует ли в произвольном графе гамильтонов  цикл, либо погрешность А при решении  ЗК может быть произвольно велика.

Это соображение  было впервые опубликовано Сани и  Гонзалесом в 1980 г. Теорема Сани-Гонзалеса  основана на том, что нет никаких  ограничений на длину ребер. Теорема  не проходит, если расстояния подчиняются  неравенству треугольника (4).

Если оно  соблюдается, можно предложить несколько  алгоритмов с погрешностью 12. Прежде, чем описать такой алгоритм, следует  вспомнить старинную головоломку. Можно ли начертить одной линией открытый конверт? Рис.2 показывает, что  можно (цифры на отрезках показывают порядок их проведения). Закрытый конверт (рис.3.) одной линией нарисовать нельзя и вот почему. Будем называть линии  ребрами, а их перекрестья – вершинами.

Когда через точку проводится линия, то используется два ребра – одно для входа в вершину, одно –  для выхода. Если степень вершины  нечетна – то в ней линия  должна начаться или кончиться. На рис. 3 вершин нечетной степени две: в  одной линия начинается, в другой – кончается. Однако на рис. 4 имеется  четыре вершины степени три, но у  одной линии не может быть четыре конца. Если же нужно прочертить фигуру одной замкнутой линией, то все  ее вершины должны иметь четную степень.

Верно и  обратное утверждение: если все вершины  имеют четную степень, то фигуру можно  нарисовать одной незамкнутой линией. Действительно, процесс проведения линии может кончиться, только если линия придет в вершину, откуда уже  выхода нет: все ребра, присоединенные к этой вершине (обычно говорят: инцидентные  этой вершине), уже прочерчены. Если при этом нарисована вся фигура, то нужное утверждение доказано; если нет, удалим уже нарисованную часть  G’. После этого от графа останется одна или несколько связных компонент; пусть G’ – одна из таких компонент. В силу связности исходного графа G, G’ и G’’ имеют хоть одну общую вершину, скажем,  v. Если в G’’ удалены какие-то ребра, то по четному числу от каждой вершины. Поэтому G’’ – связный и все его вершины имеют четную степень. Построим цикл в G’’ (может быть, не нарисовав всего G’’) и через v добавим прорисованную часть G’’ к G’. Увеличивая таким образом прорисованную часть G’, мы добьемся того, что G’ охватит весь G.

Эту задачу когда-то решил Эйлер, и замкнутую  линию, которая покрывает все  ребра графа, теперь называю эйлеровым  циклом. По существу была доказана следующая  теорема.

Эйлеров цикл в графе существует тогда и только тогда, когда (1) граф связный и (2) все его вершины  имеют четные степени.

1.2.2. Деревянный  алгоритм.

Теперь можно обсудить алгоритм решения ЗК через построение кратчайшего  остовного дерева. Для краткости  будет называть этот алгоритм деревянным.

Вначале обсудим свойство спрямления. Рассмотрим какую-нибудь цепь, например, на рис.5. Если справедливо неравенство треугольника, то d[1,3]£d[1,2]+d[2,3] и d[3,5]£d[3,4]+d[4,5]                                                       Сложив эти два неравенства, получим d[1,3]+d[3,5]£d[1,2]+d[2,3]+d[3,4]+d[4,5]. По неравенству треугольника получим. d[1,5]£d[1,3]+d[3,5]. Окончательно

d[1,5]£ d[1,2]+d[2,3]+d[3,4]+d[4,5]

Итак, если справедливо неравенство треугольника, то для каждой цепи верно, что расстояние от начала до конца цепи меньше (или  равно) суммарной длины всех ребер  цепи. Это обобщение расхожего  убеждения, что прямая короче кривой.

Вернемся  к ЗК и опишем решающий ее деревянный алгоритм.

1. Построим на входной сети ЗК кратчайшее остовное дерево и удвоим все его ребра. Получим граф G – связный и с вершинами, имеющими только четные степени.
2. Построим эйлеров цикл G, начиная с вершины 1, цикл задается перечнем вершин.
3. Просмотрим перечень вершин, начиная с 1, и будем зачеркивать каждую вершину, которая повторяет уже встреченную в последовательности. Останется тур, который и является результатом алгоритма.

Пример 1. Дана полная сеть, показанная на рис.5. Найти  тур жадным и деревянным алгоритмами.

Решение. Жадный алгоритм (иди в ближайший город из города 1) дает тур 1–(4)–3-(3)–5(5)–4–(11)–6–(10)–2–(6)–1, где без скобок показаны номера вершин, а в скобках – длины ребер. Длина тура равна 39, тур показана на рис. 5.

2. Деревянный  алгоритм вначале строит остовное дерево, показанное на рис. 6 штриховой линией, затем эйлеров цикл 1-2-1-3-4-3-5-6-5-3-1, затем тур 1-2-3-4-5-6-1 длиной 43, который показан сплошной линией на рис. 6.

Теорема. Погрешность деревянного алгоритма равна 1.

