Интегралы и дифференциалы

Министерство  образования РФ

НОУ «Московский финансово-правовой институт» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Реферат

На  тему: “Интегралы и дифференциалы” 
 
 
 
 

Выполнила студентка 1 курса

Страхова  Е.В. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Москва 2011 г.

Оглавление 

1. История интегрального и дифференциального исчисления 3

2. Происхождение понятия определённого интеграла и инфинитезимальные методы Архимеда. 4

3. От Архимеда к Кеплеру и Кавальери. 5

4. Дифференциальные методы. 6

5. Определение дифференциала. 6

6. Первообразная функция и неопределённый интеграл. 7

7. Проблема двойных и тройных интегралов. 7

Литература. 9

1. История интегрального и дифференциального исчисления

     История понятия интеграла тесно связана  с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как «придание квадратной формы». Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античное время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты привычные для нас представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача «о квадратуре круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

     Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 -- ок. 355 до н.э.). Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом (ок. 287 - 212 до н.э.). С этой модификацией вы знакомы: вывод формулы площади круга, предложенный в курсе геометрии, основан на идеях Архимеда

Его остроумные и глубокие идеи, связанные с вычислением площадей и объёмов тел, решением задач механики, по существу, предвосхищают открытие математического анализа и интегрального исчисления, сделанное почти 2000 лет спустя. Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.

     Кроме этого Архимед дал оценку числа  «пи» (), нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т. д. Сам Архимед высоко ценил эти  результаты: согласно его желанию  на могиле Архимеда высечен шар, вписанный  в цилиндр (Архимед показал, что  объем такого шара равен 2/3 объема цилиндра).

     Математики XVII столетия, получившие многие новые  результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод -- метод неделимых, который также  зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым, тем не менее, приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

     На  такой кажущейся теперь, по меньшей  мере, сомнительной основе И. Кеплер (1571--1630) в своих сочинениях «Новая астрономия» (1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на бесконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598--1647) и Э. Торричелли (1608--1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип для площадей плоских фигур: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины. Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.

     Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов. Простейшие следствия принципа Кавальери вы можете вывести сами. Докажите, например, что прямой и наклонный цилиндры с общим основанием и высотой имеют равные объемы.

     В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному  исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 г. решил задачу квадратуры любой кривой , где п -- целое (т. е. по существу вывел формулу , и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести.

     Однако  при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона -- Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Символ ? введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

     В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц  согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики -интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

     Другие  известные вам термины, относящиеся  к интегральному исчислению, появились  заметно позднее. Употребляющееся  сейчас название первообразная функция  заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: -- начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(х) дифференцированием.

     В современной литературе множество  всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

     Методы  математического анализа активно  развивались в следующем столетии. В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801-1862), В. Я. Буняковский (1804-1889), П. Л. Чебышев (1821--1894).

Строгое изложение  теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826-1866), французского математика Г. Дарбу (1842-1917).

2. Происхождение понятия определённого интеграла и инфинитезимальные методы Архимеда

     Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять  площади любых фигур и поверхностей и объёмы произвольных тем. Предыстория  интегрального исчисления восходит к глубокой древности. Идея интегрального исчисления была древними учёными предвосхищена в большей мере, чем идея дифференциального исчисления.

     Следует особо упомянуть об одном интегральном методе Архимеда, примененном в следующих  его произведениях:

«О шаре и цилиндре», «О спиралях» и «О коноидах и сфероидах». В последнем произведении рассмотрены объёмы сегментов, получаемых при сечении плоскостью тел, образованных вращением вокруг оси эллипса, параболы или гиперболы.

     В терминологии Архимеда «прямоугольный коноид» – это параболоид вращения, «тупоугольный коноид» – одна полость двуполостного гиперболоида вращения, «сфероид» – элипсоид вращения.

