Формы представления математических моделей

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЭВМ прочно вошла  в нашу жизнь, и практически нет  такой области человеческой деятельности, где не применялась бы ЭВМ. ЭВМ  сейчас широко используется в процессе создания и исследования новых машин, новых технологических процессов  и поиске их оптимальных вариантов; при решении экономических задач, при решении задач планирования и управления производством на различных  уровнях. Создание же крупных объектов в ракетотехнике, авиастроении, судостроении, а также проектирование плотин, мостов, и др. вообще невозможно без применения ЭВМ.

Для использования  ЭВМ при решении прикладных задач, прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального  объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель.

Слово "Модель" происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом Б. Замещаемый объект А называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б - моделью. Другими словами, модель - это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Целью моделирования  являются получение, обработка, представление  и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между  собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.

Моделирование широко используется в различных сферах человеческой деятельности, особенно в сферах проектирования и управления, где особенными являются процессы принятия эффективных решений на основе получаемой информации.

Модель всегда строится с определенной целью, которая оказывает  влияние на то, какие свойства объективного явления оказываются существенными, а какие - нет. Модель представляет собой  как бы проекцию объективной реальности под определенным углом зрения. Иногда, в зависимости от целей, можно  получить ряд проекций объективной  реальности, вступающих в противоречие. Это характерно, как правило, для  сложных систем, у которых каждая проекция выделяет существенное для  определенной цели из множества несущественного.

Теорией моделирования  является раздел науки, изучающий способы  исследования свойств объектов-оригиналов, на основе замещения их другими объектами-моделями. В основе теории моделирования лежит  теория подобия. При моделировании  абсолютное подобие не имеет места  и лишь стремится к тому, чтобы  модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта. Абсолютное подобие может  иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же.

Все модели можно  разделить на два класса:

1. вещественные,
2. идеальные.

В свою очередь вещественные модели можно разделить на:

1. натурные,
2. физические,
3. математические.

Идеальные модели можно разделить на:

1. наглядные,
2. знаковые,
3. математические.

Вещественные натурные модели - это реальные объекты, процессы и системы, над которыми выполняются  эксперименты научные, технические  и производственные.

Вещественные  физические модели - это макеты, муляжи, воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые, электрические, световые модели).

Вещественные математические - это аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические  модели.

Идеальные наглядные  модели - это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги, структурные и геометрические модели.

Идеальные знаковые модели - это символы, алфавит, языки  программирования, упорядоченная запись, топологическая запись, сетевое представление.

Идеальные математические модели - это аналитические, функциональные, имитационные, комбинированные модели.

В приведенной классификации  некоторые модели имеют двойное  толкование (например - аналоговые). Все  модели, кроме натурных, можно объединить в один класс мысленных моделей, т.к. они являются продуктом абстрактного мышления человека.

Остановимся на одном  из наиболее универсальных видов  моделирования - математическом, ставящим в соответствие моделируемому физическому  процессу систему математических соотношений, решение которой позволяет получить ответ на вопрос о поведении объекта  без создания физической модели, часто  оказывающейся дорогостоящей и  неэффективной.

Математическое  моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.

Математическая  модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала. Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи. 
 
 
 
 
 
 
 

В общем случае математическая модель реального объекта, процесса или системы представляется в виде системы функционалов

Ф_i (X,Y,Z,t)=0,

где X - вектор входных переменных, X=[x₁,x₂,x₃, ... , x_N]^t,

Y - вектор выходных переменных, Y=[y₁,y₂,y₃, ... , y_N]^t,

Z - вектор внешних воздействий, Z=[z₁,z₂,z₃, ... , z_N]^t,

t - координата времени.

Построение математической модели заключается в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат.

Обычно их оказывается  настолько много, что ввести в  модель всю их совокупность не удается. При построении математической модели перед исследованием возникает задача выявить и исключить из рассмотрения факторы, несущественно влияющие на конечный результат (математическая модель обычно включает значительно меньшее число факторов, чем в реальной действительности). На основе данных эксперимента выдвигаются гипотезы о связи между величинами, выражающими конечный результат, и факторами, введенными в математическую модель. Такая связь зачастую выражается системами дифференциальных уравнений в частных производных (например, в задачах механики твердого тела, жидкости и газа, теории фильтрации, теплопроводности, теории электростатического и электродинамического полей).

