Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Формы сечений балок

1.Рациональные формы сечений балок

Рассмотрим форму поперечного сечения балок. Во время поперечного изгиба с нагрузкой, действующей вертикально вниз, верхний пояс балки сжимается, тогда, как нижний растягивается (рис. 86, в). Средние же слои деформируются мало. Внутренние напряжения в балке прямоугольного сечения распределяются следующим образом: вдоль оси симметрии усилия равны нулю и пропорционально возрастают по мере продвижения к крайним (верхнему и нижнему) поясам, достигая максимума как раз на самых внешних слоях. Очевидно, что средние слои балки работают с большой недогрузкой. Поэтому можно вместо прямоугольного сечения выбрать такое, где площадь поперечного сечения средних слоев будет меньше. Одним из самых распространенных сечений подобного рода является двутавр (рис. 86, г). Почти аналогичным образом работает и швеллер (рис. 86, д). Вспомним, что тонкие стержни, к которым можно отнести и двутавр со швеллером, плохо работают на сжатие и хорошо на растяжение. Вспомним также, что изгибаемая балка работает своими верхними слоями на сжатие, а нижними на растяжение, конечно, если сила действует вертикально сверху вниз. Теперь ясно, что у двутавра можно резко уменьшить сечение нижнего пояса и сохранить прежним сечение верхнего. В пределе мы получим новое сечение, - тавр (рис. 86, ж). Если подобную операцию проделать и со швеллером, получится уголок (рис. 86, е). Существуют равнобокие и неравнобокие уголки. У последних одна из полок в сечении длиннее. Подчеркнем, что все эти элементы хорошо работают только в положениях, указанных на рис. 86, а, д, е, ж сверху.

Жесткость горизонтального стержня, нагруженного вертикальными силами, пропорциональна первой степени ширины его сечения и третьей степени высоты его сечения. Например, увеличение ширины прямоугольного бруса в два раза увеличит его жесткость тоже в два раза. Увеличение же высоты бруса в два раза увеличит его жесткость в 8 раз (рис. 87, а).

Рис. 87. Жесткость стержней различного сечения: а, 6 - изменений массы при одинаковой жесткости, в - изменение жесткости при одинаковой массе

При этом подразумевается, что все силы действуют вертикально. Если они действуют горизонтально, то жесткость пропорциональна кубу ширины. Чтобы не было путаницы, считается, что высота сечения стержня имеет то же направление, что и направление сил. Тогда увеличение высоты всегда значительно выгоднее увеличения ширины. В этом смысле неравнобокий уголок выгоднее устанавливать так, чтобы его большая полка была вертикальной (ее направление совпадает с направлением сил).

Большой интерес представляют полые сечения (рис. 87, б, в), так как при одинаковой площади сечения полые элементы сопротивляются значительно лучше сплошных. На этом основании существует даже мнение, что труба «работает» лучше, чем сплошной стержень того же диаметра. Это ложное мнение. Если наружный диаметр трубы и стержня одинаковы, то стержень «работает» лучше. Но если мы несколько увеличим диаметр трубы против диаметра сплошного стержня, но при этом площадь сечения возьмем для трубы меньше (на деле это означает, что на трубу пойдет меньше материала, и она будет легче), то можно добиться того, что они будут работать одинаково хорошо, а мы, применив трубу, сэкономим материал и добьемся значительного облегчения. То же самое можно сказать, сравнивая сплошной брус с полым коробом (рис. 87, б).

В некоторых случаях выгоднее вместо сплошного сечения взять отдельные стержни в самых напряженных поясах (правая колонка на рис. 85). Так, консоль превращается в кронштейн (рис. 85, а, б), а балка - в плоскую ферму (рис. 85, б - е). Консоль имеет растягиваемый верхний и сжимаемый нижний пояса, поэтому, выгодно нижний пояс делать из достаточно толстого стержня, а верхний - из тонкой струны, называемой растяжкой или вантой.

Очень интересная система - ферма. Она представляет собой комбинацию стержневых треугольников, построенных так, что одна из сторон треугольника служит основанием другого треугольника. При этом любые нагрузки, приложенные в вершинах треугольников, вызывают в стержнях только растяжение или сжатие и никогда изгиб. Это позволяет применить значительно более тонкие стержни, чем в сплошных балках при той же жесткости. Нагружение стержня в середине его пролета в фермах нерационально и никогда не применяется.

