Информация о математических методах и моделях в экономике из ГОС

Введение

 

Экономико-математические методы и  модели, применяющиеся сегодня в  экономике, весьма разнообразны. Имеющиеся  учебники и монографии разных авторов  часто написаны с использованием различного математического аппарата, что затрудняет их изучение студентами нематематических специальностей и использование в практической деятельности. Экономико-математические методы входят в программу курса математики, а курс экономико-математические модели для ускоренной формы обучения специальности “Финансы и кредит” читается параллельно, поэтому в части I этого пособия уделяется много внимания математическим методам. Для дальнейшего усвоения, например, финансовых моделей и экономической интерпретации результатов, детально рассматривается экономическое содержание основных положений двойственности на основе модели распределения ограниченных ресурсов.

Поскольку большая часть  задач, связанных с математическим моделированием, оптимальным планированием, анализом может решаться с использованием вычислительной техники, и существует большое количество прикладных программ, предназначенных для этого, при изучении курса используется решения ряда задач на ЭВМ. При решении задач на ЭВМ используются различные программы, в том числе и табличный процессор Excel, включающий в себя подсистему “Поиск решений”. При решении задачи на ПК требуется определенным образом подготовить исходные данные, ввести их и осуществить управление процессом решения задачи, после чего необходима интерпретация полученного результата. Последний этап решения задачи наиболее важен для студентов – экономистов в их дальнейшей практической деятельности и  является для них, несомненно, творческим процессом при моделировании.

Научиться строить экономико-математические методы невозможно без  самостоятельного решения практических задач. Математические задачи с экономическим содержанием для экономистов отличаются большой трудоемкостью, так что на практических занятиях невозможно рассмотреть даже все те варианты задач, которые сводятся к моделям, например, линейной оптимизации, не говоря уже о моделях сетевого планирования и управления, динамических моделях, теории массового обслуживания и т.п. Поэтому еще больше усиливается значение самостоятельной работы студентов при изучении этого курса.

Для организации самостоятельной  и индивидуальной работы студентов  и предназначено данное пособие. Для самостоятельного решения студентам предлагается десять вариантов индивидуальных заданий.

В пособии приведено описание решения задач линейных моделей с использованием табличного процессора EXCEL и экономический анализ полученных решений.

 

 

Информация о математических методах и моделях

 в экономике из  ГОС

 

Согласно государственному стандарту  образования для  студентов экономических  специальностей, они должны знать  или иметь представление о  следующих разделах. Экономико-математические методы включены в программу математики.

Экономико-математические методы: линейное и целочисленное программирование; графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования; динамическое программирование; рекуррентные соотношения Беллмана; математическая теория оптимального управления; матричные игры; кооперативные игры; игры с природой; плоские графы; эйлеровы графы; гамильтоновы графы; орграфы; сетевые графики; сети Петри; марковские процессы; задачи анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания.

Экономико-математические модели: функции полезности; кривые безразличия; функции спроса; уравнение Слуцкого; Кривые «доход –потребление»; кривые «цены – потребление»; коэффициент эластичности; материальные балансы; функции выпуска продукции; производственные функции затрат ресурсов; модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции; модели общего экономического равновесия; модель Эрроу – Гурвица; статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса; общие модели развития экономики; модель Солоу.

 

Классификация и принцип построения экономико-

математических  моделей

 

Основной  путь исследования системы – это построение модели. Моделирование – процесс, посредством которого исследователь стремится понять определенные аспекты реальной жизни. Модель не является точной копией реальности, а представляет собой упрощенный ее вариант, согласованный с задачами исследователя. Один и тот же объект в зависимости от целей исследования может иметь разные модели. Например, моделью человека может являться кукла, мешок с песком (100 кг) при испытании парашюта, ватный макет с большим числом датчиков при испытании противоударных средств в автомобиле, манекен при моделировании одежды и т.д..

С моделями мы часто встречаемся в обычной  жизни, возможно, не подозревая, что это модели.

В дальнейшем под моделированием мы будем понимать теоретические модели реальности, а не процесс изготовления моделей каких-либо предметов, например самолетов.

Моделирование как метод исследования имеет  альтернативу. Это – словесный, или «вербальный», анализ, оперирующий произвольными категориями с расплывчатыми результатами, которые трудно оценить. Нисколько не умаляя достоинств этого метода исследования, уместно указать на часто встречающийся недостаток «вербального» анализа: «Не пользующаяся математическими символами человеческая логика зачастую запутывается в словесных определениях и делает вследствие этого ошибочные выводы – и вскрыть эту ошибку за музыкою слов иногда стоит огромного труда и бесконечных, часто бесплодных, споров» (В.И. Арнольд «Жесткие и мягкие модели»).

