Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Интуиционистская логика

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный государственный Университет физической культуры, спорта и здоровья имени П. Ф. Лесгафта, Санкт-Петербург

Реферат на тему:

Профиль подготовки:

Спортивно – оздоровительный туризм

Выполнил студент:

1 курса

Факультета НОВС

Магистратуры

Смагин Александр

Санкт-Петербург, 2014

Содержание:

Введение

1. Критика классической математики………………………………………...7

2.Интуиционистская логика…………………………………………………...9

3.Объекты исследования………………………………………………………14

4.Рецепция принципов и методов интуиционизма в других направлениях математики…………………………………………………………………………16

5.Историческая справка……………………………………………………….18

Литература

Введение

Интуиция (позднелат. intuitio — «созерцание», от глагола intueor — пристально смотрю) — непосредственное постижение истины без логического анализа, основанное на воображении, эмпатии и предшествующем опыте, «чутьё», проницательность.

Ло́гика (др.-греч. λογική — «наука о правильном мышлении», «искусство рассуждения» от λόγος — «речь», «рассуждение», «мысль») — раздел философии, нормативная[неизвестный термин][1] наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка. Поскольку это знание получено разумом, логика также определяется как наука о формах и законах правильного мышления. Поскольку мышление оформляется в языке в виде рассуждения, частными случаями которого являются доказательство и опровержение, логика иногда определяется как наука о способах рассуждения или наука о способах доказательств и опровержений. Логика, как наука, изучает способы достижения истины в процессе познания опосредованным путём, не из чувственного опыта, а из знаний, полученных ранее, поэтому её также можно определить как науку о способах получения выводного знания.

Одна из главных задач логики — определить, как прийти к выводу из предпосылок (правильное рассуждение) и получить истинное знание о предмете размышления, чтобы глубже разобраться в нюансах изучаемого предмета мысли и его соотношениях с другими аспектами рассматриваемого явления.

Интуиционизм — совокупность философских и математических взглядов, рассматривающих математические суждения с позиций интуитивной убедительности. Различаются две трактовки интуиционизма: интуитивная убедительность, которая не связана с вопросом существования объектов, и наглядная умственная убедительность

В интуициониостской математике отвергается подход теории множеств и ряд рассуждений классической логики. Абстракция потенциальной осуществимости, которая используется в интуиционистской математике, лучше соотносится с действительностью, чем абстракция актуальной бесконечности.

Можно сказать, что интуиционизм — система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике.

Интуиционистская математика является достаточно разработанным направлением, которое достигло многих существенных результатов, в том числе и в таких областях, как теория меры, функциональный анализ, топология, теория дифференциальных уравнений.

Источник математики, считал Брауэр, — фундаментальная математическая интуиция. Не все обычные логические принципы приемлемы для нее. Так, в частности, обстоит дело с законом исключенного третьего, говорящим, что либо само утверждение, либо его отрицание истинно. Этот закон исторически возник в рассуждениях о конечных множествах объектов. Но затем он был необоснованно распространен также на бесконечные множества. Когда множество является конечным, мы можем решить, все ли входящие в него объекты обладают некоторым свойством, проверив один за другим все эти объекты. Но для бесконечных множеств такая проверка невозможна.

Допустим, что мы, рассматривая конечный набор чисел, доказали, что не все они четны. Отсюда по закону исключенного третьего следует, что по крайней мере одно из них нечетно. При этом утверждение о существовании такого числа можно подтвердить, предъявив это число. Но если бы рассматриваемое множество чисел было бесконечным, заключение о существовании среди них хотя бы одного нечетного числа оказалось бы непроверяемым. Тем самым осталось бы неясным, что означает в этом случае само слово «существование».

По выражению немецкого математика Г. Вейля, доказательства существования, опирающиеся на закон исключенного третьего, извещают мир о том, что сокровище существует, не указывая при этом местонахождение и не давая возможности воспользоваться им.

Таким образом, по убеждению интуиционистов, закон исключенного третьего не является универсальным, одинаково применимым в рассуждениях о любых объектах. Как не без иронии говорит Вейль, он «может быть верным для всемогущего и всезнающего существа, как бы обозревающего единым взглядом бесконечную последовательность натуральных чисел, но не для человеческой логики».

