Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Функции сложного процента и изменение стоимости денег во времени

4. Функции сложного процента и изменение стоимости денег во времени

Концепция изменения стоимости денег исходит из основного экономического принципа: деньги, являясь специфическим товаром, со временем меняют свою стоимость и, как правило, обесцениваются. Изменение стоимости денег происходит под влиянием ряда факторов, важнейшими из которых можно назвать инфляцию и способность денег приносить доход при условии их разумного инвестирования в альтернативные проекты.

Например, приобретая сейчас облигацию, мы рассчитываем в течение всего срока займа регулярно получать доход в виде начисленных процентов, а по окончании получить основную сумму долга. Вложение капитала выгодно только в том случае, если предполагаемые поступления превысят текущие расходы. В нашем примере инвестиционный доход равен сумме полученных процентов, т. к. затраты на покупку облигаций будут совпадать с выплатами по процентам.

Однако положительные денежные потоки (выплата процентов и основной суммы долга) и отрицательные денежные потоки (инвестирование капитала) не будут совпадать по времени возникновения и, следовательно, будут несопоставимы.

В процессе сравнения стоимости денежных средств при их вложении и возврате принято использовать два основных понятия: текущая (современная) стоимость денег и будущая стоимость денег.

Будущая стоимость денег представляет собой ту сумму, в которую превратятся инвестированные в настоящий момент денежные средства через определенный период времени с учетом определенной процентной ставки. Определение будущей стоимости денег связано с процессом наращения начальной стоимости, который представляет собой поэтапное увеличение вложенной суммы путем присоединения к первоначальному ее размеру суммы процентных платежей.

Текущая (современная) стоимость денег представляет собой сумму будущих денежных поступлений, приведенных к настоящему моменту времени с учетом определенной процентной ставки. Определение настоящей стоимости денег связано с процессом дисконтирования будущей стоимости, который представляет собой операцию, обратную наращению.

Приведение денежных сумм, возникающих в разное время, к сопоставимому виду называется временной оценкой денежных потоков.

Рис. 8. Функции сложного процента

Временная оценка денежных потоков основана на использовании шести функций сложного процента, или шести функций денежной единицы, представленных на рис. 8.

Для анализа разновременных денежных потоков, обоснования инвестиционных вложений, определения стоимости недвижимости и бизнеса, а также выполнения ряда других операций применяют элементы финансовой математики.

Используя основы математического аппарата, рассмотрим особенности расчета каждой функции денежной единицы.

1. Сложный процент - базовая функция, позволяющая определить будущую стоимость суммы, которой располагает инвестор в настоящий момент, исходя из предполагаемой ставки дохода, срока накопления и периодичности начисления процентов.

Расчет будущей стоимости основан на логике сложного процента, который представляет геометрическую зависимость между первоначальным вкладом, процентной ставкой и периодом накопления:

FV=PV(1 + r)ⁿ (1)

где FV - будущая стоимость денежной единицы;

PV - первоначальная стоимость денежной единицы;

r- процентная ставка;

п - число периодов накоплений (в годах).

Простейшим способом эту формулу можно проинтерпретировать как определение величины депозитного вклада в банк при депозитной ставке r (в долях единицы).

Пример 1. Вкладчик положил на депозитный счет 50000 руб. На какую сумму, лежащую на его депозитном вкладе, он может рассчитывать через 5 лет при 12-процентной ставке?

Решение

Воспользуемся формулой (1) и подставим в нее известные нам величины: FV = 50000 х (1 + 0,12)⁵ = =50000 х 1,76234 = = 88117 руб.

Процесс наращения стоимости в течение 5 лет наглядно демонстрирует диаграмма, представленная на рис. 9.

100 000

90 000

80 000

70 000

60 000

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

0 1 2 3 4 5 годы

Рис. 9. Графическая интерпретация наращивания стоимости

Если начисления осуществляются чаще, чем один раз в год, то формула (1) преобразуется в следующую зависимость:

(2)

где k - частота накоплений в год.

Пример 2. Вклад 50000 руб. депонирован на 5 лет под ставку 12% годовых с ежеквартальным начислением процентов. Чему будет равна сумма вклада с процентами в конце срока?

Решение

По формуле (2) имеем:

Таким образом, сложный процент предполагает начисление процентов не только на сумму первоначального взноса, но и на сумму процентов, накопленных к концу каждого периода. Это возможно только в случае реинвестирования суммы начисленных процентов, т.е. присоединения их к инвестированному капиталу.

Функция сложного процента может быть использована при расчете:

- накопленной суммы по банковскому вкладу или, соответственно, задолженности по кредиту с единовременным погашением;

- возросшей в связи с инфляцией стоимости объекта;

стоимости объекта на текущую дату на основе сведений о его первоначальной стоимости и темпах изменения цен за рассматриваемый период.

2. Функция дисконтирования - дает возможность определить настоящую стоимость суммы, если известна ее величина в будущем при данных периода накопления и процентная ставка.

Данная функция является обратной по отношению к функции «будущей стоимости единицы» (сложный процент) и определяется путем ее обращения:

(3)

Пример 3. Инвестор хочет получить 100000 руб. через 5 лет. Какую сумму он должен положить на депозит сейчас, если депозитная ставка составляет 5%?

Решение

С помощью формулы (3) легко определить:

Процесс дисконтирования стоимости демонстрирует диаграмма, представленная на рис. 10.

100 000

90 000

80 000

70 000

60 000

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

0 1 2 3 4 5 годы

Рис. 10. Графическая интерпретация дисконтирования стоимости

Метод дисконтирования широко распространен в оценочной практике, где он еще носит название фактора текущей стоимости. Наиболее характерно его применение для доходного подхода, когда стоимость объекта определяется на основе приведенных к дате оценки величин ожидаемых денежных потоков.

3. Функция текущей стоимости аннуитета - дает возможность определить текущую стоимость взноса, обеспечивающего в будущем получение заданных равновеликих поступлений при известном числе периодов и процентной ставке.

Аннуитет - это денежный поток, в котором все суммы не только возникают через одинаковые промежутки времени, но и являются равновеликими. Таким образом, аннуитет - это денежный поток, представленный одинаковыми суммами.

Если в будущем ожидается ряд равновеликих периодических денежных потоков (в течение п периодов), текущая стоимость которых нужно определить, на основе текущей стоимости единицы может быть получена следующая зависимость:

где РМТ - равновеликие периодические платежи.

Данная модель исходит из предположения возникновения аннуитета в конце периода. Такой аннуитет называется обычным.

Однако на практике возможна ситуация, когда первый платеж произойдет одновременно с начальным поступлением. В последующем аннуитеты будут возникать через равные интервалы. Такой аннуитет называется авансовым или причитающимся аннуитетом. Графическая интерпретация обычного и авансового аннуитета представлена на рис. 11.

Рис. 11. Графическая интерпретация видов аннуитета

Для того чтобы определить текущую стоимость авансового аннуитета, необходимо проследить движение денежного потока. Поскольку первый аннуитет по времени совпадает с депонированием основного вклада, его не следует дисконтировать. Все последующие аннуитеты дисконтируются в обычном порядке, однако период дисконтирования всегда будет на единицу меньше, следовательно, фактор текущей стоимости авансового аннуитета соответствует фактору обычного аннуитета для предыдущего периода, к которому добавлена единица. Эта добавленная единица обеспечивает заданный поток аннуитета. Фактор текущей стоимости авансового аннуитета равен К _{n - 1} + 1.

Пример 4. Договор аренды дачи составлен на 1 год. Платежи осуществляются ежемесячно по 1000 руб. Определите текущую стоимость арендных платежей при 12-процентной ставке дисконтирования, если:

а) платежи осуществляются в конце месяца;

б) платежи осуществляются в начале каждого месяца.

Решение

а) фактор текущей стоимости аннуитета для периода (К _n = К ₁₂):

б) фактор текущей стоимости аннуитета для периода

Аннуитет может быть как входящим денежным потоком (например, поступление арендной платы, которая обычно устанавливается одинаковой фиксированной суммой), так и исходящим денежным потоком по отношению к инвестору (например, осуществление периодических равных платежей).

4. Функция будущей стоимости аннуитета - позволяет рассчитать величину накопленных равновеликих взносов при заданной ставке дохода. При этом платежи также могут осуществляться в начале и в конце периода.

Формула обычного аннуитета имеет вид

Фактор будущей стоимости авансового аннуитета равен

Пример 5. Определите сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 12% годовых, к концу пятого года, если ежегодно откладывать на счет 10000 руб.: а) в конце каждого года; б) в начале каждого года.

Решение

Процесс наращивания стоимости аннуитета демонстрирует рис, 12.

70 000

60 000

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

Рис. 13. Графическая интерпретация будущей стоимости аннуитета при внесении платежей в конце и начале каждого года

Таким образом, в отличие от функции будущей стоимости единицы (сложного процента) в данной функции проценты начисляются не на однократно вложенную сумму, а на периодические равновеликие взносы, производимые в течение п периодов.

5. Функция «периодический взнос на погашение кредита» (взнос за амортизацию единицы) - используется для определения величины аннуитета, если известна его текущая стоимость, число взносов и ставка дохода. Данная функция является обратной текущей стоимости обычного аннуитета.

Амортизация - это процесс, определяемый данной функцией (включает проценты по кредиту и оплату основной суммы долга) по формуле

Пример 6. Какую сумму необходимо ежегодно направлять на оплату квартиры стоимостью 1500000 руб., купленную в рассрочку на 15 лет под 18% годовых?

Решение

Данная функция применяется при расчете платежей по погашению кредита, если эти платежи предполагаются одинаковыми по величине; при этом каждый платеж включает и выплату процента и погашение по основной сумме кредита.

6. Функция «периодический взнос в фонд накопления» (фактор фонда возмещения) - позволяет рассчитать величину периодически депонируемой суммы, необходимой для накопления нужной стоимости при заданной ставке процента. Этот коэффициент дисконтирует будущую стоимость единичного фонда возмещения в серию равновеликих платежей. Коэффициент фонда возмещения является обратной величиной коэффициента будущей стоимости аннуитета и определяется по формуле

Пример 7. Определите, какими должны быть платежи, чтобы к концу 5-го года иметь на счете, приносящем 12% годовых, 100000 рублей. Платежи осуществляются в конце каждого года.

