Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

История систем счисления. 3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.Г. ПЕТРОВСКОГО

... факультет

Кафедра ...

ТЕМА

Выполнил

Брянск 20012

Содержание

История систем счисления

Система счисления – это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы:

позиционные,
непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления. Они являются результатом длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Цель создания системы счисления- выработка наиболее удобного способа записи количественной информации.

Существует много различных систем счисления. Некоторые из них распространены, другие распространения не получили. Наиболее простая и понятная для нас система счисления - десятичная (основание 10). Понятна она потому, что мы используем ее в повседневной жизни.

Единичная система

В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов, например, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было еще очень далеко). Каждому предмету в такой записи соответствовала одна черточка. Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10–11 тысяч лет до н.э.). Ученые назвали этот способ записи чисел единичной (палочной) системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков – палочка. Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность ее применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек; при записи большого числа легко ошибиться – нанести лишнее количество палочек или, наоборот, не дописать палочки.

Можно предположить, что для облегчения счета люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи стали использовать знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Поскольку люди, при подсчете использовали пальцы рук, то первыми появились знаки для обозначения групп предметов из 5 и 10 штук (единиц). И таким образом возникли уже более удобные системы записи чисел.

Древнегреческая нумерация

В древнейшее время в Греции была распространена т.н. аттическая нумерация. Числа 1, 2, 3, 4 обозначались черточками , , , . Число 5 записывалось знаком (древнее начертание буквы «пи», с которой начинается слово «пенте» – пять); числа 6, 7, 8, 9 обозначались , , , . Число 10 обозначалось (начальной буквой слова «дека» – десять). Числа 100, 1000 и 10000 обозначались , , . Числа 50, 500, 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000.

Запись чисел в аттической системе счисления:

	,
	,
	,
	_.

В третьем веке до н.э. аттическая нумерация была вытеснена так называемой ионийской системой. В ней числа 1 – 9 обозначались первыми девятью буквами алфавита; числа 10, 20, 30, … , 90 – следующими девятью буквами; числа 100, 200, … , 900 – последними девятью буквами.

Обозначение чисел в ионийской системе нумерации

Обозна-чение	Название	Значе-ние	Обозна-чение	Название	Значе-ние	Обозна-чение	Назва-ние	Значе-ние
	Альфа	1		Йота	10		Ро	100
	Бета	2		Каппа	20		Сигма	200
	Гамма	3		Лямбда	30		Тау	300
	Дельта	4		Мю	40		Ипсилон	400
	Эпсилон	5		Ню	50		Фи	500
	Фауб	6		Кси	60		Хи	600
	Дзета	7		Омикрон	70		Пси	700
	Эта	8		Пи	80		Омега	800
	Тэта	9		Коппа	90		Сампи	900

Запись чисел в ионийской системе счисления

	,
	,
	,
	,
	.

Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок: («титло»).

Обозначение чисел в древнеславянской системе нумерации

Обозна-чение	Название	Значе-ние	Обозна-чение	Название	Значе-ние	Обозна-чение	Назва-ние	Значе-ние
	Аз	1		И	10		Рцы	100
	Веди	2		Како	20		Слово	200
	Глаголь	3		Люди	30		Твердо	300
	Добро	4		Мыслите	40		Ук	400
	Есть	5		Наш	50		Ферт	500
	Зело	6		Кси	60		Хер	600
	Земля	7		Он	70		Пси	700
	Иже	8		Покой	80		Омега	800
	Фита	9		Червь	90		Цы	900

Славянская нумерация

В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая «арабская нумерация», которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах. При записи чисел, больших 10, цифры писались слева направо в порядке убывания десятичных разрядов (однако иногда для чисел от 11 до 19 единицы записывались ранее десяти). Для обозначения тысяч перед числом их (слева внизу) ставился особый знак .

Запись чисел в древнеславянской системе счисления:

	,
	,
	,
	.

Римская нумерация

Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени под именем «римской нумерации». Мы пользуемся ей для обозначения веков, юбилейных дат, наименования съездов и конференций, для нумерации глав книги или строф стихотворения.

В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так: , , , , , , .

В римской нумерации явственно сказываются следы пятиричной системы счисления. В языке же римлян (латинском) никаких следов пятиричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (предположительно у этрусков).

Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз.

Запись чисел римскими цифрами:

_,	_,
_,	_.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень громоздко и трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах Западной Европы - до XVI века.