Выдвигая на первый план математическую интуицию, интуиционисты не придавали большого значения систематизации логических правил. Только в 1930 г. ученик Брауэра А. Рейтинг опубликовал работу с изложением особой интуиционистской логики. В этой логике не действует закон исключенного третьего, несомненный для классической логики. Отбрасывается также ряд других законов, позволяющих доказывать существование объектов, которые нельзя построить или вычислить. В число отвергаемых попадают, в частности, закон снятия двойного отрицания («Если неверно, что не-А, то А») и закон приведения к абсурду, дающий право утверждать, что математический объект существует, если предположение о его несуществовании приводит к противоречию.

В дальнейшем идеи, касающиеся ограниченной приложимости закона исключенного третьего и близких ему способов математического доказательства, были развиты российскими математиками А.Н. Колмогоровым, В.А. Гливенко, А.А. Марковым и другими. В результате переосмысления основных предпосылок интуиционистской логики возникла конструктивная логика, также считающая неправомерным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.

1. Критика классической математики

Отдельные черты интуиционизма можно проследить ещё в античной математике, а позднее в высказываниях таких учёных, как Гаусс, Кронекер, Пуанкаре, Лебег, Э.Борель. Однако в своём современном виде интуиционизм возник как результат критического пересмотра основ классической математики, проведённого начиная с 1907 года Л. Э. Я. Брауэром.

В основе критики Л. Э. Я. Брауэра лежит вопрос о природе математических объектов и суждений о них. Так, естественно представить, что произвольное натуральное число может быть построено в виде последовательного ряда однородных предметов, например, ряда точек. Столь же естественно представить, что, построив некоторое натуральное число, можно построить затем и следующее, добавив к уже построенному ещё одну точку. Поэтому природа натуральных чисел является интуитивно ясной. Однако наряду с такими объектами в классической математике рассматриваются и объекты с интуитивно неясной природой, например, «множество всех натуральных чисел» и «множество, неизмеримое по Лебегу». С ними не связывается никакого способа их мысленного построения, и потому их действительное существование представляется сомнительным.

Одним из источников возникновения такого рода «монстров» в классической математике являются теоремы чистого существования, в которых наличие искомого объекта утверждается лишь на основе формального опровержения гипотезы о его невозможности. Иначе говоря, фундамент таких теорем составляет представление об абсолютной непогрешимости законов классической логики.

Это представление также стало одной из мишеней критики Брауэра. С его точки зрения, законы классической логики возникли в результате рассмотрения конечных совокупностей, при работе с которыми доказательство чистого существования заведомо может быть дополнено эффективным способом построения искомого объекта — полным перебором. При переходе же к рассмотрению бесконечных совокупностей эти законы становятся недостоверными, поскольку полного перебора таких совокупностей мы провести уже не можем.

В качестве простейшего примера рассмотрим следующую теорему чистого существования:

«для любого вещественного числа x найдётся натуральное число n, равное 1 в случае x = 0, и равное 2 в случае »

Признать такое число n действительно существующим мы могли бы лишь в том случае, если бы умели сравнивать произвольное вещественное число x с нулём, чего, однако, мы делать не умеем. Действительно, число x на деле задаётся некоторой бесконечной последовательностью рациональных чисел . Эффективным способом сравнения числа x с нулём был бы лишь такой, который позволял бы производить это сравнение на основе просмотра некоторого конечного (пусть и очень большого) набора чисел xk. Однако такое рассмотрение не позволяет надёжно установить верность равенства x = 0.

Аналогичные трудности возникают при попытках прояснения статуса существования многих других объектов классического анализа, например, точек экстремума непрерывной функции на отрезке, нулей знакопеременных непрерывных функций на отрезке и т. д. Никакого способа эффективного построения указанных объектов в нашем распоряжении не имеется.

Такая критика классической математики не связана непосредственно с антиномиями теории множеств. Появление антиномий можно рассматривать как дополнительный довод в пользу неудовлетворительности теоретико-множественного подхода, но критика относится и к таким разделам математики, где антиномий не возникает.(4)

2. Интуиционистская логика

Интуиционистская логика, форма логики предикатов, отражающая взгляд интуиционизма на характер логических законов, считающихся, с его точки зрения, допустимыми в применении к доказательствам суждений из тех частей дедуктивных наук (особенно математики), которые существенно связаны с понятием математической бесконечности.

