Практическое  занятие №1

    Измерение. Погрешности измерений

    В естественных науках (т.е. экологии, медицине, физике, химии и других), основным способом получения информации об изучаемых процессах является экспериментальное определение численных значений исследуемых величин.

    Измерением называется процесс сопоставления исследуемой величины с некоторой мерой, эталоном или их эквивалентом. Результатом измерения является число, показывающее, сколько раз в измеряемой величине укладывается (или заключается) величина, принятая за эталон или за единицу измерения.

    Результат любого измерения почти всегда получается приближенным, отличается от истинного значения измеряемой величины.

    То, что результат измерения всегда приближенный – факт общефилософского значения, это одно из проявлений диалектического соотношения между абсолютной истиной, т.е. точным, исчерпывающим знанием и относительными истинами, которые, неограниченно приближаясь к абсолютной истине, всегда остаются приближенными.

    Количественная  степень отклонения результата измерения от истинного значения измеряемой величины характеризуется погрешностью. Погрешности при измерении вызваны многими факторами, имеющими различные причины. Сюда относятся несовершенство измерительной аппаратуры или инструментов, ограниченные возможности метода измерения и т.п. В зависимости от причин возникновения, погрешности подразделяются на инструментальные и методические.

    Инструментальными являются погрешности, вызванные несовершенством приборов, неточностью их градуировки, трением в подвижным частях, износом и т. д.

    Методические  погрешности измерения возникают вследствие недостаточно полного использования теоретических знаний об измеряемой величине, использования упрощенных моделей процесса измерения, несовершенства метода измерения и его ограниченных возможностей.

    При измерении важно уметь оценить  и методическую и инструментальную погрешности, причем необходимо иметь в виду, что они весьма часто связаны между собой, поскольку выбор аппаратуры и инструмента для измерений сильно зависит от метода измерения, иногда же наоборот, наличие тех или иных приборов определяет метод измерения.

    По  характеру проявления инструментальные погрешности разделяют на систематические, случайные и грубые погрешности. Случайными являются погрешности, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

    Причины, вызывающие эти погрешности или  неизвестны, или учет их влияния  очень сложен. При измерениях от случайных погрешностей избавиться в принципе невозможно. Но существуют методы их оценки, основанные на теории вероятностей и математической статистике.

    Систематические погрешности остаются постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же величины.

    Как правило, их можно выявить либо теоретически, либо путем сравнения с показаниями более точного прибора и затем учесть в результате измерения. Например, при взвешивании тел в воздухе всегда получается уменьшенное значение веса вследствие действия выталкивающей силы Архимеда.

    Грубые  погрешности, или промахи, это погрешности, величина которых существенно превышает ожидаемые при данных условиях погрешности.

    Они возникают либо вследствие временной  неисправности прибора, либо при неточном отсчитывании показаний по шкале прибора, либо при резком нарушении методики эксперимента или условий его проведения. Результат измерения, содержащего промах, при обработке данных следует отбросить.

    Методика  вычислений инструментальных погрешностей прямых (непосредственных) измерений.

    Прямыми называются измерения, при которых  результат измерения получается путем непосредственного сравнения измерения величины с эталоном или его эквивалентом, принятым за единицу измерения. X=n·[x],

где n – число, целое или дробное,

     [x] – единица измерения.

    Погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины называется абсолютной погрешностью ∆X; численно она равна разности между результатом измерения Х и истинным значением Х₀ измеряемой величины:

       ∆Х = Х - Х₀.                                                          (1)

Если  абсолютная погрешность по модулю не превышает некоторого положительного числа ∆X_м, то это число называется максимальной абсолютной погрешностью:

                              |Х – Х₀| = |∆Х |≤ ∆X_м .                                       (2)

    Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:

                                        .                                              (3)

    Аналогично  максимальная относительная погрешность равна отношению максимальной абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:

       

.                                           (4)

    Точность  измерительных инструментов, приборов принято оценивать величиной  приведенной погрешности, равной отношению максимальной абсолютной погрешности к верхнему пределу измерения для данного прибора (к пределу шкалы X_м):

       .                                  (5)

    Приведенная погрешность, выраженная в процентах, называется классом точности прибора. Всего ГОСТом установлено восемь классов точности для измерения электрических величин: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Класс точности проставляется по шкале прибора. По известному классу точности можно найти максимальную абсолютную погрешность отдельного измерения:

    

.                                  (6)

Например, вольтметр с классом точности 1,0 и шкалой до 30 В измеряет приложенное  к нему напряжение с максимальной абсолютной погрешностью:

Это означает, что если результат измерения, например, 15,2 В, то истинное значение отличается от 15,2 В не больше, чем на 0,3 В, т.е.

