История математики Индии
Введение
Первые индийские
Важнейшими достижениями индийской математики являются создание арифметики на основе десятичной позиционной системы счисления, разработка тригонометрии, создание развитой алгебраической символики.
В наше время многие открытия тех веков получили наивысшее признание. Многие школьные пособия полностью строятся на основании тех знаний, которые были выявлены тогда.
Сама по себе история индийской
математики очень интересна и
захватывающая. Так как в расцвет
науки параллельно шли
История появления в Индии математики.
Еще в середине III тысячелетия до н. э. в долине Инда существовала развитая цивилизация, одним из центров которой был город, раскопанный вблизи холмов Мохенджо-Даро. Эта цивилизация, основанная первоначальным населением Индии, во II тысячелетии до н. э. была разрушена арийскими племенами, пришедшими с Гималаев. Потомками первоначального населения Индии являются дравиды Южной Индии. Завоеватели, создали рабовладельческие государства в I тысячелетии до н. э. В этих государствах велась борьба за власть, нередко вспыхивали восстания угнетенных сословий и каст. В I тысячелетии до н. э. появляются священные книги брахманов «Веды» («Знания»), К VII—V вв. до н. з. относятся первые индийские письменные математические памятники.
В V в. до н. э. в Индии возникает новая религия —буддизм, отражавшая недовольство угнетенных слоев. Не позже IX в. до н. э. была установлена связь Индии с Вавилоном. Долгое время идет борьба за власть. Не смотря ни на что, люди ученые пытаются делать научные открытия, писать книги, выводить различные предположения в разных областях.
В VIII в. многовековая борьба между буддизмом и древней индийской религией заканчивается победой последней. Буддисты изгоняются из Индии и уходят в другие страны.
В это же время Северная Индия подвергается нападениям мусульманских завоевателей. В XI в. Северную Индию захватывает Махмуд Газневи.
После опустошительных войн в Северной Индии центр науки и культуры переносится в Южную Индию. Здесь работают математики и астрономы Магавира (IX в.), Шридхара (IX—X вв.), Бхаскара (XII в.), На-райана (XIV в.), Нилаканта (XV—XVI вв.).
Последним ярким событием
научной жизни Индии перед
ее завоеванием европейцами
Большинство научных трактатов индийцев написаны на санскрите — языке религиозных книг брахманов. Этот язык объединял многочисленные народы Индии, говорившие на различных языках. Только в XVII в. индийцы стали писать научные трактаты на разговорных языках: анонимный южно-индийский трактат «Йукти бхаша» («Разъяснение математики») написан на языке малайском,а астрономические таблицы Савай Джай Сингха — на распространенном в Северной Индии персидском языке.
К сожалению, сведения о математике древней и средневековой Индии весьма неполны и о некоторых этапах развития индийской математики можно судить только предположительно. Некоторые сведения о математике древней Индии черпаются из комментариев к священным книгам брахманов «Веды». В одной из таких книг, относящейся к VII—V вв. до н. э., «Шулвасутра» («Правила веревки») излагаются Способы построения алтарей и связанные с ними вычисления.
Крупнейшему индийскому математику XII в. Бхаскаре принадлежит трактат «Сиддханта-широмани» («Венец учения»), переписанный в XIII в. на полосках пальмовых листьев. Этот трактат состоит из четырех частей, из которых «Лилавати» («Прекрасная») посвящена арифметике, а «Биджаганита» — алгебре, остальные две части астрономические. Название «Лилавати» относится то ли к дочери ученого, к которой автор обращается с задачами, то ли к самой арифметике.
Индийская нумерация
Счет целых чисел в Индии с древних времен носил десятичный характер. Санскрит — индоевропейский язык, родственный индоевропейским языкам Европы (для сравнения приведем числительные 1 — эка, 2 — дви, 3 — три). В названиях чисел применялся и аддитивный и субстрактивный принципы; например, 19 можно было назвать и «навадаша», (девять-десять) и «экауна — вимсати» (без одного двадцать).