В соответствии с концепцией интуиционизма, в И. л. нет исключенного третьего принципа и закона снятия двойного отрицания. В качестве И. л. обычно рассматривается формальная логическая система, построенная нидерландским математиком А. Гейтингом в 1930 (охватывает логику предикатов; ещё ранее — на основании соображений, отличных от интуиционистских, — систему И. л. в применении к логике высказываний, составляющей часть логики предикатов, построил советский учёный В. И. Гливенко). Интуиционистская логика Гейтинга отличается тем, что выразимые в ней содержательные рассуждения являются приемлемыми с точки зрения интуиционизма нидерландского математика Л. Э. Я. Брауэра.

С развитием конструктивных направлений в математике и логике И. л. нашла в них применение и поэтому стала часто называться конструктивной логикой (хотя в И. л. и нет некоторых принципов, признаваемых многими представителями этих направлений, например принципа конструктивного подбора, выдвинутого конструктивным направлением, возглавляемым советским математиком А. А. Марковым).

В интуиционистской математике суждение считается истинным, только если его можно доказать. То есть истинность утверждения «Существует объект x, для которого верно суждение A(x)» доказывается построением такого объекта, а истинность утверждения «A или B» доказывается либо доказательством истинности утверждения A, либо доказательством истинности утверждения B. Отсюда, в частности, следует, что утверждение «A или не A» может быть не истинным, а закон исключённого третьего неприемлем. Истинным математическим суждением является ряд выполненных построений эффективного характера с использованием интуиционистской логики. Эффективность не обязательно связана с наличием алгоритма и может зависеть от физических и исторических факторов, фактического решения проблем.

Основными объектами исследования интуиционистской математики являются конструктивные объекты: натуральные и рациональные числа, конечные множества конструктивных объектов со списком элементов, свободно становящиеся последовательности (последовательности выбора, каждый член которых может быть эффективно доступен), интуиционистские виды (свойства, которыми могут обладать объекты исследования). Свободно становящиеся последовательности различают в зависимости от степени информации, известной исследователю. Если закон формирования последовательности известен полностью, то её называют заданной законом, если известен только начальный отрезок — беззаконной. Виды строятся в иерархию, когда элементы вида определяются независимо от самого вида, что позволяет избегать антиномий. Виды редко являются объектами исследования, большинство результатов интуиционистской математики можно получить без их использования.

Интуиционистская логика — одна из наиболее важных ветвей неклассической логики, имеющая своей филос. предпосылкой программу интуиционизма. Выдвигая на первый план математическую интуицию, интуиционисты не придавали большого значения систематизации логических правил. Только в 1930 голландский математик и логик А. Рейтинг — ученик создателя интуиционизма Л.Э.Я. Брауэра — дал аксиоматическую формулировку И.л., подчеркнув, что «интуиционизм развивается независимо от формализации, которая может идти только по следам математической конструкции». В И.л. не действует закон исключенного третьего, а также ряд др. законов классической логики, позволяющих доказывать существование объектов, которые невозможно реализовать или вычислить. В числе таких законов — закон (снятия) двойного отрицания и закон приведения к абсурду.

Отбрасывание закона исключенного третьего не означает принятия отрицания этого закона; напротив, И.л. утверждает, что отрицание отрицания этого закона (его двойное отрицание) является верным. Отбрасывание не должно пониматься так же, как введение какого-то третьего истинностного значения, промежуточного между истиной и ложью.

В классической логике центральную роль играет понятие истины. На его основе определяются логические связки, позволяющие строить сложные высказывания. В И.л. смысл связок задается путем указания тех необходимых и достаточных условий, при которых может утверждаться сложное высказывание.

Если р и q — некоторые высказывания, то их конъюнкцию (р и q) можно утверждать, только если можно утверждать как p, так и q. Дизъюнкцию (р или q) можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать хотя бы одно из высказываний р и q. Математическое высказывание р можно утверждать только после проведения некоторого математического построения с определенными свойствами; соответственно отрицание р можно утверждать, если и только если имеется построение, приводящее к противоречию предположение о том, что построение р выполнено. Понятие противоречия здесь принимается в качестве неопределяемого, практически противоречие всегда можно привести к форме 1 = 2. Импликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически дает построение q.

Интуиционистское понимание логических связок таково, что из доказательства истинности высказывания всегда можно извлечь способ построения объектов, существование которых утверждается.

И.л. является единственной из неклассических логик, в рамках которой производилась достаточно последовательная и глубокая разработка многих разделов математики. Эта логика позволяет тонко и точно исследовать трудный и важный вопрос о характере существования объектов, исследуемых в математике.

Идеи, касающиеся ограниченной приложимости законов исключенного третьего, снятия двойного отрицания, редукции к абсурду и связанных с ними способов математического доказательства, разрабатывались русский математиками А.Н. Колмогоровым, В.И. Гливенко, А.А. Марковым, Н.А. Шаниным и др. В результате критического переосмысления основных принципов И.л. возникла конструктивная логика, также считающая неправильным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.(5)

Для более ясной формулировки интуиционизма последователь Л. Э. Я. Брауэра А. Гейтинг создал интуиционистскую логику.

При построении интуиционистской математики обычные логические связки, употребляемые для формулировки математических суждений, истолковываются способом, отличным от классического. Любое суждение считается осмысленным, только если оно выражает возможность некоторого умственного построения, и считается истинным, только если исследователю удалось выполнить соответствующее построение. Так, утверждение, начинающееся с квантора существования, означает наличие способа мысленного построения искомого объекта. Дизъюнкция суждений A и B означает возможность непосредственно указать среди этих суждений верное. С этой точки зрения, суждение вида может и не быть истинным, если проблема A не решена к настоящему времени. Отсюда видно, что закон исключённого третьего неприемлем в интуиционистской математике в качестве логического принципа.

Соотношение теоретико-множественной, интуиционистской и конструктивной математик с точки зрения допускаемых логических средств и абстракций может быть охарактеризовано следующей таблицей:

Отказ от абстракции актуальной бесконечности провозглашался как один из принципов интуиционизма, в то же время, А.А. Марковым впоследствии было показано, что использование принятого в интуиционизме аппарата построений на деле означает привлечение абстракции актуальной бесконечности.
Эффективность в интуиционизме понимается достаточно широко, она не обязательно связана с наличием алгоритма в точном понимании этого термина и может носить, например, характер исторического наступления события, зависеть от фактического решения проблем, от физических факторов.

3. Объекты исследования

Объектами исследования интуиционистской математики являются прежде всего конструктивные объекты, такие, как натуральные числа, рациональные числа, списки конструктивных объектов. Кроме того, характерной чертой интуиционизма, отличающей его от конструктивной математики, является рассмотрение свободно становящихся последовательностей математических объектов (то есть неограниченно продолжающихся и не управляемых никаким заранее определённым законом процессов выбора таких объектов). Рассмотрение свободно становящихся последовательностей связано с привлечением абстракции актуальной бесконечности (отказ от которой в интуиционизме, таким образом, не является абсолютным).

Примечателен тот факт, что, несмотря на общепринятую в философии математики точку зрения, интуиционист А. Гейтинг вместе с другими последователями школы Л. Э. Я. Брауэра признает объективность математических истин, их включенность в структуру действительности, но, говорит он, описание того, каким именно образом математические истины включены в реальность, математики дать не в состоянии. Таким образом, можно вполне определенно утверждать наличие реалистических установок в интуиционистском понимании природы математического знания в целом.

Требование интуитивной ясности используемых понятий и проводимых конструкций приводит к тому, что некоторые разделы традиционной математики приобретают в интуиционизме весьма необычный вид. Числовой континуум трактуется не как совокупность отдельных точек, а как «среда становления», поток измельчающихся рациональных интервалов. Каждое отдельное интуиционистское вещественное число определяется как свободно становящаяся последовательность неограниченно уменьшающихся вложенных друг в друга рациональных интервалов. В рассуждениях об интуиционистском числовом континууме (и вообще, в интуиционистской теории потоков) применяется ряд тесно связанных с представлением о свободном становлении логических принципов, основным из которых является бар-индукция. Это позволяет, в частности, утверждать, что всякая интуиционистская вещественная функция, определённая на отрезке, равномерно непрерывна.

Рецепция принципов и методов интуиционизма в других направлениях математики

Сторонники интуиционизма не связывают свои воззрения с какими бы то ни было логическими системами. Так, один из виднейших интуиционистов А. Гейтинг утверждал, что «логика — не та почва, на которой мы стоим», и что формализовать можно лишь завершённую часть интуиционистской математики (развивающиеся же её части могут потребовать существенного пересмотра используемых логических средств). В конце жизни он даже высказывал сожаление, что его известность связана в значительной степени с предложенной им системой логических правил, допустимых с точки зрения интуиционизма уже ввиду их формы. Дело в том, что в исследовании этой системы (получившей известность под неточным названием «интуиционистского исчисления высказываний») приняли значительное участие и математики, не разделявщие взглядов интуиционизма, и пытавшиеся сводить всё его содержание к набору логических правил Гейтинга. В настоящее время мнение о возможности такого сведения является одним из основных математических предрассудков, касающихся интуиционизма.