Вавилонская поместная нумерация

В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась поместная (позиционная) нумерация, т.е. такой способ изображения чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Наша теперешняя нумерация - тоже поместная, однако в вавилонской поместной нумерации ту роль, которую играет у нас число 10, играло число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятеричной. Числа, меньшие 60, обозначались с помощью двух знаков: для единицы и для десятка . Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных дощечках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз. При отсутствии промежуточного разряда применялся знак .

Запись вавилонской клинописью чисел до 60

	,
	,
	,
	.

Запись вавилонской клинописью чисел, больших 60

Обозначение	Значение	Способ образования
	302
	1295
	3725
	7203

Шестидесятеричная запись целых чисел не получила распространения за пределами ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби проникли далеко за эти пределы: в страны Среднего Востока, Средней Азии, в Северную Африку и Западную Европу. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей. Следы шестидесятеричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса (а также часа) на 60 минут и минуты на 60 секунд.

Позиционные и непозиционные системы счисления

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе – шестидесятеричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим – десятки.

В настоящее время позиционные системы счисления более широко распространены, чем непозиционные. Это объясняется тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого числа знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем - это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.

Наиболее употребительной оказалась индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.

Различие между позиционной и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Бóльшая цифра соответствует бóльшему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Примеры позиционных систем счисления:

Двоичная (или система счисления с основанием 2) это положительная целочисленная позиционная (поместная) система счисления, позволяющая представить различные численные значения с помощью двух символов. Чаще всего это 0 и 1.
Восьмеричная — позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры 0 до 7. Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Ранее широко использовалась в программировании и компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.
Десятичная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Наиболее распространённая система счисления в мире. Для записи чисел наиболее часто используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые арабскими цифрами.
Двенадцатеричная (широко использовалась в древности, в некоторых частных областях используется и сейчас) — позиционная система счисления с целочисленным основанием 12. Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Некоторые народы Нигерии и Тибета до сих пор используют двенадцатиричную систему счисления, но отголоски ее можно найти практически в любой культуре. В русском языке есть слово "дюжина", в английском "dozen", в некоторых местах слово двенадцать употребляют вместо «десять», как круглое число, например, подождите 12 минут.
Шестнадцатеричная (наиболее распространена в программировании, а также в шрифтах) — позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10 до 15. Широко используется в низкоуровневом программировании и вообще в компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами.
Шестидесятеричная (измерение углов и, в частности, долготы и широты) — позиционная система счисления по целочисленному основанию 60. Использовалась в древние времена на Ближнем Востоке. Последствиями этой системы счисления является деление углового и дугового градуса (а также часа) на 60 минут и минуты на 60 секунд.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины, однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.

Чтобы оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, нужно иметь в виду, что принципиально они ничем не отличаются от привычной десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.

Другие системы счисления не используются в основном, потому что в повседневной жизни люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.

Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII — XIX вв.). Некоторые идеи, лежащие в основе двоичной системы, по существу были известны в Древнем Китае. Об этом свидетельствует классическая книга “И цзин” (“Книга перемен”).

Идея двоичной системы была известна и древним индусам.

В Европе двоичная система, видимо, появилась уже в новое время. Об этом свидетельствует система объемных мер, применяемая английскими виноторговцами: два джилла = полуштоф, два полуштофа = пинта, две пинты = кварта, две кварты = потл, два потла = галлон, два галлона = пек, два пека = полубушель, два полубушеля = бушель, два бушеля = килдеркин, два килдеркина = баррель, два барреля = хогзхед, два хогзхеда = пайп, два пайпа = тан.

И в английских мерах веса можно увидеть двоичный принцип. Так, фунт (обычный, не тройский) содержит 16 унций, а унция — 16 дрэмов. Тройский фунт содержит 12 тройских унций. В английских аптекарских мерах веса, однако, унция содержит восемь дрэмов.

Пропагандистом двоичной системы был знаменитый Г.В. Лейбниц (получивший, от Петра I звание тайного советника).

Потом о двоичной системе забыли. В течение почти 200 лет на эту тему не было издано ни одного труда. Вернулись к ней только в 1931 году, когда были продемонстрированы некоторые возможности практического применения двоичного счисления. В 1936 — 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.

Двоичная система счисления (Бинарная система счисления, binary) -- позиционная система счисления с основанием 2. Для представления чисел используются символы 0 и 1.

