Фракталы

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ, МОЛОДЁЖИ И СПОТРА УКРАИНЫ

 

ОДЕССКАЯ  ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА  И АРХИТЕКТУРЫ

 

 

КАФЕДРА ФИЗИКИ

 

 

 

 

Р Е  Ф Е Р А Т

 

 

По  дисциплине: «Физическое материаловедение»

 

На  тему : « ФРАКТАЛЫ»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

 

ст.гр. ЗПГС – 501 М

Злуняев Е.А.

з/кн № 08070

 

 

Проверил:

 

проф., Герега А.Н.

 

 

 

Одесса - 2013

ФРАКТАЛЫ

 

 

Содержание

 

Введение

1. Чтотакое фракталы

1.1. Геометрические (конструктивные) фракталы

1.2. Динамические (алгебраические) фракталы

2. Классические фракталы

2.1 Снежинка Коха

2.2 Салфетка и ковёр Серпинского

3. L-системы

4. Практическое применение фракталов

Литература

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

         Когда большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам?

         Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.

           Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду?

           Фракталы и математический хаос - подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос - термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды - вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия.

          Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мадельброту, мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности. Отсюда и происхождение слова фрактал (от лат. fractus - дробный).

          Понятие дробной размерности представляет собой сложную концепцию, которая излагается в несколько этапов. Прямая - это одномерный объект, а плоскость - двумерный. Если хорошенько перекрутив прямую и плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом. Даже в случае гораздо более сложных фракталов, таких как граница множества Мандельброта, когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде.

 

 

 

 

 

 

 

Что такое  фракталы

          Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. В основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций — копирования и масштабирования.

         У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово «фрактал» не является математическим термином. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств: обладает сложной структурой при любом увеличении; является (приближенно) самоподобной; обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью, которая больше топологической; может быть построена рекурсивными процедурами.

          На рубеже XIX и XX веков изучение фракталов носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс построил пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

         Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов. Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении относятся к началу XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный труд Жюлиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жюлиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жюлиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли.

          Вновь внимание к работам Жюлиа и Фату обратилось лишь полвека спустя, с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов. Ведь Фату никогда не мог посмотреть на изображения, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Первым, кто использовал для этого компьютер был Бенуа Мандельброт .

           В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными то появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

1.1. Геометрические (конструктивные) фракталы

         Фракталы этого типа строятся поэтапно. Сначала изображается основа. Затем некоторые части основы заменяются на фрагмент. На каждом следующем этапе части уже построенной фигуры, аналогичные замененным частям основы, вновь заменяются на фрагмент, взятый в подходящем масштабе. Всякий раз масштаб уменьшается. Когда изменения становятся визуально незаметными, считают, что построенная фигура хорошо приближает фрактал и дает представление о его форме. Для получения самого фрактала нужно бесконечное число этапов. Меняя основу и фрагмент, можно получить много разных геометрических фракталов.

           Геометрические фракталы хороши тем, что, с одной стороны, являются предметом достаточного серьезного научного изучения, а с другой стороны, их можно «увидеть» — даже человек, далекий от математики, найдет в них что-то для себя. Такое сочетание редко в современной математике, где все объекты задаются с помощью непонятных слов и символов. Оказывается, многие геометрические фракталы можно нарисовать буквально на листочке бумаги в клетку. Сразу оговоримся, что все получаемые изображения (в том числе и те, что приведены на этом плакате) являются лишь конечными приближениями бесконечных по своей сути фракталов. Но всегда можно нарисовать такое приближение, что глаз не будет различать совсем мелкие детали и наше воображение сможет создать верную картину фрактала. Например, имея достаточно большой лист миллиметровой бумаги и запас свободного времени, можно вручную нарисовать такое точное приближение к ковру Серпинского, что с расстояния в несколько метров невооруженный глаз будет воспринимать его как настоящий фрактал. Компьютер позволит сэкономить время и бумагу и при этом еще увеличить точность рисования.

