История развития тригонометрии

1. История развития тригонометрии.

 

     Тригонометрия, как и любая другая научная  дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человека. Различные задачи астрономии, мореплавания, землемерия, архитектуры привели  к необходимости разработки способа вычисления элементов геометрических фигур по известным значениям других их элементов, найденных путем непосредственных измерений. Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение треугольников»: (тригонон) – треугольник, (метрейн) – измерение.

     Зарождение  тригонометрии относится к глубокой древности. Еще задолго до новой  эры вавилонские ученые умели  предсказывать солнечные и лунные затмения. Это позволяет сделать  вывод о том, что им были известны некоторые простейшие сведения из тригонометрии. Постепенно в геометрии и астрономии установились понятия синуса, косинуса и тангенса угла. По существу, ими оперировали еще древние математики, рассматривая отношение отрезков в треугольниках и окружностях.

     Накопившийся  материал астрономических наблюдений потребовал математической обработки. Одним из основоположников тригонометрии  считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во II в. до н.э. Гиппарх  является автором первых тригонометрических таблиц. Эти таблицы до нас не дошли, но они вошли (в усовершенствованном виде) в сочинение «Великое построение» (Альмагест) знаменитого александрийского астронома Клавдия Птолемея, жившего во второй половине II в. н.э. В этих таблицах, в течение многих веков служивших средством для решения треугольников, давались значения хорд окружности для различных значений соответствующего центрального угла.

     Эти таблицы, говоря современным языком, являются таблицами значений удвоенного синуса половины соответствующего центрального угла. В них были даны значения хорд для всех углов (через каждые полградуса) от 00 до 1800. Однако надо иметь в виду, что в древней Греции тригонометрия не выделялась в самостоятельную науку, а считалась частью астрономии.

     Важный  вклад в развитие тригонометрии был внесен индийской математикой в период V – XII вв. н.э. Индийские математики стали вычислять не полную хорду, как это делали греки, а ее половину (то есть «линию синусов»). Линия синусов именовалась ими «архаджива», что буквально означало «половина тетивы лука». Индийцы составилди таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд, измеренных частями (минутами) окружности для всех углов от 00 до 900 (через каждые ). Эти таблицы были точнее таблиц Птолемея. Об их высокой точности говорит тот факт, что для синуса и косинуса были вычислены значения и , отличающиеся от истинных менее чем на .

     Индийским математикам были известны соотношения, которые в современных обозначениях пишутся так: 

      . 

     В XI – XIII вв. в трудах математиков Средней  Азии, Закавказья, Ближнего Востока  и Индии началось формирование тригонометрии  как отдельной науки. И в дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела способствовали развитию тригонометрии как науки. Особенно усиленно тригонометрия развивалась в средние века, в первую очередь на юго-востоке: в Индии (Ариабхата, Брамагупта, Бхаскара), в Узбекистане, Азербайджане и Таджикистане (Насирад-Дин ат-Туси, ал-Каши, ал-Бируни), в Арабии (Ахмад, ибн-Абдаллах, ал-Баттани). Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насирад-Дину Муххамаду ат-Туси (1201 – 1274), написавшему «Трактат о полном четырехугольнике». Работы ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела математики. Однако в их трудах еще не было необходимой символики, и поэтому развитие тригонометрии происходило медленно.

     С XV в. и в Европе появляются работы, посвященные вопросам тригонометрии. Немецкий ученый Иоганн Мюллер (1436 – 1476), известный в науке под именем Региомонтан, издал труд «Пять книг о треугольниках всех видов», сыгравший важную роль в развитии тригонометрии. В нем дано систематическое изложение тригонометрии как самостоятельной научной дисциплины. Региомонтан составил таблицы синусов с точностью уже до . В его таблицах радиус круга принимался за вместо числа кратного 60, то есть по сути был совершен переход от шестидесятиричной системы измерения к десятичной. В 1595 г. появился труд Варфоломея Питискуса «Тригонометрия, или Краткий обзорный трактат о решении треугольников».

     В XV – XVII в. в Европе было составлено и  издано несколько тригонометрических таблиц. Над их составлением работали крупнейшие ученые: Н. Коперник (1473 – 1543), и. Кеплер (1571 – 1630), Ф. Виет (1540 – 1603) и др. В России первые тригонометрические таблицы были изданы в 1703 г. при участии Л.Ф. Магницкого.

     Таким образом, тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций числового аргумента, основа аналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.