    Если  на приборе не указан класс точности, то его максимальная абсолютная погрешность принимается равной половине цены деления шкалы. В некоторых случаях, например, при измерении времени секундомером, за величину максимальной абсолютной погрешности принимается целое деление (например, 0,02 с). В приборах с выдачей результатов измерения непосредственно на цифровом индикаторе за максимальную погрешность часто принимается единица младшего разряда.

    В общем случае результаты прямых измерений  содержат систематические, случайные и грубые погрешности. Систематические погрешности могут быть устранены либо в процессе измерения, либо учтены введением поправок в результаты. Поэтому условимся считать, что результаты прямых измерений содержат только случайные и грубые погрешности.

    Методика  оценки случайных  погрешностей прямых

      равноточных измерений.

    Измерения называются равноточными, если они проведены одинаковыми по точности методами, или одним и тем же методом в одинаковых условиях. В результате n измерений некоторой физической величины x, истинное значение которой X₀ = m_x (если нет систематических погрешностей) неизвестно, из-за наличия случайных погрешностей получается ряд численных значений   x₁; x₂, … , x_n, которые в общем случае отличаются друг от друга и от X₀.

    При обработке результатов этих измерений возникают две задачи:

1. Нахождение по результатам отдельных измерений наилучшей оценки истинного значения, т.е. значения, наиболее близкого к истинному;
2. Определение погрешности полученной оценки.

    Для большого числа практических случаев, когда грубые погрешности (промахи) встречаются редко, а случайные погрешности распределены по нормальному закону, наилучшей оценкой измеряемой величины является среднее арифметическое отдельных результатов измерения:

      .                                            (6)

    Отдельные результаты измерений являются случайными величинами, поскольку содержат случайные погрешности ∆Х_i:

    ∆х_i = х_i - х₀.

    Среднее арифметическое также является случайной величиной, как функция случайных величин. Поэтому абсолютная погрешность среднего арифметического, равная:

                                         (7)

также будет случайной.

Это говорит  о том, что истинное значение абсолютной погрешности найти невозможно, можно лишь тем или иным способом приближенно оценить ее значение. Например, можно считать, что с определенной вероятностью значение абсолютной погрешности по абсолютной величине будет меньше некоторой заданной величины , т.е.

Отсюда  следует, что истинное значение измеряемой величины с вероятностью накрывается интервалом , т.е.

     .                  (9)

    Интервал  называется доверительным, а вероятность - доверительной вероятностью. Очевидно, чем больше - ширина доверительного интервала, тем с большей вероятностью доверительный интервал заключает в себе Х₀.

    Таким образом, для характеристики случайной  погрешности необходимо знать два  числа, а именно – величину оценки абсолютной погрешности , которую часто называют просто абсолютной погрешностью, и величину доверительной вероятности.

    В качестве ширины доверительного интервала  можно взять  - среднеквадратичную погрешность. Для отдельного измерения она равна:

    Среднее арифметическое имеет меньшее рассеивание  и соответственно его среднеквадратичная погрешность будет меньше в раз.

    В физических, биологических, медицинских, физиологических и др. измерениях обычно пользуются значениями доверительной вероятности = 0,9; = 0,95; =0,99. При заданной доверительной вероятности ширину доверительного интервала (оценка погрешности) удобно находить в виде долей , т.е.:

где - коэффициент, зависящий от величины доверительный вероятности  и от объема выборки n. При находится по таблице Стьюдента, при n> 30 он очень мало отличается от таблицы нормального распределения и в этом случае может быть найден по той же таблице при n= ∞.

    Если  взять величину абсолютной погрешности  , то вероятность того, что доверительный интервал содержит Х₀ будет равна = 0,997. Это очень большая вероятность и поэтому говорят, что с практической уверенностью можно утверждать, что отклонение от Х₀ больше чем на невозможно. Это правило известно под названием “правила трех сигм”.