Снежинка Коха

 Т-квадрат; H-фрактал

 Треугольник Серпинского

Дерево Пифагора

 Кривая Леви

 Дракон

1.2. Динамические (алгебраические) фракталы

          Фракталы этого типа возникают при исследовании нелинейных динамических систем (отсюда и название). Поведение такой системы можно описать комплексной нелинейной функцией (многочленом) f(z). Возьмем какую-нибудь начальную точку z0 на комплексной плоскости. Теперь рассмотрим бесконечную последовательность чисел на комплексной плоскости, каждое следующее из которых получается из предыдущего: z0, z1 = f(z0), z2 = f(z1), ... zn+1 = f(zn). В зависимости от начальной точки z0 такая последовательность может вести себя по-разному: стремиться к бесконечности при n → ∞; сходиться к какой-то конечной точке; циклически принимать ряд фиксированных значений; возможны и более сложные варианты.

          Таким образом, любая точка z комплексной плоскости имеет свой характер поведения при итерациях функции f(z), а вся плоскость делится на части. При этом точки, лежащие на границах этих частей, обладают таким свойством: при сколь угодно малом смещении характер их поведения резко меняется (такие точки называют точками бифуркации). Так вот, оказывается, что множества точек, имеющих один конкретный тип поведения, а также множества бифуркационных точек часто имеют фрактальные свойства. Это и есть множества Жюлиа для функции f(z).

          Множество Мандельброта строится несколько иначе. Рассмотрим функцию fc(z) = z2 + с, где c — комплексное число. Построим последовательность этой функции с z0 = 0, в зависимости от параметра с она может расходиться к бесконечности или оставаться ограниченной. При этом все значения с, при которых эта последовательность ограничена, как раз и образуют множество Мандельброта. Оно было детально изучено самим Мандельбротом и другими математиками, которые открыли немало интересных свойств этого множества.

         Видно, что определения множеств Жюлиа и Мандельброта похожи друг на друга. На самом деле эти два множества тесно связаны. А именно, множество Мандельброта — это все значения комплексного параметра c, при которых множество Жюлиа fc(z) связно (множество называется связным, если его нельзя разбить на две непересекающиеся части, с некоторыми дополнительными условиями).

Множество Мандельброта

Множества Жюлиа

Фрактал Галлея

Фрактал Ньютона

 

2. Классические фракталы

2.1 Снежинка Коха

        В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с колоссально большой скоростью (производная равна бесконечности). Поиски данных кривых были вызваны не просто праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М.Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом аппроксимировала движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую. Мы не будем вдаваться в объяснения правила ее построения, а просто приведем ее изображение, из которого все станет ясно (рис.1.1.1).

Рис 2.1.1. Снежинка Коха.

          Одно важное свойство, которым обладает граница снежинки Коха - ее бесконечная длина. Это может показаться удивительным, потому что мы привыкли иметь дело с кривыми из курса математического анализа. Обычно гладкие или хотя бы кусочно-гладкие кривые всегда имеют конечную длину (в чем можно убедиться интегрированием). Мандельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных работ, в которых исследуется вопрос об измерении длины береговой линии Великобритании. В качестве модели он

Рис. 2.1.2. Построение снежинки Коха.

использовал фрактальную  кривую, напоминающую границу снежинки за тем исключением, что в нее введен элемент случайности, учитывающий случайность в природе. В результате оказалось, что кривая, описывающая береговую линию, имеет бесконечную длину.

2.2 Салфетка и ковёр Серпинского

           Еще один пример простого самоподобного фрактала - салфетка Серпинского (рис. 1.2.1), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Сам термин салфетка принадлежит Мандельброту. В способе построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти. Позднее мы рассмотрим и другие способы, в частности с использованием L-систем, а также на основе итерированных функций.

Рис 2.2.1. Салфетка Серпинского

          Пусть начальное множество S0 - равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем S0 на четыре меньшие треугольные области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Назовем оставшееся множество S1 (рис. 1.2.2). Затем повторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующее приближение S2. Продолжая таким образом, получим последовательность вложенных множеств Sn, чье пересечение образует салфетка S.