     Современный вид тригонометрия получила в  трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (1707 – 1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа – величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу («тригонометрический круг» или «единичная окружность»). Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения. Именно в его трудах впервые встречаются записи . Он также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.

     Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое  Эйлером, получило завершение в трудах великого русского ученого Н.И. Лобачевского.

Современная точка зрения на тригонометрические функции как на функции числового аргумента во многом обусловлена развитием физики, механики, техники. Эти функции легли в основу математического аппарата, при помощи которого изучаются различные периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, движения механизмов, колебание переменного электрического тока.

2. Содержание и анализ материала по тригонометрии в различных школьных учебниках

     Тригонометрия традиционно является одной из важнейших  составных частей школьного курса  математики. Анализ материала, посвящённого решению тригонометрических уравнений и неравенств, в учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов под ред. А.Н.Колмогорова и в учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов авторов Ш.А. Алимова и др. свидетельствует, что различные виды тригонометрических задач представлены в пособиях по математике для средней школы.

Рассмотрим  содержание материала по тригонометрии  изложенного в различных учебниках  по математике за курс 10 – 11 класс средней  школы, с целью его сравнения, анализа и формирования наиболее приемлемой методики внедрения данной темы в школьном курсе математики. 

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11

     Учебник разбит на 8 глав. В конце изучения каждой главы чётко обозначены основные результаты изучения. Курс изучения математики в 10 классе начинается с изучения главы «Тригонометрические функции». Здесь автор вводит понятия тригонометрической окружности на координатной плоскости, понятия синус и косинус, основные тригонометрические соотношения с ними связанные, решения простейших уравнений по тригонометрической окружности. Как таковые формулы приведения вводятся после изучения тригонометрических функций углового аргумента. Далее рассматриваются свойства и графики тригонометрических функций. Во второй главе «Тригонометрические уравнения» подробно рассматривается решение каждого простейшего тригонометрического уравнения, на основе ранее введенных понятий арксинуса, арккосинуса, арктангенса. В этой же главе рассмотрены такие методы решения: разложение на множители и введение новой переменной; метод решения однородных тригонометрических уравнений. Другие методы решения рассматриваются после изучения третьей главы «Преобразование тригонометрических выражений».

Здесь схема изучения выглядит следующим  образом: функция → уравнения → преобразования. 

     С точки зрения применения учебник  Мордковича удобен для самостоятельного изучения учащимися, т.к. он содержит сильную  теоретическую базу. Изложение теоретического материала ведётся очень подробно. В условиях острой нехватки часов для проведения занятий в классе возрастает значение самостоятельной работы учеников с книгой. Опираясь на учебник, учитель прекрасно разберётся в том, что надо рассказать учащимся на уроке, что заставить их запомнить, а что предложить им просто прочесть дома.  

Колмогоров  А.Н. Алгебра и начала анализа

     Учебник содержит 4 главы. Схема изучения радикально отличается от предыдущих, т.к. сначала  рассматриваются тригонометрические функции числового аргумента  и основные формулы тригонометрии. В этой же первой главе, но несколько позже, рассматриваются основные свойства тригонометрических функций, их графики и их исследование. После этого вводятся понятия арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и «параллельно» с этим решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

     Таким образом, схема изучения выглядит так: преобразования → функции → уравнения.

     Легко заметить, что материал, относящийся к тригонометрии, изучается не единым блоком, учащиеся не представляют себе весь спектр применения тригонометрического материала, дробление на отдельные темы приводит к тому, что тригонометрия изучается в течение нескольких лет. Вместе с тем, количество задач по тригонометрии в ЕГЭ, олимпиадах различного уровня увеличивается год от года. Именно по этой причине каждому учителю необходимо обратить особое внимание  на подготовку учащихся к решению задач из этого раздела математики. Для удобства работы, предлагаю ввести классификацию задач по тригонометрии на основании тем в школьной программе.

3. Классификация задач по тригонометрии. Примеры решения задач.

 

3.1.Преобразование тригонометрических выражений. Нахождение значений выражений. 

1. Каково  максимальное значение выражения 

sin a cos b + sin b cos c + sin c cos d + sin d cos a  для действительных a, b, c, d?

Решение:

Выражение sin a cos b + sin b cos c + sin c cos d + sin d cos a можно  рассмотреть как скалярное произведение 4-мерных векторов с координатами (sin a, sin b, sin c, sin d) и (cos b, cos c, cos d, cos a). По неравенству  Коши-Буняковского, скалярное произведение векторов не превосходит произведения их модулей. Значит:

Применив  теперь неравенство между средним  геометрическим и средним арифметическим, получим:

Ответ: 2 

   2.Найти значение выражения (

Решение: Воспользуемся формулами и , где

, , тогда , , так как угол принадлежит первой четверти, а . Найдем ( = ,  = = .Сложив результаты получаем ответ +

Ответ: +

     3. Найдите значение выражения , если .