В XIX предложении  своего произведения «О коноидах и  сфероидах» Архимед доказывает следующую  лемму: «Если дан сегмент какого–нибудь из коноидов, отсечённый перпендикулярной к оси плоскостью, или же сегмент какого–нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно также отсечённый, то можно вписать в него телесную фигуру и описать около него другую, состоящих из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, что описанная фигура больше вписанной на величину, меньшую любой наперёд заданной телесной величины.»

     Эта лемма является ярким примером метода интегральных сумм, существо которого состоит в следующем: тело вращения разбивается на части и каждая часть аппроксимируется описанным и вписанным телами, объёмы которых можно вычислить. Сумма объёмов описанных тел будет больше, а сумма вписанных тел – меньше объёма тела вращения. Теперь остаётся выбрать аппроксимирующее  сверху и снизу тела таким образом, чтобы разность их объёмов могла быть сделана сколь угодно малой. Это достигается выбором в качестве указанных тел соответствующих цилиндриков.

3. От Архимеда к  Кеплеру и Кавальери

     Первые  значительные попытки развития интеграционных методов Архимеда были предприняты в XVII в. одним из первых видных учёных, стремившихся к возрождению и развитию интеграционных методов, был Иоганн Кеплер.

     1612 г. был для жителей австрийского  города Линца, в котором жил  тогда Кеплер, исключительно урожайным, особенно изобиловал виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определять их объёмы. Этот вопрос как раз и входил в круг идей, которыми интересовался Кеплер. Так родилась его «Новая стереометрия винных бочек», вышедшая в свет в 1615 г. 

     Кеплер  вычислил площади плоских фигур  и поверхностей и объёмы тел, основываясь  на идее разложения фигур и тел  на бесконечное число бесконечно малых частей, которые он называл  «тончайшими кружочками» или  «частями крайне малой ширины»; из этих мельчайших частиц, суммированных им, он составляет фигуру, эквивалентную первоначальной, но площадь или объём которой ему известен.

Методы Кеплера  в определении объёмов тел  вращения, были нестрогими. Многие учёные посвятили свои работы усовершенствованию оперативной стороны этого предприятия. Наибольшую известность приобрела геометрия неделимых, изобретённая Кавальери. Делом его жизни, имевшим наибольшее значение для развития математики, был метод неделимых. Метод неделимых изобретён для определения размеров плоских фигур и тел.

     Как фигуры, так и тела представляются составленными их элементов, имеющих  размерность на единицу меньше. Так, фигуры состоят из отрезков прямых, проведённых параллельно некой  направляющей прямой, называемой регула. Этих воображаемых отрезков бесконечно много. Они заключены между двумя касательными, параллельными регуле. В геометрических телах неделимыми являются плоскости, параллельные некоторой плоскости. Их тоже бесконечно много; границами их совокупности служат две касательные плоскости, параллельные регуле.  

4. Дифференциальные  методы

     В математике XVII в. наряду с интегральными  методами складывались и методы дифференциальные. К дифференциальным методам мы отнесём  те, в которых содержатся элементы будущего дифференциального исчисления. Вырабатывались эти элементы при решении задач, которые в настоящее время решаются с помощью дифференцирования. Такие задачи были в то время трёх видов:  определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций и отыскивание условий существования алгебраических уравнений кратных корней.

     Накопление  элементов дифференциального исчисления наиболее явную форму приняло  у Ферма. В 1638 г. он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений f(х) .

Ферма составил уравнение [f(х + h) – f(х)] / h = 0 и после  преобразований в левой части  полагал h = 0. Вопреки мнению позднейших исследователей, которые видели в  этом идеи исчисления бесконечно малых, в действительности Ферма нашёл это условие и аналогичное                         

[f(у) – f(х)] / [у–х] = 0

     Так же близок к дифференциальному исчислению метод Ферма отыскания касательных  к алгебраическим кривым.

     На  малой дуге MN алгебраической кривой f(х) = 0 путём проведения секущей SMN  строится «характеристический» D MNP.

D MNP подобен D MRS.  