Тем не менее, исследования интуиционистского исчисления высказываний и основанных на нём формальных теорий представляют и самостоятельный интерес. В частности, была открыта топологическая интерпретация этого исчисления (А. Тарский) и его интерпретация в виде исчисления задач (А. Н. Колмогоров). Была доказана независимость логических связок и невозможность представления интуиционистской логики высказываний в виде конечнозначной логики (К. Гёдель). А. Гейтинг описал интуиционистское арифметическое исчисление, которое получается, если классическое арифметическое исчисление рассматривать на базе интуиционистского исчисления предикатов.

Для исчисления предикатов и арифметического исчисления Колмогоров и Гёдель предложили погружающую операцию классического исчисления в негативный фрагмент соответствующего интуиционистского исчисления (позволяющую, в частности, сводить вопрос о непротиворечивости классического исчисления к аналогичному вопросу для соответствующего ему интуиционистского). Были установлены свойства интуиционистской дизъюнкции и существования, состоящие в том, что если выводимо предложение , то для некоторого терма t выводимо A(t), и если выводимо предложение , то выводимо одно из предложений A и B.

В 1945 году С. К. Клини предложил новый вариант интуиционистского понимания арифметических суждений, основанный на развитой в 1930-е годы теории алгоритмов и получивший известность под именем рекурсивной реализуемости. Дальнейшая разработка этого понимания и связанных с ним идей в научной школе А. А. Маркова привела к возникновению современной конструктивной математики.

В трактовке теории множеств не делается различие между абстрактными объектами и объектами, существование которых можно подтвердить построением. В классической математике на бесконечные множества экстраполировали свойства и законы конечных совокупностей. При этом не существует способа эффективного построения объектов, что находит своё отражение в так называемых «теоремах чистого существования». Отсутствие возможности построения не имеет связи с антиномиями теории множеств и относится ко всем разделам математики. Значительное влияние друг на друга оказали концепции формализма и интуиционизма. Содержательные критерии метаматематики, необходимые для обоснования непротиворечивости формальных теорий, обычно уточняются в рамках интуиционизма. В то же время, ряд результатов интуиционистской логики был получен с помощью формализации метода.

В широкой трактовке конструктивное направление математики можно рассматривать как часть интуиционистской математики.

Историческая справка

Критика теории множеств привела к возникновению двух течений: интуиционизма Лёйтзена Эгберта Яна Брауэра и формализма Давида Гильберта. В 1904 году Л. Э. Я. Брауэр подверг развёрнутой критике ряд концепций классической математики. Его внимание привлёк статус существования: можно ли потенциально построить такие объекты исследования как неизмеримое множество действительных чисел, нигде не дифференцируемая функция? Можно ли полагать, что в окружающем мире существуют бесконечные множества объектов?

Интуиционистская математика в идеалистической трактовке Бауэра — это убедительность мысленных построений, не связанная вопросом существования объектов. Другая трактовка — это «наглядная умственная убедительность простейших конструктивных процессов реальной действительности». Бауэр возражал против формализации интуиционизма.

Аренд Гейтинг сформулировал интуиционистское исчисление предикатов и интуиционистское арифметическое исчисление, Альфредом Тарским была открыта топологическая интерпретация, а Андреем Николаевичем Колмогоровым — интерпретация в виде исчисления задач. Понимание в форме рекурсивной реализуемости было предложено Стивеном Коулом Клини и поддержано научной школой Андрея Андреевича Маркова. К 70-м годам XX века было завершено построение теории свободно становящихся последовательностей.(6)

Литература

Гейтинг, А. Интуиционизм/А.Гейтинг// Интуиционизм — М.: Мир, 1965.
Вейль, Г.О. О философии математики/ Г.О. Вейль// О философии математики — М.-Л.: ГТТИ, 1934.

3. Клини, С.И. Основания интуиционистской математики с точки зрения теории рекурсивных функций /С.И. Клини, Р. Е. Весли//Основания интуиционистской математики. Пер. с англ. — М., Наука, 1978. —С. 272.

4. Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1969—1978

5. Ивина, А.А. Философия: Энциклопедический словарь/А.А. Ивина. // Философия: Энциклопедический словарь — М.: Гардарики, 2004. – С.12-20.

6. Виноградов, И. М. Интуиционизм / И. М. Виноградов //Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 2.

Интуиционистская логика