Одной из первых нумераций, применявшихся в Индии, были цифры «карошти», которыми пользовались в Северной Индии со времени персидского завоевания до III в. н. э. вместе с сирийским письмом. Цифры карошти были во многом похожи на финикийские: числа записывались справа налево, знаки для 1 и 10 были весьма близки к финикийским, имелся знак для 20, представляющий собой соединение двух знаков для 10, и знак для 100, который, как и в финикийской нумерации, не повторялся, а справа от него записывалось число сотен. Однако, в отличие от финикийских цифр, здесь употреблялся специальный знак для 4.
Начиная с VI в. до н. э. в Индии были широко распространены цифры «брахми». В отличие от цифр карошти, цифры брахми записывались слева направо, как индийское письмо. Однако в обеих нумерациях было немало общего. Не говоря уже о том, что первые цифры в обоих случаях изображали три палочки, а четвертая — четыре палочки (в случае карошти — в виде креста), общим было то, что до сотни в обоих случаях применялся чисто аддитивный принцип, а начиная с сотен этот принцип соединялся с мультипликативными: в нумерации брахми последний принцип применялся не только к знаку для 100, но и к знаку для 1000.
Следует отметить, что первые три знака в обеих нумерациях совпадают с китайскими; встречалась в Китае и четверка в виде креста. Важным отличием цифр брахми от карошти было (как и в китайских цифрах) наличие специальных знаков для чисел от 1 до 9; возможно, что цифры карошти представляли собой промежуточную стадию между обозначениями чисел от 1 до 9 с помощью повторения знака для 1, применявшимися в Финикии, Вавилоне и Египте, и обозначениями этих чисел с помощью специальных знаков.
Сказал Алхоризми: ''Когда увидел я, что индийцы составляли из 9 букв любое свое число, благодаря расположению, какое они установили, я пожелал раскрыть, если будет угодно Богу, что получается из этих букв для облегчения изучающему.''
Эта особенность цифр брахми стала предпосылкой создания в Индии десятичной позиционной нумерации.
Первая известная нам запись с помощью цифр брахми, в которой применяются только первые девять цифр, а десятки и сотни обозначаются теми же цифрами, что и единицы, относится к VI в. н. э.: это дарственная запись от 595 г. н.э., в которой 346-й год записан цифрами брахми 346. Нуля не было, вместе него на счетной доске оставлялся пустой столбец.
Наряду с цифровой записью в Индии широко применялась словесная система обозначения чисел, этому способствовал богатый по своему словарному запасу санскритский язык, имеющий много синонимов. При этом нуль обозначался словами «пустое», «небо», «дыра»; единица — предметами, имеющимися только в единственном числе: Луна, Земля; двойка — словами «близнецы», «глаза», «ноздри», «губы»; четверка — словами «океаны», «стороны света» и т. д.
Применение позиционного
Но в это же время на судьбу нумерации значительное влияние оказали математики. В области вычислений требовались более удобные системы счисления и Ариабхата предложил записывать цифры санскритскими буквами.
Первое достоверное
Другие (Дж. Иидэм), наоборот, считают, что нуль пришел в Индию с востока, он был изобретен на границе индийской и китайской культур. Обнаружены более ранние надписи от 683 и 686 гг. в нынешних Камбодже и Индонезии, где нуль изображен в виде точки и малого кружка. Те же доводы, что и у Фрейденталя (порядок следования разрядов, запись дробей, переводная литература), могут быть приведены в пользу не греческого, а китайского происхождения нуля.
И а основе цифр брахми выработались современные индийские цифры «деванагари» (божественное письмо), применяющиеся в десятичной позиционной системе, от которой происходят десятичные позиционные системы арабов и европейцев.
Первым свидетельством об индийской десятичной позиционной системе являются слова сирийского христианского епископа Севера Себохта, жившего в одном из монастырей в верховьях Евфрата в VII в. В рукописи 662 г. Себохт писал: ''Я не стану касаться науки индийцев... их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счет производится с помощью девяти знаков''.
Мы называем изобретенные индийцами цифры 1, 2, .., 9 и нуль арабскими, так как заимствовали их у арабов, но сами арабы называли эти цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе —''индийским счетом'' (хисаб ал-Хинд).
Индийские цифры в западноевропейских странах.
С течением времени, так сложилось, у арабов образовались две системы цифр: у западных арабов, культурным центром которых был испанский город Кордова, цифры гобар или пылевые цифры; у восточных арабов, столицей которых являлся город Багдад на реке Тигре (в нынешнем Ираке, вблизи древнего Вавилона), развилась своя цифровая система, близкая к индийской.
Цифровая система западных арабов через университеты и обширные библиотеки в Кордове, Толедо и других испанских городах оказала на развитие арифметической культуры у западноевропейских народов больше влияния, чем восточноарабская нумерация. Западноарабская система письменной нумерации, опиравшаяся на употребление абака, долго обходилась без знака 0. По всей вероятности, от западноарабских цифр возникли апексы Герберта, названия которых: 1—igin, 2— andras, 3—ormis и т. д. — не нашли до сих пор удовлетворительного разъяснения. Немецкий востоковед Руска считает их результатом многократного искажения арабских корней, а профессор Н. М. Бубнов— происшедшими из языка некоего уралоалтайского народа, пришедшего в глубоком прошлом через Кавказ в междуречье Евфрата и Тигра.
В мусульманские университеты
Испании проникали сначала
Крупнейшим переводчиком в XII в. был Герард из Кремоны (Италия). Он 50 лет своей жизни посвятил переводам с арабского на латинский трудов по математике и астрономии, среди которых была алгебра ал-Хорезми.В то же время были сделаны два перевода на латинский язык арифметики ал-Хорезми столь же известными в истории европейской математики переводчиками Аделардом из Бата (Англия) и Иоанном Луна, или Иоанном Севельским (Испания).
Из этих переводов и из переведённых на латинский язык других арабских руководств европейские учёные круги, соприкасавшиеся с мусульманскими научными центрами в Испании, знакомились с индийской математикой.
В XIII в. появилось несколько оригинальных изложений индийской арифметики авторами, которые подготовили почву для её победоносного шествия по всем странам Западной Европы. Упомянутый уже англичанин Джон Холивууд, или Халифакс, известный под именем Сакробоско, написал руководство, которое уже в рукописи имело громадное распространение. Француз Александр де Вилла Деи написал в латинских стихах «Песнь об алгоритме». Итальянский купец Леонардо из Пизы (Фибоначчи) в начале XIII в. составил огромный трактат, хотя и названный «Книга абака», но излагающий, в сущности, индийско-арабскую арифметику, в преимуществах которой он убедился на практике во время своих коммерческих поездок в арабские страны. Книга эта не получила того распространения, которого она заслуживала. Напечатана она была лишь в 1852 г. Среди учёных в церковных кругах индийскую арифметику распространял профессор Парижского университета и генерал одного из монашеских орденов Иордан Неморарий (XIII в.).
В XIII и XIV вв. в европейских
университетах учились уже
Итальянские купеческие круги быстро оценили преимущества индийской нумерации. Пользование ею, непонятною для представителей власти, было запрещено во Флоренции в 1299 г. Хотя после этого бухгалтерские книги велись довольно долгое время в римской нумерации, однако черновые расчёты и проверки уже тогда выполнялись индийскими цифрами.
В других странах индийские цифры весьма медленно проникают в широкие круги населения, встречаясь лишь в отдельных документах XII—XIII вв. (единичные случаи — в конце IX в.). На монетах индийские цифры впервые появляются в 976 г. в Испании, где имелись непосредственные связи с арабами.
Индийские цифры в России
Первой русской печатной книгой математического содержания было «Считание удобное, которым всякий человек покупающий или продающий, может удобно изыскати, число всякие вещи». Напечатана она была в московской типографии в 1682 г. и представляет 50 страниц таблиц умножения. В ней употребляется ещё славянская нумерация. Второе её издание 1714 г. под заглавием «Книга считания удобного ко употреблению всякому хотящему без труда познати цену, или меру какия вещи» (Петербург) напечатано уже гражданским шрифтом и индийскими цифрами.
То обстоятельство, что в счётной таблице, предназначенной служить пособием для простейших житейских расчётов, автор в 1682 г. употребляет церковнославянские цифры, свидетельствует о том, что в конце XVII в. индийские цифры ещё не успели получить достаточного распространения среди широких слоев населения. В старинных русских печатных книгах эти цифры только изредка употребляются для нумерации страниц и гравюр.
В 1647 г. по указу царя Алексея Михайловича в Москве был напечатан в 1200 экземплярах первый русский воинский устав под названием: «Учение и хитрость ратного строения пехотных людей». В этой книге во многих местах в тексте, а на рисунках повсюду употребляются индийские цифры, называемые «цифирными числами».
В дальнейшем нумерация усовершенствовалась и в итоге для постоянного использования в русских кругах закрепились арабские цифры.
Арифметические действия в Индии.
Если наши геометрические
курсы в значительной степени
восходят к греческой математике,
то наша арифметика имеет, несомненно,
индийское происхождение. Именно от
индийской позиционной
К основным арифметическим действиям индийцы относили сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб и извлечение квадратного и кубического корней.
Вычисления индийцы
Сложение и вычитание производились как справа налево, т. е. от низших разрядов к высшим, так и слева направо, от высших разрядов к низшим.
Для умножения существовало
около десятка способов. При основном
способе умножения операцию можно
было начинать как с низшего, так
и с высшего разряда. В процессе
умножения цифры множимого
Индийцы применяли и более удобные приемы умножения. Например,
расчерчивали счетную доску на сетку прямоугольников, каждый из которых разделен по палам диагональю, но сторонам сетки записывали сомножители, а промежуточные произведения писали в треугольниках и складывали их по диагоналям .
При делении делитель подписывался под делимым так, чтобы первые их цифры находились одна под другой, и из цифр делимого, написанных над делителем, вычиталось максимальное кратное делителя, не превосходящее числа, образованного этими цифрами. Затем делитель передвигался на один разряд вправо и таким же образом вычитался из цифр остатка.
Так же существует несколько способов возведения в квадрат и куб. Шридхара в своей «Патиганите» («Искусство вычисления на доске») излагает методы, которые в наших обозначениях можно выразить формулами
Первое описание процесса извлечения квадратного и кубического кирней встречается в Индии еще в V—VI вв. у Ариабхаты.
Индийцы называли корень «пада» — основание, сторона и «мула» — основание; оба эти слова, по-видимому, перевод греческих слов. Поэтому латинские переводчики в XII в. перевели арабское название корня латинским словом radix, откуда и происходят наши термины «корень» и «радикал».
Извлечение квадратного корня в Индии основано на разложении квадрата двучлена, но при этом (как и при извлечении кубического корня) не применялся метод Горнера.
Так как при выполнении арифметических действии приходилось стирать промежуточные выкладки, проводить непосредственно, верны ли окончательные результаты, было невозможно. Для проверки умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня индийцы рекомендовали не обратные операции, а так называемую проверку с помощью девятки, основанную на том, что остаток при делении целого числа на 9 равен остатку при делении на 9 суммы цифр этого числа. Первое описание этого правила применительно к умножению, делению с остатком и извлечению квадратного и кубического корней встречается у Ариабхаты II (X в.). Если мы назовем пробой остаток от деления на 9 суммы цифр данного числа, то, например, при умножении двух чисел произведения должна быть равна произведения множителей. Равенство является только необходимым, но не достаточным условием правильности действия, чего индийцы не отмечают. Проверка с помощью девятки применялась математиками стран ислама, познакомившимися с ней по индийским источникам, а от арабов это правило попало к европейцам. Недостаточность этого правила отмечалась Н. Шюке и Л, Пачоли только в конце XV в.
Дроби
В Индии дроби известны очень давно. Еще в середине II тысячелетия
до н. э. упоминаются такие дроби ардха (1/2), пада (¼), три-пада (3/4) и кала (1/16).
Индийцы записывали дроби так, как это делается в настоящее время: числитель над знаменателем, только без дробной черты. Друг от друга дроби отделялись вертикальными и горизонтальными линиями.
Сложение обозначалось записью дробей рядом. Для обозначения вычитания употреблялись точка или знак + справа, и, например, выражение
изображали в виде
В смешанной дроби ab\c, где а — целая часть, она помещалась над дробью:
Иногда целое число изображали дробью со знаменателем 1. поэтому смешанные дроби представляли в виде:
При умножении дробь записывали рядом:
а при делении — одну под другой:
Как видно, сложение и умножение дробей изображались одинаково.
То же относится к делению целого числа а на дробь b\c , которое записывали:
так же, как смешанную дробь. О смысле подобного рода записей можно было судить по контексту. Правила действий над дробями почти не отличались от современных. Так, Шридхара приводит правила: ''После приведения дробей к общему знаменателю сложи числители'', ''Произведение дробей равно произведению числителей, деленному на произведение знаменателей'', ''Квадратный корень дроби равен квадратному корню числителя, деленному на квадратный корень знаменателя''
Для приведения к общему знаменателю индийские ученые сначала составляли произведение знаменателей всех сомножителей, а начиная с IX в. пользовались уже их наименьшим кратным. Так поступал, папример. Шридхара.
Задачи на пропорпии
В индийских сочинениях встречаются многочисленные задачи па простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, правило товарищества, правило смешения, простые и сложные проценты, прогрессии. Одни задачи имели непосредственное практическое значение, другие составлялись для упражнения и развлечения.
При решении задач, которые выражаются уравнением ах = с, большое место занимало уже знакомое правило одного ложного положения.
В анонимной рукописи VI—VIII вв., найденной близ селения Бахшали в Северо-Западной Индии (так называемая «Бахшалийская рукопись»), это правило применяется также к задачам, приводящимся к уравнению ax + b = c. Решение имеет вид
Еще более широкое применение имело тройное правило (''трой-рашика'' — буквально ''три места''), состоящее в нахождении числа х, составляющего с тремя данными числами a,b,c пропорцию a\b = c\x.
Индийцы пользовались также '' обратным тройным правилом'' ( вьяста — трай — рашика) , когда в задаче вместо прямой пропорциональности указывается обратная. Эти правила также были заимствованы у индийцев учеыми стран ислама, а через них — европейцами. В странах ислама правила были обобщены на любое нечетное число. В Европе эти правила, получившие название цепных правил, находились в центре внимания авторов арифметических руководств.
Алгебра
Как и в Вавилоне и Китае, в Индии высокого расцвета достигли алгебраические вычисления. Алгебру, вместе с решением целочисленных неопределенных уравнений, индийцы называли ''биджаганита'' — ''искусство вычисления с элементами'' или ''авьяктаганита'' — ''искусство вычисления с неизвестными''.
Выдающимся достижением индийских математиков было создание развитой алгебраической символики. Эта символика была даже богаче, чем у Диофанта. Впервые появились особые знаки для многих неизвестных величин, свободного члена уравнения, степеней. Большинство символов представляет собой первые слоги соответствующих санскритских терминов.
Неизвестную величину индийцы называли ''йават-тават'' (столько, сколько), для обозначения неизвестной служила буква, означающая слог ''йа''. Если неизвестных было несколько, то их называли словами, выражающими различные цвета: калака (черный), пилака (голубой), питака (желтый), панду (белый), лохита (красный), а обозначали первыми слогами соответствующих слов: ка, ни, пи, ла, ло. Свободный член в уравнениях сопровождался первым слогом слова «рупа» (целый). Иногда неизвестная обозначалась знаком нуля, так как первоначально в таблицах, например, пропорциональных величин, для нее оставлялась пустая клетка.
Знаки, представляющие собой обозначения первых слогов слов, применялись для основных действий. Сложение обозначалось знаком “йу” (“й-та” — сложенный), умножение — “гу” (“гунита” — умноженный), деление — “бха” (“бхага” — деленный).
Вычитание обозначалось точкой над вычитаемым или знаком + справа от него (например, вычитание 5 обозначалось 5 или 5+). Знаки сложения и умножения часто опускались. В качестве примеров приведем записи
Обозначения степеней представляли собой сочетания слогов ''ва'' (''варга'' — квадрат), ''гха'', (''гхана'' — куб) и слова ''гхата'' — произведение, т. е. степени и неизвестных обозначались:
Квадратный корень обозначался слогом ''му'' — от слова ''мула''. В качестве примеров приведем записи
Знака равенства не было: обе части уравнения писали в две строки так, чтобы одинаковые степени стояли друг под другом. Если неизвестная отсутствовала, то записывали ее знак с коэффициентом нуль. Уравнение 10x -8 = x*x +1 записывается в виде
Символы применялись и в учении о прогрессиях. Первый член обозначается ''а'' от ''ади''—(первый член), разность арифметической прогрессии —''ча'' или ''у'' от ''чайа'' или ''уттара'' (разность прогрессии), число членов - ''па'' или ''га'' от ''пада'' или ''гачха'' (число членов), сумма прогрессии - ''сан'' или ''ган'' от''санкалита'' или ''ганита'' (сумма). Например, в анонимном комментарии к ''Патиганите'' приводится запись
обозначающая
Итак, индийские ученые сделали большой шаг в создании символической алгебры, хотя их обозначения были громоздки, а сами знаки, т. е. сапскритские буквы, имели сложное начертание.
Отрицательные и иррациональные числа
Индийские математики, начиная с Брахмагупты (VII в т э.), систематически пользовались отрицательными числами и трактовали положительное число как имущество, а отрицательное — как долг. Брахмагупта приводит все правила арифметических действий над отрицательными числами. Ему еще не была известна двузначность квадратного корня, но уже в 850 г. Магавира в своей книге ''Ганита-сара-санграха'' (''Краткий курс математики'') пишет: ''Квадрат положительного иди отрицательного — числа положителен, их квадратные корни будут соответственно положительными и отрицательными. Так как отрицательное число по своей природе не является квадратом, то оно не имеет квадратного корня'' . Последние слова Магавиры показывают, что он ставил вопрос и об извлечении корня из отрицательного числа, но пришел к выводу, что эта операция невозможна. Не исключено, что об отрицательных числах индийские ученые узнали в результате контактов с китайской наукой. Прямых свидетельств в пользу такого предположения нет. Во всяком случае, в Индии отрицательные числа не применялись при решении систем линейных уравнений. Индийцы называли . положительные числа ''дхана'' или ''сва'' (имущество), а отрицательные — ''рина'' или ''кшайа'' (долг). Впоследствии этот термин мы встретим в этом же значении в странах ислама (''дайн'' у Абу-л-Вафы) и в Европе (debitum у Леонардо Пизанского).
- История материаловедения
- История матрицы Ансоффа
- История мафии
- История Машзавода, настоящие и перспективы будущего
- История Маши Мироновой (по повести «Капитанская дочка»)
- История МВД
- История меда
- История математики
- История математики
- История математики (3)
- История математики (4)
- История математики в России
- История математики Древнего Египта
- История математики и информатики