Процесс моделирования – это скорее искусство, чем наука. Тем не менее, он предполагает некоторые вполне определенные этапы. Моделирование – это прежде всего умение выделить главное. Модели должны быть по возможности простыми, однако они должны включать все самые важные части исследуемой системы (оригинала), самые важные функции и самые важные связи, внутрисистемные и внешние. Но таких элементов, выбранных для последующего детального исследования, должно быть ограниченное, небольшое количество, иначе будет трудно вести анализ.

Для того чтобы  найти главные части и связи  системы, следует сосредоточить внимание на трех важных моментах:

1. Определить главную цель системы, ответив на вопросы о том, зачем существует система и какие главные функции она выполняет.
2. Понять работу системы и определить главные части (подсистемы), участвующие в выполнении главной функции.
3. Установить важные связи между этими частями.

При этом связи  и части системы будут действительно  важными, если после их исключения из нее система «рассыпается». И наоборот, если мы исключили какую-то часть или связь и ничего не изменилось, то это не главная часть или, соответственно, не важная связь.

Пример:

 В экономике  есть два основополагающих понятия – спрос и предложение. Экономисты иногда шутят: «Научите попугая произносить два слова – спрос и предложение – и перед Вами готовый экономист». Однако исторически модель спроса и предложения строилась не так просто. А. Смит, отец экономической науки, в своей знаменитой книге «Богатство народов» (1776) оставил будущим поколениям вопрос: «Что есть цена?» Чтобы получить ответ на него, понадобились более ста лет. Разрешить загадку пыталась теория трудовой стоимости Д. Рикардо. Однако эта теория описывала предложение, но не описывала спрос. В результате она стала классической теорией издержек, но не теорией цены, Для того чтобы превратиться в теорию цены, ей не хватало одного очень важного элемента – спроса. Аналогичный недостаток имела альтернативная теория – маргинализм. Она описывала спрос, но не описывала предложение. Загадка А. Смита была разгадана лишь в 1890 г. А. Маршаллом в книге «Принципы экономической теории», где в виде диаграммы была предложена модель спроса и предложения. Этой модели уже более ста лет. Тем не менее, сегодняшняя микроэкономическая теория мало отличается от того, о чем писал А. Маршалл.

Следует отметить, что рецептов построения хорошей  модели не существует. Известный американский ученый Р. Шэннон указывал, что «любой набор правил для разработки моделей, в лучшем случае имеет ограниченную полезность и может служить лишь предположительно в качестве каркаса будущей модели или отправного пункта в ее построении». Кроме того, следует иметь в виду, что модель, успешно применяемая в одних случаях, в других может оказаться бесполезной. «Культура моделирования требует, чтобы для каждой модели был указан перечень условий, при которых данная модель верна. От модели не требуется истинность. Модель должна быть адекватной, работоспособной, т.е. давать удовлетворительные ответы на поставленные вопросы». Если модель не дает ответ на поставленный вопрос, то она уточняется или заменяется новой.

Пример:

В экономической теории часто используется линейная модель спроса и предложения. Несмотря на свою предельную простоту (в реальности кривые спроса и предложения вряд ли бывают прямыми линиями), она дает ответы на многие экономические вопросы: установление рыночного равновесия, определение равновесной цены, изменение спроса, изменений предложения и т.д. Когда же модель спроса и предложения не дает ответы на поставленные вопросы, она уточняется или заменяется новой. В этом случае, возможно, обращаются к более сложному для исследования варианту модели, где кривые спроса и предложения представляются нелинейными функциями.

Научиться моделированию, ограничившись только формальным усвоением каких-то правил, конечно, невозможно. Но все же есть советы, к которым стоит прислушаться. Например, к советам академика Ю.И. Неймарка. Они достаточно общие и не могут служить непосредственным указанием к действию, но дают разумные подсказки, что и как следует делать:

1. Чем проще модель, тем меньше возможность ошибочных выводов.
2. Модель должна быть простой, но не проще, чем это возможно.
3. Пренебрегать можно чем угодно, нужно только знать, как это повлияет на решение.
4. Модель должна быть грубой: малые поправки не должны кардинально менять ее поведение.
5. Модель и расчет не должны быть точнее исходных данных.