Решение: Разделим и числитель, и знаменатель  дроби на .Получим

Ответ: -1

     4. Найдите значение выражения , если

Решение: -1= 99,  =  

Ответ: -

      5. Какое наименьшее значение может принять выражение cos(2x) – 2cos(x)? 

Решение: преобразуем выражение из условия задачи

где t = cos(x). Квадратный трехчлен относительно t имеет положительный старший коэффициент и, следовательно, принимает свое наименьшее значение при t = – координата вершины. Вычислим . Подставим в , получим . Итак, выражение из условия задачи при cos(x) = принимает свое наименьшее значение, равное .

Ответ: -3/2 

      6. Вычислите . 

Решение: рассмотрим функцию f(x) = arccos(cos(x)). Заметим, что f(x) периодична с периодом , т.к. .

      Вычислим  несколько первых слагаемых требуемой  суммы.

Сумма этих шести слагаемых равна  . Далее слагаемые будут повторятся, т.к. arccos(cos(x)) периодичная функция. Всего в сумме 300 слагаемых, период состоит из 6 слагаемых, т.о. слагаемые разбиваются на 300/6 = 50 периодов. Сумма слагаемых в каждом периоде . Итого ответ .

      Окончательный результат следует не забыть поделить на , которое написано как общий делить перед всей суммой.

 

Ответ: 150

      7. Найдите ,  если  .      

Решение: воспользуемся соотношениями  .

Тогда получим: 

Ответ:

      8. Докажите, что если α, β, γ - углы произвольного треугольника, то справедливо тождество cos2α + cos2β + cos2γ + 2 cosα cosβ cosγ = 1 

Решение: преобразуем выражение в левой части равенства, учитывая, что α + β + γ = π, и применяя формулы: cos2x = (1 + cos2x)/2, cosx = - cos(π - x), cosx + cosy = (2cos((x + y)/2))cos((x - y)/2), получим справедливое тождество.

      9. Вычислить значение выражения:

Решение: используя формулы приведения, получим:

Ответ: 0 

3.2 Тригонометрические  уравнения

      1. Решите уравнение:  sinx - cosx + sin2x + 1 = 0

Решение:

Пусть

тогда

Уравнение примет вид:

или

(1) не  имеет решений, т.к. 

(2)

Ответ:

      2. Решить уравнение:  

  3. Сколько корней имеет уравнение ? 

Решение: Для решения задачи сначала произведем замену t = 3x. Уравнение примет вид . Его количество корней совпадает с количеством корней исходного уравнения, поэтому остановимся на поиске количества корней нового уравнения. Нарисуем графики функций y = sin t и в одной системе координат.

     График  функции  проходит через точки A( ; -1) и B( ; 1). Корни уравнения соответствуют точкам пересечения графиков функций. Из рисунка видно, что пересечения следует искать только на отрезке [ ; ].  Подсчет количества точек пересечения дает ответ: 19. 

Ответ: 19

 

      4. Найдите, при каких значениях острого угла уравнение

(2cos -1) - 4x + 4cos + 2 = 0 будет иметь два действительных положительных корня?

Решение: Раз корни этого уравнения положительны, положительной будет и их сумма, которая по теореме Виета равняется:

Дискриминант  должен быть положительным, значит

 D=16-8(2 cos -1)(2 cos +1)=16-8(4 cos2 -1)=24-32 cos2 >0

Отсюда

Таким образом получаем

Ответ:

      5. Решить уравнение

Решение: С учетом известной формулы исходное уравнение можно преобразовать к виду . Область допустимых значений левой части полученного уравнения имеет вид : . Кроме этого необходимо учесть тот факт, что значения левой части уравнения (функции ) лежат в интервале , т.е. являются неотрицательными. Поэтому и значения правой части должны быть неотрицательными, что дает дополнительные условие . Окончательно: x . Далее для решения уравнения обозначим и применим к обеим частям уравнения функцию косинус:

.

Восстанавливая  обозначения  , получим:

Решая последнее уравнение, получим множество  его корней . Первые два корня являются посторонними.

