Геометрическая алгебра Древней Греции

  РЕФЕРАТ

  по  истории математике

  «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Петропавловск, 2011 
 
 

       Математика – древнейшая наука,  с самого начала своего возникновения  игравшая важнейшую роль в  развитии человечества. Она зародилась из потребностей людей оценивать количественные соотношения и изучать геометрические формы, возникающие в окружающем мире. Математика прошла большой и бурный путь развития, взаимодействуя с другими областями знания, черпая оттуда многие свои задачи и, в свою очередь, активно участвуя в создании методов исследования в других науках, например, в физике, механике, химии, астрономии, небесной механике, биологии, вычислительной технике и т.д. Современное естествознание немыслимо без математических методов. Математика проникает и в некоторые гуманитарные науки. Некоторые ученые находили возможным говорить о математике как о «царице наук».

     Математика в современном понимании этого слова родилась в Греции. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология, нумерология и т. п.). Математической теории в полном смысле этого слова не было, дело ограничивалось сводом эмпирических правил, часто неточных или даже ошибочных.

     Теоретическая часть математики имеет истоки в  научных и философских школах древней Греции. Вклад этих школ в развитие наук настолько значителен, что даже в наше время «теоретическое естествознание», если оно хочет  проследить историю возникновения и развития своих нынешних общих положение, вынуждено возвращаться к грекам.

     В период VI – V вв. до н.э. Греция представляла собой совокупность рабовладельческих государств – полисов (городов), ведущих оживленную торговлю, как между собой, так и с другими государствами Средиземноморского бассейна: Египтом, Финикией, Персией и т. д. Дошедшие до нас естественнонаучные и философские труды античных научных ученых и сведения о них показали, что в др Греции сложились основные типы мировоззрений, действовали различные естественно научные школы. Ведущее место среди греческих натурфилософских школ последовательно занимали ионийская школа (VII – VI вв. до н.э) , пифагорейская школа (VI-V вв. до н.э) и афинская школа (со второй половины V в. до н.э.). В этих школах с большой полнотой и обстоятельностью разрабатывались и математические вопросы.

Математика  на  крайнем  востоке  развивалась  крайне  медленно.  На  таком  же  уровне  были  и  математические  знания  в  Греции   (VIII – VII вв.  до  н.э). В  VI в.  положение резко меняется.  Математика  преобразуется в абстрактную дедуктивную науку,  в которой основным  методом установления  истины  и исследования  связи между предложениями становится  логическое  доказательство. Как сказал  Аристотель,  доказательство  выявляет  сущность  вещей. При этом  вторая функция доказательства (выяснение связей) не менее важна, чем первая, т.е установление истины. Таким образом, доказательство служит в математике средством упорядочения предложений, исследования их взаимных зависимостей. Слова Аристотеля показывают, что греки поняли эту сторону дедуктивного метода.

   В  VI  в.  до  н.э.  были  построены не  только  первые  математические  теории,  но  и первые  математические  модели  мира.  В это время ученые  пришли  к мысли,  к которой возвращались  затем не  раз,  что математика  является  универсальным   языком  для выражения законов природы,  что «все  есть  число».

   В  течение  следующих  трех  веков  (VII-  Xвв.)  создаются  теории,  точность  и  глубина  которых  были  поняты  и  оценены  только  в  XIX в.,  а иногда  лишь  в XX в. При этом  стиль математических  произведений  того  времени не  отличался от  современного. Теория  строилась исходя  из  конечного числа  посылок,  и  ее   положения  выводились  из  них  с  помощью конечной  цепочки  логических  умозаключений  или  эффективных  конструкций.  Такой  метод  изложения  греки  нашли  впервые,  показав,  как  можно  и  как  нужно  строить  науку.

   Как же это произошло? Почему стал возможен такой скачок?

По - видимому, он не мог быть вызван внутренними  потребностями самой математики, находившейся еще на невысокой ступени  развития. Дело в том что наукой занимались тогда еще не профессионалы, специально оплачиваемые за это обществом, а, как мы бы сказали теперь, любители, располагавшие возможность ту или иную часть своего времени уделять размышлениям.

       О развитии науки того времени  можно судить по произведениям  позднейших ученых, главным образом  Платона, Аристотеля, и по «Началам» Евклида, в которых подведен итог основным математическим теориям трех предшествующих веков.