Здесь нужно оговориться, что это относится только к случаю, когда стержни соединены между собой шарнирами, как, например, показано на рис. 85. На практике вместо шарниров часто применяют жесткое соединение стержней, например сваркой. В этом случае ферма работает несколько иначе, но она остается фермой с ее основными достоинствами. На рис. 88 показаны различные случаи, когда разомкнутые конструкции выгодно заменить замкнутыми, а прямоугольники из стержней - системой треугольников.

Рис. 88. «Разомкнутые» и «замкнутые» системы

Из двух сечений с одним и тем же полярным моментом сопротивления (или в случае некруглого сечения одним и тем же Wк), а следовательно, с одним и тем же допускаемым крутящим моментом, рациональным будет сечение с наименьшей площадью, т.е. обеспечивающее наименьший расход материала. Так как отношение Wp/A (или Wк/A) является величиной размерной, то для сравнения различных сечений удобно применять безразмерную величину :

(при некруглом сечении ), которую можно называть удельным моментом сопротивления при кручении. Чем больше , тем рациональнее сечение.

Таблица 2.2

Тип сечения

Швеллер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Двутавр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Прямоугольное сечение при a/b = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
То же, a/b = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Квадрат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Круглое сплошное сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Круговое кольцо при c = d/D = 0,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
>> >> >> >> >> >> c = 0,9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,04 - 0,05
0,05 - 0,07
0,1
0,18
0,21
0,28
0,37
1,16

Как видим, наименее выгодными при кручении являются швеллеры, двутавры, узкие прямоугольные сечения и наиболее выгодными - круглые кольцевые, особенно при малой толщине стенок.

Сравним площадь стержней трубчатого сечения Ат с площадью стержней сплошного сечения Ас при различных значениях с = d/D и при условии равной прочности. Из равенства полярных моментов сопротивления сплошного и кольцевого сечений имеем:

Для равнопрочности должно соблюдаться условие:

Отношение площадей сечения равно:

Подставляя сюда значение D, найденное из условия равнопрочности, получаем:

В таблице 2.3 приведены значения отношения Ат/Ас. Из этой таблицы видно, что применение трубчатых тонкостенных стержней дает большую экономию металла.

Таблица 2.3

c	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
Ат/Ас	1	0,99	0,96	0,92	0,85	0,79	0,70	0,61	0,51	0,39

При подборе сечений по жесткости в качестве критерия экономичности профиля может служить безразмерная величина:

(или для некруглых сечений), которая может быть названа удельным полярным полярным моментом инерции или удельной геометрической характеристикой крутильной жесткости.

В таблице 2.4 приведены значения jк для некоторых наиболее распространенных сечений.

Таблица 2.4

Тип сечения

jк

0,010 - 0,011
0,009 - 0,015
0,031
0,115
0,14
0,16
0,264
1,52

Как видим, при расчете на жесткость преимущества кольцевых тонкостенных сечений по сравнению с другими типами сечений еще более возрастают. Сравнение площадей стержней круглого кольцевого и сплошного сечений при одинаковой жесткости представлено в таблице 2.5. В этой таблице Ат - площадь сечения стержня кольцевого трубчатого сечения, Ас - площадь сечения стержня сплошного круглого сечения.

Таблица 2.5

c	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
Ат/Ас	1	0,99	0,96	0,92	0,85	0,78	0,69	0,58	0,46	0,32

Сравнивая эту таблицу с таблицей 2.3., видим, что при расчете на жесткость применение трубчатых тонкостенных стержней позволяет получить еще большую экономию материала.

2.Расчет балок на прочность при прямом чистом изгибе

При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор - изгибающий момент М_х (рис. 1). Так как Q_y=dM_x/dz=0, то M_x=const и чистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент M_х по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох с нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики

Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматического стержня. Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульного материала, на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок (рис. 2). Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, которая, как показывает решение этой задачи методами теории упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом - законом плоских сечений. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон (s_х =s_y=0).

Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.

Таким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями s (индекс г в дальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. 2 это - нижние волокна), а другая часть - в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны разделены нейтральным слоем (n-n), не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю. Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, что материал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае имеет вид: s=eЕ, выведем формулы для кривизны нейтрального слоя 1/r (r - радиус кривизны) и нормальных напряжений s. Предварительно отметим, что постоянство поперечного сечения призматического стержня и изгибающего момента (M_х=сonst), обеспечивает постоянство радиуса кривизны нейтрального слоя по длине стержня (рис. 3, а), нейтральный слой (n-n) описывается дугой окружности.

Рассмотрим призматический стержень в условиях прямого чистого изгиба (рис. 3, а) с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси Оу. Это условие не отразится на конечном результате (чтобы прямой изгиб был возможен, необходимо совпадение оси Оу с главной осью инерции поперечного сечения, которая и является осью симметрии). Ось Ox поместим на нейтральном слое, положение которого заранее неизвестно.

Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной dz, который в масштабе с искаженными в интересах наглядности пропорциями изображен на рис. 3, б. Поскольку интерес представляют деформации элемента, определяемые относительным смещением его точек, одно из торцевых сечений элемента можно считать неподвижным. Ввиду малости dj считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.

Вычислим относительную деформацию продольного волокна АВ, отстоящего от нейтрального слоя на у:

e =ВВ₁ / АВ=ВВ₁ / ОО₁

Из подобия треугольников С00₁ и 0₁ВВ₁ следует, что

BB₁ / OO₁ = O₁B/CO = y /r

Продольная деформация e оказалась линейной функцией расстояния от нейтрального слоя, что является прямым следствием закона плоских сечений

(1)

Тогда нормальное напряжение, растягивающее волокно АВ, на основании закона Гука будет равно

(2)

Эта формула не пригодна для практического использования, так как содержит две неизвестные: кривизну нейтрального слоя 1/r и положение нейтральной оси Ох, от которой отсчитывается координата у. Для определения этих неизвестных воспользуемся уравнениями равновесия статики. Первое выражает требование равенства нулю продольной силы

(3)

Подставляя в это уравнение выражение (2)

и учитывая, что (Е / r) ¹ 0, получаем, что

Интеграл в левой части этого уравнения представляет собой статический момент поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси Ох, который может быть равным нулю только относительно центральной оси. Поэтому нейтральная ось Ох проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Вторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальные напряжения с изгибающим моментом (который легко может быть выражен через внешние силы и поэтому считается заданной величиной). Подставляя в уравнение связки выражение для. напряжений, получим:

и учитывая, что где J_x - главный центральный момент инерции относительно оси Ох, для кривизны нейтрального слоя получаем формулу

(4)

Кривизна нейтрального слоя 1/s является мерой деформации стержня при прямом чистом изгибе. 1/s тем меньше, чем больше величина EJ_х, называемая жесткостью поперечного сечения при изгибе (по аналогии с жесткостью поперечного сечения при растяжении EF).

Подставляя (4) в (2), получаем формулу для нормальных напряжений в виде

(5)

которая была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году. Для согласования знаков изгибающего момента М_х и нормальных напряжений s в правой части формулы (5) ставится знак минус, так как при M_х>0 нормальные напряжения s при y>0 оказываются сжимающими. Однако в практических расчетах удобнее, не придерживаясь формального правила знаков, определять напряжения по модулю, а знак ставить по смыслу. Нормальные напряжения при чистом изгибе призматического стержня являются линейной функцией координаты у и достигают наибольших значений в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 4), т. е.

Здесь введена геометрическая характеристика , имеющая размерность м³ и получившая название момента сопротивления при изгибе. Поскольку при заданном M_х напряжения max s тем меньше, чем больше W_x, момент сопротивления является геометрической характеристикой прочности поперечного сечения изгибе. Приведем примеры вычисления моментов сопротивления для простейших форм поперечных сечений. Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 5, а) имеем J_х=bh³/12, y_max = h/2 и W_x = J_x/y_max = bh²/6. Аналогично для круга (рис. 5,6 J_x=pd⁴/64, y_max=d/2) получаем W_x=pd³/32, для кругового кольцевого сечения (рис. 5, в), у которого

получаем

Итак, максимальные нормальные напряжения в сечении с изгибающим моментом M_х определяются по формуле

(6)

Этой формулой удобно пользоваться для расчета балок пластичного материала в упругой области, одинаково работающего на растяжение и сжатие. Поскольку знак напряжения в этом случае не имеет значения, напряжения вычисляются по модулю, и условие прочности при изгибе балки в форме призматического стержня получает вид

где max M_х - максимальное значение изгибающего момента (легко определяемое по его эпюре), [s] - допускаемое напряжение на простое растяжение (сжатие). Напомним, что чистый изгиб балки сводится к растяжению и сжатию ее волокон (неравномерному в отличие от деформации растяжения (сжатия) призматического стержня, при котором s=const).

При расчете балок из хрупких материалов следует различать наибольшие растягивающие max s_p и наибольшие сжимающие max |s_c| напряжения (рис. 6), которые также определяются по модулю непосредственно и сравниваются с допускаемыми напряжениями на растяжение |s_т| и сжатие [s_с]. Условие прочности в этом случае будет иметь вид:

3.Главные оси инерции и главные моменты инерции

Зная для данной фигуры центральные моменты инерции , и , можно вычислить момент инерции и относительно любой другой оси.

При этом можно за основную систему осей принять такую систему, при которой формулы существенно упрощаются. Именно, можно найти систему координатных осей, для которых центробежный момент инерции равен нулю. В самом деле, моменты инерции и всегда положительны, как суммы положительных слагаемых, центробежный же момент

может быть и положительным и отрицательным, так как слагаемые zydF могут быть разного знака в зависимости от знаков z и у для той или иной площадки. Значит, он может быть равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Если начало такой системы помещено в центре тяжести фигуры, то это будут главные центральные оси. Эти оси мы будем обозначать и ; для них

Найдем, под каким углом наклонены к центральным осям у и z (фиг. 198) главные оси.

Рис.1. Расчетная модель для определения положения главных осей инерции.

В известном выражении для перехода от осей yz к осям , для центробежного момента инерции дадим углу значение ; тогда оси и , совпадут c главными, и центробежный момент инерции будет равен нулю:

или

откуда:

(1)

Этому уравнению удовлетворяют два значения , отличающиеся на 180°, или два значения , отличающиеся на 90°. Таким образом, это уравнение дает нам положение двух осей, составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные центральные оси и , для которых .

Пользуясь этой формулой, можно по известным , и получить формулы для главных моментов инерции и . Для этого опять воспользуемся выражениями для осевых моментов инерции общего положения. Они определяют значения и если вместо подставить

(2)

Полученными соотношениями можно пользоваться при решении задач. Одним из главных моментов инерции является , другим .

Формулы (2) можно преобразовать к виду, свободному от значения . Выражая и через и подставляя их значения в первую формулу (2), получим, делая одновременно замену из формулы (1):

Заменяя здесь из формулы (1) дробь на

получаем

(3)

К этому же выражению можно прийти, делая подобное же преобразование второй формулы (3).

За основную систему центральных осей, от которых можно переходить к любой другой, можно взять не Оу и Oz, а главные оси и ; тогда в формулах не будет фигурировать центробежный момент инерции ( ). Обозначим угол, составленный осью , (Рис.2) с главной осью , через . Для вычисления , и , переходя от осей и нужно в ранее найденных выражениях для , и , заменить угол через , а , и — через , и . В результате получаем:

По своему виду эти формулы совершенно аналогичны формулам для нормальных и касательных напряжений по двум взаимно-перпендикулярным площадкам в элементе, подвергающемся растяжению в двух направлениях. Укажем лишь формулу, позволяющую из двух значений угла выделить то, которое соответствует отклонению первой главной оси (дающей max J) от начального положения оси у:

Теперь можно окончательно формулировать, что надо сделать, чтобы получить возможность простейшим образом вычислять момент инерции фигуры относительно любой оси. Необходимо через центр тяжести фигуры провести оси Оу и Oz так, чтобы, разбивая фигуру на простейшие части, мы могли легко вычислить моменты , и после этого следует найти по формуле (14.17) величину угла и вычислить главные центральные моменты инерции и по формулам (14.18).

Рис.2. Расчетная модель нахождения положения главных осей.

Далее, можно найти момент инерции относительно любой центральной оси (Рис.2), наклоненной к под углом :

Зная же центральный момент инерции , можно сейчас же найти момент инерции относительно любой параллельной ей оси , проходящей на расстоянии (рис.2) от центра тяжести:

Во многих случаях удается сразу провести главные оси фигуры; если фигура имеет ось симметрии, то это и будет одна из главных осей. В самом деле, при выводе формулы мы уже имели дело с интегралом , представляющим собой центробежный момент инерции сечения относительно осей у и z; было доказано, что если ось Oz является осью симметрии, этот интеграл обращается в нуль.

Стало быть, в данном случае оси Оу и Oz являются главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, ось симметрии — всегда главная центральная ось; вторая главная центральная ось проходит через центр тяжести перпендикулярно к оси симметрии.

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции.

Как известно, центральные моменты инерции являются наименьшими из всех моментов относительно ряда параллельных осей.

Найдем теперь крайние значения (максимум и минимум) для центральных моментов инерции. Возьмем ось , и начнем ее вращать, т. е. менять угол ; при этом будет изменяться величина

Наибольшее и наименьшее значения этого момента инерции соответствуют углу , при котором производная обращается в нуль. Эта производная равна:

Подставляя в написанное выражение и приравнивая его нулю, получаем:

отсюда

Таким образом, осями с наибольшим и наименьшим центральными моментами инерции будут главные центральные оси. Так как при повороте центральных осей сумма соответствующих моментов инерции не меняется, то

Когда один из центральных моментов инерции достигает наибольшего значения, другой оказывается минимальным, т, е. если

то

Следовательно, главные центральные оси инерции — это такие взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, а осевые моменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значения.

Пример. Найти моменты инерции прямоугольника (Рис.3) относительно осей и и центробежный момент его относительно тех же осей.

Рис.3. Пример расчета моментов инерции.

Центральные оси у и z как оси симметрии будут главными осями; моменты инерции сечения относительно этих осей равны:

Центральные моменты относительно повернутых осей и равны:

Центробежный момент инерции относительно осей и равен:

Координаты центра тяжести прямоугольника относительно осей и равны:

Моменты инерции относительно осей и равны:

Центробежный момент инерции равен:

4.Влияние собственного веса бруса на напряжение

При установлении внешних сил, растягивающих или сжимающих элементы конструкций, мы до сих пор игнорировали собственный вес этих элементов. Возникает вопрос, не вносится ли этим упрощением расчета слишком большая погрешность? В связи с этим подсчитаем величины напряжений и деформаций при учете влияния собственного веса растянутых или сжатых стержней.

Пусть вертикальный стержень (Рис.1, а) закреплен своим верхним концом; к нижнему его концу подвешен груз Р. Длина стержня l, площадь поперечного сечения F, удельный вес материала и модуль упругости Е. Подсчитаем напряжения по сечению АВ, расположенному на расстоянии от свободного конца стержня.

а) б)

Рис.1. Исходная расчетная схема бруса а) и б) — равновесие нижней отсеченной части.

Рассечем стержень сечением АВ и выделим нижнюю часть длиной с приложенными к ней внешними силами (Рис.1, б) — грузом Р и ее собственным весом . Эти две силы уравновешиваются напряжениями, действующими на площадь АВ от отброшенной части. Эти напряжения будут нормальными, равномерно распределенными по сечению и направленными наружу от рассматриваемой части стержня, т. е. растягивающими.

Величина их будет равна:

Таким образом, при учете собственного веса нормальные напряжения оказываются неодинаковыми во всех сечениях. Наиболее напряженным, опасным, будет верхнее сечение, для которого достигает наибольшего значения l; напряжение в нем равно:

Условие прочности должно быть выполнено именно для этого сечения:

Отсюда необходимая площадь стержня равна:

От формулы, определяющей площадь растянутого стержня без учета влияния собственного веса, эта формула отличается лишь тем, что из допускаемого напряжения вычитается величина .