Рис. 2.2.2. Построение салфетки Серпинского

           Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при построении, в точности равна площади исходного треугольника. На первом шаге мы выбросили ¼ часть площади. На следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем площадь каждого равна ¼ 2 площади исходного. Рассуждая таким образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади составила:

1/4 + 3*(1/42) + 32*(1/43) + … + 3n-1*(1/4n) + … .

Эта сумма равна. Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то есть салфетка, имеет площадь меры нуль. Это выделяет множество S в разряд «совершенного», в том смысле, что оно разбивает свое дополнение на бесконечное число треугольных областей, обладая при этом нулевой толщиной.

          Ковер Серпинского считается еще одной моделью фрактала. Строится он следующим образом: берется квадрат, делится на девять квадратов, вырезается центральный квадрат. Затем с каждым из восьми оставшихся квадратов проделывается подобная процедура. И так до бесконечности. В результате вместо целого квадрата мы получаем ковер со своеобразным симметричным рисунком. Впервые данную модель предложил математик Серпинский, в честь которого он и получил свое название. Пример ковра Серпинского можно увидеть на рис. 1.2.3.

Рис. 2.2.3. Построение ковра Серпинского

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. L-системы

           Понятие L-систем, тесно связанное с самоподобными фракталами, появилось только в 1968 году благодаря Аристриду Линденмайеру. Изначально L-системы были введены при изучении формальных языков, а также использовались в биологических моделях селекции. С их помощью можно строить многие известные самоподобные фракталы, включая снежинку Коха и салфетка Серпинского. Некоторые другие классические построения, например кривые Пеано (работы Пеано, Гильберта, Серпинского), также укладываются в эту схему. И конечно, L-системы открывают путь к бесконечному разнообразию новых фракталов, что и послужило причиной их широкого применения в компьютерной графике для построения фрактальных деревьев и растений. Рассмотренные в данной курсовой работе L-системы ограничиваются случаем детерминированных L-систем и графикой на плоскости.

         Для графической реализации L-систем в качестве подсистемы вывода используется так называемая тертл-графика (turtle – черепаха). При этом точка (черепашка) движется по экрану дискретными шагами, как правило прочерчивая свой след, но при необходимости может перемещаться без рисования. В нашем распоряжении имеются три параметра (x,y,a), где (x,y) - координаты черепашки, a - направление, в котором она смотрит. Черепашка обучена интерпретировать и выполнять последовательность команд, задаваемых кодовым словом, буквы которого читаются слева направо. Кодовое слово представляет собой результат работы L-системы и может включать следующие буквы:

F -переместиться вперед на один шаг, прорисовывая след.

[ - открыть ветвь (подробнее см. ниже)

] - закрыть ветвь (подробнее см. ниже)

+ - увеличить угол a на величину q

- - уменьшить угол a на величину q

          Размер шага и величина приращения по углу q задаются заранее и остаются неизменными для всех перемещений черепашки. Если начальное направление движения а (угол, отсчитываемый от положительного направления оси Х) не указано, то полагаем а равным нулю.

          Несколько примеров иллюстрируют применение команд ветвления (обозначаются ],[) и вспомогательных переменных (обозначаются X, Y, и т.д.). Команды ветвления используются для построения деревьев растений, а вспомогательные переменные заметно облегчают построение некоторых L-систем.

          Формально, детерминированная L-система состоит из алфавита, слова инициализации, называемого аксиомой или инициатором, и набора порождающих правил, указывающих, как следует преобразовывать слово при переходе от уровня к уровню (от итерации к итерации). К примеру, можно заменять букву F при помощи порождающего правила F-> F-F++F-F, что соответствует L-системе для снежинки Коха, рассматриваемой ниже. Символы +, -, ], [ не обновляются, а просто остаются на тех местах, где они встретились. Обновление букв в данном слове предполагается одновременным, то есть буквы слова одного уровня обновляются раньше любой буквы следующего уровня.