     Начало  греческой науки положила ионийская  школа натурфилософии, которая возникла в первой половине VI в. до н. э. Основателем  ионийской  школы натурфилософии (I половина VI в. до  н.э)  был “ отец  греческой науки”  Фалес -  купец,  политический  деятель,  философ,  астроном  и математик.  Вся научная деятельность, которого изображается греками в полумифическом свете, так что точно ее восстановить невозможно. Достоверно, по – видимому, то, что Фалес в молодости много путешествовал по Египту, имел общение с египетскими жрецами и у них научился многому, в том числе и геометрии. Возвратившись на родину, Фалес поселился в Милете, посвятив себя занятиям наукой, и окружил себя учениками, образовавшими так называемую ионийскую школу.

   Они  пытались  объяснить  все  многообразие  мира,  исходя  из  единого  материального  начала.  Сам  Фалес  первоосновой  всего  сущего  считал  воду.  В  этой  школе  впервые  была  высказана  гипотеза,  что  земля  имеет  форму  цилиндра  и  весит  посередине  вселенной  (Анаксиманур).  По  сообщениям  очевидцев  Фалес  предсказал  солнечное  затмение (речь  шла  о  солнечном  затмении  585г.  до  н.э.).

   Ионийцы  занялись  геометрией,  причем  Фалес:

     1) доказал,  что диаметр делит круг  пополам;

    2)нашел  предложение  о   равенстве  углов  при   основании  равнобедренного   треугольника;

   3) открыл,  что  при  пресечении  двух  прямых  получаются  равные  углы;

   4) доказал  теорему  о  равенстве  двух  треугольников,  имеющих  равную  сторону  и  два  угла. 

   К  сожалению,  ничего  не  известно  о  доказательствах  Фалеса.  Видимо  он  широко  пользовался  перегибанием  и  наложением  фигур.  Это  подтверждается  и  словами  Прокла:  «Иногда  он (Фалес И.Б.)  рассматривал  вопрос  несколько  общо,  иногда  более  опираясь  на  наглядность».

   Школа  Пифагора.

   Коренное  преобразование  математики   по  традиции  единодушно  присваивают  Пифагору. Ему  принадлежит  первое  построение  геометрии  как  дедуктивной  науки.  К  сожалению,  до  нас  не дошли  не только  отрывки  из  математических  сочинений,  но  даже  их  переложения  другими  авторами.

   Пифагор  родился  на  богатом  торговом  острове  Самос.

   Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, гармонией (теорией музыки) и арифметикой (теорией чисел) В  их  школе  возникло  представление  о  шарообразности  земли  и  существовании  множественности  миров. 

   Мы  не знаем, какие геометрические предложения  пифагорейцы, выбрали в качестве исходных и насколько велика была, эта первая система аксиом. Содержание  их  геометрии  сводилось в  основном к  планиметрии  (изучались  свойства  треугольников,  прямоугольников,  параллелограммов,  сравнивались  их  площади  и  т.д.).  Венчало  их  систему  доказательство  знаменитой  «теоремы  Пифагора»,  которая  до  этого  была  известна  только  для  частных  случаев. Трудно переоценивать значение этой теоремы, обобщение которой и до сих пор лежит в основе определения всех метрических пространств.

   Первоначально  пифагорейцы  полагали,  что  все  отрезки   соизмеримы       т.е., что  отношение  любых  двух  отрезков  (а  значит  и  площадей  прямолинейных  фигур)  можно выразить  отношением  целых  чисел,  таким  образом,   метрическая  геометрия сводилась,  по  их  мнению,  к арифметике  рациональных   чисел.

   Занимаясь  гармонией  пифагорейцы  пришли  к  выводу,  что  и  качестве  отличия  звуков  обуславливаются  чисто  количественными  различиями  длин  струн  или  флейт.  Так  если длины струн относятся,  как 1:2,  3:2,  4:3,  т.е.  разница в тонах будет октавой квинтой или квартой,  музыкальные интервалы благозвучны,  в других случаях эти интервалы неблагозвучны.  Т.о.,   здесь дело  сводилось к целым числам  и их  отношениям.

     Это  привело  пифагорейцев  к  мысли,  все  закономерности  мира  можно  выразить  с  помощью  чисел,  что «элементы  чисел  являются  элементами  всех  вещей  и,  что  весь  мир  в  целом  является  гармонией  и числом». Отсюда  исключительный  интерес  пифагорейцев  к  основе  основ – арифметике,  с  помощью  которой  можно  выразить  все  отношения  между  вещами  и  построить  модель  мира.