 

Основные принципы построения математической модели

1. Необходимо соизмерять точность и подробность модели, во-первых, с точностью тех исходных данных, которыми располагает исследователь, и, во-вторых, с теми результатами, которые требуется получить.
2. Математическая модель должна отражать существенные черты исследуемого явления и при этом не должна его сильно упрощать.
3. Математическая модель не может быть полностью адекватна реальному явлению, поэтому для его исследования лучше использовать несколько моделей, для построения которых применены разные математические методы. Если при этом получаются сходные результаты, то исследование заканчивается. Если результаты сильно различаются, то следует пересмотреть постановку задачи.

4. Любая сложная  система всегда подвергается малым внешним и внутренним воздействиям, следовательно, математическая модель должна быть устойчивой, т.е. сохранять свои свойства и структуру при этих воздействиях.

 

Классификация математических моделей

По числу  критериев эффективности математические модели делятся на однокритериальные и многокритериальные (рис. 1). Многокритериальные матема-тические модели содержат два и более критерия.

По учету  неизвестных факторов математические модели делятся на детерминированные, стохастические и модели с элементами неопределенности.

В стохастических моделях неизвестные факторы – это случайные величины, для которых известны функции распределения и различные статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т. п.). Среди стохастических можно выделить:

• модели стохастического программирования, в которых либо в целевую функцию, либо в ограничения входят случайные величины;
• модели теории случайных процессов, предназначенные для изучения процессов, состояние которых в каждый момент времени является случайной величиной;
• модели теории массового обслуживания, в которой изучаются многоканальные системы, занятые обслуживанием требований. Также к стохастическим моделям можно отнести модели теории полезности, поиска и принятия решении.

Для моделирования  ситуаций, зависящих от факторов, для  которых невозможно собрать статистические данные, либо значения которых не определены, используются модели с элементами неопределенности.  В моделях теории игр задача представляется в виде игры, в которой участвуют несколько игроков, преследующих разные цели, например организацию предприятия в условиях конкуренции.

В имитационных моделях реальный процесс разворачивается в машинном времени, и прослеживаются результаты случайных воздействий на него, например организация производственного процесса.

В детерминированных моделях неизвестные факторы не учитываются. Несмотря на кажущуюся простоту этих моделей, к ним сводятся многие практические задачи, в том числе большинство социально-экономических задач. По виду целевой функции и ограничений детерминированные модели делятся на линейные, нелинейные, динамические и графические.

В линейных моделях целевая функция и ограничения линейны по управляющим переменным. Построение и расчет линейных моделей являются наиболее развитым разделом математического моделирования, поэтому часто к ним стараются свести и другие задачи либо на этапе постановки, либо в процессе решения.

Для линейных моделей любого вида и достаточно большой размерности известны стандартные методы решения.

 

Рис. 1

 

Нелинейные модели – это модели, в которых либо целевая функция, либо какое-нибудь из ограничений (либо все ограничения) не линейны по управляющим переменным. Для нелинейных моделей нет единого метода расчета. В зависимости от вида нелинейности, свойств функции и ограничений можно предложить различные способы решения. Однако может случиться и так, что для поставленной нелинейной задачи вообще не существует метода

В этом случае задачу следует упростить, либо сведя ее к известным линейным моделям, либо просто линеаризовав модель.

В динамических моделях в отличие от статических линейных и нелинейных моделей учитывается фактор времени. Критерий оптимальности в динамических моделях может быть самого общего вида (и даже вообще не быть функцией), однако для него должны выполняться определенные свойства. Расчет динамических моделей сложен, и для каждой конкретной задачи необходимо разрабатывать специальный алгоритм решения,

Графические модели используются тогда, когда задачу удобно представить в виде графической структуры.

 

Основные  этапы построения модели

1.  Определение цели, т.е. чего хотят добиться, решая поставленную задачу.

2. Определение параметров модели, т.е. заранее известных фиксированных факторов, на значения которых исследователь не влияет.
3. Формирование управляющих переменных, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи.
4. Определение области допустимых решений, т.е. тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.
5. Выявление неизвестных факторов, т.е. величин, которые могут изменяться случайным или неопределенным образом.
6. Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, т.е. формирование целевой функции, называемой также критерием эффективности или критерием оптимальности задачи.

Линейные модели

 

Линейные модели имеют широкое  применение при решении экономических  задач, возникающих в производстве, управлении финансами, торговле, транспортной отрасли и т.д. Построение линейных моделей является наиболее развитым разделом математического моделирования.

Широкое применение линейных моделей  любого вида и достаточно большой  размерности подкрепляется высокоэффективными компьютерными алгоритмами.

 

Модели линейной оптимизации.

 Двойственность  и основные соотношения двойственности

К моделям линейной оптимизации  относятся задачи на максимум или  минимум линейной целевой функции  многих переменных при ограничениях на них в форме линейных равенств и неравенств.