Конечной целью  этого этапа является формулирование математической задачи, решение которой  с необходимой точностью выражает результаты, интересующие специалиста.

Форма и принципы представления математической модели зависит от многих факторов.

По принципам построения математические модели разделяют на:

1. аналитические;
2. имитационные.

В аналитических  моделях процессы функционирования реальных объектов, процессов или  систем записываются в виде явных  функциональных зависимостей.

Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости  от математической проблемы:

1. уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные),
2. аппроксимационные задачи (интерполяция, экстраполяция, численное интегрирование и дифференцирование),
3. задачи оптимизации,
4. стохастические проблемы.

Однако по мере усложнения объекта моделирования построение аналитической модели превращается в трудноразрешимую проблему. Тогда  исследователь вынужден использовать имитационное моделирование.

В имитационном моделировании  функционирование объектов, процессов  или систем описывается набором  алгоритмов. Алгоритмы имитируют  реальные элементарные явления, составляющие процесс или систему с сохранением  их логической структуры и последовательности протекания во времени. Имитационное моделирование  позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса или  системы в определенные моменты  времени, однако прогнозирование поведения  объектов, процессов или систем здесь  затруднительно. Можно сказать, что  имитационные модели - это проводимые на ЭВМ вычислительные эксперименты с математическими моделями, имитирующими поведение реальных объектов, процессов или систем.

В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть:

1. детерминированные,
2. стохастические.

В детерминированных  моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установленные, поведение  системы можно точно определить. При построении детерминированных  моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгебра.

Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов  в исследуемых объектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической статистики.

По виду входной  информации модели разделяются на:

1. непрерывные,
2. дискретные.

Если информация и параметры являются непрерывными, а математические связи устойчивы, то модель - непрерывная. И наоборот, если информация и параметры - дискретны, а связи неустойчивы, то и математическая модель - дискретная.

По поведению моделей  во времени они разделяются на:

1. статические,
2. динамические.

Статические модели описывают поведение объекта, процесса или системы в какой-либо момент времени. Динамические модели отражают поведение объекта, процесса или  системы во времени.

По степени соответствия между математической моделью и реальным объектом, процессом или системой математические модели разделяют на:

1. изоморфные (одинаковые по форме),
2. гомоморфные (разные по форме).

Модель  называется изоморфной, если между нею и реальным объектом, процессом или системой существует полное поэлементное соответствие. Гомоморфной - если существует соответствие лишь между наиболее значительными составными частями объекта и модели.

В дальнейшем для  краткого определения вида математической модели в приведенной классификации будем пользоваться следующими обозначениями:

Первая буква:

Д - детерминированная,

С - стохастическая.

Вторая буква:

Н - непрерывная,

Д - дискретная.

Третья буква:

А - аналитическая,

И - имитационная.

Согласно этим обозначениям, описанная в лекции 2, модель кривошипно-шатунного механизма (Рис. 2.1.) обозначается как модель вида ДНА (детерминированная, непрерывная, аналитическая), так как:

1. Отсутствует (точнее не учитывается) влияние случайных процессов, т.е. модель детерминированная (Д).
2. Информация и параметры - непрерывные, т.е. модель - непрерывная (Н),
3. Функционирование модели кривошипно-шатунного механизма описано в виде нелинейных трансцендентных уравнений, т.е. модель - аналитическая (А)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Математическая модель

Определение

Математическая модель - совокупность математических объектов и отношений между ними, которая  адекватно отражает свойства исследуемого объекта, интересующие исследователя.Модель может быть представлена различными способами.

Формы представления модели

• инвариантная - запись соотношений модели с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнений модели;
• аналитическая - запись модели в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели;
• алгоритмическая - запись соотношений модели и выбранного численного метода решения в форме алгоритма.
• схемная (графическая) - представление модели на некотором графическом языке (например, язык графов, эквивалентные схемы, диаграммы и т.п.);
• физическая
• аналоговая

Наиболее универсальным  является математическое описание процессов - математическое моделирование. В понятие  математического моделирования  включают и процесс решения задачи на ЭВМ.