   Арифметика  целых  чисел

Число  для  пифагорейцев – собрание  единиц,  т.е.  только  целое  положительное  число.  Единицы,  составляющие  число,  считались  неделимыми,  и  изображались  точками,  которые  пифагорейцы располагали  в  виде  правильных  геометрических  тел,  получая  ряды  «треугольных»,  «квадратных»,  «пятиугольных»  и  других «фигурных»  чисел.  Каждый   такой  ряд  представляет  последовательные  суммы  арифметической  прогрессии  с  разностями  1,  2,  3,  и  т.д.  

   На  рисунке  1  изображены  «треугольные»  числа:  1,  1+2=3,  1+2+3=6,  1+2+3+4=10  (общее выражение этих  чисел  1+2+3+…+n=(n+1)).

   На  рисунке  2  показаны  «квадратные»  числа   1,  1+3=4, 1+3+5=9  (общее выражение этих  чисел:  1+3+5+…+ (2n – 1) = n²,  является  пережитком  пифагорейской терминологии).

   На  рисунке  3  изображены  «пятиугольные»  числа:  1,  1+4=5, 1+4+7 = 12, (общее выражение этих  чисел;  1+4+7+…+(3n – 2) =n(3n-1)).                                                                                                             Пифагорийцы   определили  также «кубические»  числа 1, 8, 27,…(откуда  наше  выражение  «куб»  для  n³); «пирамидальные» числа – суммы треугольных чисел 1, 1+3=4 , 1+3+6=10 , ... , 1+3+6+...+ = .

   Они,  изучая  свойства  чисел,  разбили  все  числа  на  четные  и  нечетные,  на  простые  и  составные. Пифагорейцы  называли  простые  числа,  представленные  в  виде  произведения  двух  сомножителей,  «плоскими» числами  и  изображали  их  в  виде  прямоугольников,  а  составные  числа,  представленные  в  виде  произведения  трех  сомножителей, - «телесными  числами»  и изображали  их  в  виде  параллелепипедов.  Простые  числа,  которые нельзя  представить  в  виде  произведений  они  называли  «линейными  числами».  Это  учение  пифагорейцев  о  четных  и  нечетных числах  с  современной  точки зрения  является  теорией  делимости  на  2.

   Они  занимались нахождением  совершенных  чисел,  т.е. таких,  которые  равны  сумме  своих  делителей  (исключая  само число),  как  например, 6=1+2+3  или   28=1+2+4+7+14. 

   После  изложения  о  четных  и  нечетных  числах  в  «Началах»  доказывается, 1+2+3+…+2ⁿ = p – простое число, то  2ⁿ *p будет числом  совершенным.  Доказательство  которого можно провести  опираясь  на  учение  о четных  и нечетных  числах.

   Пифагорийцы  исследовали  неопределенной  уравнение   x²+y²=z²,  целые решения которого  называют  «пифагоровыми тройками» и нашли бесконечно  много таких троек,  имеющих вид x= (m²-1) , y=m , z= (m²+1).

    Несоизмеримость.

   Открытие  несоизмеримых  отрезков  явилось  поворотным  пунктом  в развитии  математики,  которое  разрушило  раннюю  систему  пифагорейцев  и  привело  к  созданию  новых,  очень  тонких  и  глубоких  теорий.

   Проблема  несоизмеримости получила громкую известность среди широких кругов образованных людей. Платон и Аристотель неоднократно обсуждали вопросы, связанные с несоизмеримостью. Это – то и помогает нам восстановить, как и когда было сделано это замечательное открытие.

   Доказательство  пифагорийцев. Пусть  диагональ  квадрата  АС  и  его  сторона  АВ соизмеримы, т.е. их  отношение  равно  отношению  двух целых  чисел:  АС:АВ = m:n  (1).  Здесь m и n,  не являются  оба четными,  иначе дробь можно было  бы сократить на два. Þ АС²:АВ²=m²:n². Но по теореме Пифагора АС²=2АВ², следовательно, m²=2n²  (2)  значит,  m² - четно Þ что и m  четно (т.к. произведение двух нечетных чисел нечетно). Но тогда n- нечетно. Поскольку m – четно,  то  m=2t.  Подставляя  в (2), получим 4t²=2n²,  или n²=2t²,  т.е. n² - четно, следовательно и n должно быть четным, что приводит к противоречию.  Открытие  несоизмеримости означало, что целых чисел и их отношений не  достаточно  для выражения отношений любых двух  отрезков, что с помощью одних только рациональных  чисел нельзя  строить метрическую  геометрию.