            L-система, соответствующая снежинке Коха (рис. 1.1.1), задается следующим образом:

p = 60*

Аксиома: F++F++F

Порождающее правило: F-> F-F++F-F

Графическое представление  аксиомы F++F++F - равносторонний треугольник. Черепашка делает один шаг вперед, затем угол а увеличивается на 2p/3 и черепашка делает еще один шаг.

На первом шаге каждая буква F в слове-инициаторе F++F++F заменяется на F-F++F-F:

(F-F++F-F)+(F-F++F-F)+(F-F++F-F)

Повторяя этот процесс, на втором шаге получим:

F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+ F-F++F-F- F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F

и т.д.

Вот еще некоторые фракталы, построенные с использованием L-системы:

Рис. 3.1. Дракон Хартера-Хатвея после 12-ти итераций

и его L-система:

p = 90*

Аксиома: FX

Порождающие правила: X-> X+YF+

Y-> -FX-Y

Рис. 3.2. Дерево после 5-ти итераций

и его L-система:

p = 26*

Аксиома: F

Порождающее правило: F-> F[+F]F[-F]F

Рис. 3.3. Растение после 7-ти итераций

p = 26*

Аксиома: ----G

Порождающие правилa: G->GFX[+G][-G]

X->X[-FFF][+FFF]FX

Рис. 3.4. Ещё одно растение после 8-ти итераций

p = 11*

Аксиома: --------C

Порождающие правилa: C->N[--C]N[++C]N+C

N->NNF

P->C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Практическое применение фракталов

            Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров:

КОМПЬЮТЕРНЫЕ  СИСТЕМЫ

            Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

МЕХАНИКА  ЖИДКОСТЕЙ

1. Изучение турбулентности  в потоках очень хорошо подстраивается  под фракталы. Турбулентные потоки  хаотичны и поэтому их сложно  точно смоделировать. И здесь  помогает переход к из фрактальному  представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков.

2. При помощи  фракталов также можно смоделировать  языки пламени.

3. Пористые материалы  хорошо представляются во фрактальной  форме в связи с тем, что  они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ

           Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

ФИЗИКА  ПОВЕРХНОСТЕЙ

          Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

МЕДИЦИНА

1.Биосенсорные  взаимодействия.

2.Биение сердца

БИОЛОГИЯ

         Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные  тезисы:

1.Теория фракталов  имеет совсем небольшой возраст.  Она появилась в конце шестидесятых  годов благодаря Бенуа Мандельброту.

2. Фрактал –  самоподобная структура, чье изображение  не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом.

3.Фракталы всё  чаще используются в науке.  Например, в компьютерных системах, механике жидкостей, медицине, биологии  и других.

4.Сущетвует множество  различных фракталов: Канторово множество, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, кривая Коха, снежинка Коха, дракон Хартера-Хатвея и другие.

5. Можно считать,  что самоподобие — один из  видов симметрии.

6. Фракталы позволяют  намного упростить сложные процессы и объекты, что очень важно для моделирования. Позволяют описать нестабильные системы и процессы и, самое главное, предсказать будущее таких объектов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выводы:

           В моей работе приведены далеко не все области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов. Хочу только сказать, что со времени возникновения теории прошло не более трети века, но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Может быть, в первое время данное увлечение фракталами было даже слишком бурным и попытки все объяснять с помощью теории фракталов были неоправданными. Но, без сомнения, данная теория имеет право на существование.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

 

1. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Учебное пособие. Ижевск, 2001. - 128 с.

2. Мандельброт  Б. Фрактальная геометрия природы. Москва: Институт компьютерных исследований, 2002, 656 стр.

3. Морозов А.Д.  Введение в теорию фракталов. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 162 стр.

4. Шлык В.А. Через фрактальную геометрию к новому восприятию мира : [В помощь учителю] / В. А. Шлык /  №4 стр. 86 – 107.

5. Глобальная сеть Интернет.

6. http://elementy.ru/posters/fractals/fractals