     Отсюда SR = (MR ^. MP) / PN, или в более привычных нам символах SP = [f(х)h] / f(х+h) – f(х).

Затем Ферма  переходит от секущей к касательной, полагая х = 0, получая тем самым  S_t = у / у¹. Позднее он  распространил этот метод определения касательных на случай неявной функции f(х,у) = 0. Полученное им выражение легко переводится в привычное нам                       

 дf / дх + у¹ (дf / дх) = 0.

     Первый  в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10  глав. В предисловии даётся краткий исторический обзор развития нового исчисления.

     В 10 главах книги излагаются  определения постоянных и переменных величин и дифференциала («Бесконечно малая, часть на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется её дифференциалом».), объясняются употребляющиеся обозначения dх, dу и др., выводятся правила дифференцирования алгебраических выражений, определяется дифференциальное исчисление к нахождению касательных к кривым, к нахождению максимумов и минимумов и т.п.

     Большими  достоинствами книги Лопиталя являются простота и строгая последовательность изложения, обилие примеров лёгких, средних  и более трудных.

     Появление анализа бесконечно малых революционировало  всю математику, превратив её в математику переменных величин. 

5. Определение дифференциала

     Определение. Функция у = f(х) называется дифференцированной в точке х, если её приращение Dу  в этой точке можно представить в виде                      

 Dу = f(х)Dх+a(Dх)Dх,      

 где         a (Dх) = 0

6. Первообразная функция и неопределённый интеграл

     Основной  задачей дифференциального исчисления является нахождение производной  f’(х)  или дифференциала f’(х)dх данной функции  f(х).

В интегральном исчислении решается обратная задача:

     Дана  функция  f(х); требуется найти такую функцию  F(х), производная которой f(х)dх в области определения функции  f(х), то есть, в этой области функции  f(х) и F(х) связаны соотношением F’(х) = f(х) или dF(х)= F’(х)dх = f(х)dх.

     Определение.  Функция F(х) называется первообразной функцией для данной функции  f(х), если для любого х из области определения f(х) выполняется равенство F’(х) = f(х) или  dF(х) = f(х)dх.

Примеры.       1) Пусть  f(х) = cos х.                      

 Решение: Тогда F(х) = sin х, так как  

F’(х) = cos х = f(х)  или  dF(х) = cos х dх = f(х)dх                      

2) Пусть  f(х) = х².                      

 Решение:  Тогда F(х) =    , так как F’(х) = х² = f(х)  или dF(х) = х²dх = f(х)dх.

     Известно, что если две функции  f(х) и j(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, то есть, если  f(х) = j(х) + С, то f’(х) = j(х) или  f’(х)dх = j(х)dх.

     Известно  также, что и наоборот, если две  функции  f(х) и j(х) имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, если                       

f’(х) = j’(х) или dхf(х) = dj(х), то                     

f(х) = j(х) + С.

     Замечание. Действительно, если производная  f’(х) обращается в нуль для любых значений х в (а,в), то в этом интервале f(х) = С.

     В самом деле, если х₁Î (а,в) и х₂ Î (а,в), то в силу теоремы Лагранжа, имеем f(х₂) – f(х₁) = (х₂–х₁) f’(х₀), где х₁< х₀< х₂ . Но, так как f’(х₀) = 0, то f(х₂) – f(х₁) = 0.

     Отсюда  непосредственно следует что, если в формуле у = F(х) + С мы будем придавать постоянной С все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f(х).

     Определение. Множество F(х) +С всех первообразных  функций для функции f(х), где С  принимают все возможные числовые значения, называется неопределённым интегралом от функции f(х)  и обозначается символом                        

     f(х)dх    

Таким образом, по определению,                        

     f(х)dх = F(х) + С,  (А) 

где F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх и С – произвольная постоянная. В формуле (А) f(х) называется подынтегральной функцией, f(х)dх  – подынтегральным выражением, а символ  – знаком неопределённого интеграла.