Обобщенная  математическая модель

Математическая  модель описывает зависимость между  исходными данными и искомыми величинами.

Элементами обобщенной математической модели являются:

• множество входных данных (переменные) X,Y;

X - совокупность  варьируемых переменных; Y - независимые  переменные (константы);

• математический оператор L, определяющий операции над этими данными; под которым понимается полная система математических операций, описывающих численные или логические соотношения между множествами входных и выходных данных (переменные);
• множество выходных данных (переменных) G(X,Y); представляет собой совокупность критериальных функций, включающую (при необходимости) целевую функцию.

Математическая  модель является математическим аналогом проектируемого объекта. Степень адекватности ее объекту определяется постановкой  и корректностью решений задачи проектирования.

Множество варьируемых  параметров (переменных) X образует пространство варьируемых параметров Rx (пространство поиска), которое является метрическим с размерностью n, равной числу варьируемых параметров.

Множество независимых  переменных Y образуют метрическое  пространство входных данных Ry. В том случае, когда каждый компонент пространства Ry задается диапазоном возможных значений, множество независимых переменных отображается некоторым ограниченным подпространством пространства Ry.

• Множество независимых переменных Y определяет среду функционирования объекта, т.е. внешние условия, в которых будет работать проектируемый объект.

Это могут быть:

• технические параметры объекта, не подлежащие изменению в процессе проектирования;
• физические возмущения среды, с которой взаимодействует объект проектирования;
• тактические параметры, которые должен достигать объект проектирования.

Выходные данные рассматриваемой обобщенной модели образуют метрическое пространство критериальных показателей RG.

Требования  к математической модели

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, универсальности  и экономичности.

Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта. Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта. Эти условия характеризуются внешними параметрами. В пространстве внешних параметров выделить область адекватности модели, где погрешность меньше заданной предельно допустимой погрешности. Определение области адекватности моделей - сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат, которые быстро растут с увеличением размерности пространства внешних параметров. Эта задача по объему может значительно превосходить задачу параметрической оптимизации самой модели, поэтому для вновь проектируемых объектов может не решаться.

Универсальность - определяется в основном числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.

Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации - затратами машинного времени и памяти.

Методы  получения моделей

Получение моделей  в общем случае - процедура неформализованная. Основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера  используемых переменных и параметров, принимает проектировщик. В тоже время такие операции, как расчет численных значений параметров модели, определение областей адекватности и другие, алгоритмизированы и  решаются на ЭВМ. Поэтому моделирование  элементов проектируемой системы  обычно выполняется специалистами  конкретных технических областей с  помощью традиционных экспериментальных  исследований.

Методы получения  функциональных моделей элементов  делят на теоретические и экспериментальные.

Теоретические методы основаны на изучении физических закономерностей протекающих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходимых выкладок и приведении результата к принятой форме представления модели.

Экспериментальные методы основаны на использовании внешних проявлений свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации однотипных объектов или при проведении целенаправленных экспериментов.

Несмотря  на эвристический характер многих операций моделирование имеет ряд положений и приемов, общих для получения моделей различных объектов. Достаточно общий характер имеютметодика макро моделирования, математические методы планирования экспериментов, алгоритмы формализуемых операций расчета численных значений параметров и определения областей адекватности.

 

Использование математических моделей

Вычислительная  мощность современных компьютеров  в сочетании с предоставлением  пользователю всех ресурсов системы, возможностью диалогового режима при решении  задачи и анализе результатов  позволяют свести к минимуму время  решения задачи.

При составлении  математической модели от исследователя  требуется:

• изучить свойства исследуемого объекта;
• умение отделить главные свойства объекта от второстепенных;
• оценить принятые допущения.

Модель описывает  зависимость между исходными  данными и искомыми величинами. Последовательность действий, которые надо выполнить, чтобы  от исходных данных перейти к искомым величинам, называют алгоритмом. Алгоритм решения задачи на ЭВМ связан с выбором численного метода. В зависимости от формы представления математической модели (алгебраическая или дифференциальная форма) используются различные численные методы.