Решение

Аннуитетный платеж, определяемый данной функцией, иключает выплату основной суммы без выплат процента.

Таким образом, расчет факторов всех шести функций основан на использовании базовой формулы сложного процента. Главным условием, обеспечивающим математическую взаимосвязь между функциями, является предположение, что начисленный процент не снимается с депозитного счета и капитализируется. Систематизация функций сложного процента произведена в табл. 1.

Таблица 5

Взаимосвязь функций сложного процента

В оценочной деятельности учет фактора времени осуществляется с помощью методов наращения и дисконтирования, в основу которых положена техника процентных вычислений. С помощью этих методов осуществляется приведение денежных сумм, относящихся к различным временным периодам, к требуемому моменту времени в настоящем или будущем.

2. Прогнозирование показателей с учетом циклических и сезонных колебаний .

Прогнозирование. Модели временных рядов

При построении эконометрической модели используются два типа данных:

данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент времени;
данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временных рядов.

Временной ряд (ряд динамики) – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

факторы, формирующие тенденцию ряда;
факторы, формирующие циклические колебания ряда;
случайные факторы.

Рассмотрим воздействие каждого фактора на временной ряд в отдельности.

Большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Все эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 5 показан гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.

Рис. 5.

Также изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка. На рис. 6 представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.

Рис. 6.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведен на рис. 7.

Рис. 7.

Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется адитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда, или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

Моделирование тенденции временного ряда

Распространенным способом моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

линейный тренд: ў_t = a+b·t;
гипербола: ў_t= a+b/t;
экспоненциальный тренд: ў = e^a+bt(или ў=a·b^t);
степенная функция: ў = a·t^b;
полиномы различных степеней: ў_t = a + b₁·t + b₂·t² + ... + b_m·t^m.

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК(метод наименьших квадратов), используя в качестве независимой переменной время t=1,2,...,n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда ў_t. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Наиболее простую экономическую интерпретацию имеет линейная функция y = a+b·t

а – начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0;

b – средний за период абсолютный прирост уровней ряда.

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени.

Выбор наилучшего уравнения в случае, когда ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации. Этот метод легко реализуется при компьютерной обработке данных.

Моделирование сезонных колебаний

Простейший подход к моделированию сезонных колебаний – это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий: Y = T + S + E

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.

Общий вид мультипликативной модели выглядит так: Y = T · S · E

(9.3)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (T), сезонной (E ) и случайной (E) компонент.

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T , S и E для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
Расчет значений сезонной компоненты S
Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T + E) в аддитивной или (T · E) в мультипликативной модели.
Аналитическое выравнивание уровней (T + E) или (T · E) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.
Расчет полученных по модели значений (T + E) или (T · E).
Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

3. Виды средних величин в статистике.

Средняя величина – это обобщающая величина изучаемого признака в исследуемой совокупности, которая отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень (или размер) любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер.

Они действуют в обратном направлении, обусловливают различия между количественными признаками отдельных единиц совокупности, стремясь изменить постоянную величину изучаемых признаков.

При вычислении средней величины важно установить цель ее расчета и так называемый определяющий показатель (свойство), на который она должна быть ориентирована. Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т.п.

Средняя величина, рассчитанная в целом по совокупности, называется общей средней; средние величины, рассчитанные для каждой группы, - групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Способы расчета могут быть разные, поэтому в статистике различают несколько видов средней величины.

Средние величины делятся на 2 больших класса:

степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая и др.). Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Если рассчитывать все виды степенных средних для одних и тех же данных, то их значения окажутся одинаковыми. Тогда действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина ( ).

структурные средние (мода, медиана). Мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют «структурными позиционными средними». Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

Степенные средние

Для наглядности наиболее часто применяемые в практических исследованиях формулы вычисления различных видов степенных средних величин представлены в Таблице 4.

Таблица 4

Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показа тель степени	Формула расчета
Вид степенной средней	Показа тель степени	Простая	Взвешенная
1. Гармоническая	-1		, где
2. Геометрическая	0
3. Арифметическая	1

Рассмотрим их подробнее.

Средняя арифметическая величина

Средняя арифметическая величина представляет собой такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Для того чтобы исчислить среднюю арифметическую, необходимо сумму всех значений признаков разделить на их число.

Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Примером средней арифметической может служить общий фонд заработной платы – это сумма заработных плат всех работников.

Средняя арифметическая простая величина равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений. Она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака.

Средняя арифметическая взвешенная – это средняя её варианты, которые повторяются различное число раз или имеют различный вес.

Основные свойства средней арифметической:

Если индивидуальные значения признака, т.е. варианты, уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.
Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число.
Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.
Сумма отклонений отдельных значений признака (вариант) от средней арифметической равна нулю.

Функции сложного процента и изменение стоимости денег во времени 📙 Реферат → 🆔 300188