    Наряду  со среднеквадратичной погрешностью для оценки случайной погрешности пользуются и среднеарифметической погрешностью r, вычисленной по формуле:

    Все приведенные выше результаты теории случайных погрешностей применимы для характеристики точности измерения лишь в случае, если измерение многократно повторено.

    Последовательность  действий при оценке истинного значения измеряемой величины и оценки случайной погрешности следующая:

1. находится среднее арифметическое по результатам измерений:

                                          ,                                        (14)

2. находится среднеквадратическая погрешность отдельного результата измерения:

                                           ,                    (15)

3. находится максимальная абсолютная погрешность отдельного измерения:

                                                  ,                             (16)

4. проверяется, все ли результаты измерений укладываются в интервал , если да, то переходим к следующему пункту, если нет, то такое значение отбрасыватся (тем самым мы избавляемся от промахов) и вычисления следует начать сначала.
5. находится среднеквадратическая погрешность среднего арифметического:

                                       

                                          (17)

6. находится из таблицы коэффициент по заданным и п и определяется оценка абсолютной погрешности:

                                 

                                        (18)

7. записывается  результат измерения:

                                 

                                      (19)

при заданном . Это означает, что с заданной доверительной вероятностью доверительный интервал накрывает , т.е. .

8. если необходимо, то находится относительная погрешность, при этом, поскольку Х₀ неизвестно, приближенно его заменяют на :

                                   

.                               (20)

    Методика  оценки случайных  погрешностей косвенных  измерений.

    Чаще  всего интересующая нас величина Х непосредственно не измеряется. Вместо этого измеряются некоторые величины , а затем вычисляется искомая величина Х, которая является функцией указанных непосредственно измеренных величин:

                                

                                (21)

    Для каждой из величин мы находим, как было указано выше, наиболее вероятное значение, т.е. среднеарифметическое из измеренных значений ; и оцениваем их погрешности – либо вычисляем их среднеквадратичные погрешности для случая многократных изменений, либо находим максимальные погрешности , в случае  отсутствия разброса в значениях при многократных измерениях.

    Т.к. каждая из величин  - случайна, случайной будет и величина Х – как функция случайных аргументов. Тогда, очевидно, наиболее близким к истинному значению Х₀ искомой величины будет значение функции:

    Погрешность результата косвенных измерений  зависит от погрешностей прямых измерений каждой из величин, входящих в эту формулу.

    Для расчета абсолютной погрешности  косвенного измерения при заданной доверительной вероятности  следует использовать выражение (даем без вывода):

где - погрешности прямых измерений при заданной доверительной вероятности (одинаковой для ), - частные производные функции по переменным соответственно. Напомним, что частная производная функции нескольких переменных по одной из них, например, по u, является обычной производной функции f по u, только при этом другие переменные считаются постоянными параметрами. Все производные в формуле (23) вычисляются при значении

    Для нахождения максимальной абсолютной погрешности  используют формулу:

       

              (24)

    Окончательный результат измерений и вычислений записывается в виде

    при заданной доверительной вероятности  :

    или , где - максимальная абсолютная погрешность.

    При этом обязательно указывать название характеризующей результат меры точности или ). Если необходимо, указывается и значение относительной погрешности

    Порядок обработки результатов косвенных  измерений следующий:

1. находятся средние арифметические и абсолютные погрешности   по заданной доверительной вероятности и объему выборки для каждой величины  по методике, оценке случайной погрешности прямых измерений приведенной в 4. При этом вероятность должна быть одинаковой для всех , а объем выборки может быть для них различным.
2. находится среднее значение результата косвенных измерений по формуле (22).
3. находится абсолютная погрешность косвенного измерения по формуле (23).
4. записывается результат измерения:

    Правила приближенных вычислений, записи

    погрешностей и результатов измерения.

1. Экспериментальные результаты измерения являются приближенными числами, поэтому при их записи следует указывать величину погрешности. Как было видно выше, вычисляемая практически среднеквадратическая и абсолютная погрешности характеризуют реальные погрешности довольно приближенно, поэтому указывать их величину с большой точностью бессмысленно. Значение погрешности нужно округлять, оставив одну или две значащие цифры. В частности, если это цифры 1 или 2, то следует обязательно привести и вторую значащую цифру.

    Например, нужно писать

            ,   а не 0,0553

    или  , а не 2,36.

2. Число значащих цифр результата также ограничено и определяется порядком величины погрешности. Если, например, величина погрешности составляет сотые доли, т.е. если мы не ручаемся за правильность сотых долей, нет смысла сохранять тысячные доли и результат следует округлить до сотых долей. В общем случае, запись окончательного значения измеряемой величины и ее погрешность нужно приводить с одинаковым числом десятичных знаков.

    Например, надо писать:

    U = (15,3 ± 0,3), а не U = (15,33 ± 0,3)

3. Абсолютную погрешность всегда выражают в тех же единицах, что и саму измеряемую величину, например:

    l= (1,572

0,004) м,

    

см/с

    но  не 

    l= 1,572

4 м,

    

 см/с

    Последняя запись совершенно неприемлема, т. к. не позволяет сразу увидеть, какая цифра результата является ненадежной.

4. При проведении расчетов по результатам измерений необходимо помнить, что мы имеем дело с приближенными численными значениями, поэтому необходимо знать основные правила выполнения приближенных вычислений. Напомним их:

    а) при округлении следует прибавить  единицу в соседний старший разряд записи числа, если отбрасывается цифра  младшего разряда 5 или больше, и просто отбросить ее, если она меньше 5. например, 4,08 округляя до двух значащих цифр получим: 4,1; 4,03 ≈ 4,0, а не просто 4, т.к. запись 4, 0 означает округление до двух значащих цифр, а просто 4 – только одной.

    б)  при сложении и вычитании приближенных чисел следует сохранять в окончательном результате и в слагаемых не больше знаков после запятой, чем их имеется в наименее достоверном числе.

  Пример. При сложении чисел:

    4,462 + 2,38 + 1,17273 +1,0262 = 9,04093

определив наименее достоверное число (2,28) следует слагаемые и сумму округлить до сотых долей, т.е.:

    4,46 + 2,38 + 1,17 +1,03 = 9,04;

    в) при умножении и делении исходные данные округляются, сохраняя лишь одну лишнюю значащую цифру по сравнению с наименее достоверн6ым числом, результат округляется до числа значащих цифр в наименее достоверном числе.

    Методика  построения графиков и

      графическое определение погрешностей.

      Если изучается зависимость одной  величины от другой, то результаты  могут быть представлены в  виде графика.

    Основное  достоинство графиков – их наглядность. Посмотрев на график, можно сразу, одним взглядом, охватить вид полученной зависимости, получить о ней качественное представление и отметить наличие различных особенностей: максимумов и минимумов, областей возрастания и убывания, периодичности и т.п. График позволяет также судить о соответствии экспериментальных данных той или иной теоретической зависимости.

    При вычерчивании графика в прямоугольной  системе координат необходимо руководствоваться следующими правилами.

1. Выбор бумаги. График должен выполнятся на миллиметровой или хотя бы клетчатой бумаге.
2. Выбор координатных осей. По горизонтальной оси принято откладывать ту величину, изменения которой являются причиной изменения другой (т.е. по оси абсцисс – аргумент Х, по оси ординат – функцию Y). На осях координат следует указать название или символ величины и указать, в каких единицах она измеряется:

     или 

    3. Выбор интервала. На графике приводится только та область изменения измеряемых величин, которая была исследована на опыте, поэтому пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями Х = 0 и Y = 0. Например:

    4. Выбор масштаба. Масштабы на каждой оси выбираются независимо друг от друга, причем так, чтобы экспериментальные точки не сливались друг с другом и чтобы наилучшим образом использовалась площадь бумаги. Следует помнить, что график получается более наглядным, если основная часть кривой имеет наклон, не слишком отличающийся от 45º.

    Масштаб должен быть простым и легко читаться, поэтому одна клетка масштабной сетки должна соответствовать удобному числу – 1, 2, 5, 10 … , 0,1, 0,2, 0,5, (но не 3, 7, 11, 13 …), единиц изображаемой на графике величины.

    5. Нанесение шкал по осям. Масштаб наносится на осях графика в виде равностоящих “круглых” чисел, например: