Интегралы. 3

Краевое государственное бюджетное учреждение СПО

"Хабаровский торгово-экономический техникум"

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат по теме: Интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

Составила: Черепнина В. Н.

Студентка группы Т-2

 

 

 

 

Хабаровск 2012

 

 

Оглавление

1. Историческая часть........................................................................................3

2. Интегралы.......................................................................................................5

2.1. Теоретическая часть....................................................................................5

2.2. Практическая часть....................................................................................13

2.3. Применение темы в других дисциплинах................................................21

3. Заключение.....................................................................................................24

Библиографический список..............................................................................26

 

1. Историческая  часть

ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Интеграл в  древности. Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 г. до н. э., Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усечённой пирамиды. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в 3-м веке н. э. Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения площади круга. Этот метод был впоследствии использован Дзю Чонгши для нахождения объёма шара.

Следующий крупный шаг  в исчисление интегралов был сделан в Ираке, в XI веке, математиком Ибн ал-Хайсамом (известным как Alhazen в Европе), в своей работе «Об измерении параболического тела» он приходит к уравнению четвёртой степени. Решая эту проблему, он проводит вычисления, равносильные вычислению определённого интеграла, чтобы найти объём параболоида. Используя математическую индукцию, он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов, но он не касается любых многочленов выше четвёртой степени.

Следующий значительный прогресс в исчислении интегралов появится лишь в XVI веке. В работах Кавальери с его методом неделимых, а также в работах Ферма, были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшие шаги были сделаны в начале XVII века Барроу и Торричелли, которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

Обозначение. Ньютон использовал (не везде) в качестве символа интегрирования значок квадрата (перед обозначением функции или вокруг него), но эти обозначения не получили широкого распространения. Современное обозначение неопределённого интеграла было введено Лейбницем в 1675 году. Он образовал интегральный символ из буквы ſ («длинная s») — сокращения слова лат. summa (тогда ſumma, сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция. Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый. В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли. Другие известные вам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее “примитивная функция”, которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как “начальный”: F(x) = - начальная (или первоначальная, или первообразная) для функции f(x), которая получается из F(x) дифференцированием. В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А называют определенным интегралом (обозначение ввел Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830гг.) в 1819-20гг., но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

2. Интегралы

2.1. Теоретическая  часть

п. 1. Первообразная  и неопределенный интеграл

Первообразной функцией для  функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции

F'(x) = f(x).

Обозначение

где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.

п.2. Свойства неопределенного  интеграла

1° Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2° Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3° Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

4° Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

п.3. Таблица основных интегралов

п.4.Существуют следующие виды нахождения интегралов:

1. Непосредственное интегрирование

Вычисление интегралов с  помощью непосредственного использования  таблицы простейших интегралов и  основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

2. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала

Необходимо иметь в  виду простейшие преобразования дифференциала 

В общем случае:

φ'(x)dx=dφ(x)

3. Метод подстановки

Интегрирование путем  введения новой переменной (метод  подстановки) основано на формуле

 

где х = φ(t) - дифференцируемая функция переменной t.

Тригонометрические подстановки

1. Если интеграл содержит радикал

 

то полагают

отсюда 

Далее сответственно

4. Интегрирование по частям.

Если u =φ(x) и v = y(х) - дифференцируемые функции, то

Эта формула применяется  в случае, когда подынтегральная  функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной  функции.

В качестве u обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве dv - оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая dx, из которой можно определить v путем интегрирования.

п.5. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

1°. Интеграл вида 

путем дополнения квадратного  трехчлена до полного квадрата по формуле 

сводится к одному из двух интегралов

где u = х + k.

2°. Интеграл 

сводится к интегралам вида (8.1) или (8.2) и интегралу 

3°. Интеграл 

сводится к одному из интегралов:

4°. Интеграл вида 

сводится к одному из двух интегралов

5°. Интеграл вида 

сводится к разобранным  выше интегралам.

6°. Интегралы вида 

с помощью обратной подстановки

приводятся к интегралам вида 5°.

п.6. Интегрирование тригонометрических функций

1°. Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

2°. Интегралы вида 

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени

Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

3°. Если m = -m, n = -l - целые отрицательные числа одинаковой четности, то

В частности, к этому случаю сводятся интегралы 

4°. Интегралы вида 

где R - рациональная функция от sinx и cosx, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки

при этом

Если R{-sin x, cosx) = R(sinx, cosx), то целесообразно применить подстановку tgx = t. при этом

п.7. Вычисление интеграла путем перебрасывания интеграла через знак равенства.