С любой экономико-математической задачей, для которой можно построить  линейную модель, либо свести к построению линейной модели, связана двойственная задача. Прямая и двойственная задача тесно взаимосвязаны, так как оптимальное решение одной задачи можно получить непосредственно, зная оптимальное решение другой задачи. Совместное изучение прямой задачи и двойственной к ней дает, как правило, значительно больше информации.

Рассмотрим решения прямой и  двойственной задач графическим методом, с помощью которого легко иллюстрируются основные соотношения теории двойственности.

 

Пример 1. Решить графическим методом прямую и двойственную задачи (табл. 1).

 

Таблица 1

Прямая задача	Двойственная задача
Максимизировать при ограничениях	Минимизировать  при ограничениях

 

Решение прямой задачи.

Строим область допустимых решений задачи. Для этого нумеруем ограничения задачи

В прямоугольной декартовой системе  координат (рис. 2) строим прямую (p₁), соответствующую ограничению (1) по двум точкам, например, (– 7; 0) и (– 4; 2). Находим, какая из полуплоскостей, на которые эта прямая делит всю координатную плоскость, является областью решений неравенства (1). Для этого достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство. Так как прямая p₁ не проходит через начало координат, подставляем координаты точки в первое ограничение . Получаем строгое неравенство . Следовательно, точка О лежит в полуплоскости решений. Штриховкой отмечаем  полуплоскость, содержащую точку О. Аналогично строим прямую  (p₂) по двум точкам (0; 8) и (8; 0) и определяем область решений ограничения (2).

 

 

 

 

Находим общую часть  полуплоскостей решений, учитывая при  этом условия неотрицательности переменных. Полученная область допустимых решений на рисунке заштрихована и представляет собой ограниченный выпуклый многоугольник ОАВС.

Строим нормаль линий уровня  . Так как решается задача на отыскание максимума целевой функции, то линию уровня перемещаем в направлении нормали до угловой точки В, которая расположена на прямой, называемой опорной. Эта опорная прямая проходит через точку В пересечения прямых, ограничивающих область допустимых решений и соответствующих неравенствам (1) и (2), перпендикулярно нормали.

Определяем координаты точки В как пересечение прямых  p₁ и  p₂. Для этого решаем систему

Получаем:

 

    

Следовательно, координаты точки  . Оптимальное решение х₁^* = 2,        х₂^* = 6. Вычисляем максимум целевой функции: Уравнение опорной прямой имеет вид:

 

Решение двойственной задачи.

Для построения области допустимых решений занумеруем ограничения  задачи:

Строим прямые p₃ и p₄, уравнения которых: – 2у₁ + у₂ = 2  и 3у₁ + у₂ = 7. Учитывая условия неотрицательности переменных, определяем область допустимых решений. Полученная область представляет неограниченный сверху выпуклый многоугольник (рис. 3). Нормаль линии уровня .

В данной задаче необходимо найти минимум целевой функции, поэтому линию уровня перемещаем в направлении, противоположном направлению нормали до опорной прямой. Эта прямая проходит через точку D пересечения прямых, ограничивающих область допустимых решений и соответствующих неравенствам (3) и (4), перпендикулярно нормали.

Определяем координаты точки  D, как пересечение прямых p₃ и p₄. Для этого решаем систему

Получаем, что точка D имеет координаты . Оптимальное решение у₁^* = 1, у₂^* = 4. Вычисляем минимум целевой функции: Уравнение опорной прямой имеет вид: .

 

 

 

Как видно из приведенных решений  прямой и двойственной задач значения целевых функций равны:

При любом допустимом решении прямой задачи значение целевой функции « » (не превосходят) значений целевой функции двойственной задачи при ее допустимом произвольном решении.

 Например, при допустимом решении прямой задачи значение целевой функции , а при допустимом двойственной задачи значение целевой функции , т.е. .

 

Пример 2. Решить графическим методом прямую и двойственную задачи (табл. 2).

                                                                                                   Таблица 2

Прямая задача	Двойственная задача
Минимизировать  при ограничениях	Максимизировать при ограничениях

 

Для решения прямой задачи вводим нумерацию ограничений задачи:

Аналогично примеру 1 строим область допустимых решений, которая представляет собой выпуклый многоугольник не ограниченный  сверху. Нормаль линии уровня (рис. 4).

 

 

В данной задаче необходимо найти  минимум целевой функции, поэтому линию уровня перемещаем в направлении, противоположном направлению нормали, которая уходит в бесконечность. Задача не имеет оптимального решения из-за неограниченности снизу целевой функции на множестве допустимых решений.