Главное достоинство двоичной системы — простота алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления. Таблица умножения в ней совсем не требует ничего запоминать: ведь любое число, умноженное на ноль, равно нулю, а умноженное на единицу равно самому себе. И при этом никаких переносов в следующие разряды, а они есть даже в троичной системе. Рассмотрим подробнее, как происходит процесс умножения двоичных чисел. Пусть надо умножить число 1101 на 101 (оба числа в двоичной системе счисления). Машина делает это следующим образом: она берет число 1101 и, если первый элемент второго множителя равен 1, то она заносит его в сумму. Затем сдвигает число 1101 влево на одну позицию, получая тем самым 11010, и если, второй элемент второго множителя равен единице, то тоже заносит его в сумму. Если элемент второго множителя равен нулю, то сумма не изменяется.

Таблица деления сводится к двум равенствам 0/1 = 0, 1/1 = 1, благодаря чему деление столбиком многозначных двоичных чисел делается гораздо проще, чем в десятичной системе и, по существу, сводится к многократному вычитанию. Выполнение основной процедуры - выбор числа, кратного делителю и предназначенного для уменьшения делимого, здесь проще, так как таким числом могут быть либо 0, либо сам делитель.

Сложение многоразрядных двоичных чисел осуществляется в соответствии с таблицей с учетом возможных переносов из младшего разряда в старшие.

Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:

0 + 0 = 0	1 + 0 = 1
0 + 1 = 1	1 + 1 = 10

При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и у результата ставится соответствующий знак. Таблица разности двоичных чисел:

0 - 0 = 0	1 - 1 = 0
1 - 0 = 1	10 - 1 = 1

Существует более легкий способ вычитания в двоичной системе, для этого необходимо каждую цифру 1 вычитаемого поменять на цифру 0, а цифру 0 поменять на цифру 1 и выполнить сложение получившихся чисел. Рассмотрим пример:

110011₂-1001₂=110011₂-001001₂=110011₂+110110₂=101001₂

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее часто встречающиеся системы счисления – это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная и восьмеричная. Как же связаны между собой представления числа в различных системах счисления?

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х₂= А_n·2^n-1 + А_n-1·2^n-2 + А_n-2·2^n-3 +…+А₂·2¹ + А₁·2⁰

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

n(степень)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2ⁿ	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Пример: Число 11101000₂ перевести в десятичную систему счисления:

11101000₂= 1·2⁷ + 1·2⁶ + 1·2⁵ +0·2⁴ + 1·2³+0·2²+0·2¹+0·2⁰=232₁₀

Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х₈= А_n·8^n-1 + А_n-1·8^n-2 + А_n-2·8^n-3 +…+А₂·8¹ + А₁·8⁰

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

n(степень)	0	1	2	3	4	5	6
8ⁿ	1	8	64	512	4096	32768	262144

Пример: Число 75013₈ перевести в десятичную систему счисления:

75013₈= 7·8⁴ + 5·8³+ 0·8² +1·8¹ + 3·8⁰=31243₁₀

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х₁₆= А_n·16^n-1 + А_n-1·16^n-2 + А_n-2·16^n-3 +…+А₂·16¹ + А₁·16⁰

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

n(степень)	0	1	2	3	4	5	6
16ⁿ	1	16	256	4096	65536	1048576	16777216

Пример: Число FDA1₁₆ перевести в десятичную систему счисления:

FDA1₁₆= 15·16³ + 13·16² + 10·16¹ +1·16⁰=64929₁₀

Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число 22₁₀ перевести в двоичную систему счисления:

22₁₀=10110₂

Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число571₁₀ перевести в восьмеричную систему счисления.

571₁₀=1073₈

Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число7467₁₀перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

7467₁₀=1D2B₁₆

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-восьмеричной таблицей:

2-ная	000	001	010	011	100	101	110	111
8-ная	0	1	2	3	4	5	6	7

Пример: Число 1001011 перевести в восьмеричную систему счисления: 001 001 011₂=113₈

Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-шестнадцатеричной таблицей:

2-ная	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
16-ная	0	1	2	3	4	5	6	7
2-ная	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
16-ная	8	9	A	B	C	D	E	F

Пример: Число 1011100011 перевести в шестнадцатеричную систему счисления:

0010 1110 0011₂=2E3₁₆

Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример: Число 531₈ перевести в двоичную систему счисления:

531₈=101 011 001₂

Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример: Число ЕЕ8₁₆ перевести в двоичную систему счисления:

ЕЕ8₁₆=111011101000₂

При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1: Число FEA₁₆ перевести в восьмеричную систему счисления:

FEA₁₆=111111101010₂=111 111 101 010₂=7752₈

Пример 2: Число 6635₈ перевести в шестнадцатеричную систему счисления:

6635₈=110110011101₂=1101 1001 1101₂=D9D₁₆

Таблица соответствия натуральных чисел

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
1	001	1	1
2	010	2	2
3	011	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10