Обычно имеет место  быть при решении интегралов вида sin(x)·exp(x) или cos(x)·exp(x).

Суть метода заключаеться в следующем: с помощью различных  преобразований приходят к такой  ситуации, когда слева от знака  равенства стоит исходный интеграл, а справой какое-то выражение  и тот же самый интеграл. Например:

Тогда все интегралы собирают в одной части, а в другой части  равенства остается выражение, которое  после нормировки ( приведение коэффициента при интеграле к 1) становится ответом.

2.2. Практическая  часть

Здесь мы рассмотрим как  находятся интегралы разными  способами.

1. Непосредственное интегрирование

2. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала

3. Метод подстановки

1. Найти интеграл

Этот пример можно решить и по-другому см. п.5.

Чтобы избавиться от корня, положим

2. Найти

4. Интегрирование по частям

5. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

6. Интегрирование тригонометрических функций

Здесь подынтегральная функция  является рациональной функцией от sinx и cosx. Применяем подстановку

Подынтегральная функция  не меняется от замены sinx на (-sinx), cosx на (-cosx), то есть R(-sinx,cosx) = R(sinx,cosx) . Применим подстановку tgx = t:

7. Вычисление интеграла путем перебрасывания интеграла через знак равенства.

Решаем интеграл:

Применим способ интегрирования по частям

, где 

 и

Вынесли константу из-под  знака интеграла.

Применим способ интегрирования по частям

, где 

 и

Вот мы и пришли к ситуации, когда слева и справа от знака  равенства стоит один и тот  же интеграл.

Вычисляем интеграл и получаем

2.3. Применение  темы в других дисциплинах

Различные методы изучения приложений интеграла в  физике.

Авторы различных учебников  по–разному выводят формулы при  изучении приложений интеграла. Рассмотрим несколько различных методов  получения (вывода) формул.

I. Составление интегральных сумм. Масса стержня переменной плотности. Будем считать, что отрезок [a; b] оси Ох имеет массу с переменной линейной плотностью ρ(х)0, где ρ(х) – непрерывная на отрезке [a; b] функция. Общая масса этого отрезка, где a=x₀<x₁<…<x_n=b, Δx_i =x_i+1-x_i.Аналогично можно вывести формулы для нахождения работы силы, работы электрического заряда, давления жидкости на стенку, центра тяжести системы материальных точек. Центр масс.

II. Метод дифференциалов.

Электрический заряд. Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Как вычислить заряд q, переносимый за интервал времени  [a; b] через сечение проводника? Если бы сила тока I не менялась со временем, то изменение заряда q равнялось бы произведению I(b-a).

Аналогично выводятся  и формулы для нахождения работы силы, перемещения точки, вычисления массы стержня, электрического заряда и давления воды на плотину.

III. Рассмотрение практической задачи.

Работа силы. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,08 м, если для её сжатия на 0,01 м требуется сила 10 Н.

По закону Гука сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т. е. F=kx, где x – величина растяжения или сжатия (в м),  k – постоянная. Из условия задачи находим k. Так как при х=0,01 м и сила F=10 Н, то . Следовательно, F(x)=kx=1000x.

Рассмотрим достоинства  и недостатки каждого из выше перечисленных  методов.

Если учащиеся знакомились  с понятием интеграла как предела  интегральных сумм, то первый метод  изучения приложений будет наиболее логичным и понятным. Если же понятие  интеграла вводилось с помощью  приращения первообразной, то использование  данного метода получения формул стоит обосновать для учащихся и  рассмотреть довольно подробно с  введением понятия интегральных сумм, что довольно громоздко, но необходимо.  

Достоинством второго  метода при введении понятия интеграла  с помощью приращения первообразной  состоит в том, что он не такой  громоздкий, как первый и с его помощью можно вывести много формул даже в рамках урока. Однако, в таком случае вычисление интеграла с помощью интегральных сумм остается за рамками изучения, что является не совсем корректным. При введении понятия интеграла с помощью интегральных сумм рассмотрение данного метода при изучении приложений необходимо пояснить.

Третий метод применим только в классах курса А. Здесь  нет необходимости выводить формулы, достаточно дать общее представление.