Ответ:

6.Решить уравнение при всех доступных значениях параметра b

  . В ответ записать только решения уравнения ( без указания соответствующих значений параметра)

Решение:

Установим ОДЗ правой части уравнения  и выделим в правой части полный квадрат

Откуда  видно, что правая часть уравнения  не меньше 8.Левая часть уравнения  не превосходит 9, т.к. косинус не превосходит 1 по модулю. Причем равенство двух частей достигается при условии b=4 и   

{

Решая последнюю систему при b=4 получаем и . Выразим из этих условий x, получим

Сист.

Теперь  найдем зависимость между k и n:

Заметим, что при n=0 и n=-1 , а x=6

Ответ: -2,6

     7. Решить уравнение  .  

Решение: оскольку , , то левая часть не превосходит и равна , если

     Для нахождения значений , удовлетворяющих обоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим одно из них, затем среди найденных значений отберем те, которые удовлетворяют и другому.

     Начнем  со второго: , . Тогда , .

     Понятно, что лишь для четных будет .

     Ответ: .

     8. Решить уравнение .  

     Решение: рассмотрим уравнение на трех промежутках.

     а) Пусть  . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению . Которое на промежутке решений не имеет, т. к. , , а . На промежутке исходное уравнение так же не имеет корней, т. к. , а .

     б) Пусть  . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению

     

корнями которого на промежутке являются числа , , , .

     в) Пусть  . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению

           

Которое на промежутке решений не имеет, т. к. , а . На промежутке уравнение так же решений не имеет, т. к. , , а .

     Ответ. , , , .

     9. Найти корни уравнения: .  

     Решение этого уравнения распадается  на два этапа: 1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей; 2) отбор тех корней, которые удовлетворяют условию . При этом заботится об условии нет необходимости. Все значения , удовлетворяющие возведенному в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.

Первый  шаг нас приводит к уравнению  , откуда .

Теперь  надо определить, при каких  будет . Для этого достаточно для рассмотреть значения , , , т. е. поскольку дальше значения косинуса начнут повторяться, получившиеся углы будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную .

     Ответ. , . 

     3.3. Тригонометрические неравенства 

     1. Определим все , при каждом их которых неравенство 

      (1) имеет хотя бы одно решение.

     Решение. Разделим неравенство (1) на число , получим неравенство

      (2) равносильное неравенству (1).

     Так как , то существует такой угол , что и . Перепишем неравенство (2) в виде . 

     Последнее неравенство, а значит, и неравенство (1), имеет хотя бы одно решение при каждом таком, что , то есть при каждом .

     Ответ: .

      2. Решить неравенство sin 2x−3sin x−3cos x+3<0 (1)

Решение: используя замену неизвестного t=sin x+cos x , перепишем неравенство в виде . Все решения неравенства есть все t из промежутка (1,2), следовательно, множество решений неравенства (1) совпадает с множеством решений двойного неравенства 1<sin x+cos x<2 (2)

Используя введение вспомогательного угла, перепишем  это неравенство в виде .    Неравенство справедливо для любого x ,а все решения неравенства задаются условиями , n , откуда найдем все решения неравенства (2).

,n .

Итак, решения  неравенства (1) составляют серии интервалов (2 ),n .

Ответ: (2 ),n  

     3.4 Прикладные задачи с использованием тригонометрии

     1.Некоторое количество прямых изобразили на бумаге так, что между ними есть углы величиной 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80°, 90°. Найдите наименьшее количество прямых, для которых такое возможно. 

Решение: Заметим, что среди прямых, две обязательно должны быть перпендикулярны. Если две перпендикулярные прямые пересечь ещё двумя, острых углов может получиться не более пяти, как в случае, когда ни одна из этих двух прямых не проходит через точку пересечения перпендикулярных (на рисунке), так и в других случаях.

Имея  же 5 прямых, мы можем построить требуемую  конструкцию:

Ответ: 5

      2. В трапеции ABCD длина основания AD равна , а длина основания BC равна . Угол A = 15°, угол D = 30°. Найдите длину боковой стороны AB. 

 Условие задачи изображено на рисунке:

Проведем  BK параллельно CD. Заметим KD || BC, KB || DC, следовательно, KBCD Решение: параллелограмм и KD = BC = . AD – секущая параллельных прямых BK и CD, следовательно  AKB =  ADC = 30°. Далее найдем длину отрезка AK = AD – KD =  .

      Боковую сторону AB теперь можно найти по теореме синусов для треугольника ABK: . При этом ABK = 180° –  AKB –  BKA = 180° – 30° – 15° = 135°. И sin 135° =  . Теперь можно найти AB, оно получается равным 1.

      Ответ: 1