     Неопределённым  интегралом называют не только множество  всех первообразных, но и любую функцию  этого множества.

Определение. Нахождение первообразной по данной функции  f(х) называется интегрированием. 

7. Проблема двойных и тройных интегралов

 
          Эта эпоха математического творчества оказалась единственной по своей интенсивности, а Эйлер - одним из немногих по своей продуктивности учёным. Его творения: "Введение в анализ бесконечно малых", "Основания дифференциального исчисления" и "Основания интегрального исчисления" стали первыми трактатами, которые объединили уже обширный, но вместе с тем разрозненный материал нового анализа в цельную науку. В них была разработана та основа современного анализа, которая сохранилась и до нашего времени. 
           Исследование методов вычисления двойных и тройных интегралов показала, что вычисление этих интегралов методом вычисления обычного определенного интеграла - при помощи неопределенного, невероятно трудно, поэтому математики сохранили концепцию Ньютона только на словах, а на деле, при решении задач точных наук, приняли сторону Лейбница. Так они вычисляли соответствующие интегральные суммы (в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах) и находили их пределы. 
              Таким образом, поиск методов вычисления новых видов определенного интеграла показал, что обыкновенный, двойной и т. д. определенный интегралы должны быть обоснованы сами по себе независимо от понятия неопределенного интеграла. Но каждое слагаемое любой интегральной суммы является бесконечно малой величиной. Ставился вопрос не только о легализации ранее “изгоняемого” понятия бесконечно малого, но и о раскрытии его реального содержания и о соответствующем его применении. Как говорилось ранее, чтобы всё это сделать, появилась необходимость преодолеть, обобщить, развить традиционное, каким было признано Эйлерово, толкование функции и понятия предела. 
               Коши - решение парадокса существования конечных сумм из бесконечно малых слагаемых. Возник естественный вопрос о возможности существования пределов интегральных сумм, имеющих бесконечно малые слагаемые. Так в первой четверти XIX века, избегаемое ранее, понятие бесконечно малой оказалось необходимым и для изучения и для сопоставления свойств непрерывных и разрывных функций. 
               Основополагающих результатов добился в развитии этого вопроса Коши. “Между многими понятиями, - указывал Коши, - тесно связанными со свойствами бесконечно малых, следует поместить понятие о непрерывности и прерывности функций”. Здесь же Коши дал определение непрерывности функции, которое более чем ясно подтвердило ясность этого его утверждения. Новая постановка задач обоснования математического анализа дала понять, что вопрос не только в признании и применении бесконечно малых - это делали и раньше! - ,но прежде всего в научном истолковании их содержания и обоснованном на этом использовании их в алгоритмах математического анализа. Но чтобы этого добиться, необходимо было преодолеть господствовавшее в XVIII веке узкое толкование понятия предела, разработать новую общую теорию пределов.  
             Исследование разрывных функций, а также сравнение их с функциями непрерывными заставило признать то, что ранее считалось невозможным: предел, к которому стремиться последовательность значений функции, при стремлении аргумента в некоторой точке может оказаться отличным от значения функции в этой точке. 
              Получается, что предел не всегда является конечным значением переменной, но во всех случаях предел является числом, к которому переменная неограниченно стремится. Следовательно, dx и dy не необходимо нули или “мистически” актуально бесконечно малые; бесконечно малая - это переменная, имеющая пределом нуль, причем факт не является противоречием или парадоксом. 
             Вторую ограничительную тенденцию в принятой ранее трактовке понятия предела также преодолел Коши. Он признал, что переменная может приближаться к своему пределу не только монотонно, но и колеблясь- принимая порой значения, равные её пределу. Эта формулировка придала теории Коши необходимую общность и исключительную гибкость.

Литература.

1.   «Дифференциальные  и интегральные исчисления». 

2.   «Курс высшей математики».

3.   «История математики в школе».

4.   «История математики».

5.   «Краткий очерк истории математики».

6.   «Курс высшей математики».