 

Решение двойственной задачи.

Область допустимых решений для  данной задачи представляет собой пустое множество, что означает противоречивость системы ограничений  (рис. 5). Следовательно, и двойственная задача, так же как и прямая задача, не имеет решения.

 

 

Взаимозависимость оптимальных решений  пары двойственных задач определена следующими соотношениями:

Теорема (основное неравенство). Пусть Х – какое-нибудь допустимое решение прямой задачи, а Y – какое-нибудь допустимое решение двойственной задачи. Тогда справедливо неравенство

.

Следствие 1 (достаточный  признак оптимальности). Если для каких-то допустимых решений и соответственно прямой и двойственной задач выполняется равенство

,

то  есть оптимальное решение прямой задачи,  а – оптимальное решение двойственной задачи.

Следствие 2. Если в одной из пары двойственных задач целевая  функция  не ограничена с соответствующей стороны  (т.е. в прямой задаче  или в двойственной задаче), то другая задача не имеет допустимых решений.

Основная теорема. Если разрешима одна из пары двойственных задач, то разрешима и другая задача, причем .

Остальные теоремы двойственности будут сформулированы в следующих  разделах данного пособия.

Для понимания экономической интерпретации  основных соотношений двойственности рассмотрим модель распределения ограниченных ресурсов, в которой целевая функция, отображающая прибыль или доход  от производственной деятельности, подлежит максимизации.

Формулировка  прямой задачи

Пусть фирма располагает  m  видами ресурсов Р₁ , Р₂ ,… Р_m и планирует организовать выпуск из них  n  видов продукции П₁ , П₂ ,…, П_n .

Известны следующие  исходные данные:

a_ij – нормы расхода i-го ресурса на изготовление одной единицы j-ой продукции П_j;

c_j  - прибыль от реализации одной единицы j-ой продукции П_j;

b_i -  количество ресурса i–го вида.

Требуется составить  план выпуска продукции  П₁, П₂,…П_n. из имеющихся объемов ресурсов Р₁, Р₂ ,…Р_m , при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Построим математическую модель этой задачи.

Обозначим за x_j  (j = 1,2,...,n) – число единиц продукции, запланированных к производству. Тогда прибыль от реализации j-го вида продукции составит  c_j∙x_j , а суммарная прибыль от реализации всей продукции будет равна: 

F = c₁ x₁ + c₂ x₂ + ...+ c_n x_n.

 Согласно условиям  задачи, она подлежит максимизации. 

Затраты ресурса  P_i  на выпуск всей продукции  Х = (x₁, x₂ ,..., x_n ) будут выражаться суммой произведений норм расхода a_ij на объемы выпуска и составят величину, равную  a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + ... + a_in x_n . Поскольку запас ресурса Р_i  равен  b_i , а расход ресурса не может превышать имеющегося его количества, то приходим к ограничениям следующего вида:

a_i1x₁ + a_i2x₂ +… + a_inx_n £ b_i,     i = 1,2,...,m

Учитывая естественные условия неотрицательности объемов  выпуска продукции,

x_j

0,  j=1,2,...,n,

придем к следующей  задаче:

Найти такой план Х = (x₁, x₂ ,..., x_n) выпуска продукции, удовлетворяющий системе неравенств

    a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n £   b₁,

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n £   b₂,

 …   …   …   …   …   …   …

a_i1x₁ + a_i2x₂ + … + a_inx_n £   b_i,

…   …   …   …   …   …   …

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n £  b_m,

                                               x_j ³ 0,   j = 1, 2, …, n,

при котором функция  F = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n  принимает максимальное значение.

Формулировка  двойственной задачи

Предположим, что некоторая  организация решила закупить ресурсы Р₁ , Р₂ ,…, Р_m фирмы и необходимо определить цены на эти ресурсы у₁, у₂,…, у_m. Естественно, что покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на покупку ресурсов в объеме b₁, b₂,…, b_m по ценам у₁, у₂,…, у_m были минимальны, то есть Z = b₁y₁ + b₂y₂ + … +b_my_m ® min.

Предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не меньше той суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую продукцию. На изготовление единицы продукции j-го вида расходуется сырье Р₁ в объеме а_1j, сырье Р₂ в объеме а_2j…, сырье Р_m в объеме а_mj по цене у₁, у₂,…, у_m соответственно, то есть затраты на изготовление продукции П_j должны быть не меньше, чем цена ее реализации. Приходим к ограничениям следующего вида: