История развития систем счисления на протяжении веков у разных народов

МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ ОРЕНБУРГСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

 

 

 

РЕФЕРАТ С ЭЛЕМЕНТАМИ УИРС

 

 

Тема: «ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

НА ПРОТЯЖЕНИИ ВЕКОВ У РАЗНЫХ НАРОДОВ»

 

 

 

 

Выполнила: Салынская Н.С.

студентка 15 группы,

специальность 31.02.01.«Лечебное дело»

Руководитель: МинихЕ.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

Орск, 2015

 

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Интуитивное представление о числе, по-видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно.

Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. То, что первобытные люди сначала знали только «один», «два» и «много», подтверждается тем, что в некоторых языках, например, в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа.

Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными. Например, слово «три» использовалось только в сочетаниях «три дерева» или «три человека»; представление о том, что эти множества имеют между собой нечто общее – понятие троичности – требует высокой степени абстракции.

О том, что счет возник раньше появления этого уровня абстракции, свидетельствует тот факт, что слова «один» и «первый», равно как «два» и «второй», во многих языках не имеют между собой ничего общего, в то время как лежащие за пределами первобытного счета «один», «два», «много», слова «три» и «третий», «четыре» и «четвертый» ясно указывают на взаимосвязь между количественными и порядковыми числительными.

Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались. Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов.

 Счет  на бирках, по-видимому, был первым  приемом, который использовался  в подобных случаях: зарубки на  бирках располагались определенными  группами подобно тому, как при подсчете избирательных бюллетеней их часто группируют пачками по пять или десять штук.

Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.

Важная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово «двадцать три» – не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий «два раза по десять и три». Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах. По той же причине использовались основания пять или двадцать. На очень ранних стадиях развития истории человечества за основания системы счисления принимались числа 2, 3 или 4; иногда для некоторых измерения или вычислений использовались основания 12 и 60.

Считать человек начал задолго до того, как он научился писать, поэтому не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствовавших о тех словах, которыми в древности обозначали числа. Для кочевых племен характерны устные названия чисел, что же касается письменных, то необходимость в них появилась лишь с переходом к оседлому образу жизни, образованием земледельческих сообществ.  Возникла и необходимость в системе записи чисел, и именно тогда было заложено основание для развития математики.

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами - они с нами везде. Различные системы счисления используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчётах, начиная с вычислений учениками младших классов, выполняемых карандашом на бумаге, заканчивая вычислениями, выполняемыми на суперкомпьютерах. Поэтому эта тема для меня очень интересна, и мне захотелось узнать об этом больше.

 

 

АКТУАЛЬНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ

Наша жизнь немыслима без цифр. Но мы никогда не задавали себе вопрос, откуда появились цифры? Почему мы пользуемся только: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0? Ответ на этот вопрос нам даст изучение темы «История развития систем счисления на протяжении веков разных народов». Таким образом, изучая данную тему, мы выясним,как возникли системы счисления и каковаих роль в нашей жизни.

Цель работы: изучение истории развития систем счисления разных народов.

Для достижения поставленной цели были поставлены следующие задачи:

• проанализировать научно-методическую литературу по теме исследования;
• выявить отличия позиционных систем счисления от непозиционных?
• определить, какое значение имеют системы счисления в настоящее время.

Объект исследования - «история» развития систем счисления.

Предмет исследования – системы счисления.

Методы исследования:

• анализ существующей литературы по рассматриваемой проблематике (метод научного анализа).
• обобщение и синтез точек зрения, представленных в литературе (метод научного синтеза и обобщения).
• тестирование, опрос.

 

 

 

1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

1.1. Из истории систем  счисления.

Вдревние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности.

Археологами найдены"записи” при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10–11 тысяч лет до н.э.). Ученые назвали этотспособ записи чисел единичной системой счисления.

Человеку издревле приходилось считать различные предметы, нужно было и записывать их количество. Самой первой, вероятно, возникла унарная система записи, при которой числа обозначались соответствующим количеством черточек (или засечек на деревяшке).

Унарная запись получается очень громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа. Появились разные условные обозначения для различных чисел. Например, многие народы использовали в качестве цифр буквы, к которым добавляли специальные значки. На Руси таким знаком было титло:

Но, все равно, число получалось сложением цифр, поэтому система оставалась сложной. Представьте: чтобы пользоваться древнерусской системой счисления, нужно было знать числовое значение 30 букв, а еще — несколько особых символов, увеличивавших это значение ("тысяща", "тьма", значков). Вычисления же в таких системах были вообще чрезвычайно затруднены.

Простейшая и самая древняя – так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел (т.е. кодирования) используется один символ: палочка, узелок, зарубка, камушек …

На пальцах считать удобно, только результат счета хранить нельзя. Не станешь же целый день ходить с загнутыми пальцами. И человек догадался: для счета можно использовать все, что попадется под руку – камешки, палочки, косточки...

Потом стали узелки на веревке завязывать, делать зарубки на палках.

Длина записи при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Сами того не осознавая, этим кодом пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст. Именно унарная система счисления до сих пор вводит детей в мир счета.

Позже при счете начали пользоваться абаком. Абаком называлась дощечка, покрытая слоем пыли, на которой острой палочкой проводились линии и какие-нибудь предметы, размещавшиеся в полученных колонках по позиционномупринципу.

В Древнем Риме абак появился, вероятно в V-VI вв н.э., и назывался calculi   или abakuli. Изготовлялся абак из бронзы, камня, слоновой кости и цветного стекла.

Китайская разновидность абака - суань-пань - появилась в VI веке н.э.;  
современный тип этого счётного прибора был создан позднее, по-видимому, в XII столетии.

Суань-пань представляет собой прямоугольную раму, в которой  
параллельно друг другу протянуты проволоки или веревки числом от девяти и более; перпендикулярно этому направлению суань-пань перегорожен на две неравные части. В большом отделении ("земля") на каждой проволоке нанизано по пять шариков, в меньшем ("небо") - по два. Проволоки соответствуют десятичным разрядам

Французский математик BlaisePascal (1623-1662) сконструировал счетное устройство, которое позволяло суммировать десятичные числа. Внешне оно представляло собой ящик с многочисленными шестеренками.

Англичане Роберт Биссакар, а в 1657 году - независимо от него - С.Патридж разработали прямоугольную логарифмическую линейку.

У разных народов существовали разные системы счисления.

Системой счисления называют совокупность символов (цифр) и правил их использования для представления чисел.

В старину на Руси широко применялись системы счисления, отдаленно напоминающие римскую. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради.

В римской системе счисления появилась одна новая идея: хотя там тоже для обозначения чисел использовали буквы (1 — I, 5 — V, 10 — X, 50 — L, 100 — C, 500 — D, 1000 — M), но роль их зависела от порядка записи (значение могло не только прибавляться, но и вычитаться). Развитие этой идеи привело к появлению современных позиционных систем счисления.

1.2. Изобретение десятичной  системы счисления

Древние греки построили геометрию, которую до сих пор изучают в школе. Они сумели доказать важнейшие теоремы, но считать они не умели.

В древнем Риме придумали "римские цифры", но выполнять арифметические действия над ними - безнадежно.

Крупнейшим событием в развитии человечества является изобретение позиционной системы счисления. Появилась эта система, вероятно, в Индии. В этой системе значение цифры зависит от позиции, которую цифра занимает в числе (отсюда и название позиционная).

Так, например, в десятичной системе счисления первая цифра справа указывает число единиц, следующая - число десятков и т.д.

Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Десять пальцев рук – вот аппарат для счета, которым человек пользуется с доисторических времен. Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 – углов нет, 1 – один угол, и т. д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

            Исторически десятичная система  счисления сложилась и развивалась  в Индии. Европейцы заимствовали  индийскую систему счисления  у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное  название удерживается и сейчас. Возникновение и развитие десятичной  системы счисления явилось одним  из важнейших достижений человеческой  мысли (наряду с появлением письменности).

Серьезным соперником десятеричной системы счета оказалась двенадцатеричная. Вместо десятков применяли при счете дюжины, то есть группы из двенадцати предметов. Во многих странах даже теперь некоторые товары, например, вилки, ножи, ложки, продают дюжинами. В столовый сервиз, как правило, входят 12 глубоких, 12 мелких и 12 маленьких тарелок, а в чайный - 12 чашек, 12 блюдец и т. д. Поэтому о человеке, не похожем на остальных, говорят "недюжинный". А еще в начале 20-ого века в торговле применяли и дюжину дюжин, которую называли "гроссом", то есть "большой дюжиной", и даже дюжину гросс - "массу". Так что, пересчитав предметы в двенадцатеричной системе, можно было сказать: пять гроссов, восемь дюжин и еще шесть картофелин.

Древние люди давно знали путь, по которому проходит Солнце за год по звездному небу. Когда они разделили год на 12 месяцев, то каждую часть этого пути назвали "домом Солнца", а звезды в этих домах объединили в созвездия

           Однако десятичной системой счисления  люди пользовались не всегда. В разные исторические периоды  многие народы использовали другие  системы счисления.

 

1.3. Позиционные и непозиционные  системы счисления

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

1. Единичная

• Алфавит – один знак 1
• Значение числа равно сумме всех единиц
• 111111111

2. Римская

Эта система счисления появилась в Древнем Риме. Первые двенадцать натуральных чисел в римской системе записываются так: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII.

        Примеры записи чисел XXVIII – 28, MCMXXXV – 1935. С этими числами очень  трудно производить арифметические  действия. По этой причине в  настоящее время римская система  счисления используется там, где  это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении  документов (серия паспорта, ценных  бумаг и др.), в декоративных  целях – на циферблате часов, в ряде других случаев.

• Алфавит – семь знаков I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000)
• Значение числа равно сумме больших чисел и разности малых чисел, предшествующих большим числам  
• MCMXCVIII

Впервые идея позиционной системы счисления возникла в древнем Вавилоне, Индии и Китае.

В позиционных системах счислениявес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•102 + 5•101 + 7•100 + 7•10-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения:an-1qn-1 + an-2qn-2+ ... + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + ... + a-mq-m,

где ai – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Под позиционной системой счисления обычно понимается b-ричная система счисления, которая определяется целым числом b> 1, называемым основанием системы счисления. Целое число x в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b:

,

где ak — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству .

Каждая степень bk в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя k (номером разряда). Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра an − 1 в b-ричном представлении x была также ненулевой.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число x записывают в виде последовательности его b-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

• 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);
• 3 — троичная;
• 4 — четверичная;
• 10 — десятичная (используется повсеместно);
• 12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами);
• 16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике, а также в шрифтах;
• 60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).

1.4.  Какие системы счисления  используют специалисты для работы  с компьютером?

         Перед математиками и конструкторами  в 50-х встала проблема отыскания  таких систем счисления, которые  отвечали бы требованиям, как  разработчиков ЭВМ, так и создателей  программного обеспечения. Одним  из итогов этих исследований  стало значительное изменение  представлений о системах счисления  и о методах вычислений. Оказалось, что арифметический счет, которым  человечество пользуется с древнейших  времен, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и  на удивление эффективно.

Специалисты выделили так называемую “машинную” группу систем счисления и разработали способы преобразования чисел этой группы.

          К “машинным” системам счисления  относятся:

• Двоичная (используются цифры 0, 1);
• Восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);
• Шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

          Официальное рождение двоичной  арифметики связано с именем  Г.В. Лейбница, опубликовавшего в  1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.

1.5 Почему люди используют  десятичную систему счисления, а  компьютеры - двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную?

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае,например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления. А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;
• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
• двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чиселв двоичную системуочень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой(четверкой цифр).

Например:

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.Например,

1.6. Системы счисления  разных народов

Древнеегипетская система счисления

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э. Для обозначения чисел 0, 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 использовались специальные цифры. Иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно простой сумме значений цифр, участвующих в его записи. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека.

В основе древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Ученые относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи. Однако их операции с дробями продолжали оставаться на примитивном уровне, так как они знали лишь аликвотные дроби (т.е. дроби с числителем 1) и каждую дробь записывали в виде суммы аликвотных дробей, например, дробь 2/43 они записали бы так: 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. В этих системах счисления над символом, обозначающим знаменатель, ставился специальный знак. В искусстве оперирования дробями египтяне значительно уступали жителям Месопотамии.

Вавилонская система счисления.

Особый интерес представляет так называемая “вавилонская”, или шестидесятеричная система счисления, существовавшая в Древнем Вавилоне. Мнение историков по поводу того, как именно возникла эта система счисления, расходятся. Существуют две гипотезы. Первая исходит из того, что произошло слияние двух племен, одно из которых пользовалось шестеричной, другое – десятичной. Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса. Суть второй гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что связано с числом 60. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например, 1 час = 60 минутам. В целом шестидесятеричная система счисления громоздка и неудобна.

            В Древнем Вавилоне примерно  за сорок веков до нашего  времени создалась поместная (позиционная) нумерация, т.е. такой способ изображения  чисел, при которой одна и та  же цифра может обозначать  разные числа в зависимости  от места занимаемого этой  цифрой. Наша современная нумерация  тоже поместная: в числе 52 цифра 5 обозначает пятьдесят, т.е. 5*10, а в  числе 576 эта же цифра обозначает  пятьсот, т.е. 5*10*10. В вавилонской  поместной нумерации ту роль, которую у нас играет число 10, играло число 60. Числа, меньшие 60 обозначались  с помощью: для единицы и для  десятка.

Привычное нам деление часа и углового или дугового градуса на 60 минут, а одной минуты – на 60 секунд берет начало от вавилонской системы счисления.

Во многих календарях считалось, что год состоит из 360 - то есть шести шестидесятков - дней. Встречается это число и в древних сказаниях. Но самое удивительное то, что следы счета шестидесятками сохранились до наших дней. Ведь до сих пор мы делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Окружность делят на 360, то есть 6*60 градусов, градус - на 60 минут, а минуту - на шестьдесят секунд. Так что самые точные часы и угломерные приборы хранят в себе память о глубочайшей древности.

Алфавитные системы счисления

Алфавитные системы счисления представляют особую группу. В них для записи чисел использовался буквенный алфавит. Примером алфавитной системы счисления является славянская. У одних славянских народов числовые значения букв устанавливались в порядке следования букв славянского алфавита, у других, в частности у русских, роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак – “титло”. Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах.

 Алфавитная  нумерация преобладала до XVIII в., хотя арабская нумерация употреблялась  в отдельных случаях гораздо  раньше (в грузинской литературе  такие случаи восходят к X- XI вв.; в памятниках армянской математической  литературы они установлены пока  только для XV в.). В Армении алфавитная  нумерация употребляется и сейчас  для обозначения глав в книгах, строф в стихотворениях и т. п. В Грузии алфавитная нумерация  вышла из употребления.

Алфавитная система счисления бала распространена у древних армян, грузин, греков (ионическая система счисления), арабов, евреев, и других народов Ближнего востока.

Еврейская система счисления.

Еврейская система счисления в качестве цифр используются 22 буквы еврейского алфавита. Каждая буква имеет своё числовое значение от 1 до 400. «Ноль» отсутствует. Наиболее часто можно встретить цифры, записанные таким образом в нумерации лет по иудейскому календарю.