Подводя итоги первой главы  можно сделать следующие выводы.

Как выяснилось, существуют различные методы введения понятия  интеграла и изучения его приложений и выбор одного из них – задача учителя. Но для полноценного изучения интеграла, для возможности предоставить учащимся более полноценную, наиболее обоснованную и понятную картину  рассматриваемого явления учителю  необходимо использовать различные  методы в совокупности, различную  литературу, т.к. в рамках школьного  учебника и методов, которые каждый из них предлагает учителю, это невозможно. В каждом из выше рассмотренных учебников  есть свои недостатки при введении понятия и изучении его приложений, которые описаны выше. В некоторых  из них не рассматриваются ни свойства, ни техника интегрирования.

Проанализировав школьные учебники относительно использования физических моделей при изучении понятия  интеграла, можно сделать вывод, что при изучении свойств и  техники интегрирования ни один автор  не использует физических задач, а при  введении понятия интеграла авторы ограничиваются использованием следующих  физических моделей: вычисление работы переменной силы, перемещения точки, массы стержня переменной плотности. На самом деле существует огромный запас задач из других разделов физики, которые можно использовать при  введении понятия интеграла, а при  изучении его свойств обосновывать их с помощью физических задач, при  рассмотрении техники интегрирования демонстрировать методы на примерах всё тех же физических задач. Таким образом, все понятия, свойства, методы не только будут предоставлены учащимся как факты, но будут и обоснованы, и продемонстрированы, и покажут межпредметную связь физики и математики.

 

3. Заключение

Изучение интегралов занимает важное место в процессе изучения математики в общеобразовательной  школе и очень важно, чтобы  элементы истории при преподавании были актуальными, познавательными  и развивающими.

Возникновение задач интегрального  исчисления связано с нахождением  площадей и объемов. Ряд задач  такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления.

Методы математического анализа активно развивались в XVIII столетии. А строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке.

Выше были приведены основные теоретические сведения: определение  и свойства интегралов, что очень важно для преобразования интегральных уравнений и других, связанных с ним.

Рассмотренные выше примеры  практических задач, дают нам ясное  представление значимости интегралов для их разрешимости. Трудно назвать  научную область, в которой бы не применялись методы интегрального  исчисления, в общем, и свойства интегралов, в частности. Так в процессе выполнения реферата нами были рассмотрены примеры  практических задач в области  физики, геометрии и экономики. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий  список наук, которые используют интегральный метод для поиска устанавливаемой  величины при решении конкретной задачи, и установлении теоретических  фактов. Также интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь  вносят свой незаменимый вклад в  решение задач практического  содержания. Можно сказать, что интегралы - это некоторый фундамент для  изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения. Из всего  выше сказанного понятно, почему знакомство с интегралами происходит еще в рамках средней общеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения.

Таким образом, результаты работы показали, что какая бы ни была форма  сообщения исторических фактов —  краткая беседа, экскурс, лаконичная справка, решение задачи, показ и  разъяснение рисунка, использованное для этого на уроке время потрачено  эффективно.

Применение интегралов довольно широко и его сложно полностью охватить в работе такого типа, однако я попыталась раскрыть основные, базовые моменты. В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач.

 

 

Библиографический список

1. Афанасенко Е. И. Детская энциклопедия т.2., М., “Просвещение”, 1964.
2. Вавилов В. В. Задачи по математике. Начало анализа., М., “Наука”, 1990.
3. Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
4. Демидович Б.П. Отдел 4. Определенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
5. Евграфов Н. Н. Курс физики для подготовительных отделений вузов., М., “Высшая школа”, 1984.
6. Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 10. Определенный интеграл // Основы математического анализа. — 1998. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
7. Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. — 1998. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
8. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа., М., “Просвещение”, 1990.
9. Никольский С. М. Глава 9. Определенный интеграл Римана // Курс математического анализа. — 1990. — Т. 1.
10. Пинсий А. А. Физика., М., “Просвещение”, 1994.
11. Прохоров А. М. Большая Советская энциклопедия т.10., М., “Советская энциклопедия”, 1972.
12. Сканави М. И. Сборник задач по математике для поступающих во втузы., М., “Высшая школа”, 1988.
13. Яковлев Т. Х. Пособие по математике для поступающих в вузы., М., “Наука”, 1988.