   В  диалоге   Платона  «Законы»  Афинянин  говорит,  что  поздно  узнал  о  несоизмеримости  и  что  до  этого  он  был  подобен  неразумному  животному.

   Геометрическая  алгебра.

   Открытие  несоизмеримости  явилось  причиной  пересмотра  соотношений  между  геометрией  и  арифметикой.  Арифметика  базировалась  на  понятии  целого  числа.  Рациональные  числа   мыслились,  как  пары  целых. Установление того,  что   двух  отрезков  не  может  быть  выражено  с  помощью  отношения  целых  чисел,  привело  к  разрушению  математической  системы  пифагорийцев.

   Начались  интенсивные  поиски  путей  выхода  из  кризиса:

1. расширить  понятие  числа  так,  чтобы  с  помощью  новых  чисел  можно было  бы характеризовать  отношение  любых  двух  отрезков;
2. строить  математику  не  на  основе  арифметики  рациональных  чисел,  а  на  основе  геометрии,  определив  непосредственно  для  геометрических  величин  все  операции  алгебры;
3. отказаться от  строго  логического построения  учения  о  несоизмеримых  величинах,  и  перейти  к  нестрогому  оперированию  с  иррациональными  (как  это  делалось  впоследствии  в  Индии  и  средневековой  Европе).

   Третий  путь  был  неприемлемым  для  греков – он означал  отказ  от  основной  идеи  дедуктивного  построения  математики.

   Первый  путь  на  столь  ранней  стадии  развития   представлял  громадные  трудности  и  практически  он  был  закрыт  для  ранних  пифагорейцев.

   И  они  пошли  по  второму  пути.  Построение  алгебры  на основе геометрии впервые позволило обосновывать  в общем виде  некоторые теоремы и правили алгебры,  однако  при дальнейшем  развитии  геометрическое  облачение как панцирь,  сковало живое тело  античной  математики.  Это мешало  гармоничному  развитию  отдельных частей  математики,  делало  ее  громоздкой   малоподвижной.  Итак,  в пифагорийской школе началось  построение  алгебры   на  основе  геометрии – так называемой  геометрической  алгебры.  Геометрический  язык  стал  применяться в теории  чисел.  Изображение чисел точками расположенными  в виде  правильных  фигур было  оставлено,  теперь  все числа представлялись  отрезками,  полученными повторением конечное  число раз отрезка,  принятого аз  единицу.  На  этой  же  основе  получил  развитие  и  математический  анализ  древних.

   Основными  объектами  геометрической  алгебры  были  отрезки  и  прямоугольники,  и  параллелепипеды.  Сложение  отрезков  осуществлялось    путем  приставления  одного  к  другому,  вычитание  путем  выкидывания  из  большего    отрезка  части,  равной  меньшему. Операция  вычитания  была  возможна  лишь  тогда,  когда  вычитаемое  не превосходило  уменьшаемого.

   Произведением  двух  отрезков  назывался  построенный  на них  прямоугольник.  Не  имело  смысла  говорить  а  сложении  прямоугольников  и  отрезков. Поэтому  исчисление  определенное  в  геометрической  алгебре,  было  ступенчатым.

   Геометрическая  алгебра  изложена  во  второй  книге  «Начал»  Евклида  и  в  произведениях  Архимеда  и  Аполлония,  которые пользовались  ею,  и также, как  и  мы  буквенной  алгеброй.

   Во  второй  книге  «Начал»  доказывается,  что  прямоугольник  заключенный  между  двумя  отрезками,  будет  равен  сумме  прямоугольников,  заключенных  между  одним  из  этих  отрезков  и частями,  на  которые  рассечен  второй  (рис.1), т.е.  если  a=a₁+a₂+a₃, то b(a₁+a₂+a₃) =ba₁+ba₂+ba₃..

   Это  предложение  устанавливает дистрибутивность умножения  по отношению  к  сложению. Это одно  из  преимуществ геометрической  алгебры.

   Доказательство  происходит  независимо  от  того,  будут  ли  отрезки   a и b   или части а₁, а₂, а₃  соизмеримыми  или несоизмеримыми и    независимо  от  конкретных  величин этих  отрезков.  Геометрическая  алгебра позволила впервые доказать  и  притом  общим  образом  некоторые  свойства  алгебраических  операций. Так,  например,  было  установлено  тождество:

    (a+b)²=a²+b²+2ab (рис.2). Отметим, что все эти тождества устанавливались только  для величин двух  измерений. Для представления   произведения   трех  величин нужно было  пользоваться  пространственными фигурами, а произведение  четырех и более отрезков  не  могло быть представлено в рамках трехмерного пространства. Геометрическая алгебра основывалась  на  античной планиметрии,  представляет  собой  геометрию циркуля  и  линейки. Поэтому  она  была  максимально  приспособлена  для  исследования  тождеств,  обе  части  которых  являлись квадратичными  формами,  и для  решения  квадратных  уравнений.