Доказательство. Возьмем минимальный  тур длины f_B и удалим из него максимальное ребро. Длина получившейся гамильтоновой цепи L_HC меньше f_B. Но эту же цепь можно рассматривать как остовное дерево, т. к. эта цепь достигает все вершины и не имеет циклов. Длина кратчайшего остовного дерева  L_MT меньше или равна L_HC. Имеем цепочку неравенств

Но удвоенное  дерево – оно же эйлеров граф – мы свели к туру посредством  спрямлений, следовательно, длина полученного  по алгоритму тура удовлетворяет  неравенству

Умножая (6) на два и соединяя с (7), получаем цепочку неравенств

Т.е. 2f_B>f_A, т.е. f_A/f_B>1+e; e=1.

Теорема доказана.

Таким образом, мы доказали, что деревянный алгоритм ошибается менее, чем в два  раза. Такие алгоритмы уже называют приблизительными, а не просто эвристическими.

Известно  еще несколько простых алгоритмов, гарантирующих в худшем случае e=1. Для того, чтобы найти среди них алгоритм поточнее, зайдем с другого конца и для начала опишем “brute-force enumeration” - “перебор животной силой”,  как его называют в англоязычной литературе. Понятно, что полный перебор практически применим только в задачах малого размера. Напомним, что ЗК с n городами требует при полном переборе рассмотрения (n-1)!/2 туров в симметричной задаче и (n-1)! Туров в несимметричной, а факториал, как показано в следующей таблице, растет удручающе быстро:

Чтобы проводить  полный перебор в ЗК, нужно научиться (разумеется, без повторений) генерировать все перестановки заданного числа  m элементов. Это можно сделать несколькими способами, но самый распространенный (т.е. приложимый для переборных алгоритмов решения других задач) – это перебор в лексикографическом порядке.

Пусть имеется  некоторый алфавит и наборы символов алфавита (букв), называемые словами. Буквы  в алфавите упорядочены: например, в  русском алфавите порядок букв аµбµя (символ µ читается “предшествует)”. Если задан порядок букв, можно упорядочить и слова. Скажем, дано слово u=(u₁,u₂,..,u_m) – состоящее из букв u₁,u₂,..,u_m - и слово v =(v₁,v₂,..,v_b). Тогда если u₁µv_1, то и uµv, если же u₁=v_1, то сравнивают вторые буквы и т.д. Этот порядок слов и называется лексикографическим. Поэтому в русских словарях (лексиконах) слово “абажур” стоит раньше слова “абака”. Слово “бур” стоит раньше слова “бура”, потому что пробел считается предшествующим любой букве алфавита.

Рассмотрим, скажем, перестановки из пяти элементов, обозначенных цифрами 1..5. Лексикографически  первой перестановкой является 1-2-3-4-5, второй – 1-2-3-5-4, …, последней – 5-4-3-2-1. Нужно осознать общий алгоритм преобразования любой перестановки в непосредственно  следующую.

Правило такое: скажем, дана перестановка 1-3-5-4-2. Нужно двигаться по перестановке справа налево, пока впервые не увидим число, меньшее, чем предыдущее (в  примере это 3 после 5). Это число, P_i-1 надо увеличить, поставив вместо него какое-то число из расположенных правее, от P_i до P_n. Число большее, чем P_i-1, несомненно, найдется, так как                 P_i-1< P_i . Если есть несколько больших чисел, то, очевидно, надо ставить меньшее из них. Пусть это будет P_j,j>i-1. Затем число P_i-1 и все числа от P_i до P_n, не считая P_j нужно упорядочить по возрастанию. В результате получится непосредственно следующая перестановка, в примере –   1-4-2-3-5. Потом получится 1-4-2-5-3 (тот же алгоритм, но упрощенный случай) и т.д.

Нужно понимать, что в ЗК с n городами не нужны все перестановки из n элементов. Потому что перестановки, скажем, 1-3-5-4-2 и 3-5-4-2-1 (последний элемент соединен с первым) задают один и тот же тур, считанный сперва с города 1, а потом с города 3. Поэтому нужно зафиксировать начальный город 1 и присоединять к нему все перестановки из остальных элементов. Этот перебор даст (n-1)! разных туров, т.е. полный перебор в несимметричной ЗК (мы по-прежнему будем различать туры 1-3-5-4-2 и 1-2-4-5-3).

Данный  алгоритм описан на языке Паскаль (см. Приложения).

Пример 2. Решим ЗК, поставленную в Примере 1 лексикографическим перебором. Приведенная  выше программа напечатает города, составляющие лучший тур: 1-2-6-5-4-3 и его длину 36.

Желательно  усовершенствовать перебор, применив разум. В следующем пункте описан алгоритм, который реализует простую, но широко применимую и очень полезную идею.

1.2.3. Метод ветвей и границ

К идее метода ветвей и границ приходили  многие исследователи, но Литтл с  соавторами на основе указанного метода разработали удачный алгоритм решения  ЗК и тем самым способствовали популяризации подхода. С тех  пор метод ветвей и границ был  успешно применен ко многим задачам, для решения ЗК было придумано  несколько других модификаций метода, но в большинстве учебников излагается пионерская работа Литтла.

Общая идея тривиальна: нужно разделить  огромное число перебираемых вариантов  на классы и получить оценки (снизу  – в задаче минимизации, сверху –  в задаче максимизации) для этих классов, чтобы иметь возможность  отбрасывать варианты не по одному, а целыми классами. Трудность состоит  в том, чтобы найти такое разделение на классы (ветви) и такие оценки (границы), чтобы процедура была эффективной.

Изложим алгоритм Литтла на примере 1 предыдущего раздела.. Повторно запишем матрицу: