Фрактальная графика

             Федеральное агентство по образованию

         ГОУ   ВПО  ОмГТУ

         Кафедра ДРиТПП

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           Реферат

           по дисциплине компьютерная геометрия и графика

        на тему

           Фрактальная графика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                Проверила:

                                                                                                                 Макарова Т.В.

 

 

 

Омск-2008

Содержание

• Понятия фрактала и фрактальной графики………………………………3
• Основные свойства фрактала……………………………………………...4
• Классификация фракталов………………………………………………...4
• Применение фракталов…………………………………………………….6
• Программы для создания фракталов……………………………………...7
• Приложения…………………………………………………………………8
• Источники………………………………………………………………….10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятия фрактала и фрактальной графики.

 Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы»[2].

 

Фрактал (лат. fractus — дробленый) — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба. Масштабная инвариантность, наблюдаемая во фракталах, может быть либо точной, либо приближённой.

Чтобы представить себе фрактал  понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта ставший классическим - "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна[3].

 

Ещё один вариант определения: Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности. Самоподобное множество — множество, представимое в виде объединения одинаковых непересекающихся подмножеств подобных исходному множеству[2].

 

Фрактальная графика, как и векторная, основана на математических вычислениях. Создание фрактального рисунка или композиции состоит в генерации изображений путем математических расчетов, т.е.программировании. Базовым элементом фрактальной графики является сама математическая формула, т.е. никаких объектов в памяти компьютера не хранится и изображение строится исключительно по уравнениям. Таким образом строят как простейшие регулярные структуры, так и сложные иллюстрации, имитирующие природные ландшафты и трехмерные объекты.

Фрактальная графика, как и векторная  — вычисляемая, но отличается от неё  тем, что никакие объекты в  памяти компьютера не хранятся. Изображение  строится по уравнению (или по системе  уравнений), поэтому ничего, кроме

                                                             3

 формулы, хранить не надо. Изменив коэффициенты в уравнении,  можно получить совершенно другую  картину. Способность фрактальной  графики моделировать образы живой природы вычислительным путем часто используют для автоматической генерации необычных иллюстраций[4].

Основные свойства фрактала

• Он имеет тонкую структуру, то есть содержит произвольно малые масштабы.
• Он слишком нерегулярен, чтобы быть описанными на традиционном геометрическом языке.
• Он имеет некоторую форму самоподобия (по крайней мере приближённую или стохастическую).
• Он имеет дробную «фрактальную» размерность, называемую также размерностью Минковского, которая больше, чем его топологическая размерность (несмотря на то, что это условие не выполняется в случае кривых Пеано).
• Он имеет простое и рекурсивное определение.[2]

 Классификации фракталов

• В основном фракталы делят на геометрические, алгебраические и стохастические. Однако существуют и другие классификации:
• Рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы    накладывается ограничение на область

                    существования — то есть максимальный и минимальный размер, при

                     которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

• Детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).[2]

 

Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые  наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или  поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг  алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рассмотрим один из таких фрактальных  объектов - триадную кривую Кох (рис.1). Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один

                                                              4

 отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1.В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рис.1 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным обьектом .

В машинной графике использование  геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности обьекта)[1] .

 

Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоватся терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несолькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (см. pис.2 и рис.3). Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении:

                                                             5

 

Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C,

где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

Вышеописанный алгоритм дает приближение  к так называемому множеству  Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в  течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон)[1].

 

 Стохастические фракталы

Еще одним известным классом  фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том  случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные  стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря[1] .

 

Применение фракталов

• Генерация изображений природных объектов
• Механика жидкостей
• Биология
• Литература
• Фрактальные антенны
• Сжатие изображений
• Децентрализованные сети[2]

                         

                                                              6

        Программы для создания фрактальных изображений

Ultra Fractal —программа, предназначенная для создания и анимации изображений по фрактальному алгоритму.

Fractal Explorer —программа для создания изображений фракталов

                     XaoS — многоплатформенный генератор фракталов.

Fractint

Chaoscope — программа трёхмерной визуализации странных аттракторов.

Apophysis — программа для создания fractal flames. Fractal flames является расширением IFS фракталов.

EyeFract

Gnofract 4D

IFS Illusions [2]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                        7

Рис.1                                                            снежинка Коха     
 
Рис.2                                                                    Рис.3

                        Треугольник Серпинского

 

 

 

 

                                                                                   8                                                    

                                        

                         Фрактальная капуста                                                      множество Жюлиа

                                                

                              фрактальное дерево                                                           множество Мандельброта

                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                       9

Источники

1. «Введение во фракталы»  Шабаршин А.А.[ALGOLIST.MANUAL.RU]
2. «Фрактал» Википедия
3. «Фракталы вокруг нас» Саква Д.Ю.[CodeNet;http://sakva.narod.ru/]
4. «Фрактальная графика» Телешкола

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                       10