   Евклид.

   Ничего  не известно о нем: откуда он был родом, где и у кого учился. Тем не менее, нет оснований сомневаться в его существовании. Принципиальность Евклида подчеркивают один анекдот о нем.

   Как-то царь Птолемей I спросил Евклида, нет ли более короткого пути для изучения геометрии, чем штудирование «начал». На это он смело ответил, что «в геометрии нет царской дороги».

   Евклид  является автором «Начал», по которым  учились математики всего мира. Его  глубоко занимали вопросы логических основ математики, и одно из его  сочинений, которое до нас не дошло, называлось «Ложные заключения». В книге «Данные» он исследовал вопрос о том, каково должно быть минимальное число заданных величин, чтобы сделать некоторую задачу определенной. Он еще до Аполлония   написал трактат о конических сечениях – наиболее полное и систематическое изложение учения об этих кривых. Он, как и другие великие греческие геометры занимался астрономией, оптикой и теорией музыки.

   «Начала»  Евклида.

   Эта книга пережила более 2-х тысячелетий, но до сих пор не утратила своего значения не только в истории науки, но и в самой математике. Система евклидовой геометрии и теперь изучается во всех школах мира и лежит в основе почти всей практической деятельности людей. На геометрии Евклида базируется классическая механика. Последующие математики  ссылались на предложения «Начал», как на нечто окончательно установленное.

   Заметим, что идея составления «Начал»  не принадлежит самому Евклиду. Как  сообщает Прокл, и  до Евклида были сочинения  такого рода, т.е. и до него сложились определенные традиции, определенные, схемы, по которым писались книги. Но «Начала» Евклида оказались намного совершеннее своих предшественников.

   Аксиоматика.

   «Начала»  Евклида состоят из 13 книг. Каждая книга начинается с определений. Кроме того, первой книге предшествует 5 постулатов и 5 аксиом.

   Постулаты «Начал»:

1. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой.
3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

   Первые  три постулата описывают простейшие построения, которые можно осуществить с помощью циркуля и линейки. 4-й постулат обеспечивает единственность продолжения прямой. Пятый постулат – знаменитый постулат о параллельных прямых. Он обеспечивает существование точки пересечения  у 2-х прямых, удовлетворяющих сформулированным условиям. Пятый постулат  удивлял ученых сложностью своей формулировки. Уже в древности его пытались заменить другим более очевидным предложением. Так, у Прокла (V в. н.э.) встречается формулировка постулата о параллельных прямых, которая вошла во все школьные курсы.

   Предполагают, что Евклиду должны быть известны различные формы постулата о  параллельных прямых. Почему же он выбрал из них такую сложную?

   Аксиомы «Начал» описывают общие свойства равенства и неравенства величин. Все аксиомы, кроме 4-й, относятся не только к геометрическим величинам, но и к числам вообще. 4-ая аксиома – «совмещающиеся равны» является единственной, в которой говорится о возможности движения – совмещения.

   Аксиомы: 

1. «Равные одному и тому же равны между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны.
4. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
5. И целое больше части».

   Выбор постулатов и аксиом очень удачен. Почти все они вошли в современную аксиоматику. Однако постулатов и аксиом «Начал» недостаточно для дедуктивного построения геометрии. Евклид не сформулировал многого из того, чем он пользуется в дальнейшем. Так, в «Началах» нет стереометрических постулатов. За исключением 4-й аксиомы, там нет и аксиом движения. Между тем в геометрии Евклида изучаются по существу инварианты движений твердого тела.

   Влияние «Начал» на развитие математики было колоссальным. Античные математики опирались  на них при своих исследованиях  по математике и механике. В конце VIII - начале IX вв. появились первые переводы «Начал» на арабский язык, в первой четверти XII в. - на латинский язык. И в странах ислама, и в Европе средних веков, «Начала» служили настольной книгой каждого серьезного математика; их многократно переписывали, переиздавали печатно, комментировали, а также перерабатывали для преподавания. 
 
 
 
 
 
 
 
 

     .